数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合，则集合A子集的个数为
A. 3
B. 4
C. 7
D. 8
2.设命题p：，，则为
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
3.记等差数列的前n项和为，已知，，则
A. B. 5 C. 10 D. 20
4.执行如图所示的算法流程图，则输出的S的值为
A.
5.某公司有240名员工，编号依次为001，002，，240，现采用系统抽样方法抽取一
个容量为30的样木，且随机抽得的编号为若这240名员工中编号为的在研发部．编号为的在销售部、编号为的在后勤部，则这三个部门被抽中的员工人数依次为
A. 12，14，4
B. 13，14，3
C. 13，13，4
D. 12，15，3
6.在区间上，初等函数存在极大值是其存在最大值的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
7.已知函数，若函数在上存在零点，则实数k的取
值范围是
A. B. C. D.
8.已知在正方体中，P，Q分别为，的中点，则异面直线
和PQ所成的角为
A. B. C. D.
9.已知双曲线与圆恰好有2个不同的公共点，F是
双曲线C的右焦点，过点F的直线与圆切于点A，则A到C左焦点的距离为
A. B. C. D.
10.在中，D是线段AB上靠近B的三等分点，E是线段AC的中点，BE与CD
交于F点，若，则a，b的值分别为
A. B. C. D.
11.欲制作一个容积为V的圆柱形蓄水罐无盖，为能使所用的材料最省，它的底面半径
应为
A. B. C. D.
12.已知椭圆的右焦点F和坐标原点O是某正方形的两个顶
点，若该正方形至少有一个顶点在椭圆C上，则椭圆C的离心率不可能为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.计算：______．
14.如图．将一个圆周进行6等分，，，，，，得到分点，先在从，
，，，这5个半径中任意取1个，若，3，4，
5，，则的概率为______．
15.已知函数若在区间上恒成立．则实数m
的取值范围是______．
16.已知直线与曲线和曲线均相切，则
______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.设函数，不等式的解集中恰有两个正整数．
求的解析式；
若，不等式在时恒成立，求实数m的取值范围．
18.记数列的前n项和为，已知．
求数列的通项公式；
设，数列的前n项和为，求满足的n的最小值．
19.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
求B的大小；
若，求面积的最大值．
20.如图，在平行六面体中，底面ABCD为菱形，和相交于
点O，E为的中点．Ⅰ求证：平面ABCD；Ⅱ若平面平面ABCD，求证：．
21.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：
与圆O的一个交点为．Ⅰ求
抛物线C及圆O的方程；Ⅱ设直线l与圆O相切于点
R，与抛物线C交于A，R两点，求的面积．
22.已知函数，．Ⅰ若的图象在处的切线经过点
，求a的值；Ⅱ当时，不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ由题知的定义域为．
，则．
又因为，所以切点为．
所以，
解得．Ⅱ当时，．
由可得．
，则．
因为，
所以．
所以在上单调递减，从而．
要使原不等式恒成立，即恒成立，故．
即a的取值范围为．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
BDCBC BCADA CA
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13【答案】14【答案】
15【答案】16【答案】或8
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17【答案】解：由题可知，不等式的解集包含1和2两个正整数，故解集为，所以的根为0和3，
由得，
所以；
因为不等式在时恒成立，
所以在上，成立，
所以且，
所以且．
解得．
又，所以，
所以实数m的取值范围为．
18【答案】解：因为，所以，所以，
因为，所以
所以
所以，易知，所以
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
所以．
由得，
所以，即
又因，所以可得．
所以满足的n的最小值为5．
19【答案】解：由正弦定理及，
得，
所以，
又因为，
所以．
由余弦定理，得，即，
因为，
所以当且仅当时，ac取得最大值3．
此时，的面积，
所以的面积的最大值为．
20【答案】解：Ⅰ如图，连接因为，
，所以，相互平分，
所以O为和的中点．
又因为E为的中点，所以OE为的中位线，
所以．
又因为平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD．Ⅱ因为四边形ABCD为菱形，所
以．
因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面．
因为平面，所以．
又因，所以．
因为，所以．
21【答案】解：Ⅰ因为抛物线C与圆O的一个交点
为，
所以，所以，即抛物线C的方程
为．
设圆O的方程为，所以
，
所以，即圆O的方程为．Ⅱ由题意
得．
因为AR是圆O的切线，所以，所以．
所以直线AR的方程为，即．
由与联立消去y得，则．
设点A和点R的横坐标分别为，．
则，．
所以
．所以的面积．
22【答案】解：Ⅰ由题知的定义域为．
，则．
又因为，所以切点为．
所以，
解得．Ⅱ当时，．
由可得．
，则．
因为，
所以．
所以在上单调递减，从而．
要使原不等式恒成立，即恒成立，故．即a的取值范围为．