历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题十八 平面向量的线性运算（学生版）
一．选择题（共13小题）
1．（2015?新课标Ⅰ）设D 为ABC ?所在平面内一点，3BC CD =，则( ) A ．1433
AD AB AC =-+
B ．14
33
AD AB AC =-
C ．41
33
AD AB AC =
+ D ．41
33
AD AB AC =
- 2．（2008?湖南）设D 、E 、F 分别是ABC ?的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2DC BD =，2CE EA =，2AF FB =，则AD BE CF ++与(BC )
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
3．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0)A -，B ，(3,0)C ，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是( )
A ．[4，6]
B ．11]+
C ．，
D ．11]
4．（2011?上海）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
5．（2010?湖北）已知ABC ?和点M 满足0MA MB MC ++=．若存在实数m 使得
AB AC mAM +=成立，则(m = )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．（2009?湖南）如图，D ，E ，F 分别是ABC ?的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )
A ．0AD DF CF ++=
B ．0
BD CF DF -+=
C ．0A
D C
E C
F +-= D ．0BD BE FC --=
7．（2008?辽宁）已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，
则OC 等于( ) A ．2OA OB -
B ．2OA OB -+
C ．21
33
OA OB -
D ．12
33
OA OB -+
8．（2006?全国卷Ⅰ）设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=．如果向量1b 、2b 、3b ，满足||2||i i b a =，且i a 顺时针旋转30?后与i b 同向，其中1i =，2，3，则( ) A ．1230b b b -++=
B ．1230b b b -+=
C ．1230b b b +-=
D ．1230b b b ++=
9．（2016?上海）设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+、2122b x e y e =+有结论：
①若12210x y x y -=，则//a b ； ②若12120x x y y +=，则a b ⊥．
关于以上两个结论，正确的判断是( ) A ．①成立，②不成立 B ．①不成立，②成立
C ．①成立，②成立
D ．①不成立，②不成立
10．（2010?四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2
16BC =，||||AB AC AB AC +=-，则||(AM = )
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
11．（2018?新课标Ⅰ）在ABC ?中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =
) A ．
31
44
AB AC - B ．
13
44
AB AC - C ．
31
44
AB AC + D ．
13
44
AB AC + 12．（2011?全国）点D ，E ，F 是ABC ?内三点，满足AD DE =，BE EF =，CF FD =，设AF AB AC λμ=+，则(λ，)(μ= ) A ．4(7，2
)7
B ．1(7，4)7
C ．4(7，1)7
D ．2(7，4)7
13．（2010?全国大纲版Ⅱ）ABC ?中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，||1a =，||2b =，则(CD = ) A ．1233
a b +
B ．21
33
a b +
C ．34
55
a b +
D ．43
55
a b +
二．填空题（共4小题）
14．（2017?江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45?．若(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则m n += ．
15．（2015?北京）在ABC ?中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =，若MN xAB y AC =+，则x = ，y = ．
16．（2013?四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ= ．
17．（2013?北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若(,)c a b R λμλμ=+∈，则
λ
μ
= ．
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十八 平面向量的线性运算（教师版）
一．选择题（共13小题）
1．（2015?新课标Ⅰ）设D 为ABC ?所在平面内一点，3BC CD =，则( ) A ．1433
AD AB AC =-+
B ．14
33
AD AB AC =-
C ．41
33
AD AB AC =+ D ．41
33
AD AB AC =
- 【答案】A
【解析】由4414
()3333
AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+；故选：A ．
2．（2008?湖南）设D 、E 、F 分别是ABC ?的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2DC BD =，2CE EA =，2AF FB =，则AD BE CF ++与(BC )
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
【答案】A
【解析】由定比分点的向量式得：2121233AC AB AD AC AB +=
=++，12
33
BE BC BA =+，
1233CF CA CB =+，以上三式相加得1
3
AD BE CF BC ++=-，故选：A ．
3．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0)A -，B ，(3,0)C ，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是( )
A ．[4，6]
B ．11]+
C ．，
D ．11]
【答案】D
【解析】动点D 满足||1CD =，(3,0)C ，∴可设(3cos D θ+，sin )([0θθ∈，2))π．
又(1,0)A -，B ，∴(2cos sin )OA OB OD θθ++=+．
||(2OA OB OD ∴++=，
（其中sin
?=
cos ?
1sin()1θ?-+，∴22(71)8827sin()827(71)θ?=-+++=+，
||OA OB OD ∴++的取值范围是1]．
或||||OA OB OD OA OB OC CD ++=+++，OA OB OC ++=，
将其起点平移到D 点，由其与CD 同向反向时分别取最大值、最小值，即||OA OB OD ++的
取值范围是1]．故选：D ．
4．（2011?上海）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
【答案】B
【解析】根据所给的四个向量的和是一个零向量12340MA MA MA MA +++=，
则12340OA OM OA OM OA OM OA OM -+-+-+-=，即12344OM OA OA OA OA =+++， 所以12341
()4
OM OA OA OA OA =+++．
当1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同点确定以后，则OM 也是确定的， 所以满足条件的M 只有一个，故选：B ．
5．（2010?湖北）已知ABC ?和点M 满足0MA MB MC ++=．若存在实数m 使得
AB AC mAM +=成立，则(m = )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
【解析】由0MA MB MC ++=知，点M 为ABC ?的重心，设点D 为底边BC 的中点， 则2211
()()3323
AM AD AB AC AB AC =
=?+=+， 所以有3AB AC AM +=，故3m =，故选：B ．
6．（2009?湖南）如图，D ，E ，F 分别是ABC ?的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )
A ．0AD DF CF ++=
B ．0
BD CF DF -+=
C ．0A
D C
E C
F +-= D ．0BD BE FC --=
【答案】A
【解析】由图可知AD DB =，CF FA ED ==
在DBE ?中，0DB BE ED ++=，即0AD CF BE ++=．故选：A ．
7．（2008?辽宁）已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC 等于( ) A ．2OA OB - B ．2OA OB -+
C ．21
33OA OB -
D ．12
33
OA OB -+
【答案】A
【解析】依题22()OC OB BC OB AC OB OC OA =+=+=+-．∴2OC OA OB =-．故选：A ．
8．（2006?全国卷Ⅰ）设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=．如果向量1b 、2b 、3b ，满足||2||i i b a =，且i a 顺时针旋转30?后与i b 同向，其中1i =，2，3，则( ) A ．1230b b b -++= B ．1230b b b -+=
C ．1230b b b +-=
D ．1230b b b ++=
【答案】D
【解析】向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=，向量1a 、2a 、3a 顺时针旋转30?后与1b 、2b 、
3b 同向，且||2||i i b a =，∴1230b b b ++=，故选：D ．
9．（2016?上海）设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+、2122b x e y e =+有结论：
①若12210x y x y -=，则//a b ；②若12120x x y y +=，则a b ⊥． 关于以上两个结论，正确的判断是( ) A ．①成立，②不成立
B ．①不成立，②成立
C ．①成立，②成立
D ．①不成立，②不成立
【答案】A
【解析】①假设存在实数λ使得a b λ=，则11122122()x e y e x e y e λ+=+，向量1e 与2e 既不平行也不垂直，12x x λ∴=，12y y λ=，满足12210x y x y -=，因此//a b ． ②若12120x x y y +=，
则111221221212211212211212()()()()a b x e y e x e y e x x y y x y x y e e x y x y e e =++=+++=+，无法得到0a b =，因此a b ⊥不一定正确．故选：A ．
10．（2010?四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2
16BC =，||||AB AC AB AC +=-，则||(AM = )
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
【答案】C
【解析】由2
16BC =，得||4BC =，
||||||4AB AC AB AC BC +=-==，而||2||AB AC AM +=∴||2AM =
故选：C ． 11．（2018?新课标Ⅰ）在ABC ?中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =
) A ．
31
44
AB AC - B ．
13
44
AB AC - C ．
31
44
AB AC + D ．
13
44
AB AC + 【答案】A
【解析】在ABC ?中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点， 12EB AB AE AB AD =-=-
11()22AB AB AC =-?+31
44
AB AC =-，故选：A ． 12．（2011?全国）点D ，E ，F 是ABC ?内三点，满足AD DE =，BE EF =，CF FD =，设AF AB AC λμ=+，则(λ，)(μ= ) A ．4(7，2
)7
B ．1(7，4)7
C ．4(7，1)7
D ．2(7，4)7
【答案】B
【解析】如图可得D 是AE 中点，E 是BF 中点，F 为CD 中点，
∴11112224AF AC AD AC AE =+=+，11
22AE AF AB =+． ∴1477AF AB AC =
+，∴14
,77
λμ==，故选：B ．
13．（2010?全国大纲版Ⅱ）ABC ?中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，||1a =，||2b =，则(CD = ) A ．1233
a b +
B ．21
33
a b +
C ．34
55
a b +
D ．43
55
a b +
【答案】B
【解析】CD 为角平分线，∴
1
2BD BC AD AC ==， AB CB CA a b =-=-，∴222
333
AD AB a b =
=-， ∴2221
3333
CD CA AD b a b a b =+=+
-=+故选：B ． 二．填空题（共4小题）
14．（2017?江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45?．若(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则m n += ．
【答案】3
【解析】如图所示，建立直角坐标系．(1,0)A ．
由OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=．cos
α∴，sin α=
．17
(,)55C ∴．
3cos(45)sin )5ααα+?=
-=-．4
sin(45)cos )5
ααα+?+=． 34(,)55B ∴-．(,)OC mOA nOB m n R =+∈，
∴1355m n =-，74055n =+，解得74n =，5
4
m =． 则3m n +=．故答案为：3．
15．（2015?北京）在ABC ?中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =，若MN xAB y AC =+，则x = ，y = ． 【答案】11
,26
-．
【解析】由已知得到111111
()323226
MN MC CN AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=-；
由平面向量基本定理，得到12x =
，16
y =- 16．（2013?四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ= ． 【答案】2．
【解析】四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB AD AC +=， 又O 为AC 的中点，∴2AC AO =，∴2AB AD AO +=， AB AD AO λ+=，2λ∴=．故答案为：2．
17．（2013?北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若(,)c a b R λμλμ=+∈，则
λ
μ
= ．
【答案】4．
【解析】以向量a 、b 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系 可得(1,1)a =-，(6,2)b =，(1,3)c =--
(,)c a b R λμλμ=+∈∴1632λμλμ
-=-+??-=+?，解之得2λ=-且1
2μ=-
因此，
2
41
2
λμ-==-故答案为：4