等差数列性质
§ 等差数列
一.课程目标
1.理解等差数列的概念;
2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式;
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题;
4.了解等差数列与一次函数的关系.
二.知识梳理
1.定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.
数学语言表达式:a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数),或a n -a n -1=d (n
≥2,d 为常数).
2.通项公式
若等差数列{a n }的首项是a 1,公差是d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d .
3.前n 项和公式
等差数列的前n 项和公式:2
2
111)
()
(n n a a n d n n na S +=
-+=其中n ∈N *,a 1为首项,
d 为公差,a n 为第n 项).
3.等差数列的常用性质
已知数列{a n }是等差数列,S n 是{a n }的前n 项和. (1)通项公式的推广:*),()(N m n d m n a a m n ∈-+=
(2)若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有q p n m a a a a +=+。特别的,当p n m 2=+时,p n m a a a 2=+
(3)等差数列{a n }的单调性:当d >0时,{a n }是递增数列;当d <0时,{a n }是递减数列;当d =0时,{a n }是常数列.
(4)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.
(5)若}{},{n n b a 是等差数列,则}{n n qb pa +仍是等差数列. 4.与等差数列各项和相关的性质
(1)若}{n a 是等差数列,则}{n
S n 也是等差数列,
其首项与}{n a 的首项相同,公差为}{n a 的公差的
2
1。
(2)数列m m m m m S S S S S 232--,,…也是等差数列. (3)关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。 a .若项数为n 2,则1
+=
=-n n a a S S nd S S 偶
奇奇偶,
。
b .若项数为12-n ,则n a n n S )(1-=偶,n na S =奇,1
+=
=-n n S S a S S n 偶
奇奇偶,
。
(4)若两个等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n n T S ,,则1
212--=
n n n
n T S b a
5.等差数列的前n 项和公式与函数的关系: (1)n d a n d S )(2
2
12
-
+=
,数列{a n }是等差数列?
S n =An 2
+Bn (A ,B 为常数). (2)在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若
a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.
三.考点梳理
1.等差数列的概念及运算例1.(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( )
例2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 3=6,S 4=12,则S 6=________.
练习1.(2015·全国Ⅰ卷)已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和.若S 8=4S 4,则a 10等于( )
2.等差数列的性质
例1.(2015·全国Ⅱ卷)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=( )
例2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a 9等于( )
例3.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为( )
例4.(2015·广东卷)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8=________.
例5.(2016·武汉调研)已知数列{a n }是等差数列,a 1+a 7=-8,a 2=2,则数列{a n }的公差d 等于( )
例6.设等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对任意自然数n 都有S n T n =2n -34n -3,则
a 9
b 5+b 7+a 3
b 8+b 4的值为________.
3.等差数列与函数
例1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=13,S 3=S 11,当S n 最大时,n 的值是( )
例2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1>0且a 6a 5=9 11,则当S n 取最大值时,n 的值为( )
例3.已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a 101=0,则有( ) 1+a 101>0
2+a 100<0
3+a 99=0
51=51
例4.已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 12=24,则a 6·a 7的最大值为( )
例5.设{n S }是公差为d (0≠d )的无穷等差数列}{n a 的前n 项和,则下列命题错误的是( ) A.若d<0,则数列{n S }有最大项 B.若数列{n S }有最大项,则d<0
C.若数列{n S }为递增数列,则对任意*N n ∈,均有n S >0
D.若对任意*N n ∈,均有n S >0,则数列{n S }为递增数列
例6.设等差数列{a n }满足a 2=7,a 4=3,S n 是数列{a n }的前n 项和,则使得S n >0成立的最大的自然数n 是( )
A .9
B .10
C .11
D .12
方法总结:求等差数列前n 项和的最值,常用的方法: (1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项; (2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;
(3)将等差数列的前n 项和S n =An 2+Bn (A ,B 为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.
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合作探究： 问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？ 由定义得A-a =b -A ，即： 2b a A += 反之，若2 b a A += ，则A-a =b -A 由此可可得：,,2b a b a A ?+=成等差数列 也就是说，A =2 b a +是a ,A ,b 成等差数列地充要条件 问题2：在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n 地数列地图象，这个图象有什么特点？ （2）在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5地图象，你发现了什么？据此说说等差数列q pn a n +=地图象与一次函数y=px+q 地图象之间有什么关系？定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 地等差中项 性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 例1在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a . 分析：要求一个数列地某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中地至少一项和公差，或者知道这个数列地任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……例2 等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项 n a 分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项地问题而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再弄一个等式出来精品文档收集整理汇总例3已知数列{n a }地通项公式为q pn a n +=，其中p,q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？ 分析：判定{n a }是不是等差数列，可以利用等差数列地定义，也就是看)1(1>--n a a n n 是不是一个与n 无关地常数. 等差数列地常用性质： 1.若数列{a n }是公差为d 地等差数列： (1)d>0时，{a n }是 ；d<0时，{a n }是 ；d=0时，{a n }是 ； (2)d= = = （m ，n ∈N +） (3)通项公式地推广：a n =a m + d （m ，n ∈N +）. 精讲点评： 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明：
等差数列及其性质 典型例题： 热点考向一：等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中， （1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S 变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知 102030,50a a ==. （1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n . 热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求证：在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有 1n n a a +>. （3 ）设n b n c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由. 跟踪训练：已知数列{n a }中，13 5 a = ，数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值； （2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？ 跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 .0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围； （II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。 热点考向四：等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3 a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得 T n
等差数列 一、等差数列的定义以及证明方法： 1、定义：若数列{a n }中，对于任意两项a n ，a n -1均有：a n -a n -1=d （d 为常数），则数列{a n }为等差数列. 注意一些等差数列的变形形式，如： 111n n d a a +-=（d 为常数，此时，数列{1 n a }为等差数列） d =(d 为常数，此时，数列??为等差数列) …… 2、证明方法： （1）定义法：若数列{a n }中，对于任意两项a n ，a n -1均有：a n -a n -1=d （d 为常数），则数列{a n }为等差数列. （2）等差中项法：2a n+1=a n +a n+2 （3）通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n =pn+q 的一次函数，则数列{a n }为等差数列. （4）若数列{a n }的前n 项和为S n =An 2+Bn ，则数列{a n }为等差数列. 【例题1】【2013年，北京高考（文）】给定数列a 1，a 2，a 3，……，a n ，……，对i =1，2，……，n-1，该数列的前i 项的最大值记为A i ，后n –i 项a i+1，a i +2，……，a n 的最小值记为B i ，d i =A i –B i . (I)设数列{a n }为3，4，7，1，求d 1，d 2，d 3的值. (II)设d 1，d 2，……，d n -1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，a 3，……，a n -1是等差数列.
3、等差数列的通项公式： （1）等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d 累加法和逐项法：对于形如() 1n n a a f n --=的形式，我们一般情况下，可以考虑使用逐项法或者累加法，从而达到求a n 的目的. 变形形式： a n =a m +(n-m )d 由以上公式可以得到：n m a a d n m -= - （2）等差数列通项公式的一些性质： ①若实数m,n,p,q 满足：m+n=p+q ，则：n m p q a a a a +=+；特别的，若m+n=2p ，则： 2n m p a a a +=； ②若数列{a n }为等差数列，则下标成等差数列的新数列仍然成等差数列； ③若数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等差数列，则数列{pa n +qb n }还是等差数列； ④当d >0时，{a n }为递增数列；当d =0时，数列{a n }为常数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列； 【例题1】【2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期末考试，3】在等差数列{}n a 中,首项 01=a ,公差,0≠d 若7321a a a a a k ++++=Λ,则k =（ ） A . 22 B . 23 C . 24 D. 25 【变式训练】【2015届吉林省东北师大附中高三上学期第三次摸底考试，3】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若151,15a S ==，则6a 等于 （ ） A .8 B .7 C .6 D .5 4、等差数列的求和问题：——方法：倒序相加 ()()()111111222 n n n n n n S a a a a n d na d -= +=++-=+???? （1）在等差数列{a n }中，k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列；或者：()233k k k S S S -=； （2）奇偶项问题： 在等差数列中，若项数为偶数项，即：当n=2m （n,m ∈N*）时，有：S 偶-S 奇=md ， 1 = m m S a S a +奇偶；
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式为S n =na 1+n （n ﹣1）d 或者S n = 性质：①若项数为() *2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1 n n S a S a +=奇偶． ②若项数为() *21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶， 1 S n S n = -奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）． 【例题精讲】 例1、若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列 D ．公差为9的等差数列 例2、等差数列{a n }前n 项和为S n ，且﹣ =3，则数列{a n }的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例3、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若，则 =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例4、在等差数列{a n }中，若前10项的和S 10＝60，且a 7＝7，则a 4＝( ) A ．4 B.－4 C ．5 D.－5
等差数列的定义及性质 ?等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a n+1-a n=d。 ?等差数列的性质： （1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则a m＝a n+(m-n)d； （4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a s+a t=a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a s+a t=2a p； （5）若数列｛a n｝，｛b n｝均是等差数列，则数列｛ma n+kb n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。 （6） （7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）仍为等差数列，公差为
?对等差数列定义的理解： ①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同 一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． ②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数 列；当d<0时，数列为递减数列； ④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据； ⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a n+1-a n是一个与n无关的常数即可。 等差数列求解与证明的基本方法： (1)学会运用函数与方程思想解题； (2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键； (3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，a n，S n，知道其中任意三 个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
数列系列 等差数列的性质 一、思维导图 ????????????????????????????++++++++++--? ????=+=+=+=++=++=+????????? ??+=?? ? ??????=-=-+=+= -++成等差数列 成等差数列 成等差数列则是等差数列若片段和性质当心则时若则若下标和性质即的等差中项和是中等差数列或则成等差数列若等差中项等差数列的性质6425319638527412321212 2,,,,,}{:2,2,:2:}{2222 ,,a a a a a a a a a a a a a a a S S S S S ，a a a a a a a a p n m a a a a q p n m a a a ，a a ，a a a b A b a A b a A b a A ， b A a n n n n n n n n p n m q p n m n m n m n m n m n
二、例题精析 1、（2018商洛模拟）等差数列}{n a 中，,12031581=++a a a 则1092a a -的值为__________ [解析]：已知,24,1202338881581=∴=+=++a a a a a a 242,281091089==-∴+=a a a a a a 2、（2018温州模拟）已知等差数列}{n a 的公差不为零，且242a a =，则3 21642a a a a a a ++++的值是__________ [解析]：2323332 224321642=?==++++a a a a a a a a a a ，下标和性质 3、（2017中原区校级月考）已知}{n a 为等差数列，,7,22683==+a a a 则=5a __________ [解析]：已知1572222,22655683=-=-=∴=+=+a a a a a a ，下标和性质 4、（2018南关区校级期末）在等差数列}{n a 中，102,a a 是方程0722=--x x 的两根，则=6a __________ [解析]：已知4 1)(21,21211026102=+=∴=-- =+a a a a a ，下标和性质 5、（2018塑州期末）在等差数列}{n a 中，若,39741=++a a a ,33852=++a a a 则=++963a a a _____ [解析]：设27,39332,963=∴+=?∴=++x x x a a a ，片段和性质 6、（2017商丘期末）等差数列}{n a 中,0>n a 且,301021=+++a a a 则=+65a a __________ [解析]：已知,6,30)(5101651011021=+=+∴=+=+++a a a a a a a a a 下标和性质 7、（2018太原期末）在等差数列}{n a 中，若,9531=++a a a ,21654=++a a a 则=7a __________ [解析]：已知,3,9333531=∴==++a a a a a ,7,21355654=∴==++a a a a a 92357=-=a a a
等差数列性质总结 1.等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或 b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +?=+≥∈212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘 以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．
2.2 等差数列概念、通项公式、性质 第1课时 等差数列的概念及通项公式 题型一 等差数列的概念 例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a ，a ，a ，a ，a ，…. 跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5(n ∈N ＋)，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列 题型二 等差中项 例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列． 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项． 题型三 等差数列通项公式的求法及应用 例3 在等差数列{a n }中， (1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10. 跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项； (2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 等差数列的判定与证明 典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n ，且a 1＝1. (1)证明：数列???? ??a n 3n 是等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式． 典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由； (2)求{a n }的通项公式． 【课堂练习】 1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2 2．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n (n ∈N ＋)，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 3．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13 的等差数列 C ．公差为－13 的等差数列 D ．不是等差数列 5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( ) A ．92 B ．47 C ．46 D ．45 1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)?{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)?{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)?{a n }是等差数列． 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可． 2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量. 【巩固提升】 一、选择题 1．设数列{a n }(n ∈N ＋)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A ．52 B ．62 C ．－62 D ．－52 3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( )
等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，
等差数列与等比数列总结 一、等差数列： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示； 等差中项，如果2 b a A += ，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数； 等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=； 等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-； 等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n ）a a （n 1?+=d 2）1-n （n na 1?+ = 中12na n ）2d -a （n ）2d （=?+?； 【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n += 【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+ 【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+ 3、md 成等差数列，公差为、a 、a 、a m 2k m k k ??++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =??==+++ 4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ??成等差数列，公差为d n 2 【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+??+++??++=++， ） a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+??+++??++=++++??=，d n 2 5、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2，q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=?+
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 等差数列基础习题选（附有详细解答） 一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 作编号： BG753140001981348889 作者：别如克* 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数， 则它的公差是（） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）
A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若 ，，则=（） A．0B．8C．3D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的 个数为（） A．25 B．24 C．20 D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（） A．5B．3C．﹣1 D．1 创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 11．（2005?黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（） A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D． 13．（2009?安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（） A．﹣1 B．1C．3D．7 14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D． 15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（） A．6B．7C．8D．9
等差数列的性质、求和知识点及训练 重点：掌握等差数列的通项公式、求和公式以及等差中项的求法 难点:对等差数列的综合考察 一知识梳理 1.定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列 {} n a 是等差数列) 2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法
（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2）等差中项：数列 {} n a 是等差数列) 2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）通常把题中条件转化成只含1a 和d 的等式！ 8.等差数列的性质： （1）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （2）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有 2m n p a a a +=. (3) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （公差为md ） 图示： m m m m m m S S S m m S S m m S m a a a a a a a a 323231221321-+-+++++++++++
等差数列的性质以及常见题型 上课时间： 上课教师： 上课重点：掌握等差数列的常见题型，准确的运用等差数列的性质 上课规划：掌握等差数列的解题技巧和方法 一 等差数列的定义及应用 1.已知数列{}n a 的通项公式为23+-=n a n ，试问该数列是否为等差数列。 2.已知：z y x 1 ,1,1成等差数列，求证：z y x y x z x z y +++,,也成等差数列。 思考题型;已知数列{}n a 的通项公式为qn pn a n +=2（,,R q p ∈且p,q 为常数）。 （1)当p 和q 满足什么条件时，数列{}n a 是等差数列 （2)求证：对于任意实数p 和q ，数列{}n n a a -+1是等差数列。
二 等差数列的性质考察 （一）熟用d m n a d n a a m n )()1(1-+=-+=，m n a a d m n --= 问题 （注意：知道等差数列中的任意项和公差就可以求通项公式） 1、等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则=9a . 2、等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = . 3、已知等差数列{}n a 中， 26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = . 4、一个等差数列中15a = 33，25a = 66，则35a =________________． 5、已知等差数列{}n a 中，q a p =，p a q =，则____=+q p a ． （二)公差d 的巧用 （注意：等差数列的项数） 1、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差等于_____ 2、等差数列123,,, ,n a a a a 的公差为d ，则数列1235,5,5, ,5n a a a a 是（ ） A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为5d 的等差数列 C ．非等差数列 D ．以上都不对 3、等差数列{}n a 中，已知公差12 d =，且139960a a a ++ +=，则12100a a a ++ += A ．170 B ．150 C ．145 D ．120 4.已知y x ≠，且两个数列y a a a x m ,,,,21???与y b b b x n ,,,,21???各自都成等差数列， 则 121 2b b a a --等于 （ ） A n m B 11++n m C m n D 1 1++m n 5.一个首项为23，公差为整数的等差数列中，前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差d 为（ ） A -2 B -3 C -4 D -5
等差数列基础习题选（附有详细解答） 一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣ 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（） A．25 B．24 C．20 D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（） A．5B．3C．﹣1 D．1 11．（2005?黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（） A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D．
等差数列性质总结 1.等差数列的定义式：d a a n n =--1 （d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或 b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +?=+≥∈212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+-
等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质： （1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d； （4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。 （6） （7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）仍为等差数列，公差为 对等差数列定义的理解： ①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列； ④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据； ⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a n+1-a n是一个与n无关的常数即可。 等差数列求解与证明的基本方法： (1)学会运用函数与方程思想解题； (2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键； (3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，a n，S n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
第一讲 数列定义及其性质 一、基本概念： 1、通项公式：n a ； 2、前n 项和：n S 3、关系：1(2)n n n a S S n -=-≥ 二、性质： 1、单调性：增数列：1n n a a ->；减数列：1n n a a -<；常数列：1n n a a -= 2、最值： 77878789+++(0)0,00,=0,0,n n a S a a S S S a a a ???? ???---?? ?? >
1、已知数列{}n a 通项公式是231 n n a n = +，那么这个数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 2、已知数列{}n a 满足10a >， 11 2 n n a a +=，那么这个数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 3、已知数列{}n a 通项公式是22n a n kn =++，若对任意* n N ∈，都有1n n a a +>成立，则 实数k 的取值范围是（ ） 4、已知数列{}n a 通项公式是10 ,21 n n n a T n += +是数列{}n a 的前n 项积，即123 n n T a a a a =， 当n T 取到最大值是，n 的值为（ ） 5、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值是（ ）