统计物理学基础

Q 一、选择题：（每题 3 分）下列选项正确的是（）.(热力学系统的平衡状态及其描述)（容易）A ． 与外界物体有能量交换但没有物质交换的系统称为绝热系统。

B ． 与外界物体既有能量交换又有物质交换的系统称为封闭系统。

C ． 与外界物体既没有能量交换又没有物质交换的系统称为孤立系统。

D ． 热力学研究的对象是单个的微观粒子。

答案：B.简单系统的物态方程的一般形式为().（物态方程）（容易）A. f ( p ,V ) = 0 ；B. f ( p ,V ,T ) = C ；C. f ( p ,V ,T ) = 0 ；D. f ( p ,V ) = C ；答案：C.下列关于状态函数的定义正确的是（）.（焓自由能吉布斯函数）（容易）A ． 系统的焓是： H = U - pV ；B ． 系统的自由能函数是： F = U + TS ；C ． 系统的吉布斯函数是： G = U - TS + pV ；D ． 系统的熵函数是： S = ；T答案：C.状态函数焓的全微分表达式为dH 为 ( ).（内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A. TdS - pdV ；B. TdS + Vdp ；C. -SdT - pdV ；D. -SdT + Vdp答案：B.内能函数的全微分表达式为dU 为 ( ). （内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A. TdS -pdV ；B. TdS +Vdp ；C. -SdT -pdV ；D. -SdT +Vdp答案：A.自由能函数的全微分表达式为dF 为 ( ). （内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A. TdS -pdV ；B. TdS +Vdp ；C. -SdT -pdV ；D. -SdT +Vdp答案：C.吉布斯函数的全微分表达式为dG 为 ( ). （内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A. TdS -pdV ；B. TdS +Vdp ；C. -SdT -pdV ；D. -SdT +Vdp答案：D.下列关于状态函数全微分正确的是（）.（内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A．内能: dU =TdS -pdV ；B．焓: dH =TdS -Vdp ；C．自由能: dF =-SdT +pdV ；D．吉布斯函数: dG =-SdT -Vdp ；答案：A.下面几个表达式中错误的是( ).(热量和焓)(容易).∂∂p ∂TCp =T∂TA.CVB.CV =∂U； V=∂S； V∂HC. C = ；p∂SD. ；p答案：B.下面关于热力学第零定律的表述错误的是（）。

统计力学的基本原理
统计力学是研究宏观系统的微观粒子行为和性质的物理学分支。

它利用概率论和统计学的方法，描述了大量微观粒子的集体行为，
从而揭示了宏观系统的性质和规律。

统计力学的基本原理包括以下
几点：
1. 微观粒子的统计描述，统计力学假设宏观系统是由大量微观
粒子组成的，这些微观粒子之间相互作用，并遵循统计分布的规律。

通过对微观粒子的统计描述，可以得到宏观系统的性质和行为。

2. 统计分布，统计力学使用统计分布描述微观粒子的状态和性质。

其中，玻尔兹曼分布和费米-狄拉克分布描述了不同类型的微观
粒子的分布规律，而正则分布和巨正则分布则描述了粒子数和能量
的分布规律。

3. 统计热力学，统计力学建立了与热力学相对应的统计热力学。

它通过统计分布和微观粒子的性质，揭示了热力学系统的热力学性质，如热容、熵和自由能等。

4. 统计力学的应用，统计力学在各种领域有着广泛的应用，包
括物态方程、相变理论、热传导等。

它为材料科学、凝聚态物理、生物物理等领域提供了重要的理论基础。

总之，统计力学的基本原理为我们理解宏观系统的性质和规律提供了重要的理论框架，同时也为我们解决实际问题提供了有力的工具和方法。

通过对微观粒子的统计描述和统计分布的应用，统计力学揭示了物质世界的微观本质，为我们认识和探索自然界提供了新的视角和方法。

马红孺热力学与统计物理讲义热力学和统计物理是物理学的两个重要分支，牵涉到研究热量、能量和物质转化的规律以及微观粒子行为的统计规律。

本文将为您介绍马红孺教授编写的热力学与统计物理讲义。

马红孺教授是中国科学院理论物理研究所的研究员。

他在热力学和统计物理领域具有丰富的研究经验和卓越的教学能力。

他的讲义以清晰简洁、思路严谨著称，是学习和研究热力学与统计物理的重要参考资料之一。

1. 热力学基础热力学是研究宏观物质的宏观性质、宏观状态和宏观变化规律的物理学分支。

马红孺热力学讲义主要包括热力学基本概念、热力学过程和热力学定律的介绍。

其中，热力学基本概念包括系统、热平衡、热力学性质等方面的内容。

热力学过程涉及绝热过程、等温过程等过程的研究。

热力学定律包括热力学第一定律、热力学第二定律等热力学定律。

这些内容构成了热力学的基础理论。

2. 统计物理基础统计物理是研究微观粒子行为的系统物理学分支，通过统计方法描述微观粒子在宏观尺度上的表现。

马红孺热力学与统计物理讲义的统计物理基础部分主要包括微观粒子的统计分布、独立粒子模型、热力学极限等基础知识。

通过这些内容的学习，读者可以了解粒子在宏观尺度上的统计规律，并将其应用于具体问题的求解。

3. 平衡态统计物理在马红孺热力学与统计物理讲义中，平衡态统计物理是一个重要的部分。

平衡态统计物理研究的是处于平衡状态的统计系统的性质。

这部分内容主要包括正则系综、统计物理量的计算、磁介质的统计模型等。

通过这些内容的学习，读者可以了解统计系统在平衡状态下的性质，并且可以应用统计物理的方法进行计算和研究。

4. 非平衡态统计物理除了平衡态统计物理，马红孺热力学与统计物理讲义还介绍了非平衡态统计物理的内容。

非平衡态统计物理研究的是处于非平衡状态的统计系统的性质。

这部分内容主要包括非平衡态统计物理的基本概念、涨落定理、输运过程等。

通过这些内容的学习，读者可以了解统计系统在非平衡状态下的行为规律，并且可以了解非平衡态统计物理的基本方法。

物理学中的基础理论物理学是自然科学中的一门重要学科，主要研究物质、能量、力和运动等基本规律。

在物理学中，有一些基础理论是不可或缺的，它们构成了物理学的基石，被广泛地应用于生产、科研、医疗、通信等领域。

以下将介绍几个物理学中的基础理论。

1. 相对论相对论是物理学中重要的基础理论之一，由爱因斯坦提出。

相对论主要描述运动的物体在不同参考系下的物理规律。

它包括狭义相对论和广义相对论，其中狭义相对论主要描述高速运动的物体，广义相对论则描述引力和时空的弯曲等问题。

相对论颠覆了经典物理学中的牛顿力学，重新定义了质量、能量、时间、长度等概念。

相对论不仅在理论物理学中被广泛应用，而且在实践中也有着广泛的应用，例如GPS定位系统的精度需要考虑相对论效应。

2. 量子力学量子力学是描述微观世界中物质和能量相互作用的基础理论，由波尔等人提出。

它主要描述微观粒子的位置和运动状态，并以波的形式来描述粒子的运动。

量子力学对经典力学中的概念进行了修正，提出了波粒二象性、不确定性关系等观点，它认为微观粒子运动的不确定性是固有的，量子力学中的本征态和本征值代表的是系统的状态和可观测量。

量子力学不仅成为理论物理学的重要理论，其应用也很广泛，例如在半导体材料、排放污染等领域都有着广泛的应用。

3. 热力学热力学是研究物质与能量间的相互转化，以及这些转化过程中所表现出的物理规律的基础理论之一。

它是经典物理学的一个分支，描述的是大规模的物体。

热力学主要研究热量、温度、物态转化、热力学过程等，其中最基础的定律为热力学第一定律和第二定律，前者表述了能量守恒的原理，后者则表述了热流的不可逆性。

热力学对于工程、化学等领域有着广泛的应用，例如汽车、空调等都是通过热力学原理来工作的。

4. 统计力学统计力学是描述宏观物体和微观粒子间关系的物理学分支，在热力学的基础上发展而来。

统计力学将微观粒子的运动统计平均，得到宏观物体的物理规律，它主要从分子的角度解释物质的热力学性质。

物理中的五大板块物理是自然科学中的一门基础学科，研究物质的本质、性质和相互关系。

在物理学中，有五大板块，分别是力学、热学、光学、电磁学和量子力学。

下面将对这五大板块进行详细介绍。

一、力学力学是物理学的基础，研究物体的运动规律和相互作用。

它分为经典力学和相对论力学两个部分。

经典力学是研究中低速物体运动的力学，包括牛顿力学和拉格朗日力学。

牛顿力学以牛顿三定律为基础，研究物体的运动、受力和力的作用。

拉格朗日力学则以能量与运动的关系为基础，通过拉格朗日方程描述物体的运动。

相对论力学则是研究高速物体运动的力学，特别是爱因斯坦的相对论。

二、热学热学是研究物体热现象和能量传递的学科。

它包括热力学和统计物理学两个部分。

热力学研究热现象与能量之间的关系，以及热力学定律。

统计物理学则是通过统计方法来研究大量微观粒子的行为，从而解释宏观物体的热性质。

三、光学光学是研究光的传播和光与物质的相互作用的学科。

它包括几何光学、物理光学和量子光学。

几何光学研究光的传播规律，特别是光的反射和折射。

物理光学则研究光的波动性质，如干涉、衍射和偏振等。

量子光学则是研究光与物质相互作用的量子效应，如光的量子特性和光的激光效应。

四、电磁学电磁学是研究电荷、电流和电磁场相互作用的学科。

它包括静电学、电流学和电磁场学。

静电学研究电荷之间的相互作用，包括库仑定律和电场的概念等。

电流学研究电流的流动规律，特别是欧姆定律和电路的基本原理。

电磁场学则是研究电磁场的产生和传播，包括麦克斯韦方程组和电磁波的性质等。

五、量子力学量子力学是研究微观粒子的运动和相互作用的学科。

它描述了微观世界中粒子的波粒二象性和不确定性原理。

量子力学包括波动力学和矩阵力学两个部分。

波动力学通过薛定谔方程描述微观粒子的运动和状态。

矩阵力学则使用矩阵运算来描述微观粒子的运动和态矢。

力学、热学、光学、电磁学和量子力学是物理学中的五大板块。

它们分别研究物体的运动规律、热现象、光的传播和相互作用、电磁场的产生和传播，以及微观粒子的运动和相互作用。

统计力学基础知识点统计力学是物理学的一个重要分支，研究宏观系统中的粒子统计行为和宏观性质与微观状态之间的关系。

本文将介绍统计力学的基础知识点，包括热力学基本概念、热力学函数和分布函数等。

一、热力学基本概念1. 系统和环境在热力学中，我们研究的对象称为系统，与系统发生相互作用的一切外界部分称为环境。

2. 状态变量和过程变量状态变量是系统状态的特征量，如温度、压力、体积等；而过程变量是系统随时间变化的量，如功、热量等。

3. 热平衡和热力学平衡态当系统与环境之间达到热平衡时，它们之间不再有净的热量传递。

处于热力学平衡态的系统各部分之间没有净的宏观运动。

二、热力学函数1. 内能和焓内能是系统中原子或分子的动能和势能的总和，通常用符号U表示。

而焓是在恒压条件下定义的，用符号H表示，它等于内能加上系统对外界所做的功。

2. 熵熵是热力学函数中的一个重要概念，它表示系统的无序程度。

熵增原理是热力学第二定律的基础，它说明了孤立系统的熵总是趋向于增加。

3. 自由能和吉布斯函数自由能F是判断系统是否能自发发生变化的指标，如果在恒温、恒容条件下自由能减小，说明系统趋于平衡。

吉布斯函数G是在恒温、恒压条件下定义的，它将系统的内能、熵和对外界所做的功综合考虑在内。

三、分布函数1. 经典统计和量子统计根据统计物体粒子是否具有可区分性，我们将统计力学分为经典统计和量子统计。

经典统计适用于大量粒子系统，而量子统计适用于微观系统。

2. 环境状态和系统状态环境状态是指环境的宏观性质，如温度和压力；而系统状态是指系统的微观状态，如粒子的动量和位置。

3. 分布函数和配分函数分布函数描述了系统中粒子的分布情况，它包括玻尔兹曼分布、费米-狄拉克分布和波色-爱因斯坦分布。

配分函数是描述整个系统的状态的函数，它与能级和温度有关。

四、热力学理论和统计力学理论的关系热力学理论是基于宏观实验结果和经验定律建立的，而统计力学理论则是从微观角度上解释和推导热力学规律。

高等统计物理高等统计物理是一门广泛而深入的学科，它将统计物理学和高等物理学的概念、方法和原理整合在一起，建立在统计学和物理基础理论上。

它涉及的方面包括物理的概率性、概率模型和概率数据、过程和新的计算方法。

它是统计物理、高等物理和统计计算相结合的一门学科。

高等统计物理涉及许多方面的研究，如复杂系统的理论分析和实践应用、动力学分析、量子理论研究、统计流变学研究以及蒙特卡洛模拟等。

其中，复杂系统研究尤为重要。

复杂系统是指由一系列相互依赖性的元素构成的系统，它们的行为及其发展动力的机制复杂且难以把握。

复杂系统的仿真通常以一种随机化的方式进行，它能帮助人们更好地理解复杂系统的相互关系及其发展动力，进而更好地实施系统改进及其他管理性活动。

动力学分析也是高等统计物理研究的重要内容。

动力学分析的主要目的是研究系统的运动的原理，以及在系统外力的作用下它的运动及其发展动力的变化趋势。

动力学分析通过分析系统内部以及系统和外界之间的动态关系，揭示出系统的运动及其发展动力变化的规律，为系统改进和解决复杂问题提供了可靠的数据和有效的方法。

量子理论是现代物理学的基础，也是高等统计物理研究的基础之一。

量子理论是一种描述物质和能量微观世界的理论，通过量子力学的方法，它可以描述和预测粒子的行为，同时也可以对粒子间的相互作用和相互转化进行解释。

统计力学则是一种在微观尺度上，以分布函数表示粒子数量和能量分布，以改变配分函数来描述粒子间相互作用的理论。

统计流变学是高等统计物理学科的重要研究分支，它主要研究的内容是流变的各种物理学和化学性质，主要涉及到流变体的动力学行为，如流变体的几何形态、扭曲、塑性等，以及在外力的作用下它的行为变化。

流变学的研究领域涉及到液体流变学、固体流变学以及表面物理等方面，为统计物理学科的研究提供了重要的技术支持。

蒙特卡洛模拟是高等统计物理学科重要的研究方法之一，它是一种模拟和计算仿真技术，用来仿真复杂系统的行为。

朗道统计物理学朗道统计物理学是一门融合了统计学和物理学的学科，它以统计方法和概率理论为基础，研究微观粒子在宏观尺度上的行为规律。

它的发展源于19世纪末20世纪初的热力学和统计力学的研究，如玻尔兹曼方程、吉布斯分布律等。

朗道统计物理学的研究对象包括气体、固体和液体等各种物质状态。

在朗道统计物理学的框架下，我们可以研究许多重要的问题，例如，如何描述和预测物质的热力学性质，如压力、温度和体积；如何理解物质的相变行为，比如液化、凝固和汽化；以及如何解释和预测宏观系统中的输运现象，如热传导、电导和扩散等。

在研究中，朗道统计物理学使用了概率分布函数来描述粒子的状态，例如玻尔兹曼分布、费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布。

这些分布函数能够提供粒子的能级分布、平均能量和熵等重要信息，从而揭示了系统的统计行为。

通过研究这些分布函数的性质，我们可以得到关于系统宏观行为的重要信息。

朗道统计物理学的研究方法还包括了统计力学中的重要概念和工具，如配分函数、热力学势和统计热力学等。

这些方法可以用来推导系统的热力学性质，比如内能、熵和自由能等。

通过分析和计算这些热力学量，我们可以了解物质的相变行为和输运性质。

朗道统计物理学的研究领域广泛，涉及到许多不同的物理系统。

例如，固体物理学研究了晶体中的电子结构和声子的行为，而液体物理学研究了液体中的分子间相互作用和动力学行为。

此外，朗道统计物理学还可以应用于研究生物物理学、凝聚态物理学和量子力学等领域。

朗道统计物理学是一门探索微观粒子行为与宏观物理性质之间关系的重要学科。

通过统计方法和概率理论，它提供了一种深入理解和描述物质行为的框架。

在这个领域的研究中，我们可以揭示物质的热力学性质、相变行为和输运现象，并为其他相关学科的研究提供了重要的理论基础。

统计力学统计力学（统计物理学）是研究大量粒子（原子、分子）集合的宏观运动规律的科学。

统计力学运用经典力学原理。

由于粒子的量大，存在大量的自由度，导致虽然和经典力学应用同样的力学规律，但性质上完全不同的规律性。

不服从纯粹力学的描述，而服从统计规律性，用量子力学方法进行计算，得出和用经典力学方法计算相似的结果。

从这个角度来看，统计力学的正确名称应为统计物理学。

统计力学（Statistical mechanics）是一个以玻尔兹曼等人提出以最大乱度理论为基础，借由配分函数将有大量组成成分（通常为分子）系统中微观物理状态（例如：动能、位能）与宏观物理量统计规律（例如：压力、体积、温度、热力学函数、状态方程等）连结起来的科学。

如气体分子系统中的压力、体积、温度。

伊辛模型中磁性物质系统的总磁矩、相变温度和相变指数。

统计力学研究工作起始于气体分子运动论，R.克劳修斯、J.C.麦克斯韦和L.玻耳兹曼等是这个理论的奠基人。

他们逐步确定了微观处理方法（表征统计力学特性）和唯象处理方法（表征热力学特性）之间的联系。

1902年J.W.吉布斯在《统计力学的基本原理》专著中强调了广义系综的重要性，并发展了多种系综方法，原则上根据一个给定系统微观纯力学特性，可以计算出系统的全部热力学量，而且他提出正则系综和巨正则系综的研究对象不局限于独立子系统，对于粒子之间具有相互作用的相依子系统也能处理。

量子力学的发展对于微观粒子中的费密子和玻色子在统计力学中分别建立了费米-狄拉克、玻色-爱因斯坦统计分布律。

当量子效应不显著或经典极限条件下，两种量子统计分布律都趋近于麦克斯韦-玻尔兹曼分布律。

20世纪50年代以后，统计力学又有很大的进展，主要是在分子间有较强相互作用下的平衡态与非平衡态问题。

在非平衡态统计力学研究进展的基础上，尝试从广义变分法的视角建立一套描述非平衡态统计力学的新方法。

即以对哈密顿原理进行修正得到的最大流原理为基础，对开放的复杂系统建立新的统计系综，构造出新的势函数，并推导出随机动力学方程，进而得出重整化方程并进行求解，得到自相似的分形结构，从而建立起一个新的统计力学理论框架。

物理学中的统计物理和热力学在物理学的领域中，统计物理和热力学是很重要的分支学科。

本文将从三个方面来介绍它们，分别是基本概念、发展历程和应用。

基本概念统计物理和热力学是物理学中研究集体现象的学科，研究物质的宏观性质和微观性质之间的联系。

热力学和统计物理是密不可分的，前者从宏观的角度，研究热、功、温度等宏观物理量的关系，后者从分子的角度，对物质微观粒子的状态和运动方式进行统计分析。

在统计物理和热力学中，有一些基本概念是必须掌握的。

其中最重要的一个是熵。

熵是一个用来描述系统状态混乱程度的物理量，它可以看做一种度量体系无序程度的方式，体系越有序，熵越小，反之，熵越大。

另外，还有一些重要的概念，例如配分函数、平衡态、热力学势函数等，这些概念在统计物理和热力学的研究中也有着重要的作用，是必须深入掌握和理解的。

发展历程统计物理和热力学这门学科的建立，可以追溯到19世纪末的热力学研究。

那时，人们在对热力学定律和热学性质的研究中，发现了热力学第二定律和熵概念。

与此同时，人们已经认识到，这些基础概念是无法直接用微观系统的运动方程来描述的。

因此，人们开始使用统计方法，对分布在体系中的粒子的状态进行统计量化。

这种方法是基于一个很重要的思想，即微观粒子的随机运动往往会导致宏观物理系统的平稳状态。

随着计算机科学的迅速发展，统计物理和热力学的研究得到了不断的深入和扩展。

在20世纪，量子力学的发展推动了统计物理的发展，使其逐步成为一种非常重要的物理学分支学科。

应用统计物理和热力学的理论和方法在物理学和化学等领域中得到了广泛的应用。

例如，固体物理学、凝聚态物理和流体物理学都离不开这些理论。

在物理学的研究中，分子动力学和蒙特卡罗模拟是最常用的统计物理和热力学的计算方法。

这些方法可以很好地模拟材料的物理性质和反应机制，从而为材料科学和化学研究提供了基础。

此外，统计物理和热力学还在天体物理学、生物物理学和信息物理学等领域中得到了广泛的应用。

收稿日期:2005-01-21　作者简介:王启文(1963—),男,内蒙古呼伦贝尔人,呼伦贝尔学院物理系副教授,北京师范大学访问学者,主要从事大学物理教学及其研究工作.教学研究　统计物理的微观动力学基础王启文1,2,郑志刚1,刘　荣1(1.北京师范大学物理系,北京　100875;2.呼伦贝尔学院物理系,内蒙古呼伦贝尔　021008) 摘要:统计的基本出发点是研究系统具有的随机性.不同系统在不同情形下的宏观热力学性质起源于系统内部随机性的差异.通过对宏观热力学系统的微观非线性动力学进行研究探索,我们可以进一步更为深入地理解物态方程、相变等诸多的宏观热力学现象.本文通过哈密顿系统的非线性动力学研究,以及遍历性理论的动力学随机性研究对此问题进行了分析.研究表明,动力学系统的全局性混沌是系统统计成立的根本要素,系统的无限大自由度(热力学极限)已不是决定性的因素.人们可以在此基础上建立少自由度系统的统计力学及热力学.关键词:随机性;动力学系统;混沌;遍历理论中图分类号:O 414.2 文献标识码:A 文章编号:100020712(2005)1120005205 人类善于发现规律,并试图将发现了的规律公式化,然后利用公式去了解周围的世界.这是科学发展的重要因素.然而,当我们找不出规律时,往往并不将其归于无知,而是理所当然地称之为随机性.事实上,“随机性”另有它解:它可能是有内在规律性的,或许它只不过反映出人类的无知.历史上随机模型的伟大成就便是统计力学[1].统计力学表达了大量分子球体统计学意义上(比如平均值)的确定性运动.也就是说,它使用一个微观层面的随机模型来证明一个宏观层面的确定性模型.这合理吗?答案是肯定的.它其实断言了两件事:1)球体运动时是无序的;2)这是一种特殊的无序状况,最终表现出一种确定的平均状态.这其中论点的转换很有意思.一个最初的确定性模型(气体定律)建立在一个随机模型(微小球体)的基础上,而随机性又作为确定性运动的逻辑结果被证实.以随机系统为研究对象的统计力学对牛顿的机械决定论思想提出了严重挑战.我们知道,统计物理关于热力学系统性质研究的基本出发点是把系统看作是力学系统,其微观运动遵循牛顿方程或哈密顿方程.牛顿方程是时间可逆的,运动过程既可以沿着时间增加的方向进行,也可以沿时间倒流的方向回溯.这显然与热力学过程遵循的第二定律相矛盾,后者给出热力学过程的时间方向性.历史上,这成为物理学与哲学上一个持久争论的问题.混沌动力学研究及其后来KAM 定理的出现,说明了决定性的牛顿力学从计算和预测的观点来看实际上具有内禀随机性.这就是微观层次上的混沌运动[2,3],它为上述矛盾的解决与调和提供了有意义的研究参考.另外,混沌运动在自然界中极其普遍[2],系统混沌运动的动力学演化过程会给我们展示丰富多彩的世界.因此对混沌运动的认识和研究具有重要的理论意义和实践意义.下面我们将从研究的角度谈一下我们对统计性的微观动力学基础问题的理解,希望对相应的课程教学有所帮助.1　动力学系统的描述与哈密顿系统的混沌1.1　哈密顿系统及其可积性动力学系统按照能量是否守恒可分为两类,一类称为保守系统(哈密顿系统),另一类称为耗散系统.保守动力学系统的状态及其演化可以用相空间的哈密顿函数H (p ,q ,t )来描述[3,4].坐标和动量的时间变化由所谓的正则方程给出:q =5H 5p , p =-5H5q(1)其中　q =(q 1,q 2,…,q n ),　p =(p 1,p 2,…,p n )此方程包括动力学系统变化的一般性质,经典力学所适用的一切变化都可以归结为这些简单的数学方程.第24卷第11期大　学　物　理Vol.24No.112005年11月COLL EGE PHYSICS Nov.2005 哈密顿系统根据不变量或守恒量的数目分为可积系统和不可积系统.不变量往往对应于系统存在着的对称性.若不变量的数目与系统的自由度数相等,系统的演化完全由这些对称约束来确定,那么系统是可积的;若系统不存在这种对称性或对称性遭破坏,则系统不再受这些对称的规则所约束,系统是不可积的.绝大多数具有两个或两个以上自由度的哈密顿系统都是不可积的.如果一个不可积系统能看成受微扰的可积系统,就称为近可积系统.近可积系统等价于与时间有关的单自由度哈密顿系统,它与可积系统的根本区别是存在混沌运动.可积系统的运动特征是确定性和稳定性,而不可积系统的运动则表现出局部处处失稳,因而单个轨道的运动变成随机的和不可预言的.可积系统的典型行为是周期运动和准周期运动,而在不可积系统中则存在着混沌运动.可积系统的运动图像简单,可以用极限环或二维环面描述,而不可积系统的运动图像十分复杂,数学处理很困难,所以人们自然希望不可积系统尽量少一点.然而在20世纪40年代,西格尔(Siegel CL)等人证明,在相空间中把全部可积分的点凑到一起,测度仍为零,即在这个空间中任意抓出一个点,它一定是不可积的动力学系统.可积系统与不可积系统的划分使我们清楚地认识到,经典力学实质上是可积系统的理论,现实世界的系统几乎都是不可积的.从这个意义上可以说人类对现实世界的认识才刚开始.1.2　KAM定理与FPU实验为了描述不可积系统的复杂运动的图像,1954年,柯尔莫戈洛夫(Andrei N.K olmogorov)在阿姆斯特丹举行的国际数学会议上提出了一个重要定理.后来,阿诺德(Arnold)、莫泽(Moser)分别给出定理的严格证明,因此这个定理称为KAM定理.KAM 定理是关于近可积系统的一个重要的一般性结论,有十分重要的意义.假定系统的哈密顿函数分为两部分,即:H(J,θ)=H0(J)+εH1(J,θ)(2)其中H0部分是可积的,H1是使H变得不可积的扰动.只要ε很小,这就是一个弱不可积系统.KAM 定理断言,在扰动较小、H1足够光滑且离开共振条件一定距离的情况下,对于系统的大多数初始条件,弱不可积系统的运动图像与可积系统基本相同.可积系统的运动限制在由N个运动不变量决定的N 维环面上,而弱不可积系统的绝大多数轨道仍然限制在稍有变形的N维环面上,这些环面并不消失,只有轻微的变形,称为不变环面.不过,只要有非零的扰动,就会有一些轨道逃离不变环面,出现不稳定、随机性的特征.但只要满足KAM定理的条件,这些不稳定轨道就是零测度的,不代表系统的典型行为.大量的计算机数值实验表明,破坏KAM定理的任何一个条件,都会使运动的不规则性和随机性增大,最终导致混沌运动.当然,这运动所遵循的仍然是决定性的牛顿力学方程式.所以,KAM定理以一个限制性原理的形式,从反面泄露了有关牛顿力学面目的真实信息.KAM定理暴露出确定性的动力系统,只要精确地从同一点出发,其运动就是一条确定的轨道;但是只要初始条件有所变化,无论这个变化多么微小,其后的运动都会变得无序和混乱,就如同掷骰子一样是随机和不可预测的.这就是牛顿力学的内禀随机性[5～8].上述的数学结果在同一时期物理学领域得到了相应的、独立的研究.1955年,Fermi、Pasta和Ulam 进行了一个计算机实验,他们研究的是由64个振子组成的系统,具有立方的耦合项使线性及可积性被破坏.研究发现,当对少数几个频率较低的模式增加能量时,不存在能量向其他模扩展的趋势.这种行为与人们把非谐振子系统看作是遍历时所作的预言很不同.那时人们预期系统将达到一个定态,这个定态中所有能量相同的态将有相同的概率,而且预期可看到能量在各个模之间均分[1].FPU实验观测到的这种行为可以借助于KAM 定理来理解.这个定理表明,对于一个有弱非谐耦合的系统(满足KAM定理条件),大部分能量面由许多不变环组成,系统将在很多方面显示出与无扰动谐振子系统相似的行为.然而,当这种耦合增大时,相空间中的不变区遭到破坏,可预期在某一点将看到朝无序行为和类似于模之间能量均分的突然转变. 1.3　哈密顿系统混沌的本质不可积哈密顿系统由于能量守恒,相空间不存在吸引子.大多数不可积系统在相空间既有稳定的规则运动,也有不稳定的混沌运动,形成规则区与混沌区交错并存的复杂结构.图1给出了Henon-Heiles系统H=12p21+p22+q21+q22+q1q22-13q31=E的相空间动力学情况.可以看到,当能量增加(相当于增加非线性强度)时,在Poincare截面上分布着散乱的点(混沌区)与闭合曲线(环面).哈密顿不可积系统中存在不动点和鞍型不稳定6　大　学　物　理 第24卷图1　Henon-Heiles系统的混沌点.鞍型不动点是由一条稳定流型与一条不稳定流型相交的.稳定流型与不稳定流型都不能与自身相交,但两种流型可以在不动点之外相交,称为同宿点.鞍型不动点可以分为同宿不动点与异宿不动点.若两个不动点的轨道作时间反演回到另一不动点叫异宿.两种流型一旦相交就会无穷次相交,产生极为复杂的情形.当接近不动点时,同宿点会积累起来,导致在不动点附近大的振荡,形成不可积系统相空间的全局混沌.虽然发生混沌的实际系统大多数都属于耗散系统,但是哈密顿系统中为何存在混沌现象的问题具有更基本的物理学意义.人们期望,对于不可积哈密顿系统的研究所揭示的作为系统内禀特性的丰富复杂的相空间结构和奇异随机的动力学行为,将能够使我们弄清楚宏观不可逆性的真正起源.一个很重要的问题就是,哈密顿系统的内在随机性是否强到足以解释统计力学理论的遍历性假设.这个问题的回答要借助于遍历性理论的研究成果.2　遍历理论与随机性的不同层次KAM定理是一种整体的关于稳定性的论断.轨道的不稳定反映出力学确定性运动中出现的随机性.这就把我们带回到19世纪末物理学家争论的统计物理基本问题.玻耳兹曼为了解释自己提出的H 定理,最早提出了各态历经假设[1]:哈密顿系统的轨道在运动过程中要经历等能面上一切可能的状态,因此沿轨道的长时间平均可以换成对等能面上各种状态的平均.近几十年来遍历理论有了两大进展:一方面,动力学系统的遍历性分成许多层次.最低的层次是狭义的“遍历”直到最强的伯努利(Bernoulli)流等等[9,10],愈往上随机性越强,处在上面的随机层次必定具有下面的遍历性质,反之不成立.如:存在着K流而非伯努利流的动力学系统,它当然是遍历和混合的.另一方面,证明了一批具体系统的遍历或非遍历性质.如:一些耦合谐振子系统是不遍历的(这是KAM定理的直接后果),但封在盒子中的两个刚球则是遍历、混合甚至混沌的系统.下面我们按照随机性由弱到强的顺序罗列出目前已研究清楚的一些动力学性质.2.1　Poincare回归性如果系统在相空间中从一点出发,经过一段时间之后回到起点的某一领域,则称该系统是回归的.周期运动的系统自然满足回归性.对于一个哈密顿系统来说,其相空间中的轨道都可以满足回归性质,因此回归性从随机性角度而言是最弱的.2.2　玻耳兹曼遍历性如果系统从相空间中任何一点出发(排除测度为零的点),长时间后,演化可以遍及相空间几乎所有区域,则称系统是遍历的.遍历系统需满足对系统的任何函数而言其时间平均与相空间平均都相等.系统的遍历性隐含着一层含义,就是系统相空间不能分解成两个不变子空间.遍历性最简单的例子就是粒子在二维环面上(类似于汽车轮胎的形状)的运动.粒子运动由沿轮胎大环的运动和沿轮胎横截面的运动组成,分别具有不同的转动频率.若粒子运动的两个频率之间不可约(即比值是无理数),粒子就可跑遍整个环面.但是这个运动并不具有随机性,即一个波包在运动过程中不会像墨滴在水中一样弥散开.系统要具有不可逆性,必须有一定的“混合”机制[10].2.3　Gibbs混合性如果一个系统的初始信息在长时间后逐渐丧失(关联函数趋于零),则称系统为混合的.系统的初始信息随时间逐渐丧失,这就具有了不可逆的特征.混合的特征是,初始的概率波包随时间演化会逐渐散开并趋于定态分布.初始信息丧失的速度对于不同的混合系统是不同的,有的是按较慢的幂律,有的是按指数衰减规律,更多的则是更为复杂的规律.幂律第11期 王启文等:统计物理的微观动力学基础7衰减被称为长时尾,它在硬球系统及许多哈密顿系统中都能观察到.一个混合系统必然是遍历的,反之则未必成立.具有混合性的系统很多,如图2所示的面包师变换就是混合的.面包师变换实际上可写成一个保面积的二维映射.可以证明:在粗粒化的意义下,系统在q 方向上满足混合性.图2　面包师变换2.4　K olmogorov 系统描述系统混合特征的量,数学上往往采用所谓的K olmogorov -Sinai (KS )熵.在粗粒化的相空间中,KS 熵h 是系统的一个测度不变量,不依赖于粗粒化的方式,反映了相体积在时间演化过程中的复杂度.h 可以小于零也可以大于零.我们把h >0的动力学系统称为K olmogorov 系统.一个KS 熵大于零的相体积可以如图3所示发生非常复杂的变化.如果系统有正的KS 熵,则在相空间中某一区域的轨道是混沌的,称为K 流.前面提到的Henon -Heiles 系统就是K 流的一个例子.非简谐振子系统大多具有这种性质.图3　一个小相体元的时间演化2.5　Anosov 系统K 系统只反映系统可以具有随机性很强的运动,它没有排除相空间仍然具有足够测度的KAM区(即规则运动区).如果一个动力学系统满足如下性质:1)收缩矢量的子空间与拉伸矢量的子空间构成系统整个容许的相空间;2)收缩和拉伸在T ^影射下保持不变,则称此系统为Anosov 系统.这种系统具有非常强的随机性,因为在这个相空间任何一点的运动都是局域不稳定的.一个单位质量的粒子在闭合的二维负高斯曲率表面上沿测地线的运动和图4所示的保面积Arnold 猫变换都属于这种系统[11].另外,还有一种随机性最强的动力学系统:图4　Arnold 猫变换Bernoulli 系统,这是一种完全随机的移位操作,这里不再详细介绍.总之,上述的各种随机性反映了动力学系统统计性的一面.几十年来对这些问题的研究表明,动力学系统的全局性混沌是系统统计成立的根本要素,系统的无限大自由度(热力学极限)已不是决定性的因素.人们已经在此基础上建立了少自由度系统的统计力学及热力学,并讨论少自由度系统的非平衡热力学特征[10].3　结语遍历理论提出的并致力于解决的问题是统计物理学中最基本的问题,它抓住了统计与随机性的联系,从而给出不同程度的随机性.这些随机性一方面反映出确定性动力学系统所具有的内在特征,为统计思想对大系统的介入提供了理论的保证;另一方面它直接调和了微观力学规律的可逆性与宏观热力学过程的不可逆性之间的矛盾,为解释不可逆性提供了微观依据.因此可以说,遍历性理论架起了动力学到统计力学的桥梁.遍历理论的思想和方法现今正被应用于统计物理和凝聚态物理等的各种现象,8　大　学　物　理 第24卷如Monte -Carlo 、临界现象、相变、反常输运的分析等,使统计物理的研究异常活跃起来.少自由度哈密顿系统中混沌的发现,已经扭转了传统科学中对于决定论一边倒的倾向.非线性系统的混沌行为多种多样,现象与特点各不相同.以遍历理论为例,目前已经发现,相变现象在更为广泛的意义上实际联系着不同程度的遍历性,相变的发生可以用比对称性破缺更为广泛的遍历性破缺概念来解释.自然界存在随机性,但不同系统、不同条件下各不相同,遍历性理论正是试图将随机性分类.已故的美国著名非线性物理研究专家、被称为混沌传教士的福特(J.Ford )教授针对爱因斯坦的名言曾有新的阐述:“上帝的确是在掷骰子,但骰子是灌了铅的.”所以,研究随机性的动力学起源,弄清楚随机性的骰子是按照何种规则被“灌铅”的,是目前统计物理与非线性交叉领域研究的基本问题.把隐藏于万物复杂性之中的各种普适规律及其本性挖掘出来,将使我们对于宇宙发展的倾向性有更深刻的理解.参考文献:[1]　[美]雷克L E.统计物理现代教程[M ].黄　,夏蒙棼,仇韵清等译校.北京:北京大学出版社,1985.231,242. 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