课题：§2. 2解三角形应用举例1
?教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦泄理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几肖课做良好铺垫。苴次结合学生的实际情况，采用“提出问题一一引发思考一一探索猜想一一总结规律一一反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值：同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
?教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
?教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图
?教学过程
I.课题导入
1、［复习旧知］复习提问什么是正弦定理、余弦迫理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、［设置情境］
请学生回答完后再提问：前而引言第一章''解三角形”中，我们遇到这么一个问题，"遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算岀了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上而介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦圮理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
II ?讲授新课
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形
中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
［例题讲解］
（2）例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选左一点C,测出AC的距离是55m, ZBAC二51。，ZACB=75O?求A、B两点的距离（精确到0. Im）
B
图 1. 2-1
启发提问1： zXABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和泄理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦泄理算出AB边。
解：根据正弦定理，得M 二
AB = ACsinZACg 二
55sinZACB 二 55sin75° 二 55sin75°
65 7
（m ）
sin ZABC sin ZABC sin （180°-51°-75°）
sin54°
'
答:A 、B 两点间的距离为65. 7米
变式练刃：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东3（/,灯塔B 在观 察站C 南偏东60°,则A 、B 之间的距离为多少？ 老师指导学生画图，建立数学模型。 解略：迈a km
例2、如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测虽A 、B 两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以 需要确左C 、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求 出AC 和BC,再利用余弦定理可以计算出AB 的距离。
解：测量者可以在河岸边选泄两点C 、D,测得CD 二a,并且在C 、D 两点分别测得ZBCA 二° ,
Z ACD 二0, Z CDB= Y , ZBDA 在AADC 和ABDC 中，应用正弦立理得
”sin(7 + 5) sin[l8O°-(/7 + / +J)]
BC 二
“siny
sin[l 80。-(a+ 0 + 力]
讣算出AC 和BC 后，再在AABC 中，应用余弦泄理计算出AB 两点间的距离
AB 二 y/AC 2 +BC 2
-2ACxBCcosa
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练:若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得ZBCA=60*, ZACD=30*, ZCDB=45*, ZBDA =60 略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB 二20石
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复， 如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。 学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
m.课堂练习 课本第13页练习第1、2题 IV.课时小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1） 分析：理解题意，分淸已知与未知，画出示意图
（2） 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三 角形的数学模型
a sin(/-r J)
sin( 0 + 7 +
5) usin/ sinter 4-/9 +
AC 二 图 1.2-2
5
(3) 求解：利用正弦泄理或余弦怎理有序地解出三角形，求得数学模型的解 (4) 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
V.课后作业课本第19页第1、2、3题
课题：
§ 2.2解三角形应用举例2
?教学目标
知识与技能：能够运用正弦左理、余弦怎理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体髙度测虽:的问 题
过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确 识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形 实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导一讨论一归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成 良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间 情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、槪括的能力 ?教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
?教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件 ?教学过程
I .课题导入
提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物髙度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机 下方山顶的海拔髙度呢？今天我们就来共同探讨这方而的问题
H .讲授新课
［范例讲解］
例3、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的 最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。
分析：求AB 长的关键是先求AE,在AACE 中，如能求岀 C 点到建筑物顶部A 的距离CA,再测出由C 点观察A 的仰 角，就可以计算出AE 的长。
解:选择一条水平基线HG,使H 、G 、B 三点在同一条宜 线上。由在H 、
G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是c 、
0, CD = a ，测角仪器的髙是h,那么，在AACD 中，根
据正弦左理可得
AC = “sin/? AB = AE + h = ACsina+ h = sin(a-0)
例4、如图，在山顶铁塔上B 处测得地而上一点A
的俯角°二54 40',在塔底
C 处测得A 处的俯角0二已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山髙 C
D (精确到1 m)
师:根据已知条件，大家能设il ?出解题方案吗？(给时间给学生讨论思考)若 在AABD 中求CD,则关键需要求出哪条边呢？ 生：需求出BD 边。 师：那如何求BD 边呢？
生：可首先求出AB 边，再根据ZBAD 二c 求得。
解：在/XABC 中，ZBCA 二90°+0, ZABC 二90°-c , ZBAC 二c - /7, ZBAD
?根据正弦左理，
—^―= 一—一 所以AB 二肚汕％ 二 叱卩
sin(a-0) sin(9O°+0) sin(a-0) sin(a-“)
sin(a — 0)
解 RMABD 中，得 BD 二ABsinZBAD 二窘沪
答：山的髙度约为1047米
in.课堂练习
课本第15页练习第1、2、3题
IV. 课时小结
利用正弦定理和余弦赵理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进 行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。
V.
课后作业
1、 课本第19页练习第6、7、8题
2、 为测某塔AB 的髙度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°,测得塔基B 的
俯角为45°,则塔AB 的髙度为多少m?
将测量数据代入上式，得BD =
27.3cos50Tsin54e 40r
_ 27?
3cos50Ysin54°4(y sin(5440,
-50°l r
)
心177 (m)
CD =BD -BC^ 177-27. 3=150(m)
答：山的髙度约为150米.
师：有没有别的解法呢？
生：若在AACD 中求CD,可先求出AC 。 师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC?
生：同理，在AABC 中，根据正弦左理求得。（解题过程略） 例5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶, 到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方
向上，行驶5km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25'的 方向上，仰角为8?，求此山的髙度CD.
师：欲求岀CD,大家思考在哪个三角形中研究比较适 合呢？ 生：在ABCD 中
师：在ABCD 中,已知BD 或BC 都可求出CD,根据条件，易计算岀哪条边的长? 生：BC 边
解:在AABC 中，ZA=15a
, ZC= 25°-15° 二 10°,根据正弦泄理,
BC
sin
世，BC
sinC
ABsinA sinC _5sinl5"
sin 10°
a 7. 4524 (km) CD=BCx tanZDBC^BCx tan8* ^1047 (m)
答案:
20空Gn)
图1?
2?6
~113? 15
第6课时
课题：§2.2解三角形应用举例
?教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余眩左理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题
过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这肖课应通过 综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1,还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道 例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过 导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。 情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生 的探索精神。 ?教学重点
能根据正弦定理、余弦左理的特点找到已知条件和所求角的关系 ?教学难点
灵活运用正弦左理和余弦定理解关于角度的问题 ?教学过程
I .课题导入
［创设情境］
提问：前而我们学习了如何测量距离和髙度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求苴余边的问 题。然而在实际的航海生活中，人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海而上如何确保轮船不迷失方向， 保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测戢问题。
U .讲授新课
［范例讲解］
例6、如图，一艘海轮从A 岀发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B,然后从B 出发，沿 北偏东32°的方向航行54. 0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C,此船应该沿怎样的 方向航行,需要航行多少距离？（角度精确到0. 1 ° ,距离精确到0. Oln ndle ）
图 1.2-7
学生看图思考并讲述解题思路
教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和左理求岀AC 边所对的角ZABC,即可用余弦左理 算出AC 边，再根据正弦定理算岀AC 边和AB 边的夹角ZCAB.
解:在 AABC 中，ZABC=180 * - 75 * + 32 * =137 * ,根据余弦定理,
AC 二yjAB 2
+BC 2
- 2AB x BC x cos ZABC =>/67.52
+54.02
-
2x67.5x54.0xcosl37°
根据正弦宦理,
sin ZCAB 二竺曰￡ AC
二
54?
0sinl37° 113.15-
心0?3255,
75° - ZCAB =56.0
答:此船应该沿北偏东56. 1的方向航行，需要航行113. 15n mile
补充例1、在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为0,沿BE 方向前进30m,至点C 处测得顶端A 的
师：请大家根据题意画岀方位图. 生：上台板演方位图（上图）
教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习, 补充讲评。 解法一：（用正弦立理求解）由已知可得在4ACD 中，
AC=BC=30, AD 二DC 二10Q
ZADC 二 180° -4 0, ?10苗二 30 sin2^ sin(180°-4&) °
因为 sin4 8=2sin2 6>cos2&
??.cos2&二二，得 2&二 30
2
二在 RtAADE 中，AE=ADsin60d
=15
答：所求角&为15°,建筑物髙度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE 二X, AE 二h
在 RtAACE 中，（10VJ+x ）2 + h 2
=302
两式相减,得x=5>/3,h=15
所以
ZCAB =19.0 ° , 请三位同学用三种不同方法板演，然后教师 sinZCAH sinZABC
求&的大小和建筑物AE 的髙。
在 RtAADE 中/2丹2二(10、行)2
AB 21 2 14
I
P
.??在 RtzXACE 中,tan2 8二一=—=—
10V3+X
3
??.2&二30° , &二 15
答：所求角&为15°,建筑物髙度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物髙为AE 二8,由题意，得
ZBAC=6>, ZCAD=2 6>,
AC = BC =30m , AD = CD 二 10屁
在 RtAACE 中，sin2 6> = —
-------- ①
30 4
在 Rt A ADE 中，sin4 &二 -- ,
---------- ②
10V3
②壬①得
cos2^ = —,2 & 二 30°, &二 15 °, AE=ADsin606
=15
2
答：所求角&为15°,建筑物髙度为15m 补充例2、某巡逻艇在A 处发现北偏东45 °相距9海里的C 处有一艘走私
船，正沿南偏东75°的方向以10
海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿 什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
师：你能根据题意画岀方位图？教师启发学生做图建立数学模型 分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。
解：如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB 二10x, AB 二14x,AC 二9, ZACB=75° +
45°=120°
/. (14x) 2
= 92
+ (10x) 2
-2x9x 10xcosl20° a 3
9
..化简得32—3077=0,即勺,或飞（舍去）
所以 BC 二 10x =15,AB =14x =21, 又因为sinZBAC 二
..38 ° 13'+45。二 83 ° 13’
正余弦定理的综合应用教学设计 课题名称正余弦定理的综合应用 科目数学（高三）授课人耿向娜 一、教学内容分析 本节课为高三一轮复习中的解三角形部分的习题课。解三角形的知识在历年的高考中与三角函数向量等知识相结合，频繁出现在选择、填空和17题的位置，是学生们的重要得分点之一。本节课对2013年中出现的解三角形问题的分析解答，强化学生对解三角形的理解和巩固，同时消除他们对高考的畏惧感，提升其自信心。 二、教学目标 1、知识目标：熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式、边角关系互化，同时熟练结合三角函数知识求相关函数的最值等。 2、能力目标：培养学生分析解决问题的能力，提高学生的化简计算能力 3、情感目标：让学生在直接面对高考真题的过程中，体会解决问题的快乐，提升他们的自信心，提高他们的备战能力！ 三、学情分析 我所任课的班级是高三22班是文科普通班，他们的数学基础整体上很薄弱，计算能力有待提高。通过三个多月的一轮复习，越来越多的学生对数学产生了兴趣，同时也品尝到数学成绩提高带来的喜悦，具有了一定的函数知识和解决问题的能力。 四、教学重点难点 重点正余弦定理的应用 难点公式的转化和计算
五、教法分析 本节课我利用多媒体辅助教学，采用的是教师引导下的学生自主探究式学习法。 六、教学过程 教学环节教学内容设计意图 一、基 础 知 识 回 顾回顾正弦定理：k C c B b A a = = = sin sin sin ; C k c B k b A k a sin , sin , sin= = = 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 三角形面积公式：A bc B ac C ab S sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = 通过对公式的 回顾，为本节 课解答问题提 供工具。 二、例 题 讲 解类型一：判定三角形形状 1、设在ABC ?中，若B b A a cos cos=,判定该三角形 的形状。 该题的设置目 的在于训练学 生对边角混合 式的转化。此 题可以边化 角，也可角化 边，让学生体 会正余弦定理 的应用和边角 转化的魅力。 形 直角三角形或等腰三角 或 法二：（角化边） 角形 为等腰三角形或直角三 ， 或 ） 解析：法一：（边化角 ? = = + ? = - - + ? - = - ? - + = - + ? - + = - + ? = + = + = ? = ? = b a c b a o b a c b a c b a b a b c a b a c b a ac b c a b bc a c b a B A B A B A B A B A A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) )( ( ) ( ) ( ) ( 2 2 . 2 2 2 2 sin 2 1 2 sin 2 1 sinBcos cos sin π π
三角恒等变换与解三角形 学习目标： 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心，试题多为选择题或填空题. 2.利用正弦定理或余弦定理解三角形、判断三角形的形状或求值等，并经常和三角恒等变换结合进行综合考查. 重难点：利用正弦定理或余弦定理解三角形、判断三角形的形状或求值等，并经常和三角恒等变换结合进行综合考查. 真 题 感 悟 1.若tan α＝2tan π5，则cos ? ??? ? α－3π10sin ? ??? ?α－π5＝( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π 6 ，则b ＝________. 3.在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C ＝________. 4.在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________. 考 点 整 合 1.三角函数公式 (1)同角关系：sin 2 α＋cos 2 α＝1，sin α cos α ＝tan α. (2)诱导公式：在k π 2 ＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象 限”. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β；tan(α±β)＝tan α±tan β 1?tan αtan β . (4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. 2.正、余弦定理、三角形面积公式
正弦定理和余弦定理的应用举例 考点梳理 1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2. 实际问题中的常用角 (侧角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平■视线和目标视线的火角，目标视线在水平■视线白勺角叫仰角，目标视线在水平■视线下方的角叫俯角(如图①). (2) 方向角：相对丁某正方向的水平■角，如南偏东30°,北偏西45°,西偏北60等； (3) 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平■角，如B点的方位角为g如图②). (4) 坡度：坡面与水平■面所成的二面角的度数. 【助学微博】 解三角形应用题的一般步骤 (1) 阅读理解题意，弄活问题的实际背景，明确已知与未知，理活量与量之间的关系.侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力. (2汁艮据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3汁艮据题意选择正弦定理或余弦定理求解.
(4)#三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 解三角形应用题常有以下两种情形 (1) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解. (2) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有 时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解. 考点自测 1. (2012江苏金陵中学)已知^ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等丁 - 解析记三角形三边长为a-4, a, a+ 4,则(a + 4)2 = (a-4)2 + a2— 2a(a-4)cos 1 120，解得a= 10,故S= 2 X 10x 6X sin 120 = 15寸3. 答案15 3 2. 若海上有A, B, C三个小岛，测得A, B两岛相距10海里，/ BAC= 60°, / ABC= 75°,则B, C问的距离是__________ 渔里. ................................ BC AB - 解析由正弦正理，知sin 60° = sin 1800-60°-75°.解侍BC= 5V6(海里)? 答案5 6
正余弦定理的应用——三角形面积公式 一、教学容解析 本课教学容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学5》第一章1.2节。 1.教材容 本节容是正弦定理与余弦定理知识的延续，借助正弦定理和余弦定理，进一步解决一些有关三角形面积的计算。教材中先结合已知三角形面积公式推导新的三角形面积公式，然后借助正弦定理和余弦定理求三角形面积，最后给出三角形面积实际问题的求解过程。 2.教学容的知识类型 在本课教学容中，包含了四种知识类型。三角形面积公式的相关概念属于概念性知识，三角形面积公式的符号语言表述属于事实性知识，利用正弦定理和余弦定理求解三角形面积的步骤属于程序性知识，发现问题——提出问题——解决问题的研究模式，以及从直观到抽象的研究问题的一般方法，属于元认知知识。 3.思维教学资源与价值观教育资源 已知三角形两边及其夹角求三角形面积的探索过程能引发提出问题——分析问题——解决问题的研究思维；生活实际问题求解三角形面积，是培养数学建模思想的好契机；引出海伦公式和秦九韶“三斜求积”公式，激发学生学习数学的兴趣，探究数学史材料，培养学生对数学的喜爱。 二、学生学情分析 主要从学生已有基础进行分析。 1.认知基础：从学生知识最近发展区来看，学生在初中已经学习过用底和高表示的三角形面积公式，并且掌握直角三角形中边和角的关系。现在进一步探究两边及其夹角表示的面积公式符合学生的认知规律。此外在前面两节的学习中学生已经掌握了正余弦定理，这为求解三角形的边和角打下了坚持基础。 2.非认知基础：通过小学、初中和高中阶段三角函数和应用题的学习，学生具有一定的分析问题、类比归纳、符号表示的能力。具备相当的日常生活经验，能够从实际问题抽象出数学问题并建立数学模型解决问题。 三、教学策略选择 《普通髙中数学课程标准(2017年版)》强调基于核心素养的教学,特别重视
正余弦定理的综合应用 1.【河北省唐山一中2018届二练】在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且 ()()3,cos sin sin cos 0b A B c A A C =+-+=． （1）求角B 的大小；（2）若ABC ?的面积为 3 2 ，求sin sin A C +的值． 2.【北京市海淀区2018届高三第一学期期末】如图，在ABC ?中，点D 在AC 边上，且 3AD DC =，7AB =，3 ADB π ∠=，6 C π ∠= . （Ⅰ）求DC 的值； （Ⅱ）求tan ABC ∠的值. 【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系. 3.【海南省2018届二模】已知在ABC ?中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且 3cos sin cos b A a A C +sin cos 0c A A +=. （1）求角A 的大小； （2）若3a =，12 B π = ，求ABC ?的面积. 4.【湖北省天门等三市2018届联考】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos cos 3sin cos C A B A B +=． （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若1a c +=，求b 的取值范围． 5.【山东省淄博市2018届高三3月模拟】在 中，角 对边分别为 ，已知 ． （1）求角的大小；（2）若 ，求 的面积． 6.【福建省南平市2018届第一次质检】在中, 分别为角 的对边，且 . （1）若，求及； （2）若 在线段 上，且 ，求的长. 7.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，16】在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ， C 的对边， cos 2cos C a c B b -=，且2a c +=．
正弦定理与余弦定理的综合应用 (本课时对应学生用书第页 ) 自主学习回归教材 1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=. 【答案】-1 2 【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C= 222 78-13 278 + ??=- 1 2. 2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b23bc，sin C3B，则角A=. 【答案】π6 【解析】由sin C 3B得c3b，代入a2-b23得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a7b， 所以cos A= 222 - 2 b c a bc + = 3 ，所以角A= π 6.
3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度 为n mile/h. (第3题) 【答案】 176 4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A+c sin C2sin C=b sin B，则角B=. 【答案】45° 【解析】由正弦定理得a2+c22ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos B=2 ， 因此B=45°. 5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值围为. 【答案】 π0 3?? ???，
正余弦定理在实际生活中的应用 正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题. 求解此类问题的大概步骤为： （1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等； （2）根据题意画出图形； （3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答. 1.测量中正、余弦定理的应用 例1 某观测站C 在目标A 南偏西25?方向，从A 出发有一条南偏东35?走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 距离为21千米，求此人所在D 处距A 还有多少千米？ 分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解CBD ?，求角B .再解ABC ?，求出AC ，再求出AB ，从而求出AD （即为所求）. 解：由图知，60CAD ∠=?. 22222231202123 cos 22312031BD BC CD B BC BD +-+-===???， 3 s i n B =. 在ABC ?中，sin 24sin BC B AC A ?= =. 由余弦定理，得222 2cos BC AC AB AC AB A =+-??. 即2223124224cos60AB AB =+-????. 整理，得2243850AB AB --=，解得35AB =或11AB =-（舍）. 故15AD AB BD =-=（千米）. 答：此人所在D 处距A 还有15千米. 评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理. 2.航海中正、余弦定理的应用 例2 在海岸A 处，发现北偏东45?方向，距A 1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75?方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以/小时 A C D 31 21 20 35? 25? 东 北
正余弦定理的应用举例 正、余弦定理的应用举例 知识梳理 一、解斜三角形应用题的一般步骤： 分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 二．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题. 三．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决. 典例剖析 题型一距离问题 例1.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲
船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解：如图，连结，由已知， 又，是等边三角形， 由已知，，， 在中，由余弦定理，．． 因此，乙船的速度的大小为．答：乙船每小时航行海里．题型二高度问题 例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30，至点c处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。 解法一：由已知可得在AcD中， Ac=Bc=30，AD=Dc=10，ADc=180-4， =。sin4=2sin2cos2 cos2=,得2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15 答：所求角为15，建筑物高度为15 解法二：设DE=x，AE=h 在RtAcE中,+h=30在RtADE中,x+h= 两式相减，得x=5,h=15在RtAcE中,tan2== =30,=15
正弦定理、余弦定理综合应用 例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1 sin 2 B = ， 由ABC △为锐角三角形得π6B = ． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336 A πππ <+<， 所以1sin 23A π??+< ???． 3A π??<+< ?? ? 所以，cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?，． 例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数． 解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=， 两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1 3 BC AC =g ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g ， 所以60C =o ． 例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ， 且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o ，c =3b.求a c 的值； 解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若() C a A c b cos cos 3=-， 则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==且 75A ∠=o ，则b = 【解析】0000000 sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=
正余弦定理的应用 1、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 2、【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若 45BDC ∠=?，则BD =___________，cos ABD ∠=___________． 3、【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b ，cos B =2 3 ，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2 B π +的值． 4、【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥 AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线 段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径． 已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长； （2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 5、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求B ； （2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．
天津职业技术师范大学 人教A版数学必修5 1.2正弦定理余弦定理 的应用举例 理学院 数学0701 田承恩
一、教材分析 本课是人教A版数学必修5 第一章解三角形中1.2的应用举例中测量长度问题。因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。同学们在学习时可以考虑，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件？要注意的是在某种特殊的实际问题下哪些条件可以测量，哪些不能。这节课我们就跟同学们共同研究这个问题。 (一)重点 1.正弦定理、余弦定理各自的公式记忆。 2.解斜三角形问题的实际应用以及全章知识点的总结归纳。 (二)难点 1.根据已知条件如何找出最简单的解题方法。 2.用应用数学的思想解决实际问题。 (三)关键 让学生灵活运用所学正弦定理、余弦定理。并具备解决一些基本实际问题的能力。 二、学情分析 学生已经学习了高中数学大部分内容，已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力；作为高中高年级学生，也已经具有了必要的生活经验。因此，可以通过生活中的例子引入如何用正弦定理、余弦定理解决实际问题。让学生自然而然地接受一些固定解法，这样，学生既学习了知识又培养了能力。 三、学习目标 (一)知识与技能 1.熟练掌握正弦定理、余弦定理的公式 2.掌握应用正弦定理、余弦定理解题的基本分析方法和步骤 (二)过程与方法 1.通过应用举例的教学，培养学生的推理能力，优化学生的思维品
质 2.通过教学中的不断设问，引导学生经历探索、解决问题的过程 (三)情感、态度与价值观 让同学找到学习数学的乐趣，让同学们感受到数学在现实中应用的广泛性。 四、教学手段 计算机，ppt，黑板板书。 五、教学过程（设计）
第一章 解三角形 1.2 正余弦定理应用举例 一、教学目标 1.核心素养 通过学习正余弦定理应用举例,初步形成基本的数学抽象、逻辑推理与运算能力. 2.学习目标 应用正余弦定理解决三角形相应问题、解决实际问题. 3.学习重点 综合运用正余弦定理解三角形问题和实际问题. 4.学习难点 正余弦定理与三角函数知识的综合运用. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务 阅读教材P11－P16. 思考:正余弦定理的内容是什么?利用正余弦定理求解实际问题的基本步骤是什么?题中为什么要给出这些已知条件,而不是其他条件? 2.预习自测 1.在△ABC 中,若∠A ＝60°,∠B ＝45°,BC ＝32,则AC ＝( ) A.4 3 B.2 3 C. 3 D.32 答案:B. 2.已知ABC ?中,a 、b 、c 分别为A,B,C 的对边, 30,34,4=∠==A b a ,则B ∠等于（ ）
A. 30 B. 150 30或 C. 60 D. 60或 120 答案:D. 3.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点测出AC的距离为50m,∠45 CAB=?后,就可以计算出A、B两点 ACB=?,∠105 的距离为( ) A. B. C. m D. 2 答案:A. （二）课堂设计 1.知识回顾 （1）正弦定理和余弦定理
（2）在ABC ?中,已知a 、b 和角A 时,角的情况如下: 2.问题探究 问题探究一 正弦定理与余弦定理 ●活动一 回顾正弦定理 任意三角形中,都有 sin a A ＝sin b B ＝sin c C . ●活动二 回顾正弦定理能解决的问题类型 一般地,我们把三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题? （1）已知三角形的两个角（也就知道了第三个角）与一边,求解三角形; （2）已知三角形的任意两边和其中一边的对角,求解三角形. ●活动三 余弦定理及其所能求解的问题类型 利用余弦定理可以求解如下两类解三角形的问题: （1）已知三边,求三个角; （2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 问题探究二 掌握以下几个常用概念 坡度:坡度---沿坡向上的方向与水平方向的夹角. 仰角:视线方向向上时与水平线的夹角.(反之为俯角). 方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角.
1.2正弦定理余弦定理的应用举例 教材分析 本课是人教A版数学必修5 第一章解三角形中1.2的应用举例中测量长度问题。因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。同学们在学习时可以考虑，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件？要注意的是在某种特殊的实际问题下哪些条件可以测量，哪些不能。这节课我们就跟同学们共同研究这个问题。 (一)重点 1.正弦定理、余弦定理各自的公式记忆。 2.解斜三角形问题的实际应用以及全章知识点的总结归纳。 (二)难点 1.根据已知条件如何找出最简单的解题方法。 2.用应用数学的思想解决实际问题。 (三)关键 让学生灵活运用所学正弦定理、余弦定理。并具备解决一些基本实际问题的能力。 二、学情分析 学生已经学习了高中数学大部分内容，已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力；作为高中高年级学生，也已经具有了必要的生活经验。因此，可以通过生活中的例子引入如何用正弦定理、余弦定理解决实际问题。让学生自然而然地接受一些固定解法，这样，学生既学习了知识又培养了能力。 三、学习目标 (一)知识与技能 1.熟练掌握正弦定理、余弦定理的公式 2.掌握应用正弦定理、余弦定理解题的基本分析方法和步骤
(二)过程与方法 1.通过应用举例的教学，培养学生的推理能力，优化学生的思维 品质 2.通过教学中的不断设问，引导学生经历探索、解决问题的过程 (三)情感、态度与价值观 让同学找到学习数学的乐趣，让同学们感受到数学在现实中应用的广泛性。 四、教学手段 计算机，ppt，黑板板书。 五、教学过程（设计）
人教版必修五《1.2应用举例》教学设计 一、教材分析 本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。 二、教学目标设置 根据本节课的教学内容以及学生的认知水平，确定了本节课的教学目标： 知识与技能：①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义 ②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系， 过程与方法：①采用启发与尝试的方法，让学生在解决实际问题中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。 ②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用 情感、态度、价值观：①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值 ②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 三、学生学情分析 本节课的教学对象是云南师范大学实验中学高二年级的学生． 1.已有的能力：学生已经学习了正弦定理和余弦定理，能够运用解决一些三角形问题，具有了一定的基础。 2.存在的问题：学生在运用正弦定理和余弦定理解三角形的时候不能将实际问题转化成数学问题的问题，构造模型的能力有待提高。 难点： 1．实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 2. 根据题意建立数学模型，画出示意图 突破策略：
正余弦定理综合 1.（2014天津）在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知1 4 b c a -= ，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______. 2.（2014广东）.在ABC ?中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知 b B c C b 2cos cos =+，则 =b a . 3.已知ABC ?的内角 21)sin()sin(2sin ,+ --=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积 满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ） A.8)(>+c b bc B.)(c a ac + C.126≤≤abc D. 1224abc ≤≤ 4. （2014江苏）若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值 是 。 5.（2014新课标二）钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( ) A. 5 B. 5 C. 2 D. 1 6、（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训 练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线 移动，此人为了准 确瞄准目标点 ，需计算由点 观察点 的仰角 的大小.若 则 的最大值 。（仰角为直线AP 与平面ABC 所成角） 7．(2011·天津)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD, 2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为 ( ) A.33 B.36 C.63 D.66 8.（2014浙江）本题满分14分）在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,3a b c ≠=，22cos -cos 3sin cos -3sin cos .A B A A B B = （I ）求角C 的大小；（II ）若4 sin 5 A = ，求ABC ?的面积.
正、余弦定理在实际生活中的应用 正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题.求解此类问题的大概步骤为：（1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等；（2）根据题意画出图形；（3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答. 1.测量中正、余弦定理的应用 例1 某观测站C 在目标南偏西25?方向，从出发有一条南偏东35?走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的处有一人正沿此公路向走去，走20千米到达，此时测得CD 距离为21千米，求此人所在处距还有多少千米？ 分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解CBD ?，求角.再解ABC ?，求出AC ，再求出AB ，从而求出AD （即为所求）. 解：由图知，60CAD ∠=?. 22222231202123cos 22312031BD BC CD B BC BD +-+-=== ???， sin B = . 在ABC ?中，sin 24sin BC B AC A ?= =. 由余弦定理，得2222cos BC AC AB AC AB A =+-??. 即2223124224cos 60AB AB =+-????. 整理，得2243850AB AB --=，解得35AB =或11AB =-（舍）. 故15AD AB BD =-=（千米）. 答：此人所在处距还有15千米. 评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理. 2.航海中正、余弦定理的应用 A C D 31 21 B 20 20 35? 25? 东 北
解三角形教学设计 四川泸县二中吴超 教学目标 1.知识与技能 掌握正、余弦定理，能运用正、余弦定理解三角形，并能够解决与实际问题有关的问题。 2.过程与方法 通过小组讨论，学生展示，熟悉正、余弦定理的应用。 3.情感态度价值观 培养转化与化归的数学思想。 教学重、难点 重点：正、余弦定理的应用 难点: 正、余弦定理的实际问题应用 拟解决的主要问题 这部分的核心内容就是正余弦定理的应用。重点突出三类问题： （1）是围绕利用正、余弦定理解三角形展开的简单应用 （2）是三角函数、三角恒等变换等和解三角形的综合应用 （3）是围绕解三角形在实际问题中的应用展开 教学流程
教学过程 一、知识方法整合 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 = = = 2、三角形面积公式：C S ?AB = = = 3、余弦定理：C ?AB 中2a = 2b = 2c = 4、航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语 5、思想与能力：代数运算能力，分类整合，方程思想、化归与转化思想等 二、典例探究 例1 [2012·四川卷]（小组讨论，熟悉定理公式的应用） 如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE=1，连接EC 、ED 则sin∠CED=_______（尝试多法） 解3：等面积法 解4：观察角的关系，两角和正切公式 解5：向量数量积定义 练1：在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.? ????0，π6 B.??????π6，π C.? ????0，π3 D.???? ??π3，π 解1：由正弦定理a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知bc ≤b 2＋c 2－a 2=2bc cos A ，即 152 CDE CD EC ED =?==1Q 解：中，，，222310210EC ED CD EC ED +-∠?∴=cos CED 101102-∴∠∠sin CED cos CED 0215135CD EC EDC ==∠=Q 解：，， sin sin CD EC CED EDC =∠∴∠ sin 10 10CD EDC EC ?∠∴∠=sin CED
正余弦定理综合 1.（2014天津）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知14b c a ，2sin 3sin B C ，则cos A 的值为_______. 2.（2014广东）.在ABC ?中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=b a . 3.已知ABC ?的内角21 )sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面 积满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ） A.8)(>+c b bc B.)(c a ac + C.126≤≤abc D. 1224abc ≤≤ 4. （2014江苏）若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+ ,则C cos 的最小值是 。 5.（2014新课标二）钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB=1，BC=2 ，则AC=( ) A. 5 B. 5 C. 2 D. 1 6、（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面 的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为 ，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点 观察点的仰角的大小.若则的最大值 。（仰角为直线AP 与平面ABC 所成角） 7． (2011·天津)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD, 2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为 ( ) A.33 B.36 C.63 D.66 8.（2014浙江）本题满分14分）在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .
1) 在三角形ABC中，已知a^2-a=2(b+c),a+2b=2c-3，求三角形ABC的最大角的弧度数 思路：先证c＞a,c＞b,说明求角C即可 依题意可得c=(a^2+3)/4,b=(a^2-2a-3)/4 再由余弦定理得cosC=（a^2+b^2-c^2)/(2ab),将b、c代入后化简可得cosC =-1/2，即得角C=120度 2) 角ABC的三边为a.b.c,并适合 a^4+b^4+c^4=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2,试问此三角形为种特殊三角形。 原式2a^4+2b^4+2c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2 (同时乘以2) 2a^4+2b^4+2c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2=0 (移项) (a^4-2a^2b^2+b^4)+(a^4-2a^2c^2+c^4)+(b^4-2b^2c^2+c^4)=0 (分组) (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(a^2-c^2)^2=0 因为一个数的平方为非负数 所以a^2-b^2=0 b^2-c^2=0 c^2-a^2=0 即a-b=0 b-c=0 c-a=0 所以此三角形为等边三角形 3）在三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且 3sin^2B+3sin^2C-2sinBsinC=3sin^2A,a 因为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（正弦定理） 所以3Sin^2B+3Sin^2C-2SinBSinc=3Sin^2A==>3b^2+3c^2-2bc=3a^2 又因为（b^2+c^2-a^2）/2bc=cosA（余弦定理） 所以3b^2+3c^2-2bc=3a^2==>3（b^2+c^2-a^2）/2bc=2bc/2bc=1==>cosA=1/3 向量AB·向量AC=bc*cosA=(1/3)bc cosA=1/3=(b^2+c^2-3)/2bc==>b^2+c^2=(2bc+9)/3 又因为b^2+c^2>=2bc（基本不等式） 所以b^2+c^2=(2bc+9)/3>=2bc。解得bc<=9/4
正余弦定理的应用 1、【优质试题年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 2、【优质试题年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =， 点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=?，则BD =___________， cos ABD ∠=___________． 3、【优质试题年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b cos B =2 3 ，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 4、【优质试题年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．
（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长； （2）在规划要求下， P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 5、【优质试题年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求 B ； （2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围． 6、【优质试题年高考北京卷文数】在△ABC 中， a =3，–2 b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 7、【优质试题年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别