湖南省衡阳市2021届新高考第一次大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点P 在椭圆τ：22
22x y a b
+=1(a>b>0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P
关于x 轴的对称点为Q ，设3
4
PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e=（ ） A ．
12
B
．
2
C
．
2
D
．
3
【答案】C 【解析】 【分析】
设()11,P x y ，则()11,A x y --，
()11,Q x y -，11,2y D x ?
?- ???，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.
【详解】
设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =
，则11,2y D x ?
?- ??
?，设()22,B x y ，
则22
112222
2222
11
x y a b x y a b ?+=????+=??，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，
21212
21212PB
y y x x b k x x a y y -+==-?-+，AD AB k k =，即112112
4y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PB
k k ?=-，即2
241b a -=-，故2234a c =
，故2
e =.
故选：C . 【点睛】
本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
2．定义,,a a b a b b a b ≥??=?
，已知函数21()2sin f x x =-，2
1
()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =?的最小值为（ ） A ．
2
B ．
C ．
4 D ．
【解析】 【分析】
根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值. 【详解】
依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,
222222
11111
()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x
+=
+=+-+-----22222222
12cos 2sin 12cos 2sin 4
(2)(22)32sin 2cos 32sin 2cos 3
x x x x x x x x ----=++≥+?=----(当且仅当222cos 2sin x x --22
2sin 2cos x x -=-，即22
1sin cos 2x x ==时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为
2
3
， 故选：A. 【点睛】
本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题.
3．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案． 【详解】
解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，
56846∴用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为B 中的．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．
4．定义：{}()()N f x g x ?表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，
2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ?=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-
C ．2(2log 6,0]-
D ．2log 32
(
,0]4
- 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意得，{}()()6N f x g x ?=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.
当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.
当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x 解得
144x <<.在1
(,4)4
内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ?=，所以0a =符合题意.
当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示
.
若{}()()6N f x g x ?=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.
只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g
a a <+??≥+?，解得
2log 3204a -<≤，所以2log 32
04a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ?=时，实数a 的取值范围是2log 32
(
,0]4
-.故选D. 5．已知010
2
1
:1,log ;:,2x p x x q x R e x ?>>?∈>，则下列说法中正确的是（ ） A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∨?是真命题 D ．()p q ∧?是假命题
【答案】D 【解析】 【分析】
举例判断命题p 与q 的真假，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】
当01x >时，
102
log 0,x <故p 命题为假命题；
记f （x ）＝e x ﹣x 的导数为f′（x ）＝e x -１
， 易知f （x ）＝e x ﹣x 在（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增， ∴f （x ）＞f （0）＝１＞0，即,x x R e x ?∈>，故q 命题为真命题； ∴()p q ∧?是假命题 故选D
本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题． 6．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ） A ．69人 B ．84人 C ．108人 D ．115人
【答案】D 【解析】 【分析】
先求得100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此利用比例，求得500名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数. 【详解】
在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100453223--=人，设对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有x 人，则100500
23x
=，解得115x =人. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题. 7．已知抛物线C ：()2
20y px p =>，直线()02p y k x k ?
?
=-
> ???
与C 分别相交于点A ，M 与C 的准线相交于点N ，若AM MN =，则k =（ ）
A ．3
B
C ．
D ．
13
【答案】C 【解析】 【分析】
根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案. 【详解】
显然直线()02p y k x k ??=-
> ???过抛物线的焦点,02p F ??
???
如图，过A,M 作准线的垂直，垂足分别为C ，D ，过M 作AC 的垂线，垂足为E
根据抛物线的定义可知MD=MF ，AC=AF ，又AM=MN ，所以M 为AN 的中点，所以MD 为三角形NAC
的中位线，故MD=CE=EA=
12
AC 设MF=t ，则MD=t ，AF=AC=2t ，所以AM=3t ，在直角三角形AEM 中，ME=
2222922AM AE t t t -=-=
所以22tan 22ME t
k MAE AE t
=∠=
==
故选：C 【点睛】
本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题. 8．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ） A ．a ∥b B ．a ⊥b
C ．a ∥(a b -)
D ．a ⊥( a b -)
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论. 【详解】
∵向量a =（1，﹣2），b =（3，﹣1），∴a 和b 的坐标对应不成比例，故a 、b 不平行，故排除A ； 显然，a ?b =3+2≠0，故a 、b 不垂直，故排除B ；
∴a b -=（﹣2，﹣1），显然，a 和a b -的坐标对应不成比例，故a 和a b -不平行，故排除C ； ∴a ?（a b -）＝﹣2+2＝0，故 a ⊥（a b -），故D 正确，
【点睛】
本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题.
9．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ?α，b ?β，a //β，b //α，则“a //b“是“α//β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】 【分析】
根据面面平行的判定及性质求解即可． 【详解】
解：a ?α，b ?β，a ∥β，b ∥α，
由a ∥b ，不一定有α∥β，α与β可能相交； 反之，由α∥β，可得a ∥b 或a 与b 异面，
∴a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ?α，b ?β，a ∥β，b ∥α， 则“a ∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 【点睛】
本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题． 10．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）
A ．()x e x f x x
+=
B ．()2
1x f x x -=
C ．()x e x
f x x
-=
D ．()21
x f x x
+=
【答案】A 【解析】 【分析】
由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.
对于选项B, ()2
1x f x x -=为 奇函数可判断B 错误;
对于选项C,当1x <-时, ()0x e x
f x x
-=<,可判断C 错误;
对于选项D, ()22111
=+x f x x x x
+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A. 【点睛】
本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.
11．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ） A ．0.2 B ．0.5
C ．0.4
D ．0.8
【答案】B 【解析】 【分析】
利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】
从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5种，所以所求的概率为51
0.5102
==. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.
12．已知复数z 满足202020191z i i ?=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1- B ．1
C ．i -
D ．i
【答案】A 【解析】 【分析】
由虚数单位i 的运算性质可得1z i =-，则答案可求. 【详解】 解：∵41i =，
则202020191z i i ?=+化为1z i =-， ∴z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】
本题考查了虚数单位i 的运算性质、复数的概念，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如果抛物线22y px =上一点()4,A m 到准线的距离是6，那么m =______.
【答案】± 【解析】 【分析】
先求出抛物线2
2y px =的准线方程，然后根据点()4,A m 到准线的距离为6，列出462
p
+
=，直接求出结果. 【详解】
抛物线2
2y px =的准线方程为2
p x =-， 由题意得462
p
+
=，解得4p =. ∵点()4,A m 在抛物线22y px =上，
∴2244m =??，∴m =±
故答案为：±. 【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.
14．命题“对任意1x >，21x >”的否定是 ．
【答案】存在01x >，使得2
01x ≤
【解析】
试题分析：根据命题否定的概念，可知命题“对任意1x >，21x >”的否定是“存在01x >，使得2
01x ≤”．
考点：命题的否定．
15．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为2的直线l 与C 的交点为,A B ，若||||5AF BF +=，则直线l 的方程为___________． 【答案】220x y --=
【分析】
设直线l 的方程为2y x t =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与抛物线C 的方程，得到A ，B 点横坐标的关系式，代入到4AF BF +=中，解出t 的值，即可求得直线l 的方程. 【详解】
设直线()()1122:2,,,,l y x t A x y B x y =+． 由题设得()1,0F ，故122AF BF x x +=++，
由题设可得123x x +=．
由2
2,4y x t y x
=+??
=?可得()22
4410x t x t +-+=， 则121x x t +=-， 从而13t -=，得2t =-， 所以l 的方程为22y x =-, 故答案为：220x y --= 【点睛】
本题主要考查了直线的方程，抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.
16．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，11AA =，E 为BC 的中点，则点A 到平面1A DE 的距离是______.
【答案】6
3
【解析】 【分析】
利用等体积法求解点到平面的距离
由题在长方体中，1111211=323
A ADE V -=
????， 221115,2,3A D DE EA A A AE ===+=，
所以222
11A D DE A E =+，所以1DE A E ⊥，
116
23=
2A DE S =
??△ 设点A 到平面1A DE 的距离为h
1161=33
A A DE V h -=??，解得6
=h 故答案为：6
【点睛】
此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，
//AD BC ，22AB AD BC ===，E 为PB 的中点，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF .
（1）求证：⊥AF PB .
（2）求二面角A EC D --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）21
7
【解析】 【分析】
（1）连接AE ，证明PB AD ⊥，AE PB ⊥得到PB ⊥面ADE ，得到证明.
（2）以PA ，AB ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，()1,1,2n =-为平面AEC 的法向量，平面DEC 的一个法向量为()3,1,2m =，计算夹角得到答案. 【详解】
AD ?面ABCD ，AD PA ∴⊥，PA AB A =，AD ∴⊥面PAB ，
又PB ?面PAB ，PB AD ∴⊥，
又
在直角三角形PAB 中，PA AB =，E 为PB 的中点，
AE PB ∴⊥，AD AE A ?=，PB ∴⊥面ADE ，AF ?面ADE ，AF PB ∴⊥.
（2）以PA ，AB ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，
()2,0,0P ，()0,2,0B ，()1,1,0E ，()0,2,1C ，()0,0,0A ，()0,0,2D ，
设(),,n x y z =为平面AEC 的法向量，()0,2,1AC =，()1,1,0AE =，00n AC n AE ??=?
?=?
，20
0y z x y +=?∴?+=?，令1x =，则1y =-，2z =，()1,1,2n ∴=-，
同理可得平面DEC 的一个法向量为()3,1,2m =. 设向量m 与n 的所成的角为θ，21
cos 7614
θ∴=
=?， 由图形知，二面角A EC D --为锐二面角，所以余弦值为
21
. 【点睛】
本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
18．在四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，//BC AD ，CD AD ⊥，PO ⊥平面ABCD ，O 是AD 的中点，且222PO AD BC CD ====
（Ⅰ）求证：//AB 平面POC ； （Ⅱ）求二面角O PC D --的余弦值；
（Ⅲ）线段PC 上是否存在点E ，使得AB DE ⊥，若存在指出点E 的位置，若不存在请说明理由. 【答案】（Ⅰ）详见解析；
（Ⅱ）10
；（Ⅲ）存在，点E 为线段PC 的中点. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）连结OC ，BC AO =，//BC AD ，则四边形ABCO 为平行四边形，得到证明.
（Ⅱ）建立如图所示坐标系，平面PCD 法向量为1(0,2,1)n =，平面POC 的法向量2(1,1,0)n BD ==-，计算夹角得到答案.
（Ⅲ）设(,,)E x y z ，计算(,1,22)DE λλλ=--，(1,1,0)AB =，根据垂直关系得到答案. 【详解】
（Ⅰ）连结OC ，BC AO =，//BC AD ，则四边形ABCO 为平行四边形.
//AB OC AB POC OC POC ??
?????
平面平面//AB ?平面POC . （Ⅱ）PO ⊥平面ABCD ，CD AD
OD BC CD
⊥???
==?四边形OBCD 为正方形.
所以OB ，OD ，OP 两两垂直，建立如图所示坐标系，
则(1,1,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,0)D ，(1,0,0)B ，
设平面PCD 法向量为1(,,)n x y z =，则111
(0,2,1)0n CD n n PD ??=??=?
?=??， 连结BD ，可得BD OC ⊥，又BD PO ⊥所以，BD ⊥平面POC ， 平面POC 的法向量2(1,1,0)n BD ==-， 设二面角O PC D --的平面角为θ，则121210
cos ||||
n n n n θ?=
=?.
（Ⅲ）线段PC 上存在点E 使得AB DE ⊥，设(,,)E x y z ，
(,,2)(1,1,2)(,,22)PE PC x y z E λλλλλ=?-=-?-
(,1,22)DE λλλ=--，(1,1,0)AB =，102
AB DE AB DE λ⊥??=?=
， 所以点E 为线段PC 的中点. 【点睛】
本题考查了线面平行，二面角，根据垂直关系确定位置，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 19．已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足(
)*
21N n n S a n +=∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）已知数列{}n b 中，113b a =，11n n b b +=+()
*
N n ∈，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .
【答案】（1）()*1N 3n
n a n ??=∈ ???
；（2）()
()
2*1111N 223n
n T n n n ??=++-?∈ ??? 【解析】 【分析】
（1）当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-可得()11
23
n n a n a -=≥，故可利用等比数列的通项公式求出{}n a 的通项.
（2）利用分组求和法可求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【详解】
（1）当1n =时，1121S a +=，所以113
a =， 当2n ≥时，21n n S a +=，①
1121n n S a --+=，②
即13n n a a -=，又因为1103
=≠a ，故0n a ≠，所以
()1123n n a n a -=≥， 所以{}n a 是首项11
3a =
，公比为13
的等比数列， 故()
1
*111N 333n n
n a n -??
??
=?=∈ ?
???
??
. （2）由11n n b b +=+得：数列{}n b 为等差数列，公差1d =，
11
313
b =?=，()111n b n n =+-?=，
()()()1122n n n T a b a b a b =++++???++
()()1212n n a a a b b b =++???++++???+
()12n S n =+++???+ ()1113
22
n
n n ??- ?
+??=+
()
()
2*1111N 223n
n n n ??
=++-?∈ ???
. 【点睛】
本题考查数列的通项与求和，注意数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 20．已知函数f （x ）2
12
x =
-ax ﹣lnx （a ∈R ）. （1）若a ＝2时，求函数f （x ）的单调区间； （2）设g （x ）＝f （x ）232x +
+1，若函数g （x ）在1e e ??
????
，上有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为（0
1）
1，+∞）（2）（3，2e] 【解析】 【分析】
（1）当a ＝2时，求出()f x '
，求解()0,()0f x f x '
'
><，即可得出结论；
（2）函数22
3()()121ln 2g x f x x x ax x =++=-+-在1,e e ??????上有两个零点等价于a ＝2x 1lnx x x +-在
11lnx 1
【详解】
（1）当a ＝2时，2
1()2ln 2
f x x x x =
--定义域为(0,)+∞， 则212()21
x x x x
f x x '=----=，令()0f x '=，
解得x =
1，或x =1（舍去）
，
所以当1)x ∈时，()0,()f x f x '
<单调递减；
当1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '
>单调递增；
故函数的单调递减区间为1)，单调递增区间为1,)+∞， （2）设2
23()()121ln 2
g x f x x x ax x =+
+=-+-， 函数g （x ）在1,e e ??
????上有两个零点等价于1
2lnx
a x x x =+-在1
,e e ??
????
上有两解
令1()2lnx h x x x x =+-，1,x e e ??∈????，则22
22()x lnx
h x x
-+'=， 令2
()22ln t x x x =-+，1,x e e
??∈????
，
显然，()t x 在区间1,e e ??
????上单调递增，又(1)0t =，
所以当11x e ??∈????
，
时，有()0t x <，即()0h x '<， 当(1,]x e ∈时，有()0t x >，即()0h x '>，
所以()h x 在区间11e ??????
，
上单调递减，在区间(1,]e 上单调递增， 1x ∴=时，()h x 取得极小值，也是最小值，
即min 12
()(1)3,()2,()2h x h h e h e e e e
===+=， 由方程12lnx a x x x =+
-在1,e e ??????
上有两解及1()()h h e e >， 可得实数a 的取值范围是(3,2]e . 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化思想以及数形结合思想，考查逻辑推理、数
21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos ,
1sin x t y t
=+??
=+?（t 为参数），以坐标原点O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为02πθαα?
?=<< ??
?，直线l 交曲线C 于,A B 两
点，P 为AB 中点.
（1）求曲线C 的直角坐标方程和点P 的轨迹2C 的极坐标方程；
（2）若||||AB OP ?=，求α的值.
【答案】（1）2
2
(1)(1)1x y -+-=，042ππρθθ?
??
?=-
<< ????
???；
（2）512π
α=或12
πα= 【解析】 【分析】
（1）根据曲线C 的参数方程消去参数t ，可得曲线C 的直角坐标方程，再由OC =
cos OP OC POC =∠，可得点P 的轨迹2C 的极坐标方程；
（2）将曲线C 极坐标方程求，与直线l 极坐标方程联立，消去θ，得到关于ρ的二次方程，由ρ的几何
意义可求出AB ，而（1）可知4OP πα?
?=- ??
?，然后列方程可求出α的值.
【详解】
（1）曲线C 的直角坐标方程为2
2
(1)(1)1x y -+-=，
圆C 的圆心为,C OC =，设(,)P ρθ，所以4
POC π
θ∠=-
，
则由cos OP OC POC =∠，即042ππρθθ?
???=
-<< ????
???为点P 轨迹2C 的极坐标方程.
（2）曲线C 的极坐标方程为2
cos 104πρθ??
--
+= ??
?
，
将:02l πθαα??=<< ???与曲线C 的极坐标方程联立得，2
cos 104πρα??--+= ??
?，
设()()12,,,02A B πραραα??
<<
??
?
，
所以12AB ρρ=
-==
π
由||||3AB OP ?=
，即222cos 12cos 344ππαα??
?
?-
-?-= ? ??
??
?， 令2cos 14m m πα????-=< ? ? ?????
，上述方程可化为4216830m m --=，解得3m =. 由3cos ,4444
ππππ
αα?
?
-
=-<-< ??
?，所以46ππα-=±，即512πα=或12πα=.
【点睛】
此题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，利用极坐标求点的轨迹方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.
22．一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间有如下一组数据：
x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87
y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26
（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数r 加以说明；
（2）①建立月总成本y 与月产量x 之间的回归方程；②通过建立的y 关于x 的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001） 附注：①参考数据：
10
1
14.45i
i x
==∑，10
1
27.31i i y ==∑10
2
2
1
100.850i
i x
x =-≈∑10
221
10 1.042i
i y
y =-≈∑，
? 1.223b
=. ②参考公式：相关系数1
222211n
i i i n n
i i i i x y nxy
r x nx y ny ===-=
????-- ???
????
∑∑∑，1
221
?n
i i
i n
i i x y nxy
b
x nx ==-=-∑∑，??a
y bx =-. 【答案】（1）见解析；（2）① 1.22306?.94y
x =+②3.386（万元） 【解析】
（1）利用
10
22
1
10
22
1
10
1
?
i
i
i
i
x x
r b
y y
=
=
-
=?
-
∑
∑
代入数值，求出r后即可得解；
（2）①计算出x、y后，利用?
?a y bx
=-求出?a后即可得解；
②把 1.98
x=代入线性回归方程，计算即可得解.
【详解】
（1）由已知条件得，
10
22
1
10
22
1
10
1
?
i
i
i
i
x x
r b
y y
=
=
-
=?
-
∑
∑
，∴
0.850
1.2230.998
1.042
r=?≈，
说明y与x正相关，且相关性很强.
（2）①由已知求得
10
1 1.445
10
i
i
x
x=
==
∑
，
10
1
1
2.731
i
i
y
y
==
=
∑
， 2.731 1.2231
?.4450.96
?4
a y bx
=-=-?≈
所以，所求回归直线方程为 1.22306
?.94
y x
=+.
②当 1.98
x=时， 1.223 1.980.964 3.386
y=?+≈（万元），
此时产品的总成本约为3.386万元.
【点睛】
本题考查了相关系数r的应用以及线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于中档题.
23．如图，在直角梯形ABCD中，//
AB DC，90
ABC
∠=?，22
AB DC BC
==，E为AB的中点，沿DE将ADE
?折起，使得点A到点P位置，且PE EB
⊥，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）.
（Ⅰ）证明：平面EMN⊥平面PBC垂直；
（Ⅱ）是否存在点N，使得二面角B EN M
--
6
N点位置；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）存在，此时N为BC的中点.
【分析】
（Ⅰ）证明PE ⊥平面EBCD ，得到平面PEB ⊥平面EBCD ，故平面PBC ⊥平面PEB ，EM ⊥平面
PBC ，得到答案.
（Ⅱ）假设存在点N 满足题意，过M 作MO EB ⊥于O ，MQ ⊥平面EBCD ，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角，设2PE EB BC ===，BN x =，计算得到答案. 【详解】
（Ⅰ）∵PE EB ⊥，PE ED ⊥，EB
ED E =，∴PE ⊥平面EBCD .
又PE ?平面PEB ，∴平面PEB ⊥平面EBCD ，
而BC ?平面EBCD ，BC EB ⊥，∴平面PBC ⊥平面PEB ， 由PE EB =，PM AB =知EM PB ⊥，可知EM ⊥平面PBC ， 又EM ?平面EMN ，∴平面EMN ⊥平面PBC .
（Ⅱ）假设存在点N 满足题意，过M 作MO EB ⊥于O ，由PE EB ⊥知//PE MQ ， 易证PE ⊥平面EBCD ，所以MQ ⊥平面EBCD ，
过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥（三垂线定理）， 即MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角， 不妨设2PE EB BC ===，则1MQ =，
在Rt EBN ?中，设BN x =（02x <<），由Rt ~Rt EBN ERQ ??得，
BN EN
RQ EQ
= 即2221x x RQ +=，得222RQ x =+，∴24
tan MQ x MRQ RQ x
+∠==， 依题意知6
cos MRQ ∠=，即24
tan 5x MRQ x
+∠=
=，解得1(0,2)x =∈， 此时N 为BC 的中点.
综上知，存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值
6
，此时N 为BC 的中点.