第四章齐次变换

情 是 成
• 人们感兴趣的是操作机末端执行 器相对于固定参考坐标数的空间
功 几何描述，也就是机器人的运动
的 学问题
关
键 • 机器人的运动学即是研究机器人
n
o
a
i
手臂末端执行器位置和姿态与关
节变量空间之间的关系
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• 丹纳维特（Denavit）和哈顿贝格（Hartenberg）
于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人的
学 来表示。
的
热 情
•
变换可有以下几种形式：
是 成
（1）纯平移变换；
功 的
（2）绕一个轴的纯旋转变换；
关 键
（3）平移与旋转相结合的变换。
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2.5齐次变换矩阵－纯平移
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• 纯平移的变换：一个坐标系在空间以不变的姿态运动。它
的方向单位向量保持同一方向不变。所有的改变只是坐标
耐 系原点相对于参考坐标系的变化。
w＝1的向量表示该坐标系原点相对于参考坐标
键 系的位置。
10
2.4坐标系在固定参考坐标系中的表示
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• 例：如图所示的F坐标系位于参考坐标系中3，
耐 心
5，7的位置，它的n轴与x轴平行，o轴相对于y
与 自
轴的角度为45°，a轴相对于z轴的角度为45°。
学 该坐标系可表示为：
的
热 情 是 成 功 的 关 键
在机器人的运动分析中，总是取w=1 。4
[例]：
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耐 心 与
V 3i 4 j 5k
自
学
的
可以表示为：
热
情
是 成
V=[3 4 5 1]T
功
的
关 键
或 V=[6 8 10 2]T
或 V=[-12 -16 -20 -4]T
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齐次坐标与三维直角坐标的区别
耐
心 与 自
与
为任意非零比例系数
自
学 • [1 0 0 0]T—指向无穷远处的OX轴
的
热 • [0 1 0 0]T—指向无穷远处的OY轴
情
是 • [0 0 1 0]T—指向无穷远处的OZ轴
成
功
的
关
键
7
2.3坐标系在固定参考坐标系原点的表示 机械工程与汽车学院
• 一个中心位于参考坐标系原点的坐标系由三个
耐 心 与
耐 心
运动学问题—D-H方法
与 自
• 具有直观的几何意义
学 的
• 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题
热 • 其数学基础即是齐次变换
情
是
成
功
的
关
键
3
2.2 齐次坐标
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耐
心 与
•
自
一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作
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机器人运动学
耐
心 与
第四章 数学基础—齐次坐标和齐次变换
自
学
的
热
情
是
成
功
的
关
Hale Waihona Puke Baidu
键
1
2.1 引言
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机器人位置和姿态的描述
耐
心 • 机器人可以用一个开环关节链来建模
与 自
• 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
学 的 热
• 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体
•
V点在ΣOXYZ坐标系中表示 是唯一的（x、y、z）
学
的 • 而在齐次坐标中表示可以
z
热 情
是多值的。不同的表示方
是 成
法代表的V点在空间位置
z
V
功 上不变。
的 关
o x
z y
键
x
图2-2
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几个特定意义的齐次坐标：
耐 心
• [0, 0, 0, n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n
到3×3矩阵。这种形式的矩阵称为齐次矩阵：
情
是 成
nx ox ax Px
功 的 关
F ny
oy
ay
Py
键
nz 0
oz 0
az 0
Pz 1
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2.5齐次变换矩阵
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• 变换定义为空间的一个运动，当空间的一
耐 心
个坐标系相对于固定的参考坐标系运动时，
与 自
这一运动可以用类似于表示坐标系的方式
P
n
关 键
n0z
oz 0
az 0
Pz 1
y
x
9
2.4坐标系在固定参考坐标系中的表示
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a z
o
nx ox ax Px
耐 心
F ny
oy
ay
Py
与 自 学 的
nz 0
oz 0
az 0
Pz 1
P
n
y
热 情
x
是 成 功 的 关
• 前的三 三个 个向 单量 位是 向量w＝n0,的o方, a向, 向的量方，向表，示而该第坐四标个系
心
与• 相对于固定参考坐标系的新的坐标系的位置可以用原来坐
自 标系的原点位置向量加上表示位移的向量求得。若用矩阵
学 的
形式，新坐标系的表示可以通过坐标系左乘变换矩阵得到。
热 由于在纯平移中方向向量不变，变换矩阵T可以简单地表
情 示为：
是
成
1
功
T的关
键
Trans(dx
,
d
y
,
d
z
)
0 0 0
0 1 0 0
向位量向表 量示n，, o通,常a这, 三每个个向单量位相向互量垂都直由，它称们为所单在
自 学
参考坐标系中的三个分量表示。则坐标系可以
的 由三个向量以矩阵的形式表示为：
热
情
z
是 成
nx ox ax
功 的 关 键
F ny
oy
a
y
a
o
nz oz az
n
y
x
8
2.4坐标系在固定参考坐标系中的表示
机械工程与汽车学院
• 在该坐标系的原点与参考坐标系的原点之间做
耐 一个向量来表示该坐标系的位置。这个向量由
心 与
相对于参考坐标系的三个分量来表示。那么，
自 学
这个坐标系就可以由三个表示方向的单位向量
的 以及第四个位置向量来表示。
热
情 是
nx ox ax Px
a z
o
成 功 的
F ny
oy
ay
Py
1 F 0
0 0
0 0.707 0.707
0
0 0.707 0.707
0
3 5 7 1
a 45°
o
z
45°
P
n
y
x 11
2.5齐次变换矩阵
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耐
心 • 在同一矩阵中既表示姿态又表示位置，那么
与 自
可以在矩阵中加入比例因子使之成为4×4矩
学 阵。如果只表示姿态，则可去掉比例因子得
的 热
0 0 1 0
dx
d
y
dz 1
a
z
d
P
o
n
y
x
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2.5齐次变换矩阵－纯平移变换
a z
机械工程与汽车学院
d
耐
P
o
心
n
与
自
学 的
x
y
热
情 是
Fnew
Trans(dx , d y , dz )
Fold
成
功 的 关 键
1 0 0 d x nx ox ax Px nx ox ax
学 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
的
热 情
v
ai
bj
ck
式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，
是
成
列矩阵
功
的 x
a= x
y
, b=
z , c=
，w为比例系数
w ww
关
键V
y z
x
y
z
wT
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
w
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
作为通用比例因子，它可取任意正值，但