七年级上
第一章 从自然数到有理数
知识点：
1.自然数：注意（1）0是最小的自然数，它表示没有，不要遗漏。（2）表示不同作用的数有不同的性质，表示计数和测量的数可以进行数的运算，而表示标号或排序的数有时有指代作用，即对事物起区别作用，一般不能进行计算，这也是区别数的表示作用的重要性。剖析用于计数和测量的数往往与量词相连，而用于标号和排序的数往往与顺序有关，在阅读是应特别注意体会这一点。
例：世界上最长的跨海大桥——杭州湾大桥于2003年6月8日奠基，这座设计日通车量为8万辆，全长36千米的6车道公路斜拉桥，是中国大陆的第一座跨海大桥，计划在5年后建成通车。 你在这段文字中看到了哪些数？它们都属于哪一类数？ ?属于计数如8万辆、5年后、6车道 ?表示测量结果如全长36千米
?表示标号和排序如2003年6月8日、第一座等
下列语句中用到的数，哪些属于计数？哪些表示测量结果？哪些属于标号和排序？ （1）2002年全国共有高等学校2003所。 （标号和排序 计数） （2）小明哥哥乘1425次列车从北京到天津，然后乘15路公交车到了小明家。（标号和排序 标号和排序） （3）香港特别行政区的中国银行大厦高368米，地上70层，至1993年为止是世界上第5高楼。 （测量结果，计数，标号和排序，标号和排序）
一、有理数的概念：1）正整数、零和负整数统称为整数；
2）正分数、负分数统称为分数；
3）整数和分数统称为有理数。（0既不是正数，也不是负数）
随堂测试一：
1、把下列各数分别填在表示它所属的括号里：
-5.3 ,+31 ,43
,0 , -7 ,13
12
,2005 , -1.39. (1)正有理数：{ ……} (2)负有理数：{ ……} (3)整数：{ ……} (4)分数：{ ……} （5）非负有理数：{ ……} 2、请你任意写出一个自然数 ；一个负分数 ．
二、1、数轴的概念：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。
2、相反数的概念：若两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也
称这两个数互为相反数。 注意：零的相反数是零。
随堂测试二：
1、点A ，B ，C ，D ，E 在数轴上的位置如图所示，请你把各点所表示的数填入相应的括号内．
A 、（ ）
B 、（ ）
C 、（ ）
D 、（ ）
E 、（ ） 2、画一条数轴，在数轴上表示—2，3，-4.5以及它们的相反数。 3、如果一个数与它的相反数相等，那么这个数是 。
4、数轴上表示一个数的点在“-2.5”的右边，并且距离“-2.5”4个单位长度，求这个数。
三、1、绝对值的概念：我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。 （例如：数轴上表示-5的点到原点的距离是5，所以-5的绝对值是5。记作丨-5丨=5 。）
2、一般地，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零；互为相反数的两个数的绝对值相等。
随堂测试三：
1、如果说一个数与它的绝对值相等，那么这个数是 ．
2、任何数的绝对值都是（ ）
A 正数
B 负数
C 非负数
D 非正数 3、绝对值小于2的整数有________。绝对值不大于3的负整数有__________。
4、、大于3.142的负整数有 个；小于2.9的正整数有 个；大于－9.5的负整数有 个.
5、(1)若︱a ︱＝3,则a ＝_____
（2）某同学学习编程以后，编了一个关于绝对值的程序，当输入一个数值后，屏幕输出的结果总比该数的绝对值小1，某同学输入-7后，把输出的结果再次输入，则最后屏幕输出的结果是多少？
6、计算：（1）58++- （2）74149-- （3）621+?- （4）2
135101-÷-?- 1,A B C D a
a a =（3）若
则为( )
是正数或负数 是正数
是任意有理数 是正整数
四、一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。
例题：1.在数轴上表示下列各对数，并比较它们的大小:
（1）2和7； （2）-6和-1； （3）-6和-36； （4）-0.5和-1.5
2.求上述各对数的绝对值，比比较大小，问上面各对数的大小与它们的绝对值的大小有什么关系？
结论：两个正数比较大小，绝对值达的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。
随堂测试四：
1、比较下列各组数的大小：
（1）-4与+3 （2）0与-2.4 （3）-0.3与-31 （4）43-与3
2
2、在数轴上,表示―5，，―31
2，0，0.125，―(351)，355113113355，6
5-的点中，在原点右边的点有（ ）
(A) 4个； (B)3个； (C)2个； (D)1个 3、大于-3.5且小于2的整数是 。
4、画一条数轴，在数轴上表示1，-2.5，-4以及它们的相反数，并比较这些数的大小，按从小到大的顺序用“<”
边接起来．
第一单元检测练习
一、精心选一选
1. 如果高出海平面20米，记作+20米，那么-30米表示 ( ) (A)不足30米; (B)低于海平面30米; (C)高出海平面30米; (D)低于海平面20米
2.仔细思考以下各对量：
①胜二局与负三局； ②气温上升30
C 与气温下降30
C ； ③盈利5万元与支出5万元； ④增加10%与减少20%。其中具有相反意义的量有 ( ) ﹙A)1 对 ﹙B ﹚2 对 (C)3 对 (D)4对
3.下列说法错误的是 （ ） （A ）整数和分数统称有理数； （B ）正分数和负分数统称分数； （C ）正数和负数统称有理数； （D ）正整数、负整数和零统称整数。
4.零是：A.最小的有理数 B.最小的正整数 C.最小的自然数 D.最小的整数 （ ）
5.下列数轴的画法中，正确的是 （ ）
A
-1
B C
D
6.下列各对数中，互为相反数的是 （ ） （A ）21-
和0.2 （B ）32和23 （C ）—1.75和4
3
1 （D ）2-和
2 7.大于—2.6而小于3的整数共有 （ ） A. 7个 B. 5个 C. 6个 D. 4个
8.下列说法正确的是
A.若两数的绝对值相等，则这两数必相等
B.若两数不相等，则这两数的绝对值一定不相等
C.若两数相等，则这两数的绝对值相等
D.两数比较大小，绝对值大的数大
9.冬季三个城市的最高气温分别是-10°C ，1°C ，-7°C ，把它们从高到低排列是（ ） A 、-10°C ， -7°C ，1°C B 、-7°C ， -10°C ，1°C C 、1°C ， -7°C ， -10°C D 、1°C ，-10°C ，-7°C
10.一个数的相反数是最大的负整数，则这个数是 （ ） （A ）—1 （B ）1 （C ）0 （D ）±1
11.数轴上到数—2所表示的点的距离为4的点所表示的数是 （ ） （A ）—6 （B ）6 （C ）2 （D ）—6或2
12.一个数的绝对值等于这个数本身，这个数是 （ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）非正数 （D ）非负数
13.若上升15米记作+15米，则－8米表示 ______ 14.写出一个负分数： 。
15.一艘潜艇正在水下–50米处执行任务，距它正上方30米处有一条鲨鱼正好游过，这条鲨鱼所处位置的高度为________.
16.规定了__________、____________、_____________的直线叫数轴. 17.用“<”号或“>”号填空： －9 －11。
18.抽查四个零件的长度，超过为正，不足为负：（1）－0.3；（2）－0.2；（3）0.4；（4）0.05．则其中误差最大 的是 。（填序号）
19.一个点从数轴上的原点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动8个单位长度到达P 点，那么P 点所表示的数是_________.
20. 比—2.99小的最大整数是__________
21.绝对值大于3而不大于6的整数分别是 ________________________ 。 22.在数轴上,绝对值小于3并且离—2两个单位长度的点所表示的数是_____________.
三、认真做一做
23.12325.0-?++- 24. 2
135101-÷-?-
25.把下列各数的序号填在相应的数集内：
①1 ②-
35 ③+3.2 ④0 ⑤13 ? ⑥-5 ⑦+108 ⑧-6.5 ⑨-64
7
. （1）正整数集{ …}
（2）正分数集{ …} （3）负分数集{ …}
（4）有理数集{ …} 26．将下列各数在数轴上表示出来． －4.5， 5， 0， －3， 2
1
1， －1。
（单位：千米）如下：
+15， -2， +5， -1， +10， -3， -2， +12， +4， -5， +6． （1）将最后一名乘客送到目的地时，小李一共行了多少千米？
（2）若汽车耗油量为0．2升/千米，这天下午小李共耗油多少升？
努力试一试
1.式子5－1-x 能取得的最大值是 ，这时x = 。
2.观察下面一列数，探求其规律： 1
11111,,,,,,23456
---
(1)请问第7个，第8个，第9个数分别是 ， ， ，
(2)第2012个数是 ？如果这列数无限排列下去，与哪个数 越来越接近？ 3. 如图，图中数轴的单位长度为1。请回答下列问题：
①如果点A 、B 表示的数是互为相反数，那么点C 表示的数是____________.
②如果点E 、B 表示的数是互为相反数，那么点D 表示的数是___________，图中表示的5个点中，点________表示的数的绝对值最小，是___________.
1．用正负数表示相反意义的量 2．正数和负数
像+
2
1
，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 像-5，-2.8，-4
3
等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。
【注】0既不是正数也不是负数。
+15表示加15分，那么扣20分表示 。
30m 记做 ，向西行驶20m 记做 ，原地不动记做 ，—5m 表示向 行驶5m ，+16m 表示向 行驶16m.。
1）收入—2000元，表示 。
（2）如果下降8米记为—8米，那么上升15米记为 。 3．有理数
（1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。
分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类
1）按有理数的定义分类 2）按正负分类
正整数 正整数 整数 0 正有理数
有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数
分数 负有理数
负分数 负分数
把%10,43,031.0,210,7,5
42,1312,9.6,0,3.6,5,21-----+-
填在相应的括号内。 正有理数集合：{}??? 整数集合：
{}??? 非负数集合：
{
}??? 负分数集合：{
}???
19,9
4,172,89,
01.0,43.7,
234,444.2---
7
6
%,
5,260,2001,0,120.1,100020,- ,31
-?-??，负数有 个，正数有 个，整数有 个，正分数有 个，非负整数有 个。 ：下列说法正确的是 。
（1）一个数，如果不是正数，必定就是负数 （2）正有理数是正整数和正分数的统称。
（3）一个有理数不是分数就是正数。 （4）整数不是奇数就是偶数。 （5）0是最小的有理数。
（ ）
A 3.1415926 不是分数
B 正整数和负整数统称为整数。 奇数是正数 D 有理数包括整数和分数
（1）3，—3，3，—3，3，—3， ， ，……
（2）,7
1
,51
,31,1-
- ， ， ，…… 第199个数分别是 。
1）1，—3,5，—7,9，—11， ， ，…… （2）,5
4,43,32
,21,1-- ， ，…… 第100个数分别是 。 4．数轴
（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
0,2
13,
5.1,
3,2--
A,B,C,D,E 各点表示的数
（2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数．
4而不大于2的所有的整数，并在数轴上表示出来。
（1）若数轴上的点A 向右移动2个单位长度后，又向左移动1个单位长度，此时正好对应—8这个点，那么原来A 点对应的数是 。
（2）数轴上与原点距离小于4个单位长度的整数点有 个，分别是 。
（3）在数轴上，把表示3的点沿着数轴向负方向移动5个单位，则与此位置相对应的数是 。
下列结论正确的有（ ）个： ① 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴 ② 最小的整数是0 ③ 正数，负数和零统称有理数 ④ 数轴上的点都表示有理数
A.0
B.1
C.2
D.3
（3）在数轴上比较有理数的大小
1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
在数轴上画出下列各点，它们分别表示：+3， 0， －３14， 11
2
， －３，－1.25并把它们用“＜”连接起来。
（1）下列说法错误的是（ ）
A.没有最大的正数，却有最大的负数
B.数轴上离原点越远，表示数越大
C.0大于一切非负数
D.在原点左边离原点越远，数就越小 （2）写出两个比—2大的负有理数 。
根据有理数a,b,c 在数轴上的位置，比较a,b,c,0的大小。
5．相反数
（1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 （代数意义）
（2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义） （3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。
7的相反是 。
（1）3
12-的相反数是 。 （2）下列说法正确的是( )
A 一个数比它的相反数小，那么这个数是正数。
B 符号相反的两个数互为相反数。
C 互为相反数的两个数可能相等。
D 一个数的相反数不可能大于它本身。 写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出来。
4,0,2
1
2,5.0,
3--
（5）相反数的求法：数a 的相反数是—a 。
1）0.1与a 互为相反数，那么a= 。 （2
）a-1的相反数是 。 （1）若-x 的相反数是-7.5，则x= 。
（2）如果m 的相反数是最大的负整数，n 的相反数是-2，那么m+n= 。 a-1的相反数是-2，则a= 。
（6）多重符号化简
多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“
－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。
（-3.5）= -（+8）
= （+5）的相反数是 。
3
2
-
的相反数与a 的相反数相等，则a= 。
（1）在数轴上表示数a 的点离开原点的距离，叫做数a 的绝对值。
（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．
??
?
??<-=>=0,0,00,a a a a a a
|-8|=
数轴上表示-2.5的点到原点的距离 。 1）若|a|=2，则a= 。 （2）|-2
1
3
|的相反数是 。 （
3）到原点5个单位长度的点是 。
4）若|m|=-m,则m 是 。若|m|=m,则m 是 。
2,2.4
,0.51--
（3）绝对值的主要性质
一个数的绝对值是一个非负数，即a≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零． （4）两个相反数的绝对值相等． |x+2|=0,则x= （1）若|x+2|+|y-3|=0，则x= ,y= . （2）若|a|=4,|b|=3,且a 试求 a 、b 的值。 （3）下列说法正确的是 ① 任何一个有理数的绝对值一定是大于0的。 ②一个有理数的绝对值不小于它自身。 ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等。 ④绝对值等于本身的数是非负数。 ⑤绝对值最小的有理数不存在。 ⑥任何数的绝对值都不小于原数。 （4）|x+5|的最小值是 。 （1）写出绝对值不大于3的所有整数 （2） 若|x|=|-4|，则 x= . (5)有理数大小比较原则 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 两个负数，绝对值大的反而小.。 1）比较大小0 -0.001 -5 -|-4| （2）因为|-32-，所以，31- 3 2 - （1）实数a,b 在数轴上的位置如图所示，是比较a,-a,b,-b 的大小关系。 （2）比较大小 ①8 7 - 和98- ②-|-3|和31- （3）大于-3且不大于5的整数有 个，其中奇数有 个。 （1）将有理数0，-3.14, 2.7， -4， 0.15 按从小到大的顺序排列起来，并用“>”连接。 （2）若x (1)有理数加法法则 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3）互为相反数的两个数相加得零。 ）一个数与0相加，仍得这个数。 （-4）+（-7）= =+ -83)3 2( -9.5+0= =+ ?? ? ??-2518 54 （1）下列说法正确的是 ①若两个数的和为正数，则这两个数都是正数。 ②两个有理数相加，和一定大于每一个加数。 ③两个有理数的和可能为0。 ④两个有理数的和可能等于其中一个加数。 ⑤若a 与-2互为相反数，则a+(-2)=0。 （2）如果|x|=2,|y|=3, 则①x,y 同号，x+y= ②x,y 异号， x+y= （1）计算 （+6.5）+（-4.1）= （-2.1）+（-3.9）= m+0= m+（-m ）= （2）用算式表示： ①温度-10C o 上升了3C o 达到 ②0.25的相反数与-0.75的绝对值的和。 ③绝对值不大于-4.3的所有整数的和。 （2）有理数加法的运算律 加法交换律：a ＋ b ＝b ＋a (a+b)+c=a+(b+c) （1） 计算 3 1)32(987)1.10()41 (211.475 .18)25.3(25.6)75.18() 18(17)12(13+-+-+-+-++ +-++--++-+ 问：①该校共买进面粉多少千克？ ②平均每袋面粉重多少？ ③平均每袋面粉比标准量多还是少？ （1）计算： ()()()()()2006 20056543218 175.0125.47512)432(-++???+-++-++-+++-+??? ??+- （2）出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程如下（单位：千米）：+15，-3，+14，-11，+10，-12，+4，-15，+16，-18。①将最后一名乘客从到目的地时，小李距最初的出发点多少千米？②若汽车的耗油量为a 升每千米，那么这天下午小李的车共耗油多 少升？ （1）如果a,b 互为相反数，则a+2a+3a+…+99a+100a+b+2b+…+99b+100b= 。 （2）（-1）+3+（-5）+7+…+95+（-97）+99= 。 8. 有理数的减法 a-b=a+(-b) (1)计算：3-（-5） （-5）-|-5| 小4的数是 。 （1）室内温度是16C o ，室外温度是-7C o ，室内温度比室外温度高 。 （2）下列说法正确的是 。 ①在有理数的减法中，被减数不一定比减数或差大。 ②两个相反数想减得零。 ③零减去一个数，仍得这个数。 ④负数减去正数，差为负数。 ⑤较小的数减去较大的数，所得的差一定为负。 （3）①A 、B 两点间的距离是多少？ ② A 、C 两点间的距离是多少？ ③探究两点间的距离与表示这两点的数有什么关系？ （1）计算： 0-（-5）-（-12）-（+9） ?? ? ??+-??? ??--??? ??--??? ??- -614131210 （2 例如：把-8+（+10）+（-6）+（-4）写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。 读作“负8，正10，负6，负4的和”也可读作“负8加10减6减4。 （1）把-2-（+3）-(-5)+(-4)+(+3)写成省略括号的形式 。 （2）把-5-3+4-7按“和”的意义读作 。按“运算”意义读作 。 （1）-7，-12，+2的代数和比他们的绝对值的和小 。 （2）已知a= -1,b=2,c= -3,d=4，求 a-b-c+d （3）计算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+2005+2006-2007-2008 （1）计算： 2004-（2008+|2004-2008|） （2） 用算式表示 ①-6的相反数比10的相反数小2的数的和。 ②-0.3的绝对值的相反数与3.5的相反数的差。 10．有理数的乘法 （1）有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。 （1）计算： ()= ??? ??-???? ? ? -=??? ? ??-= ?=-?-522186311900020091 （2）如果|a|=2,|b|=3,且ab<0,求3a+2b 的值。 （1）下列说法正确的是 。 ①一个数与1的积等于它本身。 ②一个数与-1的积是它的相反数。 ③如果ab=0，则一定有a=b=0。 ④一个有理数和它相反数的积一定为负。⑤积比每个因数都大。 （2）如果|x|=0.99,|y|=0.09,且xy>0，则x+y= 。 （3）在-2,3，-4,5中任取两个数相乘，所得的积最大是 。 2+2=232。其实这样的数有很多，如： ()()12 1 12-?=-+，请再写出三组这样的式子。 （2 ）几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个数为奇数时，积为负；当负号的个数为偶数时，积为正。 =??? ??-???? ??-???? ? ? -643211917 -9）31030= （2）如果三个数的积为负数，则这几个数中有 个负因数。 （3）乘法运算律 乘法交换律： ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) a(b+c)=ab+ac （1）（-7）3（-2）+（-12）3（-7）-（-3）3（-7）= （2）()=-??? ? ??-+- 361276195 （1）在23（-6）35=-63（235）中运用了（ ） A 乘法交换律 B 乘法结合律 C 乘法结合律和乘法交换律 D 乘法分配律 （2）用简便方法计算： ①()619 8 9 -? ②()=?-??? ? ? -?-??? ??-?-%25.5282175.2041421 ③=?-???-?-?-- 20 191 43132121 （1）若a,b 异号，那么|1-ab|= 。 （2）=?? ? ??-?????? ??-??? ??-??? ??-??? ??- 911511411311211 11．有理数的除法 （1）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。 0没有倒数。 求下列各数的倒数。 8，0.5，1,1,8 3,312- （1）若一个数的倒数等于它本身，则这个数是 。 （2）下列说法正确的是 。 ①只有1的倒数等于它的本身。 ②－3.5的倒数是3.5。 ③零没有倒数。 ④0.1的倒数是10。 ⑤任何一个有理数a 的倒数都等于 a 1 。 ⑥两个数的积等于1，这两个数互为倒数。 （2）有理数除法法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 【注】0不能做除数。 )0(1 a ≠? =÷b b a b （3）有理数的除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 零除以任何一个不等于的数，都得零。 （1）计算：（-32）÷（-8）= =?? ? ??-÷731321 ()=??? ??- ?-÷32327 ??? ??-÷??? ??-÷??? ? ? -211651742 （2）当x= 时，5 5 +x 没有意义。 （1）已知：a,b 互为倒数，c,d 互为相反数，x 的绝对值是2，求()ab d c ab x d c x 2222 +- + +-的值。 （2）当x= 时， 3 3+-x x 的值为0。 （3）某人到保险公司办理火灾保险，保险金为其房屋价值的 3 2 ，按规定，每元保险金里交付1分5厘（即保险费率为1.5%）已知这人一年应交付保险费184元，问：其房屋的价值是多少元？ 1）计算： ?? ? ??-+÷? ? ? ??-÷-??? ??-÷-216132********* （2）体育课上，全班男同学进行百米测验，达标成绩为15秒，下面是第一组8名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于15秒。-0.8.，+1.0，-1.2，-0.7，+0.5，-0.5，+0.1。①这个小组的男生达标率是多少？②这个小组的平均成绩是多少秒？ 12．有理数的乘方 （1）求几个相同因数积的运算，叫做乘方。 =???????a a a a n a n 个 （2）乘方的结果叫做幂，a 叫做底数， n 叫做指数。 （1）在()4 3-中，指数是 ，底数是 ，幂是 。 在－4 3中，指数是 ，底数是 ，幂是 。 （2）把下列各式写成幂的形式 （-6）（-6）（-6）（-6）= －3233233 2 = （1）5 2- 表示（ ） A 5个-2相乘 B 5个2相乘的相反数 C 2个-5相乘 D 2个5相乘的相反数 22??22? ?2 2 （3）有理数乘方法则： 正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何非0次幂都是零。 （1）计算： () =-=?? ? ??--=??? ??-=-23 34 3211324 （2）()()=-=-+1 2211n n （ n 为正整数） （1）|x+5|+(y-2)2 =0,那么x= ,y= ,=y x (2)2003 3 的末位数字是 。 （3）一根绳子，第一次减去一半，第二次减去剩下的一半，如果剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为 。 （4）222120 753 ??的个位数字是 。 （1）若x ，y 为有理数，下列各式成立的是（ ） ()()()()() 3 3 3 3 44 33 x -D y -x B .A x x y C x x x x -=-=-=-=- (2)拉面师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，在捏合，再拉，反复几次，就把很粗的面条拉成了许 多根很细的面条，这样捏合到第 次后拉出128根面条。 13．科学记数法 （1）一般的，10的n 次幂，在1的后面有n 的0。 （2）一个大于0的数就记成n a 10?的形式。其中,101<≤a n 是正整数。像这样的记数法叫做科学记数法。 10的指数等于原数的整数位数减1。（或等于小数点向右移动的位数。 （1）把下列各数用科学记数法表示 ①300000= ②40800000= ③4879.5= ④-369000000= （2）下面是用科学记数法表示的数，则原来的数是什么？ 5 4 5310 000002.5)4(1039.1)3(1009.4)2(101.2)1( ??-?? （1）25.8万用科学记数法表示 。 （2）光的传播速度是300000km/s ，太阳照射到地球上大约需要500s ，则太阳岛地球的距离用科学记数法可表示为 。 14．有理数的混合运算 （ 1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。 （2）同级运算，按照从左至右的顺序进行。 （3）如果有括号，就先算小括号里的，§再算中括号里的，然后算大括号里的。 计算：①33131)3(???? ??-÷?- ②3 2 2143655314?? ? ??-+??? ??-?-??? ??-÷- （1）有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，求20092008 a a +的值。 （2）若m,n 互为相反数，则5m+5n-5= 。 3，-5,7，-13这四个数，进行加、减、成、除运算，每个数字用一次，使其结果为24 计算： =++???++++10 111098081807990919089 15．近似数和有效数字 （1）准确数：完全符合实际的数。 （2）近似数：和准确数非常接近的数。近似数和准确数接近的程度叫做精确度。 （3）一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。 1）精确到哪一位，2）保留几个有效数字。 （1）按要求对下列各题去近似值 ①0.005308 （保留三个有效数字） ②0.49996 （精确到0.001） ③120000 （保留2个有效数字） ④4 1096.92? （保留3个有效数字） ⑤738600000（精确到百万位） ⑥5 10549.13? （精确到百位） ⑦78.98万（精确到万位） （2）下列各数均为近似数，分别精确到哪一位，有几个有效数字。 ①0.0280 ②4.8764 10? ③550 ④0.028 ⑤30万 ⑥48760 (3) 近似数2.30表示的精确度α的范围是（ ） A 2.295≤α<2.305 B 2.25≤α<2.35 C 2.295<α≤2.305 D2.25<α≤2.35 本章的知识网络结构： 知识梳理 一．数的开方主要知识点： 【1】平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2 ≥=a a x 时，我们 称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此： 当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身； 当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。 2、 () =2 a (0≥a 3、 例1. （1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。 （3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。 （5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ （6）已知348.754=，若7348.0=x ，则x = ?? ???==___2 a （1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2 ，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”， 读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 （2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。 （3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。 因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ± 。 例2. （1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1±； B ．24±=；（ C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- （3）2 )3(-的算术平方根是 。 （4）若x x -+ 有意义，则=+1x ___________。 （5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32 =-+-b a ，求c 的取值范围。 （6）已知：A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根。求A －B 的平方根。 （7）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值. 【立方根】 （1）如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。记做：3a ，读作，3次根号a 。注 意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。 （2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只 有非负数才能有平方根。 （3）33a = 3 3)(a = （1）64的立方根是 （2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000 （3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33 ，③64的立方根是2，④()4832 ±=±。 其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 【无理数】 （1）无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理 数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）开方开不尽的数，如:39,5,2等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π （2） 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数（2） 所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75- 、④π、⑤252.±、⑥3 2 - 、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序号） （2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 A 2 B 3 C 4 D 5 【实数】 （1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0， 最大的负整数是-1。 （2）实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a 1 （a ≠0）；实数a 的绝对值|a|=???<-≥) 0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。 （3）实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数； 正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。 （4）实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有 理数的一致。
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