翻折问题---解答题综合
1. △ AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中， A ( 0,- 3), B (- 2, 0), O是坐标原点.
(1)将厶AOE先作其关于x轴的对称图形，再把新图形向右平移3个单位，在图中画出两次变换后所得的图形△ AOB i；
(2)若点M( x, 丫)在厶AOB上，则它随上述两次变换后得到点M,则点M的坐标是________________ .
2. (1)数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ ABC中, / C=90°, ^：~-：±.,求证：/ B=30°,请你完成证明过
程.
(2)如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A处，折痕交AE于点G,请运用(1)中的结论求/ ADG勺度数和AG的长.
(3)若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点0(如图④)，当AB=6求EF的长.
3. 如图，矩形ABCD中, AB=6 BC=8,点E是射线CB上的一个动点，把△ DCE沿DE折叠，点C的对应点为C'.
(1)若点C'刚好落在对角线BD上时，BC= _____________ ;
(2)若点C'刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；
(3)若点C'刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长.
4. 如图，矩形纸片ABCD将厶AMP^D^ BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP> AM,点A和点B都与点E重合；再将△ CQD 沿DQ 折叠，点C落在线段EQ上点F处.
(1)判断△ AMP △ BPQ △ CQD^D^ FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)
(2)如果AM=1 sin / DMF=,求AB 的长.
5. 如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG// CD 交AE于点G连接DG
(1)求证：四边形DEFG为菱形；
(2)若CD=8 CF=4,求◎的值.
6. 如图1, 一张菱形纸片EHGF点A、D C B分别是EF EH HG GF边上的点，连接AD DC CB AB DB,且AD= ：'；, AB=「；如图2，若将△ FAB △ AED △ DHC △ CGB分别沿AB AD DC CB对折，点E、F都落在DB上的点P处，点H G都落在DB上的点Q处.
(1)求证：四边形ADCB是矩形；
如图①，在Rt△ ABC中，/ C=2/ B=90°,点D是BC上一点，沿AD折叠△ ADC使得点C恰好落在AB上的点E处.请写出AB AC CD之间的关系_____________________ ;
(2)问题解决：
如图②，若(1)中/ C老0°其他条件不变，请猜想AB AC CD之间的关系，并证明你的结论；
(3)类比探究：
如图③，在四边形ABCD中, / B=120°, / D=90° AB=BC AD=DC连接AC点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若BC=j八-直接写出DE的长.
&如图，现有一张边长为 4的正方形纸片ABCD 点P 为AD 边上的一点(不与点 A 、点D 重合)，将正方形纸片折 叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于 H,折痕为EF ,联结BP 、BH (1) 求证：/ APBK BPH (2) 求证：AP+HC=P ；
(1) ______________________________ 当BF 的最小值等于 时，才能使点B 落在AD 上一点E 处; (2) 当点F 与点C 重合时，求AE 的长； (3) 当AE=3时，点F 离点B 有多远？
10. 如图，三角形纸片中， AB=8cm BC=6cm AC=5cm 沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点 C 落在AB 边上的点E
处，折痕为BD,求△ ADE 的周长.
11. 【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角板，如何作
15。大小的角呢?
【实践操作】如图.
第一步：对折矩形纸片 ABCD 使AD 与BC 重合，得到折痕 EF ,把纸片展开，得到 AD// EF// BC. 第二步：再一次折叠纸片，使点
A 落在EF 上的点N 处，并使折痕经过点 B,得到折痕BM 折痕BM 与折痕EF 相交
于点P .连接线段 BN PA 得到PA=PB=PN 【问题解决】
(1) 求/ NBC 的度数；
(2) 通过以上折纸操作，还得到了哪些不同角度的角？请你至少再写出两个(除
12. 已知矩形 ABCD 中, AB=3cm AD=4cm 点 E 、F 分别在边 AD BC 上,连接 B 、E , D 、F .分别把 Rt △ BAE 和 Rt △ DCF 沿
E 处，折痕的两端点分别在边 AB, BC 上 (含端点)，且AB=6,
/ NBC 的度数以外
)
(3)当AP=1时，求PH 的长.
BC=10 设 AE=x.
BE, DF折叠成如图所示位置.
(1) 若得到四边形 BFDE 是菱形，求AE 的长.
(2) 若折叠后点 A 和点C 怡好落在对角线 BD 上，求AE 的长.
13.
如图1，矩形纸片ABCD 的边长AB=4cm AD=2cm 同学小明现将该矩形纸片沿 EF 折痕，使点A
与点C 重合，折 痕后在其一面着色(如图2),观察图形对比前后变化，回答下列问题： (1) GF___________ FD:(直接填写=、＞、＜) (2) 判断△ CEF 的形状，并说明理由； (3) 小明通过此操作有以下两个结论： ① 四边形EBCF 的面积为4cm 2
② 整个着色部分的面积为 5.5cm 2 运用所学知识，请论证小明的结论是否正确.
14. 操作：准备一张长方形纸，按下图操作： (1) 把矩形ABCD 对折，得折痕 MN (2) 把A 折向MN 得Rt △ AEB
(3) 沿线段EA 折叠，得到另一条折痕 EF,展开后可得到 △ EBF. 探究：△ EBF 的形状，并说明理由.
15. 1 )如图1,将厶ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内点A 的位置，若/ A=40°求/ 1 + / 2的度数; (2) 通过(1)的计算你发现/ 1 + / 2与/A 有什么数量关系？请写出这个数量关系，并说明这个数量关系的正确 性； (3) 将图1中厶ABC 纸片的三个内角都进行同样的折叠.
① 如果折叠后三个顶点 A B 、C 重合于一点 0时，如图2,则图中/ a +Z 供/ Y _____________________ ;
/ 1 + Z 2+Z 3+Z 4+ Z 5+Z 6=____________ ;
② 如果折叠后三个顶点 A 、B 、C 不重合，如图3,则①中的关于 Z 1+Z 2+Z 3+Z 4+ Z 5+Z 6”的结论是否仍然成立？ 请说明你的理由
.
图
1
02
c D
图2
16.如图，长方形纸片ABCD点E、F分别在边AB CD上，连接得到
折痕EC将点A落在直线EF上的点A处，得到折痕EN
(1)若/ BEB=110 ° 则/ BEC= ° / AEN=
EF,将/ BEF对折，点B落在直线EF上的B处,
° ° / BEC+Z AEN=
(2) 若Z BEB=m°°贝9( 1)中/ BEC+Z AEN的值是否改变？请说明你的理由.
(3) 将/ ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与BC重合，求Z DNA.
17.如图△ ABC中，/ B=60° / C=78°,点D在AB边上，点E在AC边上，且应
点为F点.
(1)若点A落在BC边上(如图1),求证：△ BDF是等边三角形；
(2)若点A落在三角形外(如图2),且CF/ AB求厶CEF各内角的度数.
DE// BC,将厶ADE沿DE折叠，点A对
/ AOC M BCO=90,经过点O的直线I将四边形分成两部分，直OC所成的角设为0,将四边形
(1) ____________________________________________________ 若折叠后点D恰为AB的中点(如图2),贝U 0= ;
(2)若0=45°四边形OABC勺直角/ OCB&直线I折叠后，点B落在点四边形OABC勺边AB上的E处(如图3), 求a的值.
OABC勺直角/ OCB&直线I折叠，点C落在点D处(如图1).
19 .在△ ABC中，/ C=90°
CB上的点，
(1)如图
(2)如图
AB和直角边把△ ABC沿着直线DE折叠，顶点
(1) ,如果点B和顶点A重合，求
(2) ,如果点B和落在AC的中点上，求CE的长.
B的对应点是B'.
CE的长；
20. 把一张矩形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使顶点 B 和D 重合，折痕为EF. (1) 连接BE,求证：四边形 BFDE 是菱形； (2) 若 AB=8cm BC=16cm 求线段 DF 和EF 的长.
21. 如图，矩形ABCD 中 , AB=8cm BC=6cm 动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿线段 AB 向点B 运动，连接DP, 把/A 沿DP 折叠，使点A 落在点A 处.求出当△ BPA 为直角三角形时，点 P 运动的时间.
=a ,点G H 分别在边 AB DC 上 ,且HA=HG 点E 为AB 边上的一个动点，连接 HE 把厶AHE
AC 沿直线HE 翻折得到△ FHE 如图1,当DH=DA 寸,(2)若EF// HG 求/ AHE 的度数,并求此时 a 的最小值;
23.
如图1, △ ABC 中，沿/ BAC 的平分线AB 折叠，点B 落在A 处.剪掉重叠部分；将余下部分沿 / B 1A 1C 的平分
线AB 折叠，点Bi 落在A 2处.剪掉重叠部分； …；将余下部分沿/ B n A n C 的平分线A n Bn +1折叠，点B n 与点C 重合，
无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，
/ BAC >^ ABC 的好角.
小丽展示了确定/ BAC >^ABC 的好角的两种情形.情形一：如图 2,沿等腰三角形 ABC 顶角/ BAC 的平分线AB 折 叠，点B 与点C 重合；情形二：如图 3,沿/ BAC 的平分线AB 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿 / B 1A 1C 的平分 线AB 折叠，此时点B1与点C 重合.
(1) 情形二中，/ B 与/C 的等量关系 _______________ .
(2) ____________________________________________________________________ 若经过n 次折叠/ BAC >^ ABC 的
A
(1)填空：/ HGA= 度
;
22.在矩形 ABCD 中 ,