2010-2011学年上海市浦东新区华东师大二附中高一(上)期末数学试卷

2020-2021学年上海市浦东新区华师大二附中高一上学期期中数学试题一、单选题1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是（ ） A ．若q 不正确，则p 不正确 B ．若q 不正确，则p 正确 C ．若p 正确，则q 不正确 D ．若p 正确，则q 正确【答案】D【分析】由命题“若p 不正确，则q 不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果． 【详解】解：命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题是： “若q 不正确，则p 不正确” 其等价命题是它的逆否命题，即 “若p 正确，则q 正确” 故选D ．【点睛】本题考查的知识点是四种命题的逆否关系，根据四种命题的定义，求出满足条件的逆命题，及互为逆否的两个命题为等价命题是解答本题的关键．2．已知,a b ∈R ，则“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既不充分又不必要 【答案】A【分析】化简不等式1ab a b +>+为()()110a b -->，再根据充分、必要条件的判断方法，选出正确选项.【详解】不等式1ab a b +>+等价于()()110a b -->.故当“1a <，1b <”时，10,10a b -<-<，故()()110a b -->，即“不等式1ab a b +>+”成立.当“不等式1ab a b +>+”成立时，()()110a b -->，可能是1,1a b >>，故不能推出“1a <，1b <”.所以“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的充分非必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题. 3．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题：（ ） ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],m -∞. ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞. ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M . ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞. ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞. A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】这是一个对不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念题．对各个选项分别加以判断，在①②中，得出①正确②错误，④⑤中得出⑤正确④错误，而不难发现③是一个真命题，由此可得正确答案.【详解】对任何x ∈[a ，b]都有()p f x ≤，说明p 小于等于()f x 的最小值，①是正确的; 由于①正确，所以②是一个错误的理解，故不正确;关于x 的方程p =f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 应属于函数f (x ）在[a ，b ]上的值域[m ，M ]内，故③是正确的;关于x 的不等式p ≤f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 小于或等于的最大值，所以④是错误的，而⑤是正确的 正确的选项应该为①③⑤ 故选： B.【点睛】关键点点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．不等式或方程解集非空，只要考虑有解;而不等式恒成立说明解集是一切实数，往往要考虑函数的最值了．4．设集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，{}21|0Q x x x b =++>，{}22|20Q x x x b =++>，其中,a b ∈R ，下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项．【详解】对于1P 和2P ，由于210x ax ++>时222110x ax x ax ++=+++>，所以1P 的元素，一定是2P 的元素，故对任意a ，1P 是2P 的子集. 对于1Q 和2Q ，根据判别式有140440b b -<⎧⎨-<⎩，即1b >时，12Q Q R ==，满足1Q 是2Q 的子集，也即存在b ，使得1Q 是2Q 的子集. 故选B.【点睛】本小题主要考查子集的判断，考查恒成立问题和存在性问题的求解策略，属于基础题.二、填空题5．已知集合{}1,0,1,7A =-，则集合A 的非空真子集的个数为_________. 【答案】14【分析】先算出集合中的元素个数n ,根据非空真子集的计算公式22n -即可求出结果. 【详解】解: 集合{}1,0,1,7A =-， 元素个数4n = ,所以非空真子集个数为4222214n -=-=. 故答案为:146．不等式123x -<<的解集为__________. 【答案】11(,)(,)23-∞-+∞.【分析】将原不等式转化为1213xx⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解方程组求得原不等式的解集.【详解】原不等式等价于1213x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即120130x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，120130x x x x +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，()()120130x x x x ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，解得11(,)(,)23x ∈-∞-+∞. 故答案为11(,)(,)23-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7．函数0()f x =_________.【答案】()(),33,0-∞--【分析】解不等式组30||0x x x +≠⎧⎨->⎩即得解.【详解】由题得30,0||0x x x x +≠⎧∴<⎨->⎩且3x ≠-. 所以函数的定义域为()(),33,0-∞--.故答案为：()(),33,0-∞--8．若{}3,2,1,0,1,2,3U =---，{}{}210,,13,A x x x Z B x x x Z =-≤∈=-≤≤∈则()UA B =_________.【答案】{2,3}【分析】先化简,A B ，求出UA ，即得解.【详解】由题得{}210,{1,0,1}A x x x Z =-≤∈=-，{3,2,2,3}UA =--，{}13,{1,0,1,2,3}B x x x Z =-≤≤∈=-，所以()UA B ={2,3}.故答案为：{2,3}9．设集合{}{},T =∅∅，则下列命题：①T ∅∈，②T ∅⊆，②{}T ∅∈，④{}T ∅⊆中正确的是__________（写出所有正确命题对应的序号）. 【答案】①②③④.【分析】根据集合T 元素的特征，对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号. 【详解】集合{}{},T =∅∅，也即集合T 的元素为两个集合，一个是∅，另一个是{}∅. 对于①，空集是集合T 的元素，故①正确. 对于②，空集是任何集合的子集，故②正确. 对于③，{}∅是集合T 的元素，故③正确. 对于④，{}∅中含有元素∅，故④正确. 故答案为①②③④.【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合与集合的关系，属于基础题. 10．若集合()22{|215}x y x a x a R =+++-=，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(],3-∞-【分析】根据()222150x a x a +++-≥恒成立列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】题目所给集合研究对象为函数()22215y x a x a =+++-的定义域，依题意可知()222150x a x a +++-≥恒成立，故()()2221450a a ∆=+--≤⎡⎤⎣⎦，即8240,3a a +≤≤-.故答案为：(],3-∞-.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合元素的概念，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略，属于基础题.11．如果全集U 含有12个元素，,P Q 都是U 的子集，P Q 中含有2个元素，P Q含有4个元素，PQ 含有3个元素，则P 含有_________个元素.【答案】作出韦恩图，可知P 中元素个数为25x +=．【分析】根据题目所给条件，画出图像，由此判断集合P 的元素个数． 【详解】依题意画出图像如下图所示，由图可知，集合P 的元素个数为5个．故答案为：5.12．对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M-∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,A B ，定义集合()(){}|1A B A B x f x f x *=⋅=-. 已知集合{}A x x =>，()(){}|330B x x x x =-+>，则A B *=__________.【答案】(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【分析】解不等式求得集合A 与集合B ，根据新定义函数()M f x 以及新定义集合A B *的概念，求得A B *中x 的取值范围.【详解】当0x >x >两边平方并化简得220x x +-<，即()()210x x +-<，解得21x -<<，由于0x >，故x 的范围是()0,1.当0x ≤x >恒成立，故x 的取值范围是(],0-∞.综上所述，(),1A =-∞.故()1,11,1A x f x x -<⎧=⎨≥⎩①. 由()()330x x x -+>，解得30x -<<或3x >，故()()3,03,B =-⋃+∞.故()()()(][]1,3,03,1,,30,3B x f x x ⎧-∈-⋃+∞⎪=⎨∈-∞-⋃⎪⎩②. 要使()()1A B f x f x ⋅=-，由①②可知，(,3][0,1)(3,)x -∞-∞∈+.故答案为(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查新定义集合的理解和运用，考查不等式的解法，属于中档题.13．已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有________个元素 【答案】3【分析】设a 1＜a 2＜a 3与b 1＜b 2＜b 3，设函数()123f x x a x a x a =-+-+-和()123g x x b x b x b =-+-+-，去绝对值，利用图像讨论交点的情况，即可得到所求个数．【详解】转化为：()123f x x a x ax a =-+-+-和()123g x x b x b x b =-+-+-图象的交点，6个不同的实数不妨假设1a ＜2a ＜3a ，1b ＜2b ＜3b ，则()()()()()1233123231231212313,,,3,x a a a x a x a a a a x a f x x a a a a x a x a a a x a ⎧-++>⎪-+-<≤⎪=⎨----<≤⎪⎪-+++≤⎩，()()()()()1233123231231212313,,,3,x b b b x b x b b b b x b g x x b b b b x b x b b b x b ⎧-++>⎪-+-<≤⎪=⎨----<≤⎪⎪-+++≤⎩，画出函数的函数图象如下图，两图象最多可有3个交点，即集合A 中最多有3个元素， 故答案为3.【点睛】本题考查函数方程的转化思想和分类讨论思想及数形结合思想，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题．三、双空题14．叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a 元，b 元，c 元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是_________老师，理由是_________.(请写出关键的不等式) 【答案】叶33a b c abcbc ac ab++>++ 【分析】根据题意分别算出叶老师和王老师所打酱油的平均价格，运用比较法进行判断即可.【详解】叶老师的平均价格为1001001003100100100abcbc ac ab a b c++=++++，王老师的平均价格为1001001001001001003a b c a b c++++=++，于是有：2223()()9()()()33()3()a b c abc a b c bc ac ab abc c a b b a c a b c bc ac ab bc ac ab bc ac ab ++++++---+--==+++++++，因为每次打的酱油价格都不相同，所以222()()()03()c a b b a c a b c bc ac ab --+->+++，即33a b c abcbc ac ab++>++所以叶老师的平均价格更低， 故答案为：叶； 33a b c abcbc ac ab++>++.四、解答题15．设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立． 【答案】(1)见解析. (2)见解析.【详解】试题分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立. 试题解析： 由11a b a b a b ab++=+=,0,0a b >>,得1ab =.(1)由基本不等式及1ab =,有2a b +≥=,即2a b +≥ (2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾. 故22a a +<与22b b +<不可能同时成立.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.16．已知集合()(){}2|3210A x x m x m =-+++=，(){}2|23120B x x n x =+++=，其中,m n R ∈.（1）若AB A =，求,m n 的值；（2）若A B A ⋃=，求,m n 的取值范围. 【答案】（1）2n =-，1m =或12m =-； （2）5(,1)3m R n ∈⎧⎪⎨∈-⎪⎩或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 【分析】先求得集合A 中元素的可能取值. （1）根据AB A =，判断出2x =是集合,A B 的元素，由此求得n 的值，进而求得集合B ，由此确定m 的值.（2）根据B 为空集、单元素集、双元素集进行分类讨论，由此确定,m n 的取值范围. 【详解】由()()()()2321210x m x m x x m -+++=--+=⎡⎤⎣⎦，解得2x =或1x m =+.（1）当AB A =，所以2x =是集合,A B 的元素，所以()22231220n ⨯++⨯+=，解得2n =-，所以{}21|2520,22B x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭.若12,1m m +==，此时{}2A =，符合A B A =.若111,22m m +==-，此时12,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合A B A =.故2n =-，1m =或12m =-.（2）由于A B A ⋃=，当B =∅时，由判别式得()2314220n +-⨯⨯<，解得5,13n ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，此时m R ∈. 当B 为单元素集时，由判别式得()2314220n +-⨯⨯=，解得53n =-或1n =.当53n =-时，{}1B =，要使A B A ⋃=，则11,0m m +==.当1n =时，{}1B =-，，要使A B A ⋃=，则11,2m m +=-=-. 当B 为双元素集时，由（1）知2n =-，12m =-. 综上所述，,m n 的取值范围为5(,1)3m R n ∈⎧⎪⎨∈-⎪⎩或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 【点睛】本小题主要考查根据集合交集和并集的情况求参数，考查一元二次方程根的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 17．已知命题:P 函数()()113=-f x x 且()2<f a ，命题:Q 集合(){}221=0,A x x a x x R =+++∈，{}0B x x =>且A B =∅.（1）若命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围. （2）若命题P 、Q 均为真命题时的实数a 的取值范围.（3）由（2）得结论，a 的取值范围设为集合S ，,,0,0mT y y x x R m x x ⎧⎫==+∈>≠⎨⎬⎩⎭，若T S ⊆，求实数m 的范围. 【答案】（1）(][)5,47,--+∞；（2）()4,7-；（3）(]0,4. 【分析】（1）分别求出当命题P 、Q 为真命题时实数a 的取值范围，然后分P 真Q 假、P 假Q 真两种情况讨论，综合可得出实数a 的取值范围；（2）由（1）结合命题P 、Q 均为真命题可求得实数a 的取值范围；（3）利用基本不等式可求得集合T ，进而得出T ，由T S ⊆可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）若P 为真，则()()1123f a a =-<，所以616a -<-<，解得57a -<<； 若Q 为真，集合(){}221=0,A x x a x x R =+++∈，{}0B x x =>，且AB =∅，若A =∅，则()()22440a a a ∆=+-=+<，解得40a ；若A ≠∅，则()()224020a a ⎧∆=+-≥⎪⎨-+<⎪⎩，解得0a ≥.故若Q 为真，则4a >-.因为P 、Q 中有且只有一个为真，若P 真Q 假，则574a a -<<⎧⎨≤-⎩，此时54a -<≤-；若P 假Q 真，则574a a a ≤-≥⎧⎨>-⎩或，此时7a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是(][)5,47,--+∞；（2）当P、Q均为真时，574aa-<<⎧⎨>-⎩，所以()4,7a∈-；（3）对于函数my xx=+，0m >，当0x>时，由基本不等式可得y≥=当且仅当x当0x<时，()my xx⎡⎤=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦当且仅当x=.所以，(),T⎡=-∞-⋃+∞⎣，则(T=-，T S⊆，即(()4,7-⊆-，所以47m⎧-≥-⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得04m<≤，综上所述，实数m的取值范围是(]0,4.【点睛】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论．18．公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变.（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样再进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案.【答案】（1）62101000x x⨯+ 次，45人；（2）第一次每组159人，第二次每组13人；（3）见解析【分析】(1)根据最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,可得检测总次数,再用基本不等式可得;(2)设第一次每个组1x 人,第二次每个组2x 人,可得检测总次数,再用三元基本不等式,结合整数解可得;(3)设第n 次分组中,每组人数为n x ,则可得检测总次数,然后运用n 元基本不等式,结合1n x =,可得n 的最小值,进而得到所求结果.【详解】(1)200万人平均分组,每组x 人,总共分6210x⨯组,每组检测一次,共需检测6210x⨯次,最坏的情况是1000名被感染者分布在其中1000组里,每组一人,然后在这1000组里逐个排查,每组需检测x 次,共需检测1000x 次,所以找到所有的被感染者共需检测6210x⨯1000x +次,由6210x ⨯1000x +≥410=,当且仅当62101000x x⨯=,所以2x = 2000,所以x ==44.72≈时等号成立.由于x 为正整数,所以当44x =时,6621021010004400044x x ⨯⨯+=+89454.54≈, 当45x =时,62104500045⨯+89444.44≈, 因为89444.4489454.54<,所以要使检测总次数尽可能少,每个分组的最优人数为45人.(2)设第一次每个组1x 人,分61210x ⨯组;第二次每个组2x 人,分121000x x 组 第一次需检测61210x ⨯次,由(1)的思路知,第二次共需检测121000x x 21000x +次, 所以两次检测的总次数为61210x ⨯121000x x +21000x +, 因为61210x ⨯121000x x +21000x+3≥=4310=, 当且仅当6121210002101000x x x x ⨯==, 即221x x =,1x =2x =,因为1x =158.74≈,2x =12.6≈,且12,x x 为正整数,且|159158.74||158158.74|-<-,|1312.6||1212.6|-<-,所以12159,13x x ==,时两次检测的总次数尽可能少,则第一次每个组159人,第二次每个组13人,可使检测总次数尽可能少.(3)假设进行n 次这样的分组检测,可以达到检测次数更少,设第n 次分组中,每组人数为n x , 则总共检测次数为61121231000100010002101000n n n x x x x x x x x -⨯+++++, 因为61121231000100010002101000n n nx x x x x x x x -⨯+++++ (1)n n n x ≥+⨯⨯⨯ (1)n =+⨯, 当且仅当612123100010002101000n x x x x x x ⨯====,时等号成立, 所以6112123100010001000210(1000)n n n nx x x x x x x x -⨯⨯⨯⨯⨯=,所以63131210(10)(10)n n n n x -+⨯⨯=⨯,所以13210n n x +=⨯,所以n x =,当18n =时,18x = 1.49≈,因为|1 1.49||2 1.49|-<-,且18x 为正整数,所以可取181x =,即这样进行了18次检验可得到总次数更小.【点睛】本题考查了二元、三元、n 元基本不等式求最小值,属于难题.解题关键是理解出最坏情况是1000名被感染者分布在其中1000组里.。

一、填空题1．向量的单位向量是______. ()3,4a =【答案】34,55⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用结论：非零向量的单位向量为，可求得结果.aa a【详解】因为，则，()3,4a = 5a == 所以，向量的单位向量为. a()1343,4,555a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故答案为：.34,55⎛⎫⎪⎝⎭2．若，，当实数k ＝______时，.()1,a k = ()4,b k k =- a b ⊥ 【答案】4或0【分析】根据垂直向量的坐标表示，列出关于的方程求解即可．k 【详解】因为，，且，()1,a k = ()4,b k k =- a b ⊥所以，解得或， 240k k -+=0k =4k =故答案为：4或0．3．函数的两条对称轴之间距离的最小值为______. sin 2y x =【答案】π2【分析】求出函数的对称轴即可求解.【详解】由已知条件得，Z ，即，Z ， π2π+2x k =k ∈ππ24k x =+k ∈因为相邻的两条对称轴之间的距离最小， 所以分别令，得，， 0k =1π4x =3π4x =即相邻的两条对称轴之间的距离最小值为， 3πππ442-=故答案为：. π24．已知，则_________ 1sin cos 2αα+=sin 2α=【答案】34-【分析】原式两边平方后，即可计算的值.sin 2α【详解】因为，两边平方后， 1sin cos 2αα+=， ()2221sin cos sin cos 2sin cos 1sin 24ααααααα+=++=+=所以. 3sin 24α=-故答案为：34-5．在等腰三角形中，已知顶角的余弦值是，则底角的余弦值是_________． 45【分析】设顶角为，底角为，先通过倍角公式求出，再利用求解即可. αβsin 2απcos cos 2αβ-⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】设顶角为，底角为，则，， αβ2παβ+=4cos 5α=又， 2πcos 12sin,0,222ααα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭sin2α∴===. πcos cos sin 22ααβ-⎛⎫∴===⎪⎝⎭6．方程在区间上的解集为______.sin cos 2x x =[]0,π【答案】π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】利用二倍角公式化简并解方程即可求解. 【详解】由得， sin cos 2x x =2sin 12sin x x =-即，解得或， 22sin sin 10x x +-=sin 1x =-1sin 2x =因为，所以或， []0,πx ∈π6x =5π6所以方程在区间上的解集为,sin cos 2x x =[]0,ππ5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭故答案为：.π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭7．将函数的图象向左平移个单位后得到得到函数图象关于点成中心对()sin 2y x ϕ=+4π4,03π⎛⎫⎪⎝⎭称，那么的最小值为__________．ϕ【答案】6π【分析】首先确定平移后函数的解析式，然后结合三角函数的特征整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知平移之后的函数解析式为：，()sin 22cos 24y x x πϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦函数图象关于点成中心对称，则：， 4,03π⎛⎫⎪⎝⎭()4232k k Z ππϕπ⨯+=+∈整理可得：， ()136k k Z πϕπ=-∈则当时，有最小值.2k =ϕ6π【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称中心及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．函数的最小正周期为____________．sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭【答案】2π【详解】解析：当时，，=2,x k k Z π∈sin 1tan tan 02x y x x ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭当时，，其中且，2,x k k Z π≠∈sin 1cos sin 1tan cos sin x x y x x x x -⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭2x k ππ≠+2x k ππ≠+画出图象可得函数周期为．2π故答案为：.2π9．已知，都是定义在R 上的函数，若，其中m ，n 实数，则称()f x ()g x ()()()h x mf x ng x =+为，在R 上的生成函数.已知，，，，则()h x ()f x ()g x 1m =1n =-()sin f x x =()cos g x x =，在上的生成函数的单调增区间为______.()f x ()g x R ()h x【答案】,Zππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦k ∈【分析】求出的周期及其奇偶性，在一个周期内判断函数的单调性，最后写出单调递增区间()h x 即可.【详解】由题意可知，()sin cos x x h x =-则， ()()()()sin cos πsin πcos πh x x x x x h x +=+=-=-+所以是函数的周期，π()h x 又∵， ()()()()sin cos sin cos x x x h h x x x =-----==∴函数为偶函数， ()h x当时，，π02x ≤≤()πsin cos sin cos 4h x x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭此时函数的单调递增区间为，Z , πππ2π2π242k x k -≤-≤+k ∈解得，Z , π3π2π2π44k x k -≤≤+k ∈当时，单调递增区间为，故在上函数单调递增，0k =π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，，ππ2x ≤≤()πsin cos sin cos 4h x x x x x x ⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭此时函数的单调递减区间为，Z ， ππ3π2π+2π242k x k ≤+≤+k ∈解得，Z , π5π2π+2π44k x k ≤≤+k ∈当时，单调递减区间为，故在上函数单调递减，0k =π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦综上所述，函数的单调递增区间为,Z ,ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦k ∈故答案为：,Z .ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦k ∈10．已知向量的夹角为锐角，且满足、,a b a =b = ，都有成立，则的最小值为_______.{}(,)(,)|1,0x y x y xa yb xy ∈+=||1x y +≤a b ⋅v v 【答案】815【详解】分析：设单位向量的夹角为锐角，由，得,b aθ|1,0xa yb xy += ，由得出()()22152cos sin 16x y y θθ++=1x y +≤，令，得出，求不()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭t cos θ=()()222116+41541t t -≥-等式的解集可得结果.详解：设向量的夹角为锐角，由，，得，∴,a bθ1xa yb += 0xy >22641664cos 1151515x y xy θ++=， ()222221644cos cos sin 115x xy y y θθθ+++=即；又，由柯西不等式得()()22152cos sin 16x y y θθ++=1x y +≤ ； ()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭令，则，化简得， cos t θ=()()222116+41541t t -≥-26460110t t -+≤解得，所以，即的最小值为，故答案为．111416t ≤≤328cos 1515a b θ⋅=≥ a b ⋅ 815815点睛：本题考查了平面向量数量积与不等式的解法与应用问题，此题最大的难点在于构造柯西不等式，具有一定难度.二、单选题11．已知，则“”是“是直角三角形”的（ ） ABC A sin cos A B =ABC A A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】若，则或；若，则；由充分条件和必sin cos A B =2A B π+=2A B π=+2A π=sin cos A B ≠要条件的概念即可得解.【详解】若，则或，不能推出是直角三角形；sin cos A B =2A B π+=2A B π=+ABC A 若，则，所以是直角三角形不能推出;2A π=sin cos A B ≠ABC A sin cos A B =所以“”是“是直角三角形”的既不充分也不必要条件. sin cos A B =ABC A 故选：D .【点睛】本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题.12．为了使函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )． A ．98πB ．π C ．π D ．100π19721992【答案】B【详解】试题分析：因为，使y=sinωx （ω＞0）在区间[0，1]上至少出现50次最大值， 所以，49×T≤1，即≤1， 1419724πω⨯所以，ω≥π，故选B ． 1972【解析】本题主要考查正弦型函数的图象和性质． 点评：简单题，根据正弦型函数的图象和性质，确定应满足的条件．2πω13．已知函数，其中表示不超过x 的最大整数，下列关于说法正确的是()[]πsin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭[]x ()f x （ ）①的值域为；②为奇函数；③为周期函数，且最小正周期；④()f x []1,1-12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x 4T =与的图像有且仅有两个公共点. ()f x 2y x =A ．①②③ B ．②④C ．③④D ．①③【答案】C【分析】利用函数的奇偶性、周期性以及取整的定义求解即可. 【详解】由已知条件得：当时，，； 10x -≤<[]1x =-()1f x =-当时，，；当时，，； 01x ≤<[]0x =()0f x =12x ≤<[]1x =()1f x =当时，，；当时，，；…；23x ≤<[]2x =()0f x =34x ≤<[]3x =()1f x =-则，()[]π4sin 42f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭[][]()πππsin 4sin 222x x f x ⎛⎫⎛⎫+⨯== ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭所以为周期函数，且最小正周期，即③正确； ()f x 4T =由此可知的值域为，即①错误；()f x {}1,0,1-若为奇函数，则，12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，，12x =()110022f f ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭()111122f f ⎛⎫-+=-=- ⎪⎝⎭故当时，不成立，故不是奇函数，即②错误；12x =1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在一个周期内作出的图象，如下图所示，()f x由图象可知与的图像有且仅有两个公共点，分别为坐标原点和点, ()f x 2y x =O A 即④正确； 故选：C.14．克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD 内接于半径为，，，则四边形ABCD 的周长为120A ∠=︒45B ∠=︒AB AD =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】连接AC ，BD ．利用正弦定理求出，6BD =AC =AB AD ==定理求出，即得解. BC CD +=【详解】连接AC ，BD ．由，及正弦定理，得，120A ∠=︒45B ∠=︒sin sin BD ACBAD ABC==∠∠解得，．6BD =AC =在中，，，，ABD △120BAD ∠=︒AB AD =6BD =所以AB AD ==因为四边形ABCD 内接于半径为 它的对角互补，所以， AC BD AB DC AD BC ⋅=⋅+⋅所以,所以， )BC CD =+BC CD +=所以四边形ABCD 的周长为． +故选：A ．三、解答题15．已知函数.()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求的单调增区间；()f x (2)求函数在的值域.()f x 2π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】(1)7πππ,π,1122k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z(2) ⎡-⎣【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可； （2）先求出的范围，再根据正弦函数的性质求解即可． 2π23x +【详解】（1）由可得， π2ππ2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z 7ππ2π22π6,6k x k k -+≤≤-+∈Z 所以， 7ππππ,1212k x k k -+≤≤-+∈Z 所以函数单调递增区间为：；()f x 7πππ,π,1122k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z（2）令，由可得， 2π23t x =+2π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2π,2π3t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭又因为函数在单调递减，在单调递增，sin y t =2π3π,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭所以在时有最小值-1，又， sin y t =3π2t =2πsin 3=sin 2π0=所以，所以函数在上的值域为． sin [t ∈-()f x 2π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎡-⎣16．已知函数，若对任意的实数x 都成立．()2cos ,(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()4f x f π⎛≤⎫ ⎪⎝⎭（1）求的最小值；ω（2）在（1）中值的条件下，若函数的最小正周期为，当时，ω()()1(0)g x f kx k =+>π0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦方程恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围． ()g xm =【答案】（1）；（2）． 23ω=[1m ∈+【分析】（1）根据条件得到为函数的最大值，结合函数的最值求出即可．4f π⎛⎫⎪⎝⎭ω（2）根据条件求出的解析式，在同一坐标系中，作出函数和的图象，利用数形()g x ()y g x =y m =结合求解．【详解】（1）若对任意的实数x 都成立，则为函数的最大值，()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭则，得，即， 2,46k k ππωπ-=∈Z 2,46k k ππωπ=+∈Z 28,3k k ω=+∈Z ∵，∴当时，取得最小值，最小值为； 0ω>0k =ω23ω=（2）在（1）中值的条件下，则，ω23ω=2()2cos 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2()()12cos 1,(0)36g x f kx kx k π⎛⎫=+=-+> ⎪⎝⎭∵的最小正周期为，∴，即，则，()g x π223k ππ=3k =()2cos 216g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭作出函数和的图象如图：()03y g x x π⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭y m =，则，所以，则，03x π≤≤2662x πππ-≤-≤0cos 216x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭()13g x ≤≤且，()02cos 116g π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭由图象知：要使恰有两个不同的解，则．()g x m =[1m ∈+【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．如图是函数图像的一部分，M 、N 是它与x 轴的两()sin(),(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<个交点，C 、D 分别为它的最高点和最低点，E （0，1）是线段MC 的中点， (1)若点M 的坐标为（-1，0），求点C 、点N 和点D 的坐标(2)若点M 的坐标为（-,0）（>0），，试确定函数的解析式m m 2344MC MD π⋅=- ()f x【答案】(1) (2) (12),(30),(52)C N D -，，，π()2sin(+)4f x x =【分析】（1）根据中点坐标公式可得C,根据对称可得N ，D 点坐标（2）先根据中点坐标公式以及对称性可得C,D 坐标，再代入向量数量积坐标公式可得值，根据点坐标确定周期、振幅以及初m 始角，即得三角函数解析式【详解】(1)设点C (a ,b )，由中点坐标公式得由中点坐标公式可得解得a =1，b =2，∴点C (1,2)，∴点N (3,0),点D (5,−2)；(2)同样由E (0,1)是线段MC 的中点，得A =2，由M (−m ,0),得C (m ,2),D (5m ,−2)；∴，2124MC MD m ⋅=- 又， 2344MC MD π⋅=-解得m =； 4π由，解得ω=1， 282T m ππω===∴φ=； 4π∴函数f (x )的解析式为f (x )=2sin(x +).4π【点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查了平面向量数量积的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于综合题.18．已知常数，定义在R 上的函数.0a ≠()cos 2sin f x x a x =+(1)当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有x 的值；4a =-()y f x =(2)已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数a 及n 的值.n ∈N 1n ≥()y f x =()0,πn 【答案】(1)最大值为，； 3π2π,2x k k =-∈Z (2)，.1a =-1347n =【分析】（1）利用二倍角公式化简，利用二次函数的性质求其最值以及此时满足要求所有的()f x x 值；（2）利用换元法将零点问题转化为与的交点问题，先分析在一个周期内零点的个sin y x =y t =数，然后再分析多周期内零点的临界值即可求解.【详解】（1）当时，4a =-()cos 24sin f x x x =-212sin 4sin x x =--232(sin 1)x =-+则当时，，此时， sin 1x =-()max 3f x =π2π,2x k k =-∈Z （2），2()cos 2sin 12sin sin f x x a x x a x =+=-+令，，则，sin t x =[1,1]t ∈-2()21f t t at -+=+得，，则方程有两个不相等的实数根，()0f t =2210t at --=280a ∆=+>()0f t =由韦达定理得，即两根异号， 1212t t =-①当两根的绝对值在之间，，，在区间上均为偶数根，则不符合题()0,11sin t x =2sin t x =()0,πn 意；②当，，即，， 11t =212t =-12122a t t +=-=-1a =当，，即，，即，， [0,2π]x ∈sin 1x =π2x =1sin 2x =-7π6x =11π6所以方程在上有三个根，()0f x =[0,2π]因为，所以方程在上有个根，202136732=⨯+[0,1346π]2019又因为方程在上有个根，在上有个根， [1346π,1347π]1[1347π,1348π]2所以在（）内恰有2021个根是不可能的， ()0f x =()0,πn n ∈N ③当，，即，， 11t =-212t =12122a t t +=-=--1a =-当，，即，，即，， [0,2π]x ∈sin 1x =-3π2x =1sin 2x =π6x =5π6所以方程在上有三个根，()0f x =[0,2π]因为，所以方程在上有个根，202136732=⨯+[0,1346π]2019又因为方程在上有个根，在上有个根， [1346π,1347π]2[1347π,1348π]1所以在内恰有2021个根，()0f x =()0,1347π故满足题意，此时，. 1a =-1347n =。

2020学年第一学期高一数学教学质量检测试卷（考试时间90分钟，本卷满分100分）一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共44分．答案填在答题纸相应位置）．1．计算：2233318log 752log 52-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭． 2．已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α= ． 3．不等式2411x x x --≥-的解集为 ． 4．已知一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，则扇形的面积是 2cm ．5．已知幂函数()f x 的图像过点⎛⎝⎭，则(3)f = ． 6．已知函数()2()log 21f x x =-，1()y f x -=是其反函数，则1(1)f -= ．7．方程()()2lg 2lg 2610x x x +-+-+=的解为 ．8．关于x 的方程()94340x x a ++⋅+=有实数根，则实数a 的取值范围 ． 9．已知0a >，0b >且3a b +=，式子2021202120192020a b +++的最小值是 ． 10．已知122020()1232021x x x x f x x x x x +++=++++++++Λ，()()F x f x m n =+-，若函数()y F x =为奇函数，则2x m x n ++-的最小值是 ．二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）11.已知()f x 是R 上的偶函数，12,x x R ∈，则“120x x +=”是“()12()f x f x =”的（ ）．.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件12.函数()201ax ya x=>+的图像大致为（ ）．.A .B .C .D13.设集合{}2|230A x x x =+->，集合{}2|210,0B x x ax a =--≤>，若A B Ι中恰有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ）.A 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ .B 34,43⎡⎫⎪⎢⎭⎣ .C 3,24⎡⎫⎪⎢⎭⎣.D ()1,+∞ 14.已知函数111,22()1(2),262x x f x f x x ⎧--≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，则方程()10xf x -=的解的个数是（ ）.A 5 .B 6 .C 7 .D 8三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）．15．（本题满分10分，共有2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分） 已知函数2()21x x a f x -=+为奇函数． （1）求实数a 的值，并证明()f x 是严格增函数；（2）若实数t 满足不等式1((1)02f f t +->-，求t 的取值范围.16．（本题满分10分，共有2小题，第（1）小题5分，第（2）小题5分）．已知函数2()46f x ax x =-+.（1）若函数2log ()y f x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数log ()a y f x =在区间](1,3上单调递增，求实数a 的取值范围．17．（本题满分12分，共有2小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）新冠疫情造成医用防护服短缺，政府决定为生产防护服的公司提供[]()0,10x x ∈（万元）的专项补贴用于扩大生产，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭（万件），其中[]()0.5,1k k ∈为工人的复工率，公司生产t 万件防护服还需投入成本()20850x t ++（万元）（1）将公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数（政府补贴x 万元计入公司收入）；（2）当复工率0.7k =时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的[]0,10x ∈（万元），当复工率k 达到多少时，公司才能不亏损？（精确到0.01）18．（本题满分12分，共有3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）． 已知函数327()23x x f x ⋅-=-，2()log g x x =． （1）当[]0,1x ∈时，求函数()f x 的值域；（2）若关于x 的方程()g x t =有两个不等根(),αβαβ<，求αβ的值；（3）已知存在实数a ，使得对任意的[]0,1m ∈，关于x 的方程24()4()31()0g x a g x a f m -⋅+--=在区间1,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个不等根123,,x x x ，求实数a 的取值范围．。

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知集合M ={y |x +y =1，x ∈R }，N ={y |x -y =1，x ∈R }，则M ∩N =（ ）A. B. C. D. R2. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件 3. 若＜＜ ，则下列不等式中，①ab ＜b 2；②a 2＞b 2；③＜ ；④＞ ．成立的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 定义区间（c ，d ），[c ，d ），（c ，d ]，[c ，d ]的长度均为d -c （d ＞c ）已知实数a＞b ，则满足的x 构成的区间的长度之和为（ ）A. 1B.C. D. 2二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5. 若集合A ={x |x 2+x -2=0}， ＜ ，则A ∪B =______6. 若全集U ={x |-2≤x ≤6，x ∈Z }，集合A ={x |x =2n ，n ≤3，n ∈N }，则∁U A =______（用列举法表示）7. 在如图中用阴影部分表示集合∁U （∁U A ∪∁U B ）______．8. 命题“如果ab =0，那么a =0或b =0”的逆否命题为______9. 已知集合A ={x |x ＜a }，B ={x |x 2-5x +4≥0}，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______10. 已知x ，y ∈R +，且x +4y =1，则xy 的最大值为______．11. 函数的定义域为______12. 若不等式ax 2+ax -1＞0的解集为∅，则实数a 的取值范围是______ 13. 对定义域是D f 、D g 的函数y =f （x ）、y =g （x ），规定函数，当 ∈ 且 ∈，当 ∈ 且，当 且 ∈，设函数f （x ）=x -2（x ∈R ），g （x ）=-2x +3（x ≥1），则函数h （x ）的值域是______14. 设a +b =2019，b ＞0，则当a =______时，+取得最小值． 三、解答题（本大题共4小题，共48.0分） 15. 已知a 、b 是正实数，求证：．16.解不等式组：．17.缴纳个人所得税是收入达到缴纳标准的公民应尽的义务．①个人所得税率是个人所得税税额与应纳税收入额之间的比例；②应纳税收入额=月度收入-起征点金额-专项扣除金额（三险一金等）；③2018年8月31日，第十三届全国人民代表大会常务委员会第五次会议《关于修改中华人民共和国个人所得税法的决定》，将个税免征额（起征点金额）由3500元提高到5000元．下面两张表格分别是2012年和2018年的个人所得税税率表：（1）何老师每月工资收入均为13404元，专项扣除金额3710元，请问何老师10月份应缴纳多少元个人所得税？若与9月份相比，何老师增加收入多少元？（2）对于财务人员来说，他们计算个人所得税的方法如下：应纳个人所得税税额=应纳税收入额×适用税率-速算扣除数，请解释这种计算方法的依据？18.已知集合D={x|x2-ax+a2-19=0}，集合B={y|y=-x2+2x+2，y∈Z+}，集合，∈，且集合D满足D∩B≠∅，D∩C=∅．（1）求实数a的值；（2）对集合A={a1，a2，…，a k}（k≥2），其中a i∈Z（i=1，2，…，k），定义由A 中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}，其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n，若对任意的a∈A，总有-a A，则称集合A具有性质P．①请检验集合B∪C与B∪D是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；②试判断m和n的大小关系，并证明你的结论．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵M=R，N=R；∴M∩N=R．故选：D．可看出M=R，N=R，从而得出M∩N=R．考查描述法、列举法的定义，以及交集的定义及运算．2.【答案】B【解析】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选：B．因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件．本题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假判定条件关系，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：＜＜0，∴b＜a＜0．①ab＜b2，正确；②a2＞b2，不正确；③，正确；④，正确．成立的个数是：3．故选：C．＜＜0，可得b＜a＜0．利用不等式的基本性质即可得出．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：∵，实数a＞b，∴1，即，设x2-（2+a+b）x+ab+a+b=0 的根为x1和x2，则由求根公式可得，x1=∈（b，a），x2=＞a，把不等式的根排在数轴上，用穿根法求得不等式的解集为（b，x1）∪（a，x2），故解集构成的区间的长度之和为（x1-b）+（x2-a ）=（x1+x2）-a-b=（a+b+2）-a-b=2，故选：D．元不等式即，设x2-（2+a+b）x+ab+a+b=0 的根为x1和x2，则由求根公式可得这两个根的值，结合数轴，用穿根法来解的不等式的解集，从而求得解集构成的区间的长度之和．本题考查分式不等式的解法，用穿根法解分式不等式和高次不等式，求出x1和x2，是解题的关键，属于中档题．5.【答案】{-2}∪[0，1]【解析】解：∵集合A={x|x2+x-2=0}={1，-2}，={x|0≤x＜1}，∴A∪B={-2}∪[0，1]．故答案为：{-2}∪[0，1]．分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】{-2，-1，1，3，5}【解析】解：根据题意，全集U={x|-2≤x≤6，x∈Z}={-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}，又由A={x|x=2n，n≤3，n∈N}={0，2，4，6}，则∁U A={-2，-1，1，3，5}；故答案为：{-2，-1，1，3，5}．根据题意，用列举法表示集合A与U，由补集的定义分析可得答案．本题考查集合的补集的定义，关键是掌握集合补集的定义，属于基础题．7.【答案】【解析】解：∵∁U（∁U A∪∁U B）=A∩B，∴如图中用阴影部分表示集合∁U（∁U A∪∁U B）如图：．故答案为：．由∁U（∁U A∪∁U B）=A∩B，能用阴影部分表示集合∁U（∁U A∪∁U B）．本题考查集合求法，考查维恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】若a≠0且b≠0，则ab≠0【解析】解：命题的逆否命题为：若a≠0且b≠0，则ab≠0，故答案为：若a≠0且b≠0，则ab≠0．根据逆否命题的定义进行求解即可．本题主要考查四种命题的求解，结合逆否命题的定义是解决本题的关键．比较基础．9.【答案】a≤1【解析】解：B={x|x2-5x+4≥0}={x|x≥4或x≤1}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则A⊊B即a≤1，故答案为：a≤1．求出集合B的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合真子集关系进行求解．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合不等式关系转化为对应真子集关系是解决本题的关键．10.【答案】【解析】解：，当且仅当x=4y=时取等号．故应填．变形为x与4y的乘积，利用基本不等式求最大值考查利用基本不等式求最值，此为和定积最大型．11.【答案】[-1，0）∪（0，2]【解析】解：要使原函数有意义，则：；解得-1≤x≤2，且x≠0；∴原函数的定义域为[-1，0）∪（0，2]．故答案为：[-1，0）∪（0，2]．可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．考查函数定义域的定义及求法，区间表示集合的方法．12.【答案】[-4，0]【解析】解：不等式ax2+ax-1＞0的解集为∅，a=0时，不等式化为-1＞0，解集为∅；a≠0时，应满足，解得-4≤a＜0；综上，实数a的取值范围是[-4，0]．故答案为：[-4，0]．讨论a=0和a≠0时，求出满足题意的a的取值范围．本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．13.【答案】 ，【解析】解：由于函数g（x）=-2x+3，f（x）=x-2，根据题意得：当x≥1时，h（x）=f（x）g（x）=（-2x+3）（x-2）=-2x2+7x-6；当x＜1时，h（x）=f（x）=x-2．所以h（x）=．当x≥1时，h（x）=-2x2+7x-6=-2（x-）2+，因此，当x=时，h（x）最大，h（x）的最大值为．若x＜1时，h（x）=x-2＜1-2=-1．∴函数h（x）的最大值为．故答案为：（-∞，]．由于函数g（x）=-2x+3，f（x）=x-2，对x进行分类讨论：当x≥1时，h（x）=f（x）g （x）；当x＜1时，h（x）=g（x）=x-2．从而得出h（x）的解析式；分段函数的值域分段求，所以分别求出x≥1和x＜1时的值域，最后取并集即得函数h（x）的值域．本题主要考查函数的值域、函数解析式的求解及常用方法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．14.【答案】-【解析】解：∵a+b=2019，b＞0，∴+==，当且仅当a＜0且且a+b=2019即a=-时取等号，故答案为：-．由已知可得+==，然后利用基本不等式可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行1的代换配凑应用条件．15.【答案】证明：∵a、b是正实数，∴，（当且仅当a=b时，取“=”号）两式相加得即【解析】利用基本不等式可得，两式相加，即可证得本题主要考查了基本不等式在不等式证明中的应用．使用基本不等式时一定要把握好“一定，二正，三相等”的原则16.【答案】解：由|x+1|≥2时，得x+1≥2或x+1≤-2，得x≥1或x≤-3，当x≥1时，不等式≥等价为9（x+2）≥7（2x-1），即x≤5，此时1≤x≤5，当x≤-3时，不等式≥等价为9（x+2）≥7（2x-1），即x≤5，此时x≤-3，综上x≤-3或1≤x≤5，即不等式组的解集为（-∞，-3]∪[1，5]．【解析】根据绝对值不等式以及分式不等式的解法进行求解即可．本题主要考查不等式组的求解，结合绝对值不等式以及分式不等式的解法是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）10月份，13404-3710-5000=4694，∴3000×3%+1694×10%=259.4；9月份，13404-3710-3500=6194，∴1500×3%+3000×10%+1694×20%=683.8；增加收入683.8-259.4=424.4元；（2）速算扣除数等于按当前级数税率计算后，前面级数多算的金额，所以扣除，如2018年10月的表中，210=3000×7%，1410=9000×10%+3000×17%，2660=13000×5%+9000×15%+3000×22%，依此类推．【解析】（1）将工资去除5000，以及专项扣除，运用两张表格，再由分段累进计算可得所求值；（2）速算扣除数等于按当前级数税率计算后，前面级数多算的金额，所以扣除，本题考查分段函数的运用和分段累进计算方法，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）集合B={y|y=-x2+2x+2，y∈Z+}={1，2，3}，集合，∈={0，1，2}，集合D={x|x2-ax+a2-19=0}，且集合D满足D∩B≠∅，D∩C=∅．根据题意，3∈D，解得a=5或a=-2，经检验，a=5不符合D∩C=∅，故舍去，a=-2满足题意，即a=-2．（2）①B∪C不具有性质P，B∪D具有性质P，B∪D={-5，1，2，3}，S={（1，2），（2，1）}，T={（2，1），（3，1），（3，2）}；②m=n．证明如下：∵S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}，∴a，b不相等，∴a+b的个数与a-b的个数相等，∴m=n．【解析】（1）求出集合B={1，2，3}，集合C={0，1，2}，由集合D={x|x2-ax+a2-19=0}，且集合D满足D∩B≠∅，D∩C=∅．得到3∈D，由此能求出a．（2）①B∪C不具有性质P，B∪D具有性质P，B∪D={-5，1，2，3}，由此能求出相应的S和T．②m=n．由S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}，得到a，b不相等，从而a+b的个数与a-b的个数相等，由此以能证明m=n．本题考查实数值、集合的求法，考查两实数大小的与证明，考查并集、交集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．第11页，共11页。

高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M−P={x|x∈M，且x∉P}，则M−(M−P)等于()A. PB. M∩PC. M∪PD. M2.有四个命题：①若0>a>b，则1a <1b；②若a<b<0，则a2>b2；③若1a>1，则1>a；④若1<a<2且0<b<3，则−2<a−b<2；其中真命题的个数()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.对三个正实数a、b、c，下列说法正确的是()A. 存在(a,b，c)的一组值，使得a+1b 、b+1c、c+1a均小于2B. 存在(a,b，c)的一组值，使得a+1b 、b+1c、c+1a中恰有两个小于2C. 对(a,b，c)的任意值，a+1b 、b+1c、c+1a都不小于2D. 对(a,b，c)的任意值，a+1b 、b+1c、c+1a中至多有两个不小于24.已知a>0，b>0，则“2018a+2019b+12018a +12019b=4”是“(2018a+2019b)(12018a +12019b)=4”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5.若U={1,2，3，4，5，6，7，8}，A={1,3，5，7}，B={5,7，8}，则∁U(A∪B)为______6.不等式1x>1的解集是______ ．7.某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的有______人8.命题A：|x−1|<3，命题B：(x+2)(x+a)<0，若A是B的充分而不必要条件，则a的取值范围是______ ．9.不等式|x|+|x−1|>3的解集为______ ．10.已知f(x)=x2+ax+b，集合{x|f(x)=x}={4}，将集合M={x|f(x)=4}用列举法表示______11.已知正实数x、y满足2x +1y=1，则2x+y的最小值为______12.(x2−x+1)(x−1)3(x−3)2(x−5)(x−2)(x−4)≤0的解集为______13.已知集合A={(x,y)|x2+mx−y+2=0}，B={(x,y)|x−y+1=0，0≤x≤2}，若集合A∩B的子集个数为2，则实数m的取值范围为______．14.若正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式(x+2y)a2+2a+2xy−34≥0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）15.已知a，b∈R+，求证：(a2+b2)12≥(a3+b3)13．16.已知集合A={x|x2−x−6≤0,x∈R}，B={x|x2−3ax+2a2<0,x∈R}，若∁R A∪∁R B=R，求实数a的取值范围．17.某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3−km+1(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．18.设集合A={m+n√3|m2−3n2=1,m，n∈Z}．(1)证明：若a∈A，则1a ∈A，且2+3∈A；(2)对于实数p，q，如果1<p≤q，证明：2<p+1p ≤q+1q；并由此说明，A中元素若满足1<b≤2+√3，则b=2+√3；(3)设c∈A，试求满足2+√3<c≤(2+√3)2的A的元素．答案和解析1.【答案】B【解析】【解答】解：①当M∩P=⌀时，∵任意x∈M都有x∉P，∴M−P=M，∴M−(M−P)=⌀=M∩P；当M∩P≠⌀时，M−P表示了在M中但不在P中的元素，M−(M−P)表示了在M中但不在M−P中的元素，∵M−P中的元素都不在P中，所以M−(M−P)中的元素都在P中，∴M−(M−P)中的元素都在M∩P中，∴M−(M−P)=M∩P．故选：B．【分析】分M∩P=⌀与M∩P≠⌀讨论，可证明M−(M−P)=M∩P．本题考查了集合的运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：对于①，不等式b<a两边同时除以ab得1a <1b，故①正确；对于②，因为a<b<0，则|a|>|b|，所以a2>b2，故②正确；对于③，1a>1隐含a>0，两边同乘a，得1>a，故③正确；对于④，因为0<b<3，则−3<−b<0，所以−2<a−b<2，故④正确，故选：D．利用不等式的性质进行逐一判断即可．本题考查不等式的性质，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：取a=1,b=2,c=12，则a+1b =32,b+1c=4,c+1a=32，即存在(a,b，c)，使得a+1b ,b+1c,c+1a中恰有两个小于2．故选：B．可尝试代入特殊值排除一些选项，或者证明选项是对的．本题考查了不等式，可以用不等式的性质去解答．4.【答案】A【解析】解：①因为a>0，b>0，所以2018a+2019b+12018a +12019b=(2018a+1 2018a )+(2019b+12019b)≥2√2018a×12018a+2√2019b×12019b=4，当且仅当2018a=12018a ，2019b=12019b，即a=12018，b=12019时取等号，将即a=12018，b=12019代入运算得(2018a+2019b)(12018a+12019b)=4，即“2018a+2019b+12018a +12019b=4”是“(2018a+2019b)(12018a+12019b)=4”的充分条件，②(2018a+2019b)(12018a +12019b)=2+2018a2019b+2019b2018a≥2+2√2018a2019b×2019b2018a=4，当且仅当2018a2019b =2019b2018a即2018a=2019b时取等号，推不出“2018a+2019b+12018a+12019b=4”，故“2018a+2019b+12018a +12019b=4”是“(2018a+2019b)(12018a+12019b)=4”的不必要条件，综合①②得：“2018a+2019b+12018a +12019b=4”是“(2018a+2019b)(12018a+12019b)=4”的充分不必要条件，故选：A．由均值不等式及取等的条件得：2018a+2019b+12018a +12019b=(2018a+12018a)+(2019b+12019b)≥2√2018a×12018a +2√2019b×12019b=4，当且仅当2018a=12018a，2019b=12019b，即a=12018，b=12019时取等号，(2018a+2019b)(12018a +12019b)=2+2018a2019b+2019b2018a≥2+2√2018a2019b×2019b2018a=4，当且仅当2018a2019b =2019b2018a即2018a=2019b时取等号，再分别代入运算即可本题考查了均值不等式及取等的条件，充分必要条件，属中档题．5.【答案】{2,4，6}【解析】解：∵A∪B={1,3，5，7，8}，∴∁U(A∪B)={2,4，6}，故答案为：{2,4，6}根据集合并集和补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键．比较基础．6.【答案】{x|0<x<1}【解析】解：∵1x>1，∴1x −1=1−xx>0，∴(1−x)xx2>0，∴0<x<1．∴不等式1x>1的解集为{x|0<x<1}．故答案为：{x|0<x<1}．将不等式1x>1移项后通分，即可求得不等式的解集．本题考查不等式的解法，移项后通分是关键，属于基础题．7.【答案】14【解析】解：依题意得：B为两种都参加的，设为x人，则A中有(36−x)人，C中有(20−x)人，故有：x+(20−x)+(36−x)+8=50，解得x=14．故答案为：14．根据图象和元素以及集合之间的关系即可得到结论．本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，以及集合包含关系，属于基础题8.【答案】(−∞,−4)【解析】解：根据题意，由于命题A：|x−1|<3，得到−2<x<4，命题B：(x+2)(x+a)<0，A是B的充分而不必要条件则说明A是B的真子集，那么可知集合B：−2<x<−a，则可知参数a<−4，故答案为：(−∞,−4)．通过绝对值不等式的解法求出集合A，利用A是B的充分而不必要条件则说明A是B 的真子集，推出集合B，求解a的范围即可．本题主要是考查了绝对值不等式的解法，充分条件的运用，属于基础题．9.【答案】(−∞,−1)∪(2,+∞)【解析】解：由于|x|+|x−1|表示数轴上的x对应点到0、1对应点的距离之和，而−1和2对应点到0、1对应点的距离之和等于3，故当x<−1，或x>2时，不等式|x|+|x−1|>3成立．故不等式|x|+|x−1|>3的解集为(−∞,−1)∪(2,+∞)，故答案为：(−∞,−1)∪(2,+∞)．由于|x|+|x−1|表示数轴上的x对应点到0、1对应点的距离之和，而−1和2对应点到0、1对应点的距离之和等于3，由此求得不等式的解集．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．10.【答案】{3,4}【解析】解：已知f(x)=x2+ax+b，集合{x|f(x)=x}={4}，即方程x2+ax+b=x，x2+(a−1)x+b=0由两个相等的实数根为4，所以△=(a−1)2−4b=0，即x2+(a−1)x+b=(x−4)2，所以b=16，a=−7，所以f(x)=x2+ax+b=x2−7x+16，所以集合M ={x|f(x)=4} 即x 2−7x +16=4， x 2−7x +12=0， 用列举法表示为{3,4}， 故答案为：{3,4}，根据已知集合{x|f(x)=x}={4}，利用方程的△，可计算方程的系数a ，b ，在带入集合M ={x|f(x)=4}求解即可．本题考查了函数与方程的关系，考查方程的计算和根的表示、集合的元素表示法，属于基础题．11.【答案】9【解析】解：∵正实数x 、y 满足2x +1y =1， ∴2x +y =(2x +1y )(2x +y)=5+2y x +2x y≥5+2√2y x ⋅2x y=9，当且仅当2yx =2x y ，即x =y =3时取等号．∴2x +y 的最小值为9． 故答案为：9．根据正实数x 、y 满足2x +1y =1，由2x +y =(2x +1y )(2x +y)利用基本不等式可求出2x +y 的最小值．本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属基础题．12.【答案】[1,2)∪{3}∪(4,5]【解析】解：∵x 2−x +1>0恒成立， ∴不等式(x 2−x+1)(x−1)3(x−3)2(x−5)(x−2)(x−4)≤0等价于(x−1)(x−5)(x−2)(x−4)≤0或x =3，根据穿根法，解(x−1)(x−5)(x−2)(x−4)≤0得，1≤x <2或4<x ≤5， ∴原不等式的解集为：[1,2)∪{3}∪(4,5]． 故答案为：[1,2)∪{3}∪(4,5]．可以看出，原不等式等价于(x−1)(x−5)(x−2)(x−4)≤0或x =3，这样根据穿根法解不等式(x−1)(x−5)(x−2)(x−4)≤0即可．本题考查了穿根法解分式不等式的方法，考查了计算能力，属于基础题．13.【答案】(−∞,−32)∪{−1}【解析】解：由题意，令{x 2+mx −y +2=0x −y +1=0，消去y 整理得x 2+(m −1)x +1=0，①∵A ∩B 的子集个数为2，则方程①在区间[0,2]上有一个实数解； 设f(x)=x 2+(m −1)x +1，x ∈[0,2]；当△=0时，有(m −1)2−4=0，解得m =3或m =−1， 验证m =−1时，f(x)=0有一个实数解1，满足题意； 当△>0时，有(m −1)2−4>0，解得m >3或m <−1，由根的存在性定理得f(0)⋅f(2)<0，即4+2(m −1)+1<0，解得m <−32； 综上知，m 的取值范围是(−∞,−32)∪{−1}． 故答案为：(−∞,−32)∪{−1}．令{x 2+mx −y +2=0x −y +1=0，消去y 整理得x 2+(m −1)x +1=0，由A ∩B 的子集个数为2知该方程在区间[0,2]上有一个实数解；设f(x)=x 2+(m −1)x +1，x ∈[0,2]，讨论△=0时和△>0时，分别求出满足题意的m 的取值范围．本题利用集合的运算考查了函数与方程的关系应用问题，也考查了分析与求解能力，是中档题．14.【答案】(−∞,−3]∪[52,+∞)【解析】 【分析】本题考查基本不等式的应用，涉及恒成立问题，变形并求出需要的最小值是解决问题的关键，属中档题． 原不等式恒成立可化为xy ≥2a 2−a+172a 2+1恒成立，由基本不等式结合不等式的解法可得xy ≥2，故只需2≥2a 2−a+172a 2+1恒成立，解关于a 的不等式可得．【解答】解：∵正实数x ，y 满足x +2y +4=4xy ，可得x +2y =4xy −4， ∴不等式(x +2y)a 2+2a +2xy −34≥0恒成立，即(4xy −4)a 2+2a +2xy −34≥0恒成立， 变形可得2xy(2a 2+1)≥4a 2−2a +34恒成立， 即xy ≥2a 2−a+172a 2+1恒成立，∵x >0，y >0，∴x +2y ≥2√2xy ， ∴4xy =x +2y +4≥4+2√2xy ， 即2(√xy)2−√2⋅√xy −2≥0，解不等式可得√xy ≥√2，或√xy ≤−√22(舍负)可得xy ≥2，要使xy ≥2a 2−a+172a +1恒成立，只需2≥2a 2−a+172a +1恒成立，化简可得2a 2+a −15≥0，即(a +3)(2a −5)≥0，解得a ≤−3或a ≥52， 故答案为：(−∞,−3]∪[52,+∞)．15.【答案】证明：由于a ，b ∈R +，要证(a 2+b 2)12≥(a 3+b 3)13，即证(a 2+b 2)3≥(a 3+b 3)2，即证3a 2b 4+3a 4b 2≥2a 3b 3，即证3b 2+3a 2≥2ab ，由于3b 2+3a 2≥6ab >2ab ，故(a 2+b 2)12≥(a 3+b 3)13．【解析】由分析法将要证的不等式转化为简洁明了的不等式即可． 本题主要考查分析法证明不等式．16.【答案】解：A ={x|x 2−x −6≤0,x ∈R}={x|−2≤x ≤3}，B ={x|x 2−3ax +2a 2<0,x ∈R}={x|(x −a)(x −2a)<0}， 则∁R A ={x|x >3或x <−2}，∁R B ={x|(x −a)(x −2a)≥0}， 若a =0，则∁R B =R ，满足条件．∁R A ∪∁R B =R ， 若a >0，则∁R B ={x|(x −a)(x −2a)≥0}={x|x ≥2a 或x ≤a}， 若∁R A ∪∁R B =R ，则{a >0a ≥3得a ≥3，若a <0，则∁R B ={x|(x −a)(x −2a)≥0}={x|x ≥a 或x ≤2a}， 若∁R A ∪∁R B =R ，则{a <0a ≤−2得a ≤−2，综上a =0或a ≥3或a ≤−2，即实数a的取值范围是(−∞,−2]∪{0}∪[3,+∞)．【解析】求出集合的等价条件，结合集合补集和并集的定义进行讨论求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价，结合条件关系进行分类讨论是解决本题的关键．比较基础．17.【答案】解：(1)由题意可知当m=0时，x=1(万件)，∴1=3−k⇒k=2.(2分)∴x=3−2m+1．每件产品的销售价格为1.5×8+16xx(元)，(4分)∴2010年的利润y=x⋅(1.5×8+16xx)−(8+16x+m)(6分)=4+8x−m=4+8(3−2m+1)−m=−[16m+1+(m+1)]+29(m≥0).(8分)(2)∵m≥0时，16m+1+(m+1)≥2√16=8，(12分)∴y≤−8+29=21，当且仅当16m+1=m+1⇒m=3(万元)时，y max=21(万元).(15分)所以当该厂家2010年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．(15分)【解析】(1)由题意可知当m=0时，x=1由满足x=3−km+1，即可得出k值，从而得出每件产品的销售价格，从而得出2010年的利润的表达式即可；(2)对于(1)中求得的解析式，根据其中两项之积为定值结合利用基本不等式此函数的最大值及相应的x值，从而解决该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式的应用等基础知识，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．18.【答案】证明：(1)若a∈A，则a=m+n√3且m2−3n2=1，m，n∈Z，则1a =m+n√3=m−n√3m2−3n2=m−n√3=m+(−n)√3且m2−3(−n)2=1，m，−n∈Z，故1a∈A，则2+√3=(2−√3)(m+n√3)=(2m−3n)+(2n−m)√3，第11页，共12页此时(2m−3n)2−3(2n−m)2=m2−3n2=1，故2+√3∈A；(2)令f(x)=x+1x (x≥1)，则f′(x)=1−1x2≥0恒成立，故x≥1时，f(x)=x+1x为增函数，∵1<p≤q，f(1)=2∴2<p+1p ≤q+1q；令b=m+n√3且m2−3n2=1，m，n∈Z，∵1<b≤2+√3，∴2<b+1b ≤2+√3+2+3，∴2<2m≤4，则m=2，n=1，则b=2+√3；(3)∵c∈A，且2+√3<c≤(2+√3)2，∴2+√3∈A，且1<2+√3≤2+√3，由(2)得：2+√3=2+√3，∴c=(2+√3)2=7+4√3【解析】(1)若a∈A，则a=m+n√3且m2−3n2=1，m，n∈Z，进而得到1a ，2+√3均满足集合A的性质，进而得到结论；(2)构造函数f(x)=x+1x(x≥1)，利用导数分析其单调性，进而可得如果1<p≤q，则2<p+1p≤q+1q；进而得到A中元素若满足1<b≤2+√3，则b=2+√3；(3)设c∈A，结合(1)(2)中结论，可得c值．本题考查的知识点是集合与元素之间的关系，对勾函数的单调性，是集合，函数，不等式的综合应用，难度中档．第12页，共12页。

上海市华东师范大学第二附属中学【最新】高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．在等差数列{}n a 中，若171321a a a ++=，则{}n a 的前13项之和等于______.2．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =-，则其通项公式n a =__________．3．函数f(x)＝cos2xπcos(1)2x π-的最小正周期为________．4．已知数列{}n a 的通项公式为()2*2n a n kn n N =++∈，若数列{}na 为单调递增数列，则实数k 的取值范围是______. 5．下列结论中正确的是______. （1）将1sin 233π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 图象向左平移3π个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到1sin 3y x =-的图象； （2）将1sin 233π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向左平移3π个单位，得到1sin 3y x =-的图象；（3）将1sin 233π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向左平移23π个单位，得到1sin 3y x =-的图象； （4）将1sin 233π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，再将图象向左平移3π个单位，得到1sin 3y x =-的图象；（5）将1sin 233π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 图象向左平移3π个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的12倍，得到1sin 3y x =-的图象； 6．在公差为d 的等差数列{}n a 中，有性质：()()*12112n n n a a a a n d n N -++⋅⋅⋅+=+∈，根据上述性质，相应地在公比为q 等比数列{}n b 中，有性质：____________. 7．()231124272312n n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯=______.8．已知0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()()()2sin cos lim sin 3cos nnn n n θθθθ→∞+=-______. 9．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，其前n 项和为n S ，下列命题中正确的是______.（写出全部正确命题的序号）（1）等比数列{}n a 单调递增的充要条件是10a >，且1q >； （2）数列：2n n S S -，32n n S S -，43n n S S -，……，也是等比数列； （3）()*11,2n n S qS a n N n -=+∈≥；（4）点(),n n S 在函数()xf x c d =-（c ，d 为常数，且0d >，1d ≠）的图像上.二、双空题10．若21lim 01n n an b n →∞⎛⎫+--=⎪+⎝⎭，则a =______，b =______.三、单选题11．《趣味数学·屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？” （ ） A ．3052⨯B ．2952⨯C ．3021-D ．()30521⨯-12．用数学归纳法证明不等式111131214n n n n ++⋅⋅⋅+>+++的过程中，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边（ ）A ．增加了一项()121k +B ．增加了两项121k +，()121k + C ．增加了A 中的一项，但又减少了另一项11k +D ．增加了B 中的两项，但又减少了另一项11k + 13．函数()()02f x sin x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＜的最小正周期为π，若其图象向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数f （x ）的图象（ ） A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于直线512x π=对称 D ．关于直线12x π=对称14．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足()*12n n n n b a a a n N++=⋅⋅∈，{}nb 的前n 项和用n S 表示，若{}n a 满足512380a a =>，则当n S 取得最大值时，n 的值为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．13四、解答题15．求下列方程和不等式的解集 （1）22sin 3sin 20x x +-= （2）()arccos3arccos 25x x <-16．已知函数())221cos 42f x x x x R π⎛⎫=+--∈⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值； （2）在ABC ∆中，若A B <，且()()12f A f B ==，求BC AB 的值.17．已知数列{}n a 中，112a =，点()1,2n n n a a +-在直线y x =上，其中1,2,3,n =⋅⋅⋅. （1）令11n n n b a a +--=，求证数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项；（3）设n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ，若不存在，则说明理由.18．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“阿当数列”.（1）若数列{}n a 为“阿当数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“阿当数列”，且其前n 项和n S 满足()2*n S n n n N <+∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由.（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“阿当数列”，23n n b a =，()512nn n a c n -=+⋅，当数列{}n b 不是“阿当数列”时，试判断数列{}n c 是否为“阿当数列”，并说明理由.参考答案1．91 【解析】 【分析】根据题意，以及等差数列的性质，先得到77a =，再由等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，171321a a a ++=， 所以7321a =，即77a =， 记前n 项和为n S ，则11313713()13137912+===⨯=a a S a .故答案为：91 【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和的基本量的运算，熟记等差数列的性质以及求和公式即可，属于基础题型. 2．0,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】分析：先根据和项与通项关系得当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，再检验，1n =时，1a 不满足上述式子，所以结果用分段函数表示.详解： ∵已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，∴当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，222211[(1)1](1)21n n n a S S n n n n n -=-=----=--=-，经检验，1n =时，1a 不满足上述式子，故数列{}n a 的通项公式0,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩．点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起. 3．2 【解析】 f(x)＝cos2xπcos(1)2x π-＝cos2xπ·sin2xπ＝12sinπx ，最小正周期为T ＝2ππ＝2 4．3k >- 【分析】根据题意得到1n n a a +>，推出21>--k n ，()*n N ∈恒成立，求出21n --的最大值，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 的通项公式为()2*2n a n kn n N=++∈，且数列{}na 为单调递增数列，所以1n n a a +>，即22(1)(1)22++++>++n k n n kn ，所以21>--k n ，()*n N∈恒成立，因此()max21>--k n 即可，又21n --随n 的增大而减小，所以()max 213--=-n ， 因此实数k 的取值范围是3k >-. 故答案为：3k >- 【点睛】本题主要考查由数列的单调性求参数，熟记递增数列的特点即可，属于常考题型. 5．（1）（3） 【分析】根据三角函数图像伸缩变换与平移变换的原则，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 （1）将1sin 233π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 图像向左平移3π个单位，得到()11sin 2sin 233π=+=-y x x 的图像，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到1sin 3y x =-的图像；（1）正确；（2）将1sin 233π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到1sin 33π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 的图像，再将图像向左平移3π个单位，得到12sin 33π⎛⎫=+⎪⎝⎭y x 的图像；（2）错； （3）将1sin 233π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到1sin 33π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 的图像，再将图像向左平移23π个单位，得到()11sin sin 33π=+=-y x x的图像；（3）正确； （4）将1sin 233π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 图像上所有点的横坐标变为原来的12倍，得到1sin 433π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 的图像，再将图像向左平移3π个单位，得到1512sin 4sin 43333y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像；（4）错； （5）将1sin 233π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 图像向左平移3π个单位，得到()11sin 2sin 233π=+=-y x x 的图像，再将所有点的横坐标扩大为原来的12倍，得到1sin 43=-y x 的图像；（5）错； 故答案为（1）（3） 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型. 6．()()1*2121-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅∈n n nnb b b b qn N【分析】根据题中条件，类比等差数列的性质，可直接得出结果. 【详解】因为在公差为d 的等差数列{}n a 中，有性质：()()*12112n n n a a a a n d n N -++⋅⋅⋅+=+∈，类比等差数列的性质，可得：在公比为q 等比数列{}n b 中，()()1*2121-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅∈n n n n b b b b qn N故答案为：()()1*2121-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅∈n n n n b b b b qn N【点睛】本题主要考查类比推理，只需根据题中条件，结合等差数列与等比数列的特征，即可得出结果，属于常考题型. 7．2(32)210+-⨯+n n 【分析】先令()231124272312+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯n M n ，得到()23422124272312+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯n M n ，两式作差，根据等比数列的求和公式，化简整理，即可得出结果. 【详解】令()231124272312+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯n M n ， 则()23422124272312+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯n M n ，两式作差得：231212323232(31)2++-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯n n M n()()2222221223(31)22324(31)2(23)21012++++-=+⨯-+⨯=+⨯--+⨯=-⨯--n n n n n n n n 所以2(32)210+=-⨯+n M n 故答案为：2(32)210+-⨯+n n【点睛】本题主要考查数列的求和，熟记错位相加法求数列的和即可，属于常考题型. 8．13- 【分析】先将极限式子进行整理，得到()()2tan 1limtan 3θθ→∞+-nnn ，根据题意得到()tan 0,1θ∈，推出当n 趋于无穷大时，()tan θn趋于0，进而可得出结果. 【详解】()()()()()()2sin cos 2tan 1limlimsin 3cos tan 3θθθθθθ→∞→∞++=--n nnn nnn n ，因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()tan 0,1θ∈， 故当n 趋于无穷大时，()tan θn趋于0， 因此()()()()()()2sin cos 2tan 11limlim3sin 3cos tan 3θθθθθθ→∞→∞++==---n nnnnnn n . 故答案为：13- 【点睛】本题主要考查极限的运算，熟记极限的运算法则即可，属于常考题型. 9．（3） 【分析】根据递增数列的概念，以及等比数列的通项公式，充分条件与必要条件的概念，可判断（1）；令1q =-，n 为偶数，可判断（2）；根据等比数列的性质，直接计算，可判断（3）；令1q =，结合题意，可判断（4），进而可得出结果. 【详解】（1）若等比数列{}n a 单调递增，则111111(1)0nn n n n a a q a qa q q a -+--=-=->，所以101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，故10a >且1q >不是等比数列{}n a 单调递增的充要条件；（1）错；（2）若1q =-，n 为偶数，则0n S =，()20=+-=-nn n n n n S S S S q S ，因等比数列中的项不为0，故此时数列2n n S S -，32n n S S -，43n n S S -，……，不成等比数列；（2）错； （3）1231121-=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+n n n a a a a a q a q a S a q()11211--=+++⋅⋅⋅+=+n n a q a a a q qS ，所以（3）正确；（4）若1q =，则1n S na =，若点(),n n S 在函数()xf x c d =-的图像上，则1==-n n S na c d ，因0d >，1d ≠，故1=-nna c d 不能对任意*n N ∈恒成立；故（4）错.故答案为：（3） 【点睛】本题主要考命题真假的判定，熟记等比数列的性质，以及等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 10．1 1- 【分析】对极限表达式进行整理，得到()()211lim 01→∞⎛⎫--++-= ⎪+⎝⎭n a n a b n b n ，由此作出判断，即可得出参数的值. 【详解】因为22211lim lim 11→∞→∞⎛⎫⎛⎫++------= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭n n n n an an bn b an b n n ()()211lim 01→∞⎛⎫--++-== ⎪+⎝⎭n a n a b n b n 所以100a a b -=⎧⎨+=⎩，解得：11a b =⎧⎨=-⎩. 故答案为1；1- 【点睛】本题主要考查由极限值求参数的问题，熟记极限运算法则即可，属于常考题型. 11．D 【分析】根据题意，得到该屠户每天屠的肉成等比数列，记首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，由题中熟记，以及等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】由题意，该屠户每天屠的肉成等比数列，记首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ， 所以15a =，2q，因此303030130(1)5(12)5(21)112-⨯-===⨯---a q S q .【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的求和公式即可，属于基础题型. 12．D 【分析】根据题意，分别写出n k =和1n k =+时，左边对应的式子，进而可得出结果. 【详解】当n k =时，左边11112=++⋅⋅⋅++++k k k k， 当1n k =+时，左边111(1)1(1)2(1)(1)=++⋅⋅⋅++++++++k k k k()11111232121=++⋅⋅⋅++++++++k k k k k k ， 所以，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边增加了121k +，()121k +；减少了11k +；故选D 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，熟记数学归纳法，会求增量即可，属于基础题型. 13．C 【分析】利用最小正周期为π，求出ω的值，根据平移得出ϕ，然后利用对称性求解. 【详解】因为函数()()f x sin x ωϕ=+的最小正周期为π，所以2ω=，图象向左平移6π个单位后得到sin(2)3πϕ=++y x ，由得到的函数是奇函数可得3πϕ=-，即()sin(2)3f x x π=-.令23x k ππ-=得26k x ππ=+，k Z ∈，故A,B 均不正确；令232x k ππ-=π+得212k x π5π=+，k Z ∈，0k =时可得C 正确.故选C.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换和性质.平移变换时注意平移方向和ω对解析式的影响，性质求解一般利用整体换元意识来处理.【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据512380a a =>得到55605=->a d ，推出0d <，判断出当16n ≤时，0n a >；17n ≥时，0n a <；再根据()*12n n n n b a a a n N ++=⋅⋅∈，判断出n对n b 取正负的影响，进而可得出结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为数列{}n a 是等差数列，512380a a =>， 所以()55738+=a a d ，因此55605=->a d ，所以0d <， 所以516110.20=+=->a a d d ，517120.80=+=<a a d d ， 因此，当16n ≤时，0n a >；17n ≥时，0n a <， 因为()*12n n n n b a a a n N++=⋅⋅∈，所以当14n ≤时，0n b >，当15n =时，151516170=⋅⋅<a a a b ， 当16n =时，161617180=⋅⋅>a a a b ，当17n ≥时，因为0n a <，所以120++=⋅⋅<n n n n b a a a ； 因为()151615161716171816171518+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+a a a a a a b a a a a b()()3161716170.20.80.20.80.0960=⋅⋅+=-⨯⨯-+=->a a a a d d d d d所以，当16n =时，n S 取得最大值. 故选：A 【点睛】本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的性质，及其函数特征即可，属于常考题型. 15．（1）26x x k ππ⎧=+⎨⎩或52,6x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭；（2）1345x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）先将方程变形得到()()sin 22sin 10+-=x x ，根据1sin 1x -≤≤，得到1sin 2x =，进而可求出结果；（2）由题意得到3251311251x x x x >-⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤-≤⎩，求解即可得出结果.【详解】（1）由22sin 3sin 20x x +-=得()()sin 22sin 10+-=x x ， 因为1sin 1x -≤≤，所以1sin 2x =，因此26x k ππ=+或52,6ππ=+∈x k k Z ； 即原方程的解集为：26x x k ππ⎧=+⎨⎩或52,6x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭； （2）由()arccos3arccos 25x x <-得3251311251x x x x >-⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤-≤⎩，即1411331355x x x ⎧>⎪⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩，解得：1345<≤x .故，原不等式的解集为：1345x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题主要考查解含三角函数的方程，以及反三角函数不等式，熟记三角函数性质，根据函数单调性即可求解，属于常考题型. 16．（1）1；（2. 【分析】（1）先将函数化简整理，得到()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数的性质，即可得出结果； （2）令()1sin 232f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得到2236πππ-=+x k 或522,36πππ-=+∈x k k Z ，根据()()12f A f B ==，0A B π<<<，得出4A π=，712B π=，求出6C π=，根据正定理，即可得出结果. 【详解】（1）()22222cos 12sin 14cos 422ππ⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎝⎭=+--=+⎪⎝⎭x x f x x xcos 2122sin 2cos 2sin 222223ππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-=-=- ⎪⎝⎭x x x x x 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因此sin 2,132π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦x ； 故函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值1； （2）因为()()12f A f B ==，由（1），令()1sin 232f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2236πππ-=+x k 或522,36πππ-=+∈x k k Z ， 解得：4x k ππ=+或7,12ππ=+∈x k k Z ，因为0A B π<<<，所以4A π=，712B π=，因此71246πππππ=--=--=C B A ，由正弦定理可得：sin 21sin 2===BC AAB C【点睛】本题主要考查求正弦型复合函数在给定区间的最值，以及正弦定理的应用，熟记正弦函数的性质，以及正弦定理即可，属于常考题型. 17．（1）证明过程见详解；（2）322=-+n n n a ；（3）存在实数2λ=，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列. 【分析】（1）先由题意得到12+-=n n a a n ，再由11n n n b a a +--=，得到12111211++++-=--=-n n n n n n b a a b a a ，即可证明结论成立；（2）先由（1）求得1132+⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭=n n b ，推出111132++⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭-n n n a a ，利用累加法，即可求出数列{}n a 的通项；（3）把数列a n }、{b n }通项公式代入a n +2b n ，进而得到S n +2T 的表达式代入T n ，进而推断当且仅当λ＝2时，数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． 【详解】（1）因为点()1,2n n n a a +-在直线y x =上，所以12+-=n n a a n ，因此2121++-=+n n n a a由11n n n b a a +--=得112111(1)112112++++++--==-+++-----n n n n n n n n n n a a b a a b a a a n na 1111(1)21211221++++===-++--------n n n n n n n n a a a a a a n a n a所以数列{}n b 是以12为公比的等比数列； （2）因为112a =，由2121=-a a 得234a =，故211314--=-=b a a ，由（1）得1111131132422--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅=-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=⎝⎝n n n n b b ，所以111132++⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭-n n n a a ，即111132++⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭-n n n a a ，所以2211132⎛⎫=-⋅ ⎪⎝-⎭a a ，3321132⎛⎫=-⋅ ⎪⎝-⎭a a ，…，11132-⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭-n n na a ， 以上各式相加得：()12311113222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-nn n a a21111223313112212-⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--⨯=--+-n nn n所以322=-+nn n a ； （3）存在λ＝2，使数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，a n +2b n ＝n ﹣2∴()()12213222222n nn n n n nn n n T T n n S T n S T n T n n nλλλ+--+++--+=-==+ 又123113142112212n n n nT b b b ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+++==--⎪⎝⎭-=13322n +-+， ∴13233222n n n S T n n n λλ++--⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭， ∴当且仅当λ＝2时，数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等比数列的定义，等比数列的通项公式，以及等差数列与等比数列的求和公式即可，属于常考题型. 18．（1）()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（2）不存在，理由见详解；（3）见详解. 【分析】（1）根据题意，得到12120--=>m m m，求解即可得出结果； （2）先假设存在等差数列{}n a 为“阿当数列”，设公差为d ，则2>d ，根据等差数列求和公式，结合题中条件，得到2(1)2-+<+n n n d n n ，即21<-nd n 对任意*n N ∈都成立，判断出2≤d ，推出矛盾，即可得出结果；（3）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据{}n a 为“阿当数列”，推出在数列{}1n n a a --()2n ≥中，21a a -为最小项；在数列{}1--n n b b ()2n ≥中，21b b -为最小项；得到()112->a q ，()113-≤a q ，再由数列{}n a 每一项均为正整数，得到11a =，4q =或13a =，2q；分别讨论11a =，4q =和13a =，2q 两种情况，结合数列的增减性，即可得出结果.【详解】（1）由题意可得：2111332-=-+=>a a m m ，32142-=->a a m， 即12120--=>m m m ，解得12m >或0m <； 所以实数m 的取值范围是()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭； （2）假设存在等差数列{}n a 为“阿当数列”，设公差为d ，则2>d ，由11a =可得：(1)2-=+n n n S n d ， 又()2*n S n n n N <+∈，所以2(1)2-+<+n n n d n n 对任意*n N ∈都成立， 即21<-nd n 对任意*n N ∈都成立，因为222211=+>--n n n ，且2lim 21→∞=-n nn ，所以2≤d ，与2>d 矛盾， 因此，不存在等差数列{}n a 为“阿当数列”；（3）设等比数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=，且每一项均为正整数，因为{}n a 为“阿当数列”，所以()1111120-+-=-=->>nn n n n a q a a q a qa ，所以10a >，1q >；因为()()11111+---=->-=-n n n n n n a a a a a a q q ， 即在数列{}1n n a a --()2n ≥中，21a a -为最小项； 同理，在数列{}1--n n b b ()2n ≥中，21b b -为最小项； 由{}n a 为“阿当数列”，只需122->a a ，即()112->a q ，又因为数列{}n b 不是“阿当数列”，所以122-≤b b ，即()113-≤a q ，由数列{}n a 每一项均为正整数，可得：()113-=a q ，所以11a =，4q =或13a =，2q ；当11a =，4q =时，14n n a -=，则()()13554212121-+--===+⋅+⋅+n n n n n n a c n n n ， 令*1()+=-∈n n n d c c n N ，则43322221(1)(2)+++=-=⋅++++n n n n nd n n n n ， 所以32431122220(2)(3)(1)(2)2(1)(3)+++++++-=⋅-⋅=⋅>+++++++n n n n n n n n n d d n n n n n n n ， 即数列{}n d 为递增数列，所以111221+---->->->⋅⋅⋅>-n n n n n n c c c c c c c c ， 因为213288233-=-=>c c ，所以对任意*n N ∈，都有12+->n n c c ， 即数列{}n c 是“阿当数列”； 当13a =，2q时，132n n a -=⋅，则()()155324812121---⋅===+⋅+⋅+n n n n n a c n n n ， 显然数列{}n c 是递减数列，2102-<<c c ， 故数列{}n c 不是“阿当数列”； 综上，当14n n a -=时，数列{}n c 是“阿当数列”；当132n n a -=⋅时，数列{}n c 不是“阿当数列”. 【点睛】本题主要考查数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的性质即可，属于常考题型.。

2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）10月月考数学试卷一、填空题1．集合{x|﹣2＜x＜3，x∈Z}可用列举法表示为．2．设集合，则集合A的子集的个数是．3．设集合A＝{1，9，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则实数x的取值范围是．4．命题：“若a2+b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是．5．关于x的方程x2﹣10x+k＝0有两个异号根的充要条件是．6．设x，y∈R，则“|x|+|y|＜1”是“|x|＜1且|y|＜1”的条件．7．已知A＝{|a+1|，3，5}，B＝{2a+1，a2+2a，a2+2a﹣1}，若A∩B＝{2，3}，则A∪B＝．8．已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2k﹣1}，B＝{x|x﹣k≤0}，且A⫋B，则实数k的取值范围是．9．若关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集是．10．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，则称k是A的一个“孤立元”，已知S＝{1，2，3，4}，所有由S的2个元素构成的集合中，含有“孤立元”的集合个数是．11．已知m∈R，集合A＝{x|m≤x≤3m﹣1}，若A∩Z恰有一个元素，则m的取值范围是．12．已知f（x）＝x|x|，若对任意x∈[a﹣2，a+2]，f（x+a）＜2f（x）恒成立，则实数a的取值范围是．二、选择题13．若M、P都是全集U的子集，则图中阴影部分可以表示为（）A．M∪P B．∁U（M∩P）C．∁U（M∪P）D．∁U M∪∁U P 14．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0D．（a﹣b）c2≥0 15．有下列三个命题：①“x+y≠4”是“x≠1且y≠3”的必要非充分条件；②xy＜0是|x﹣y|＝|x|+|y|的充要条件；③已知m，n∈Z，则m2+n2＜5是m+n≤2的充分非必要条件；其中的真命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个16．已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+2+a，若集合A＝{x∈N|f（x）＜0}中恰有一个元素，则实数a（）A．有最大值，无最小值B．有最小值，无最大值C．既无最大值，也无最小值D．既有最大值，也有最小值三、解答题17．已知集合U＝{x|x＜9，x∈N*}，A＝{1，2，3，7}，B＝{1，3，4，5，6}，求∁U A和∁U （A∩B）．18．若抛物线y＝x2﹣（2a﹣1）x+a2﹣1与x轴的两个交点在y轴的同侧，求实数a的取值范围．19．已知a，b∈R，关于x的函数f（x）＝x2+ax+b，集合A＝{x|f（x）＝x，x∈R}，B＝{x|f （f（x））＝x，x∈R}．（1）若A＝{a}，求a、b的值；（2）若a∈N，b＝0且A＝B，求集合A．20．已知U⊆R为一个数集，集合A＝{s2+3t2|s，t∈U}．（1）设U＝{1，3，5}，求集合A的元素个数；（2）设U＝Z，证明：若x∈A，则7x∈A；（3）设U＝R，x，y∈A，且x＝m2+3n2，y＝p2+3q2，若mp﹣3nq＝，求x+y+mq+np 的最小值．2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．集合{x|﹣2＜x＜3，x∈Z}可用列举法表示为{﹣1，0，1，2}．【分析】利用集合的表示方法求解．【解答】解：集合{x|﹣2＜x＜3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2}，故答案为：{﹣1，0，1，2}．【点评】本题主要考查了集合的表示方法，是基础题．2．设集合，则集合A的子集的个数是8．【分析】由题意，可求集合A中有2，3，4三个元素．而集合的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．可得正确答案．【解答】解：由于∈N，则5﹣x必为6的正约数，∴5﹣x＝1，2，3，6，∴x＝4，3，2，﹣1；又x∈N，∴x＝4，3，2．故集合集合A＝{2，3，4}，所以集合A子集个数为8个．故答案为：8．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n 个元素，则集合M的子集共有2n个．3．设集合A＝{1，9，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则实数x的取值范围是{3，﹣3，0}．【分析】根据A∩B＝B，根据集合的性质，列方程即可求得x的值、【解答】解：A∩B＝B，则B⊆A，根据集合的性质，当9＝x2，解得：x＝3或﹣3，当x＝x2时，解得x＝1或0，根据集合的互异性可知，x≠1，故x＝0，3或﹣3．故答案为：{3，﹣3，0}．【点评】本题考查集合的运算，考查集合的性质，属于基础题．4．命题：“若a2+b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0．【分析】逆否命题就是条件否定了当结论，结论否定了当条件，根据原命题，写出即可．【解答】解：“若a2+b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是：若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0．故答案为：若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0．【点评】本题考查了四种命题中逆否命题的写法，属于基础题．5．关于x的方程x2﹣10x+k＝0有两个异号根的充要条件是k＜0．【分析】根据根的判别式和根与系数的关系求出m的范围，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣10x+k＝0有两个异号根，∴，∴解得k＜0，∴“k＜0”方程x2﹣10x+k＝0有两个异号根的充要条件．故答案为：k＜0．【点评】此题考查了方程根与系数的关系，充分条件和必要条件的定义，属于基础题．6．设x，y∈R，则“|x|+|y|＜1”是“|x|＜1且|y|＜1”的充分不必要条件．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x|+|y|＜1能够推出|x|＜1且|y|＜1，故“|x|+|y|＜1”是“|x|＜1且|y|＜1”的充分条件，由|x|＜1且|y|＜1推不出|x|+|y|＜1，如|x|＝且|y|＝，则|x|+|y|＞1，故“|x|+|y|＜1”是“|x|＜1且|y|＜1”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．7．已知A＝{|a+1|，3，5}，B＝{2a+1，a2+2a，a2+2a﹣1}，若A∩B＝{2，3}，则A∪B＝{﹣5，2，3，5}．【分析】由题意推出|a+1|＝2，求出a的值，验证A∩B＝{2，3}，求出A，B，然后求出A∪B．【解答】解：由A∩B＝{2，3}可得，2∈A，∴|a+1|＝2，a＝1或a＝﹣3，当a＝1时，此时B中有相同元素，不符合题意，应舍去当a＝﹣3时，此时B＝{﹣5，3，2}，A＝{2，3，5}，A∩B＝{3，2}符合题意，所以a＝﹣3，A∪B＝{﹣5，2，3，5}．故答案为：{﹣5，2，3，5}．【点评】本题是中档题，考查集合的基本运算，集合中参数的取值问题的处理方法，考查计算能力．8．已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2k﹣1}，B＝{x|x﹣k≤0}，且A⫋B，则实数k的取值范围是{k|k ≤1}．【分析】由集合的包含关系，A中所有元素都在B中，得到关于k的不等式，解出即可．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2≤x＜2k﹣1}，B＝{x|x﹣k≤0}，且A⫋B，∴2k﹣1≤k⇒k≤1；故答案为：{k|k≤1}．【点评】本题考查集合的关系问题，根据已知构造不等式是解答的关键．9．若关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．【分析】由不等式ax2+bx+c＜0的解集求出a、b和c的关系，判断a＜0；代入不等式为cx2+bx+a＞0化简并求解集即可．【解答】解：不等式ax2+bx+c＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），所以1和﹣3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＜0；即，解得b＝2a，c＝﹣3a；所以不等式为cx2+bx+a＞0可化为﹣3x2+2x+1＜0，即3x2﹣2x﹣1＞0，即（3x+1）（x﹣1）＞0，解得x＜﹣或x＞1，所以不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．10．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，则称k是A的一个“孤立元”，已知S＝{1，2，3，4}，所有由S的2个元素构成的集合中，含有“孤立元”的集合个数是3．【分析】根据“孤立元”的定义知，由S的2个元素构成的集合中，含有“孤立元”的集合个数是，拿S中两个元素构成的集合个数减去S中相邻的元素构成的集合的个数．【解答】解：S中相邻元素构成的集合为：{1，2}，{2，3}，{3，4}，共3个；S中两个元素构成的集合个数为：，∴由S的2个元素构成的集合中，含有“孤立元”的集合个数是6﹣3＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了“孤立元”的定义，列举法的定义，组合数公式，考查了计算能力，属于基础题．11．已知m∈R，集合A＝{x|m≤x≤3m﹣1}，若A∩Z恰有一个元素，则m的取值范围是．【分析】先根据闭区间[m，3m﹣1]应满足①不空，②区间长度不超过2，求出，得到该区间包含的整数为1，2，3，再对这3个整数分类讨论即可求出m的取值范围．【解答】解：依题意，闭区间[m，3m﹣1]上恰有一个整数，则该区间应满足①不空，②区间长度不超过2，即，解得∴当有，∴该区间包含的整数为1，2，3，（1）当仅有1∈[m，3m﹣1]时，m≤1≤3m﹣1＜2，∴；（2）当仅有2∈[m，3m﹣1]时，m≤2≤3m﹣1＜3，∴，又∵m＝1时，区间[m，3m﹣1]＝[1，2]有两个整数，∴（3）当仅有3∈[m，3m﹣1]时，m≤3≤3m﹣1＜4，∴，与矛盾，故舍去，综上所述，m的取值范围是，故答案为：．【点评】本题主要考查了集合的元素个数问题，意在考查学生对这些知识的理解和掌握水平，是中档题．12．已知f（x）＝x|x|，若对任意x∈[a﹣2，a+2]，f（x+a）＜2f（x）恒成立，则实数a的取值范围是a＜﹣．【分析】首先结合二次函数的单调性判断f（x）的单调性，可得原不等式等价为x+a＜x 在x∈[a﹣2，a+2]恒成立，由参数分离和一次函数的单调性，解不等式可得所求范围．【解答】解：f（x）＝x|x|＝，可得f（x）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递增，且f（0）＝0，则f（x）在R上递增，由f（x+a）＜2f（x）可得f（x+a）＜f（）f（x）＝f（x），则x+a＜x在x∈[a﹣2，a+2]恒成立，即有a＜（﹣1）x在x∈[a﹣2，a+2]的最小值，可得a＜（﹣1）（a﹣2），解得a＜﹣，故答案为：a＜﹣．【点评】本题考查函数恒成立问题解法，运用函数的单调性和参数分离，转化为求函数的最值是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．二、选择题13．若M、P都是全集U的子集，则图中阴影部分可以表示为（）A．M∪P B．∁U（M∩P）C．∁U（M∪P）D．∁U M∪∁U P【分析】根据图象和集合之间的关系即可得到结论．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为既不属于集合A又不属于集合B的元素构成，所以用集合表示为∁U（M∪P）．故选：C．【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．14．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0D．（a﹣b）c2≥0【分析】A、令a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3，计算出a+c与b﹣c的值，显然不成立；B、当c＝0时，显然不成立；C、当c＝0时，显然不成立；D、由a大于b，得到a﹣b大于0，而c2为非负数，即可判断此选项一定成立．【解答】解：A、当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3时，a+c＝﹣4，b﹣c＝1，显然不成立，本选项不一定成立；B、c＝0时，ac＝bc，本选项不一定成立；C、c＝0时，＝0，本选项不一定成立；D、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项一定成立，故选：D．【点评】此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型．15．有下列三个命题：①“x+y≠4”是“x≠1且y≠3”的必要非充分条件；②xy＜0是|x﹣y|＝|x|+|y|的充要条件；③已知m，n∈Z，则m2+n2＜5是m+n≤2的充分非必要条件；其中的真命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①由x+y≠4，与x≠1且y≠3，相互推不出，即可判断出真假．②根据xy≤0是|x﹣y|＝|x|+|y|的充要条件，即可判断出真假．③若m，n∈Z，m2+n2＜5，可得（m，n）为：（1，0），（2，0），（1，1），（﹣1，0），（﹣2，0），（﹣1，1），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，﹣1），共9组，即可判断出真假．【解答】解：①“x+y≠4”，推不出“x≠1且y≠3”，反之不成立，例如x＝5，y＝﹣1，则x+y＝4，因此“x+y≠4”是“x≠1且y≠3”的既不充分也不必要条件，因此①是假命题．②xy≤0是|x﹣y|＝|x|+|y|的充要条件，因此②是假命题；③若m，n∈Z，m2+n2＜5，则（m，n）为：（1，0），（2，0），（1，1），（﹣1，0），（﹣2，0），（﹣1，1），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，﹣1），共9组，都满足m+n≤2，反之不成立，例如：m＝3，n＝﹣1，∴m，n∈Z，则m2+n2＜5是m+n≤2的充分不必要条件，因此③是真命题．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+2+a，若集合A＝{x∈N|f（x）＜0}中恰有一个元素，则实数a（）A．有最大值，无最小值B．有最小值，无最大值C．既无最大值，也无最小值D．既有最大值，也有最小值【分析】由△＞0求出a＞2或a＜﹣2，再对a分两种情况讨论，利用零点存在定理即可求解．【解答】解：由题意可知，方程x2﹣（a+2）x+2+a＝0有两个不同的实根，∴△＝（a+2）2﹣4（2+a）＞0，解得a＞2或a＜﹣2，①当a＜﹣2时，∵f（0）＝2+a＜0，f（1）＝1＞0，∴必有f（﹣1）≥0，即1+a+2+2+a≥0，∴，又∵a＜﹣2，∴，②当a＞2时，a﹣2＞0，∴f（1）＝1＞0，f（2）＝2﹣a＜0，∴必有f（3）≥0，即9﹣3（a+2）+2+a≥0，∴a，又∵a＞2，∴，综上所述，实数a的取值范围为：[﹣，﹣2）∪（2，]，所以实数a的最大值为，最小值为﹣，故选：D．【点评】本题主要考查了方程的零点，考查了一元二次不等式和零点存在定理，是中档题．三、解答题17．已知集合U＝{x|x＜9，x∈N*}，A＝{1，2，3，7}，B＝{1，3，4，5，6}，求∁U A和∁U （A∩B）．【分析】化简集合U，根据补集与交集的定义计算即可．【解答】解：集合U＝{x|x＜9，x∈N*}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3，7}，B＝{1，3，4，5，6}，所以∁U A＝{4，5，6，8}；又A∩B＝{1，3}，所以∁U（A∩B）＝{2，4，5，6，7，8}．【点评】本题考查了集合的定义和运算问题，是基础题．18．若抛物线y＝x2﹣（2a﹣1）x+a2﹣1与x轴的两个交点在y轴的同侧，求实数a的取值范围．【分析】设方程x2﹣（2a﹣1）x+a2﹣1＝0的两根为x1，x2，根据题意可得，解不等式组即可求出a的取值范围．【解答】解：设方程x2﹣（2a﹣1）x+a2﹣1＝0的两根为x1，x2，由题意可知，即，解得a＜﹣1或1＜a＜，∴实数a的取值范围为：．【点评】本题主要考查了二次函数根的分布问题，注意△的范围和韦达定理的应用，是基础题．19．已知a，b∈R，关于x的函数f（x）＝x2+ax+b，集合A＝{x|f（x）＝x，x∈R}，B＝{x|f （f（x））＝x，x∈R}．（1）若A＝{a}，求a、b的值；（2）若a∈N，b＝0且A＝B，求集合A．【分析】（1）等价于x2+（a﹣1）x+b＝0有两个相等的实根a，利用△＝0和a2+（a﹣1）a+b＝0 即可求出a，b的值；（2）先化简两个集合的方程，由题意两方程同解，再对a分情况讨论求解．【解答】解：（1）由题意方程x2+ax+b＝x有两个相等的实根a，所以方程x2+（a﹣1）x+b＝0有两个相等的实根a，所以△＝（a﹣1）2﹣4b＝0且a2+（a﹣1）a+b＝0，解得a＝，b＝；（2）当b＝0时，f（x）＝x2+ax，关于集合A的方程f（x）＝x可化为x[x﹣（1﹣a）]＝0 （*），关于集合B的方程f（f（x））＝x可化为x4+2ax3+（a2+a）x2+（a2﹣1）x＝0，因式分解为x[x﹣（1﹣a）][x2+（a+1）x+（a+1）]＝0 （**），由条件A＝B可知，方程（*）和（**）同解，①当a＝0时，两方程为x（x﹣1）＝0和x（x﹣1）（x2+x+1）＝0，所以x＝0或1，所以A＝{0，1}；②当a＝1时，两方程为x2＝0和x2（x2+2x+2）＝0，所以x＝0，所以A＝{0}；③当a＝2时，两方程为x（x+1）＝0和x（x+1）（x2+3x+3）＝0，所以x＝0或﹣1，所以A＝{0，﹣1}；④当a＝3时，两方程为x（x+2）＝0和x（x+2）3＝0，所以x＝0或﹣2，所以A＝{0，﹣2}；⑤当a≥4时，方程（**）中x2+（a+1）x+a+1＝0，△＝（a+1）（a﹣3）＞0，有两个不同的解，此时方程（*）和（**）不同解，所以舍去；所以a＝0，A＝{0，1}；a＝1，A＝{0}；a＝2，A＝{0，﹣1}；a＝3，A＝{0，﹣2}．【点评】本题主要考查了集合相等的定义，考查解方程，意在学生对这些知识的理解掌握水平，是中档题．20．已知U⊆R为一个数集，集合A＝{s2+3t2|s，t∈U}．（1）设U＝{1，3，5}，求集合A的元素个数；（2）设U＝Z，证明：若x∈A，则7x∈A；（3）设U＝R，x，y∈A，且x＝m2+3n2，y＝p2+3q2，若mp﹣3nq＝，求x+y+mq+np 的最小值．【分析】（1）分别求出s＝t＝1、s＝1，t＝3、s＝3，t＝1、s＝1，t＝5、s＝5，t＝1、s ＝3，t＝5、s＝5，t＝3、s＝t＝3、s＝t＝5时，s2+3t2的值，由此能求出集合A．（2）由U＝Z，x∈A，求出x＝s2+3t2，从而推导出7x＝7（s2+3t2）＝（2s+3t）2+3（s﹣2t）2，由此能证明7x∈A．（3）求出xy＝（m2+3n2）（p2+3q2）＝3（mq+np）2+3，设mq+np＝6，推导出，设，得11b2+2bt+12﹣t2＝0，利用判别式法，能求出x+y+mq+np的最小值．【解答】解：（1）解：∵U⊆R为一个数集，集合A＝{s2+3t2|s，t∈U}．U＝{1，3，5}，∴当s＝t＝1时，s2+3t2＝1+3＝4，当s＝1，t＝3时，s2+3t2＝1+27＝28，当s＝3，t＝1时，s2+3t2＝9+3＝12，当s＝1，t＝5时，s2+3t2＝1+75＝76，当s＝5，t＝1时，s2+3t2＝25+3＝28，当s＝3，t＝5时，s2+3t2＝9+75＝84，当s＝5，t＝3时，s2+3t2＝25+27＝52，当s＝t＝3时，s2+3t2＝9+27＝36，当s＝t＝5时，s2+3t2＝25+75＝100，∴A＝{4，12，28，36，52，76，84，100}，8个．（2）证明：∵U＝Z，x∈A，∴x＝s2+3t2，∴7x＝7（s2+3t2）＝7s2+21t2＝（2s+3t）2+3（s﹣2t）2∈A．∴7x∈A．（3）解：xy＝（m2+3n2）（p2+3q2）＝3（mq+np）2+（mp﹣3nq）2＝3（mq+np）2+3，设mq+np＝6，∴，，设，整理得11b2+2bt+12﹣t2＝0，判别式法，△＝4b2﹣44（12﹣t2）≥0，得，即．∴x+y+mq+np的最小值为．【点评】本题考查集合的求法，考查元素是集合中的元素的证明，考查代数式的最小值的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。

开始2a =,1n =输出a结束3a a =1n n =+ 2010n >是否华东师大一附中2011学年度第一学期高二年级数学学科期末考试试题注意：1．答卷前，你务必在答题纸上指定位置将班级、学号、姓名填写清楚． 2．本试卷共有20道试题，满分100分．考试时间90分钟． 3．细致冷静，诚实守信，数学老师祝你考出好成绩！ 一．填空题（本大题满分11×4=44分）应在空格内直接填写结果． 1.已知向量)1,(),3,2(-=-=m b m a ，且b a //，则=m ．2.用数学归纳法证明)12(312)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅++n n n n n n 时，从k n =推到1+=k n 时，不等式左端应添加的代数式为 ．3.系数矩阵为1221⎛⎫ ⎪⎝⎭，且解为11x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的一个线性方程组是 ．4.=++++++++∞→)122124122121(lim nnnnnn ．5.程序框图如图所示，将输出的a 的值依次记为1a ，2a ， n a ， 那么数列{}n a 的通项公式为=n a ．6.在正四面体ABCD 中，点E 为棱AD 的中点，则异面直线AB 与CE 所成角的大小为 ．7.若圆锥的侧面展开图是弧长为2πcm 、半径为2cm 的扇形， 则该圆锥的体积为 3cm .8.在北纬 45东经 30有一座城市A ，在北纬 45东经120有一座 城市B ，设地球半径为R ，则A 、B 两地之间的球面距离是 ． 9.已知等比数列的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学计算得220,S =336,S =654=S ，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为 ．10.某汽车交易市场最近成交了一批新款轿车，共有x 辆国产车和y 辆进口车，国产车的交易价格为每辆m 万元，进口车的交易价格为每辆n 万元．我们把),(y x a =叫交易向量，),(n m b =叫价格向量，则b a ⋅的实际意义是 ．11.设平面上三点C B A ,,不共线，平面上另一点D 满足BD BC BA 243=+，则ABC ∆的面积与四边形ABCD 的面积之比为 ．二．选择题（本大题满分5×3=15分）每题有仅有一个正确答案，应在括号内填写选项． 12.设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件13.右图是某同学为求1006个偶数：2, 4, 6, …, 2012的平均数而设计的程序框图的部分内容，则在该程序框图中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是（ ） （A ）1006?,1006x x i =< （B ）2012?,1006x x i =≤ （C ）1006?,1006x x i => （D ）2012?,1006x x i =≥14.下列四个命题中真命题是（ ） （A ）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（B ）过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条； （C ）底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱； （D ）过球面上任意两点的大圆有且只有一个15.已知等差数列}{n a ，)(14*N n n a n ∈-=，将其中所有能被3或5整除的数删去后，剩下的数自小到大排成一个数列}{n b ，则2010b 的值为（ ）（A ）15011 （B ）15067 （C ）15071 （D ）1513116.一位同学对三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a （其中实系数)3,2,1(,,=i c b a i i i 不全为零）的解的情况进行研究后得到下列结论：结论1：当0=D ，且0===z y x D D D 时，方程组有无穷多解； 结论2：当0=D ，且z y x D D D ,,都不为零时，方程组有无穷多解； 结论3：当0=D ，且0===z y x D D D 时，方程组无解．但是上述结论均不正确．下面给出的方程组可以作为结论1、2和3的反例依次为（ ）（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++232132032z y x z y x z y x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+0420202y x z y x y x ； （3）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+230212z y x z y x y x（A ）（1）（2）（3） （B ）（1）（3）（2） （C ）（2）（1）（3） （D ）（3）（2）（1）三．解答题（本大题满分41分）本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17.(本题满分4+5=9分)平面上三个非零向量a 、b 、c 的模均为1，它们之间的夹角均为120.（1）求证：)(c b a-⊥；（2）若1||>++c b a k，求实数k 的取值范围．18.(本题满分9分)已知命题P ：0)12(lim =-∞→nn c （其中c 为常数），命题Q ：把三阶行列式xcx 4146325--中第一行、第二列元素的代数余子式记为)(x f ，且函数)(x f 在区间]41,41[-上单调递增．若命题P 是真命题，命题Q 是假命题，求实数c 的取值范围．19.(本题满分5+5=10分)如图，在正方体1111ABC D A B C D -中，E F 、分别为11A D 和1C C 的中点．（1）求证：EF ∥平面1A C D ；（2）求二面角1D AC B --大小的余弦值．20.(本题满分3+5+5=13分)设数列{}n a 的通项公式为)0,(>∈+=*p N n q pn a n . 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（1）若31,21==q p ，求3b ；（2）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前m 2项和m S 2；（3）是否存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.答案1.1或22.)12(2+k3.2323x y x y +=⎧⎨+=⎩4.25.132-⋅n （2010,*≤∈n N n ）6.63arccos7.3π8.R 3π9.363=S10.该批轿车的交易总金额 11.7:2 12.C 13.C 14.B 15.C 16.B 17.（1）证： c a b a c b a ⋅-⋅=-⋅)(120cos 11120cos 11⨯⨯-⨯⨯= 0= )(c b a -⊥∴（2）解：将1||>++c b a k平方得1)21(2)21(2)21(2112>-+-+-+++k k k即022>-k k 0<⇒k 或2>k 故实数k 的取值范围为0<k 或2>k 。

华师大二附中2021届高一期中考试数学试卷满分100分时间90分钟2016.11一. 填空题1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,3,5,7M =，{}5,6,7N =，则()U C M N =2. 集合*{|16,}x x x N <<∈的非空真子集的个数为3. 若命题:p ()(2)0x m x m ---≤；命题:q 431x -≤，且p 是q 的必要非充分条件， 则实数m 的取值范围是4. 已知集合{}42A x m x m =-<<，{}14B x x =-<<，若AB B =，则实数m 的 取值范围为5. 下列命题：①a b c a c b >⇒-<-；②a b >，0c c c a b >⇒<；③22a b ac bc >⇒>； ④33a b a b >⇒>，其中正确的命题个数是6. 不等式2(4)(3)054x x x x ++<-+的解集为 7.函数0()f x =的定义域是 8. 若2()3f x ax a =+是定义在2[5,1]a a --上的偶函数，令函数()()(1)g x f x f x =+-， 则函数()g x 的定义域为 9. 已知函数251()1x x f x a x x x -<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是 10. 函数()y f x =定义域是D ，若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤， 则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()y f x =在[0,1]上为非减函数，满足条件：①(0)0f =；②1()()32x f f x =；③(1)1()f x f x -=-；则11()()32016f f += 二. 选择题11. 设集合{|10}P m m =-<≤，2{|440Q m mx mx =+-<对任意x 恒成立}，则P 与 Q 的关系是（ ）。

2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期中数学试卷试题数：18，总分：1001.（填空题，4分）已知集合A={-1，0，1，7}，则集合A的非空真子集的个数为___ ．2.（填空题，4分）不等式-2＜1x＜3的解集是___ ．3.（填空题，4分）函数f（x）= 0√|x|−x的定义域是___ ．4.（填空题，4分）若U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，A={x|x2-1≤0，x∈Z}，B={x|-1≤x≤3，x∈Z}，则A∩B=___ ．5.（填空题，4分）设集合T={∅，{∅}}，则下列命题：① ∅∈T，② ∅⊆T，③ {∅}∈T，④ {∅}⊆T中正确的是___ （写出所有正确命题对应的序号）．6.（填空题，4分）若集合{x|y=√x2+2(a+1)x+a2−5}=R，则实数a的取值范围是___ ．7.（填空题，4分）如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，P∩ Q中含有4个元素，P∩Q含有3个元素，则P含有___ 个元素．8.（填空题，4分）叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a 元，b元，c元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是___ 老师，理由是___ ．（请写出关键的不等式）9.（填空题，4分）对于集合M，定义函数f M(x)={−1，x∈M1，x∉M，对于两个集合A，B，定义集合A*B={x|f A（x）•f B（x）=-1}．已知集合A={x|√2−x＞x}，B={x|x（x-3）（x+3）＞0}，则A*B=___ ．10.（填空题，4分）已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|=|x-b1|+|x-b2|+|x-b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有___ 个元素．11.（单选题，4分）命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A.若q不正确，则p不正确B.若q不正确，则p正确C.若p正确，则q不正确D.若p正确，则q正确12.（单选题，4分）已知a，b∈R，则“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的（）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分又不必要13.（单选题，4分）已知f（x）在x∈[a，b]上的最大值为M，最小值为m，给出下列五个命题：① 若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，m]；② 若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，M]；③ 若关于x的方程p=f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是[m，M]；④ 若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，m]；⑤ 若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，M]；其中正确命题的个数为（）A.4个B.3个C.2个D.1个14.（单选题，4分）设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，Q1={x|x2+x+b＞0}，Q2={x|x2+2x+b＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A.对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B.对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C.存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D.存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集15.（问答题，10分）设a＞0，b＞0，且a+b=1a +1b．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．16.（问答题，10分）已知集合A={x|x2-（m+3）x+2（m+1）=0}，B={x|2x2+（3n+1）x+2=0}，其中m，n∈R．（1）若A∩B=A，求m，n的值；（2）若A∪B=A，求m，n的取值范围．（1-x）且|f（a）|＜2，17.（问答题，12分）已知命题P：函数f（x）= 13命题Q：集合A={x|x2+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}且A∩B=∅．（1）若命题P、Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．（2）若命题P、Q均为真命题时的实数a的取值范围．，x∈R，m＞0，x≠0}，若T （3）由（2）得结论，a的取值范围设为集合S，T={y|y=x+ mx⊆S，求实数m的范围．18.（问答题，12分）公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变．（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：18，总分：1001.（填空题，4分）已知集合A={-1，0，1，7}，则集合A的非空真子集的个数为___ ．【正确答案】：[1]14【解析】：若集合A中有n个元素，则集合A有2n-2个非空真子集．【解答】：解：∵集合A={-1，0，1，7}，∴集合A的非空真子集的个数为：24-2=14．故答案为：14．【点评】：本题考查集合的非空真子集的个数的求法，考查子集、真子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（填空题，4分）不等式-2＜1x＜3的解集是___ ．【正确答案】：[1]{x|x ＜−12或x＞13}．【解析】：结合x的范围，去分母转化为一次不等式即可求解．【解答】：解：∵-2＜1x＜3，① 当x＞0时，-2x＜1＜3x，解可得，x＞−12且x＞13，∴ x＞13，② 当x＜0时，-2x＞1＞3x，解可得，x＜−12且x＜13，∴ x＜−12，综上可得，不等式的解集为{x|x ＜−12或x＞13}．故答案为：{x|x ＜−12 或 x ＞13 }．【点评】：本题考查不等式的解法，主要考查分次不等式的解法注意转化为一次不等式，考查运算能力，属于基础题． 3.（填空题，4分）函数f （x ）=0√|x|−x的定义域是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-3）∪（-3，0）【解析】：由0指数幂的底数不为0，分母中根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】：解：由 {x +3≠0|x |−x ＞0 ，解得x ＜0且x≠-3．∴函数 f (x )=0√|x|−x-∞，-3）∪（-3，0）．故答案为：（-∞，-3）∪（-3，0）．【点评】：本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．4.（填空题，4分）若U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，A={x|x 2-1≤0，x∈Z}，B={x|-1≤x≤3，x∈Z}，则 A ∩B=___ ． 【正确答案】：[1]{2，3}【解析】：可求出集合A ，B ，然后进行交集和补集的运算即可．【解答】：解：∵U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，A={x|-1≤x≤1，x∈Z}={-1，0，1}，B={-1，0，1，2，3}，∴ A ={−3，−2，2，3} ， A ∩B ={2，3} ． 故答案为：{2，3}【点评】：本题考查了列举法、描述法的定义，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．5.（填空题，4分）设集合T={∅，{∅}}，则下列命题： ① ∅∈T ， ② ∅⊆T ， ③ {∅}∈T ， ④ {∅}⊆T 中正确的是___ （写出所有正确命题对应的序号）． 【正确答案】：[1] ① ② ③ ④【解析】：根据元素与集合的关系即可判断出① ③ 都正确，根据子集的定义即可判断出② ④ 都正确，从而找出正确的命题序号．【解答】：解：∵T={∅，{∅}}，∴∅∈T，∅⊆T，{∅}∈T，{∅}⊆T．故答案为：① ② ③ ④ ．【点评】：本题考查了元素与集合的关系的判断，子集的定义，考查了推理能力，属于基础题．6.（填空题，4分）若集合{x|y=√x2+2(a+1)x+a2−5}=R，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-3]【解析】：由题意可得，x2+2（a+1）x+a2-5≥0恒成立，结合二次不等式的恒成立问题即可求解．【解答】：解：由题意可得，x2+2（a+1）x+a2-5≥0恒成立，∴△=4（a+1）2-4（a2-5）≤0，解得a≤-3，故答案为：（-∞，-3]【点评】：本题主要考查了函数的定义域的应用，属于基础试题．7.（填空题，4分）如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，P∩ Q中含有4个元素，P∩Q含有3个元素，则P含有___ 个元素．【正确答案】：[1]5【解析】：根据条件画出Venn图即可求出P含有的元素个数．【解答】：解：根据题意，用Venn图表示集合U，P，Q如下：，∴P含有5个元素．故答案为：5．【点评】：本题考查了用Venn 图表示集合的方法，交集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．8.（填空题，4分）叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a 元，b 元，c 元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是___ 老师，理由是___ ．（请写出关键的不等式）【正确答案】：[1]叶; [2]（a+b+c ）（ 1a + 1b + 1c ）＞9【解析】：分别求出三次后两人所打酱油的平均价格，再利用作商法比较大小即可．【解答】：解：叶老师的平均价格为 100+100+100100a +100b +100c= 31a +1b +1c，王老师的平均价格为 100a+100b+100c 100+100+100 = a+b+c3，∵ a+b+c 331a +1b +1c= 19[（a+b+c ）（ 1a+ 1b+ 1c）]＞ 19（a× 1a+b× 1b+c× 1c）2=1，∴a+b+c 3 ＞ 31a +1b +1c， ∴叶老师的平均价格更低，故答案为：叶，（a+b+c ）（ 1a+ 1b+ 1c）＞9．【点评】：本题主要考查了简单的合情推理，考查了作商法比较两数的大小，以及柯西不等式，是中档题．9.（填空题，4分）对于集合M ，定义函数 f M (x )={−1，x ∈M 1，x ∉M，对于两个集合A ，B ，定义集合A*B={x|f A （x ）•f B （x ）=-1}．已知集合 A ={x|√2−x ＞x} ，B={x|x （x-3）（x+3）＞0}，则A*B=___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-3]∪[0，1）∪（3，+∞） 【解析】：求出集合A ，B ，利用新定义求出A*B 即可．【解答】：解：A=（-∞，1），B={x|x （x-3）（x+3）＞0}={x|-3＜x ＜0或x ＞3} 因为f A （x ）•f B （x ）=-1，所以当f A （x ）=1，f B （x ）=-1，A*B={x|x ＞3}， 当f A （x ）=-1，f B （x ）=1，A*B={x|x≤-3或0≤x ＜1}， 故A*B=（-∞，-3]∪[0，1）∪（3，+∞）．故答案为：（-∞，-3]∪[0，1）∪（3，+∞）．【点评】：考查集合的交并集的计算，集合概念的理解，基础题．10.（填空题，4分）已知a 1，a 2，a 3与b 1，b 2，b 3是6个不同的实数，若关于x 的方程|x-a 1|+|x-a 2|+|x-a 3|=|x-b 1|+|x-b 2|+|x-b 3|解集A 是有限集，则集合A 中，最多有___ 个元素． 【正确答案】：[1]3【解析】：由题意，可将关于x 的方程|x-a 1|+|x-a 2|+|x-a 3|=|x-b 1|+|x-b 2|+|x-b 3|解的个数问题转化为f （x ）=|x-a 1|+|x-a 2|+|x-a 3|，g （x ）=|=|x-b 1|+|x-b 2|+|x-b 3|两个函数图象交点个数问题，将两个函数变为分段函数，由于两个函数都是折线，分别讨论折线端点处的函数值，作出符合题意的图象，即可得出图象交点个数，从而得出方程解的个数【解答】：解：令f （x ）=|x-a 1|+|x-a 2|+|x-a 3|，g （x ）=|=|x-b 1|+|x-b 2|+|x-b 3|，将关于x 的方程|x-a 1|+|x-a 2|+|x-a 3|=|x-b 1|+|x-b 2|+|x-b 3|解的个数的问题转化为两个函数图象交点个数的问题不妨令a 1＜a 2＜a 3，b 1＜b 2＜b 3，由于f （x ）=|x-a 1|+|x-a 2|+|x-a 3|= {3x −a 1−a 2−a 3，x ＞a 3x −a 1−a 2+a 3，a 2＜x ＜a3−x −a 1+a 2+a 3，a 1＜x ＜a 2−3x +a 1+a 2+a 3，x ＜a 1 ，g （x ）=|=|x-b 1|+|x-b 2|+|x-b 3|= {3x −b 1−b 2−b 3，x ＞b 3x −b 1−b 2+b 3，b 2＜x ＜b3−x −b 1+b 2+b 3，b 1＜x ＜b 2−3x +b 1+b 2+b 3，x ＜b 1，考查两个函数，可以看到每个函数都是由两条射线与两段折线所组成的，且两条射线的斜率对应相等，两条线段的斜率对应相等．当a 1，a 2，a 3的和与b 1，b 2，b 3的和相等时，此时两个函数射线部分完全重合，这与题设中方程的解集是有限集矛盾不妨令a 1，a 2，a 3的和小于b 1，b 2，b 3的和即a 1+a 2+a 3＜b 1+b 2+b 3，-a 1-a 2-a 3＞-b 1-b 2-b 3， 两个函数图象射线部分端点左右位置不同，即若左边f （x ）=|x-a 1|+|x-a 2|+|x-a 3|的射线端点在左，右边射线端点一定在右，反之亦然．不妨认为左边f （x ）=|x-a 1|+|x-a 2|+|x-a 3|的射线端点在左，右边射线端点一定在右，且射线互相平行，中间线段也对应平行，如图A 点在左，F 点在右，此时若B ，C 点在线段AD 的上方，则只有一个交点；若BC 线段位置在如图位置，则有三个交点，探究知，当a 1，a 2，a 3的值依次是1、4、5，b 1，b2，b3的值分别是2、3、6，可得到如图的图象，所以此两函数在本题条件下，最多有三个元素：故两函数图象最多有三个交点，即方程的解集是有限集时，最多有三个元素，故答案为：3．【点评】：本题考查函数的综合运用，属于函数中较难理解的题，用到数形结合的思想，转化化归的思想，属于能开拓思维训练能力的好题，也是易错题，本题解答中要用到特值法，因为这是一个存在的问题，有的问题，可举出一些特殊的例子以说明结论的存在性，学习时多思考，想明白各种情况，才能最大挖掘出本题的价值11.（单选题，4分）命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A.若q不正确，则p不正确B.若q不正确，则p正确C.若p正确，则q不正确D.若p正确，则q正确【正确答案】：D【解析】：原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，是等价命题，易求出结果．【解答】：解：原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，是等价命题，D选项是原命题的否命题．故选：D．【点评】：本题考查的知识点是四种命题的逆否关系，属基础题．12.（单选题，4分）已知a，b∈R，则“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的（）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分又不必要【正确答案】：A【解析】：根据“不等式ab+1＞a+b”成立等价于“ab+1-a-b=（b-1）（a-1）＞0”，所以“|a|＜1，|b|＜1”必有（b-1）（a-1）＞0；反之，不一定成立，即可得出结果．【解答】：解：∵“不等式ab+1＞a+b”成立等价于“ab+1-a-b=（b-1）（a-1）＞0”，∴当“|a|＜1，|b|＜1时，则（b-1）（a-1）＞0成立；当（b-1）（a-1）＞0时，有a＞1且b＞1；或者a＜1且b＜1；故“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的充分非必要条件；故选：A．【点评】：本题考查了充分必要条件的判断，及不等式的性质，属于基础题．13.（单选题，4分）已知f（x）在x∈[a，b]上的最大值为M，最小值为m，给出下列五个命题：① 若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，m]；② 若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，M]；③ 若关于x的方程p=f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是[m，M]；④ 若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，m]；⑤ 若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，M]；其中正确命题的个数为（）A.4个B.3个C.2个D.1个【正确答案】：B【解析】：这是一个对不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念题．对各个选项分别加以判断，发现在① ② 中，得出① 正确② 错误，④ ⑤ 中得出⑤ 正确④ 错误，而不难发现③ 是一个真命题，由此可得正确答案．【解答】：解：对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），说明p≤f（x）的最小值，结合题意知p≤m，① 是正确的；由于① 正确，所以② 是一个错误的理解，就不正确了；关于x的方程p=f（x）在区间[a，b]上有解，说明p应属于函数f（x）在[a，b]上的值域[m，M]内，故③ 是正确的；关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，说明p小于或等于的最大值，所以④ 是错误的，而⑤ 是正确的正确的选项应该为① ③ ⑤故选：B．【点评】：本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．不等式或方程解集非空，只要考虑有解；而不等式恒成立说明解集是一切实数，往往要考虑函数的最值了．14.（单选题，4分）设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，Q1={x|x2+x+b＞0}，Q2={x|x2+2x+b＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A.对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B.对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C.存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D.存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集【正确答案】：B【解析】：运用集合的子集的概念，令m∈P1，推得m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；再由b=1，b=5，求得Q1，Q2，即可判断B正确，A，C，D错误．【解答】：解：对于集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，可得当m∈P1，即m2+am+1＞0，可得m2+am+2＞0，即有m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；当b=5时，Q1={x|x2+x+5＞0}=R，Q2={x|x2+2x+5＞0}=R，可得Q1是Q2的子集；当b=1时，Q1={x|x2+x+1＞0}=R，Q2={x|x2+2x+1＞0}={x|x≠-1且x∈R}，可得Q1不是Q2的子集．综上可得，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集．故选：B．【点评】：本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于基础题．15.（问答题，10分）设a＞0，b＞0，且a+b=1a +1b．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【正确答案】：【解析】：（1）由已知等式可得ab=1，再由基本不等式即可得证；（2）运用反证法证明，结合不等式的性质，即可得到矛盾，进而得到证明．【解答】：证明：（1）由a+b=1a +1b，a＞0，b＞0，得ab=1，由基本不等式及ab=1，有a+b≥2√ab=2，即a+b≥2．（2）假设a2+a＜2与b2+b＜2同时成立，则a2+a＜2且b2+b＜2，则a2+a+b2+b＜4，即：（a+b）2+a+b-2ab＜4，由（1）知ab=1因此（a+b）2+a+b＜6 ①而a+b≥2，因此（a+b）2+a+b≥6 ② ，因此① ② 矛盾，因此假设不成立，原结论成立．【点评】：本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和反证法证明，考查运算能力和推理能力，属于中档题．16.（问答题，10分）已知集合A={x|x2-（m+3）x+2（m+1）=0}，B={x|2x2+（3n+1）x+2=0}，其中m，n∈R．（1）若A∩B=A，求m，n的值；（2）若A∪B=A，求m，n的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）解x2-（m+3）x+2（m+1）=0得：x=2，或x=m+1，若A∩B=A，则A⊆B，将x=2代入2x2+（3n+1）x+2=0可得答案；（2）若A∪B=A，则非空集合B⊆A，分当△=0和当△＞0两种情况讨论满足条件的m，n的值，综合讨论结果，可得答案．【解答】：解：（1）集合A={x|x2-（m+3）x+2（m+1）=0}，B={x|2x2+（3n+1）x+2=0}，其中m，n∈R．解x2-（m+3）x+2（m+1）=0得：x=2，或x=m+1，若A∩B=A，则A⊆B，将x=2代入2x2+（3n+1）x+2=0得：n=-2，则B={x|2x2+（3n+1）x+2=0，n∈R}={x|2x2-5x+2=0}={2，12}．则m+1= 12，则m=- 12，当A={2}时，m+1=2，解得m=1，综上m=- 12，n=-2，或m=1，n=-2．（2）若A∪B=A，则非空集合B⊆A，当△=（3n+1）2-16=0时，n=- 53，B={1}，m+1=1，m=0，或n=1时，B={-1}，m+1=-1，m=-2；当△=（3n+1）2-16≥0，即n≤- 53，或n≥1时，则2∈B，由（1）得：m=- 12，n=-2；当△=（3n+1）2-16＜0时，即- 53＜n＜1时，B=∅，对m∈R，故成立，综上，{m∈Rn∈(−53，1)或{m=−2n=1或{m=0n=−53或{m=−12n=−2．【点评】：本题考查实数值的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想，是中档题．17.（问答题，12分）已知命题P：函数f（x）= 13（1-x）且|f（a）|＜2，命题Q：集合A={x|x2+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}且A∩B=∅．（1）若命题P、Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．（2）若命题P、Q均为真命题时的实数a的取值范围．（3）由（2）得结论，a 的取值范围设为集合S ，T={y|y=x+ m x ，x∈R ，m ＞0，x≠0}，若 T ⊆S ，求实数m 的范围．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用真值表和不等式的解法求出参数的取值范围；（2）利用分类讨论思想的应用和真值表的应用及不等式的解法的应用求出结果；（3）利用集合间的关系建立不等量关系，最后求出参数的范围．【解答】：解：（1）命题P ：函数f （x ）= 13 （1-x ）且|f （a ）|＜2，整理得| 13(1−a )|＜2 ，解得-5＜a ＜7．若Q 为真命题：集合A={x|x 2+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x ＞0}且A∩B=∅．若A=∅，则△=（a+2）2-4＜0，解得-4＜a ＜0．若A≠∅，则 {△=(a +2)2−4≥0−(a +2)＜0，解得a≥0， 若Q 为真命题，则a ＞-4．由于P 和Q 中有且只有一个真命题，所以 {−5＜a ＜7a ≤−4 或 {a ≤−5或a ≥7a ＞−4 ． 解得a∈（-5，-4]或a∈[7，+∞）．（2）命题P 、Q 均为真命题时则： {−5＜a ＜7a ＞−4 ，解得a∈（-4，7）．（3）由（2）得结论，a 的取值范围设为集合S ，T={y|y=x+ m x ，x∈R ，m ＞0，x≠0}，所以S∈（-4，7）， T ∈(−∞，−2√m]∪[2√m ，+∞) ，所以 T =(−2√m ，2√m) ⊆（-4，7），故 {−2√m ≥−42√m ≤7m ＞0 ，解得0＜m≤4，所以m 的取值范围为（0，4]．【点评】：本题考查的知识要点：真值表，集合间的关系，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．18.（问答题，12分）公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变．（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x 个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．【正确答案】：【解析】：（1）设每个组x个人，可得 2×106x +1000x 次检测可以找到所有的被感染者，由均值不等式即可得到所求值；（2）设第一次每个组x 1人，第二次每个组x 2人，可得检测的总次数为2×106x 1 + 1000x 1x 2 +1000x 2，运用三元基本不等式，结合整数解，即可得到所求值；（3）运用基本不等式的一般式，结合x n =1，可得n 的最小值，进而得到所求结论．【解答】：解：（1）设每个组x 个人，那么最坏情况下，需要进行 2×106x +1000x 次检测可以找到所有的被感染者，由y= 2×106x +1000x≥2 √2×106x •1000x =4×104 √5 ，由 2×106x =1000x ，即x≈44.72，由于x 为正整数，由x=44，可得y=2×10644 +44000≈89854.54， 由x=45，可得y= 2×10645+45000≈89444.44， 可得在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数为45；（2）设第一次每个组x 1人，第二次每个组x 2人，可得检测的总次数为2×106x 1 + 1000x 1x 2 +1000x 2≥3 √2×106×103×1033 =3×104 √23， 当且仅当 2×106x 1 = 1000x 1x 2=1000x 2， 即x 22=x 1，x 1=100 √43 ≈158.74，由x 1为正整数，可得x 1=159离100 √43 ，较158离100 √43 近，即x 1为159；由x 2= √x 1 ≈12.6，则13较12与12.6距离近，则x 2为13，则第一次每个组159人，第二次每个组13人；（3）当进行n 次这样的检验，可以达到最优，由2×106x 1 + 1000x 1x 2 + 1000x 2x 3 +…+1000x n ≥（n+1） √2×106×103n n+1 ， 由 2×106x 1 = 1000x 1x 2 = 1000x 2x 3=…=1000x n ， 可得x n = √2000n+1 ，由n=18，x 18= √200019 ≈1.49，可取x 18=1，即进行这样的检验18次，即可得到总次数更少．【点评】：本题考查不等式的应用问题解法，注意运用基本不等式，正确理解题意，以及整数解的条件，是解题的关键，属于难题．。