数学建模培训——线性规划
在生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力，物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益，这类问题称为数学规划（优化）问题．
1．如果统筹兼顾，合理安排，用最少的资源(如资金，设备，原材料，人工，时间)去完成确定的目标和任务；
2．在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产以获得最大的经济效益(如产量最多，利润最大)．
一、线性规划的基本概念 1．实例 利润最大化问题
某工厂用3种原料P 1，P 2，P 3生产3种产品Q 1，Q 2，Q 3．已知的生产条件如下表所示，试制订出总利润最大的生产计划．
表 单位产品所需原材料的数量
解：123x 354ma x x z x ++=
1223123s.t. 231500,24800,3252000,0,1, 2,3.
j x x x x x x x x j +≤+≤++≤≥=
2．概念 （1）线性规划问题(linear programming ,简记为LP )：求多变量线性函数在线性约束条件下的最优值
（2）线性规划问题的一般形式：
11221111221121
122222112212max(min) s.t. (,), (,),
(,),
,,
,0.
n n
n n n n m m mn n m n z c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x =++++++≤=≥+++≤=≥+++≤=≥≥
其中12,,
(,)n x x x x =称为决策变量(decision variable)，z 称为目标函数
(objective function)．约束条件所确定的x 的范围称为可行域，满足约束条件的解x 称为可行解，同时满足目标函数和约束条件的解x *
称为最优解(optimal solution)，整个可行域上的最优解称为全局最优解(global optimal solution)，可行域中某个邻域上的最优解称为局部最优解
(local optimal solution)．最优解所对应的目标函数值称为最优值(optimum)．
若令
1112121
2221
2
n n m m mn a a a a a a a a a A ?? ? ?
= ? ??
?
，T 12,,(,)n x x x x = ，T 12,,(,)n c c c c =，
T 12,,
(,)m b b b b =，则
（3）线性规划的规范形式为：
T min ,0.
c x Ax b x ≥≥ （4）线性规划的标准形式为：
T min ,0.
c x Ax b x =≥ （5）决策变量为整数时，称为整数线性规划；决策变量取0或1时，称为0-1线性规划． （6）规划问题的三要素：决策变量，目标函数，约束条件 （7）线性规划模型的求解步骤 二、线性规划问题的求解 1．单纯形法
（1）线性规划问题的解的性质
线性规划问题的可行域是一个凸多边形．
线性规划问题如果存在最优解，则最优解必在可行域的顶点处达到．
（2）单纯形法: 从可行域的一个顶点（基本可行解）出发，转换到另一个顶点，并且使目标函数值逐步减小，有限步后可得到最优解．
2．软件求解——借助于Lingo 和Matlab 可以求解规划问题． 3．Lingo 求解线性规划模型 LINGO 的基本语法：
（1）以model ：开始，以end 结束（可省略）； （2）目标函数直接记作“max=”、“min=”； （3）约束条件符号“s ．t ．”不出现；
（4）每一语句必须以英文状态下的分号“；”结尾；
（5）变量名称不区分大小写，以字母开头，可含数字和下划线； （6）所有变量都假定是非负的，不必再另外输入非负变量约束条件； （7）“>”代替“>=”，“<”代替“<=”； （8）注释语句以感叹号“！”开始，以分号“；”结束； （9）每行可有多个语句，语句可以断行． 实例的求解程序： model:
max=3*x1+5*x2+4*x3;
2*x1+3*x2<1500; 2*x2+4*x3<800;
3*x1+2*x2+5*x3<2000; end
Lingo 的求解器运行状态窗口
图 Lingo 的求解器状态窗口
注：1．Model Class （当前模型类型）包括：LP 线性规划；QP 二次规划；ILP
整数线性规
当前模型类型
当前解的状态 当前目标函数值
变量数量
约束数量 非零系数数量
内存的使用量 求解花费的时间
扩展求解器状态
目前为止迭代次数 变量总数 非线性变量数 整数变量数 约束总数
非线性约束个数 总数
非线性系数个数 当前约束不满足的总量
求解器状态
使用的特殊求解程序 目前可行解的最佳目标函数值
目标函数值的界
特殊求解程序当前运行步数
有效步数
划，IQP 整数二次规划；PILP 纯整数线性规划；NLP 非线性规划；MIP 混合整数规划，INLP 整数非线性规划，PINLP 纯整数非线性规划．
2．State （解的状态）包括：Global Optimum 全局最优解；Local Optimum 局部最优解；Feasible 可行解；Infeasible 不可行解；Unbounded 无界解；Interrupted 中断；Undetermined 未确定． 三、经典的线性规划模型 1．下料问题
现有一批长度为7.4m 的钢管，由于生产的需要，要求截出规格为2.9m ，2.1m 和1.5m 的钢管．数量分别为1000根，2000根和1000根．请问应该如何下料（即截取原材料钢管），才能既满足生产的需求，又使得消耗原材料钢管的数量或浪费的材料最少？
2345678123431456712456821000, 2232000,3mi 2341n 000 .
z x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x ++++++++++≥++++≥+++++≥=
model :
min =x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8; 2*x1+x2+x3+x4>1000;
2*x3+x4+2*x5+x6+3*x7>2000; x1+3*x2+x4+2*x5+3*x6+4*x8>1000; end
2．运输问题
某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点（销地）出售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（假定单位均为吨）以及各工厂到各销售点的单位运价（元/吨）示于下表中．问产品如何调运才能使总运费最小．
解：设第i 产地运往第j 销地的产品数量为ij x ，单位运费为ij c ，第i 产地的产量为i a ，第j 销地销售量为j b ，其中1,2,3;1,2,3,4.i j ==
34
11
4
13
1
min ,1,2,3,,1,2,3,4,
0.
ij ij
i j ij
i j ij
j i ij z c x x
a i x
b j x =========≥∑∑∑∑
model : sets :
chandi/1..3/:a; xiaodi/1..4/:b;
feiyong(chandi,xiaodi):c,x; endsets
min =@sum (feiyong(i,j):c(i,j)*x(i,j));
@for (chandi(i):@sum (xiaodi(j):x(i,j))=a(i)); @for (xiaodi(j):@sum (chandi(i):x(i,j))=b(j)); data : a=9,5,7; b=3,8,4,6; c=2,9,10,2 1,3,4,2 8,4,2,5; enddata end
四、Lingo 1.集合
定义集合需要明确三方面内容：集合的名称、集合内的成员（组成集合的个体，即元素）、集合的属性（可以看成是与该集合有关的变量和常量）．
集合定义语法：集合名称/成员列表/：属性1，属性2，…，属性n ；
其中成员列表可采用显式罗列（成员之间用逗号或空格隔开）或隐式罗列（首末两个成员之间用“．．”省略号连接） 派生集合的定义语句有以下要素组成：集合的名称、对应的初始集合、集合的成员（可以省略不写）、集合的属性（可以省略）．
派生集合定义语法：派生集合名称（集合名称1，集合名称2）：属性1，…，属性n ； 集合的定义部分以语句sets:开始，endsets 结束．即：
sets:
集合名称1/成员列表1/：属性1_1，属性1_2，…，属性1_n1；
集合名称2/成员列表2/：属性2_1，属性2_2，…，属性2_n2；
派生集合名称（集合名称1，集合名称2）：属性3_1，…，属性3_n3；
endsets
2.数据
数据部分的语法为
data:
属性1=数据列表；
属性2=数据列表；
enddata
注：在数据段中，=右侧不能出现运算，故不能出现分数，如3/8，这里的/表示除法运算．（1）通过复制粘贴传递数据
（2）从文本文件传递数据
◆从文本文件导入数据
命令：@file(’fname.txt’)，其中文本文件fname.txt应与LINGO程序文件在同一目录中.
◆将程序执行结果导出到文本文件中
命令：@text(’fname.txt’)=决策变量名
如无特别指定，文本文件fname.txt将被默认保存在LINGO程序文件的当前工作目录中.
如运输问题中实例Lingo程序为：
model:
sets:
chandi/1..3/:a;
xiaodi/1..4/:b;
feiyong(chandi,xiaodi):c,x;
endsets
min=@sum(feiyong(i,j):c(i,j)*x(i,j));
@for(chandi(i):@sum(xiaodi(j):x(i,j))=a(i));
@for(xiaodi(j):@sum(chandi(i):x(i,j))=b(j));
data:
a=@file(yunshuwt.txt);
b=@file(yunshuwt.txt);
c=@file(yunshuwt.txt);
@text(yunshuwtx.txt)=@table(x);!把计算结果以表格形式输出到外部纯文本文件;
enddata
end
yunshuwt.txt文件内容：
9 5 7~ !~是记录分割符，该第一个记录是产量;
3 8
4 6~
2 9 10 2
1 3 4 2
8 4 2 5
注：1.@text(yunshuwtx.txt)= x也可以；
2.程序与文本文件必须在同一个目录下；
3.运行Lingo程序时，文本文件打开或关闭均可．
（3）从Excel文件传递数据
◆从Excel文件中导入数据
命令：数据名=@ole(’fname.xls’,’数据块名’)，其中Excel文件fname.xls应与LINGO程序文件在同一目录中．
数据块的定义：在Excel文件中选定数据区域后，选择菜单“插入-名称-定义…”即可进行定义.
如数据块名称与数据名相同时，可以省略数据块名称．
◆将程序执行结果导出到Excel文件中
命令：@ole(’fname.xls’,’数据块名’)=决策变量名，其中保存决策变量的数据块应预先在Excel文件fname.xls中加以定义.
model:
sets:
chandi/1..3/:a;
xiaodi/1..4/:b;
feiyong(chandi,xiaodi):c,x;
endsets
min=@sum(feiyong(i,j):c(i,j)*x(i,j));
@for(chandi(i):@sum(xiaodi(j):x(i,j))=a(i));
@for(xiaodi(j):@sum(chandi(i):x(i,j))=b(j));
data:
a=@ole(yunshu.xlsx);
b=@ole(yunshu.xlsx);
c=@ole(yunshu.xlsx,cc);!Excel中不允许使用域名"c"，对应的数据块定义成"cc";
@ole(yunshu.xlsx)=x;
enddata
end
注：程序运行时，excel文件必须打开．
3.函数
基本运算符：算术运算符、逻辑运算符和关系运算符；
数学函数：三角函数和常规的数学函数；
金融函数：两种金融函数；
概率函数：大量与概率相关的函数；
变量限制函数：用来定义变量的取值范围；
集合操作函数：对集合的操作提供帮助；
集合循环函数：遍历集合的元素，执行一定的操作；
数据输入输出函数：允许模型和外部数据源相联系，进行数据的输入输出；辅助函数：各种杂类函数.
算术运算符：
+ 加
- 减
* 乘
/ 除
^ 乘方
关系运算符：
= 相等
<(<=) 小于（小于或等于）
>(>=) 大于（大于或等于）
逻辑运算符：
#not# 一元运算符，否定该操作数的逻辑值；
#eq# 若两个运算数相等，则为true，否则为false；
#ne# 若两个运算符不相等，则为true，否则为false；
#gt# 若左边的运算符严格大于右边的运算符，则为true，否则为false；
#ge# 若左边的运算符大于或等于右边的运算符，则为true ，否则为false ； #lt# 若左边的运算符严格小于右边的运算符，则为true ，否则为false ； #le# 若左边的运算符小于或等于右边的运算符，则为true ，否则为false ； #and# 若两个参数都为true ，则为true ，否则为false ； #or# 若两个参数都为false ，则为false ，否则为true.
变量限制函数：
@bnd(l,x ,u) 有界变量u x l ≤≤ @free(x ) 自由变量 @bin(x ) 0-1变量 @gin(x ) 一般整数变量
注：LINGO 默认所有变量都是非负的，如需改变，要另外定义.
数学函数：
@abs(x) x 的绝对值
@sin(x) x 的正弦值（x 采用弧度制）； @cos(x) x 的余弦值 @tan(x) x 的正切值 @exp(x) 常数e 的x 次方 @log(x) x 的自然对数
@lgm(x) x 的gamma 函数的自然对数 @sqrt(x) x 的算术平方根
@sign(x) x<0时，返回-1；否则，返回1. @floor(x) x 的整数部分 @smax(x1,x2) x1，x2中的最大值 @smin(x1,x2) x1，x2中的最小值 @mod(x1,x2) x1/x2的余数
集合操作函数：
@for(s:e) 对集合s中的每一元素都生成一个由表达式e描述的约束条件;
@sum(s:e) 对集合s中的每一元素都生成表达式e的值，再返回所有这些值的和;
@prod(s:e) 对集合s中的每一元素都生成表达式e的值，再返回所有这些值的积;
@max(s:e) 对集合s中的每一元素都生成表达式e的值，再返回所有这些值的最大值; @min(s:e) 对集合s中的每一元素都生成表达式e的值，再返回所有这些值的最小值; @size(s) 返回集合s中的元素的个数.
五、案例——人力资源分配问题
某个中型百货商场对售货人员（周工资200元）的需求量经统计如下表．为了保证员工充分休息，要求每位员工每周工作5天，休息2天．问应如何安排员工的工作时间，使得所配员工的总费用最小．
332简单线性规划问题 “简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简 单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视?线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益?它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题?中学 所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法一一数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力 依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等 价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知 识内容定为了解层次 本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材 本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力 教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答?解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解?为突 出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化课时安排2课时 三维目标 一、知识与技能 1. 掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念； 2. 运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题I 二、过程与方法 1. 培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力； 2. 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新. 三、情感态度与价值观 1. 通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、 归纳等数学能力； 2. 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于 创新.
线性规划模型及其举例 摘要：在日常生活中，我们常常对一个问题有诸多解决办法，如何寻找最优方案，成为关键，本文提出了线性规划数学模型及其举例，在一定约束条件下寻求最优解的过程，目的是想说明线性规划模型在生产中的巨大应用。 关键词：资源规划；约束条件；优化模型；最优解 在工农业生产与经营过程中，人们总想用有限的资源投入，获得尽可能多的使用价值或经济利益。如：当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多，利润最大）。 一.背景介绍 如果产出量与投入量存在（或近似存在）比例关系，则可以写出投入产品的线性函数式： 1()n i ij j j f x a x ==∑，1,2,,,1i m m =+ (1) 若将（1）式中第（1m +）个线性方程作为待求的目标函数，其余m 个线性方程作为资源投入的限制条件（或约束条件），则（1）式变为： OPT. 1()n j j j f x c x ==∑ ST. 1 n ij j j a x =∑> ( =, < )i b , 1,2,,i m = (2) 0,j x ≥ 1,2,,j n =… （2）式特点是有n 个待求的变量j x （1,2,,j n =…）；有1个待求的线性目标函数()f x ，有m 个线性约束等式或不等式，其中i b （1,2,,i m =…）为有限的资源投入常量。将客观实际问题经过系统分析后，构建线性规划模型，有决策变量，目标函数和约束条件等构成。 1．决策变量（Decision Variable,DV ）在约束条件范围内变化且能影响（或限定）目标函数大小的变量。决策变量表示一种活动，变量的一组数据代表一个解决方案，通常这些变量取非负值。 2．约束条件（Subject To,ST ）在资源有限与竞争激烈的环境中进行有目的性的一切活动，都
线性规划的实际应用题解题步骤 广东 王远征 在近几年的高考试卷中出现了求线性目标函数在线性约束条件下的最大（小）值应用题，本文以高考试题为例，介绍解题的模式和一般步骤． 一、线性规划问题的数学模型如下： 已知???????≤++++≤++++≤++++n m nm n n n m m m m b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a ΛΛΛΛΛ3322112232322212111313212111 （I ） 其中ij a ，i b 都是常数，i x 是非负变量． (n i ,,3,2,1Λ= m j ,,3,2,1Λ=)． 求m m x c x c x c x c z ++++=Λ332211 的最大（小）值，其中i c 是常数． 我们将（I ）称为线性约束条件，把m m x c x c x c x c z ++++=Λ332211称为目标函数． 二、解题的一般步骤： 1． 建模：在读懂题意的前提下，写出反映实际问题的线性约束条件和目标函数表达式； 2． 作出可行解、可行域：将线性约束条件中的每个不等式当作等式，在平面直角坐标 系中作出相应的直线，并确定原不等式所表示的半平面，然后作出所有半平面的交 集； 3． 作出目标函数的等值线； 4． 求出最优解：在可行域内，平移目标函数的等值线，从图中能判断实际问题的解的 情况，有唯一最优解，或无最优解，或有无穷最优解． 三、典型试题解析 例（07年高考山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分
线性规划应用案例
市场营销应用 案例一：媒体选择 在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。 REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。 考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。表4-1列出了收集到的这些信息。 表4-1 REL发展公司可选的广告媒体
REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。应当推荐何种广告媒体选择计划呢？ 案例二：市场调查 公司开展市场营销调查以了解消费者个性特点、态度以及偏好。专门提供此种信息的市场营销调查公司，经常为客户机构开展实际调查。市场营销调查公司提供的典型服务包括涉及计划、开展市场调查、分析收集数据、提供总结报告和对客户提出意见。在调查设计阶段，应当对调查对象的数量和类型设定目标或限额。市场营销调查公司的目标是以最小的成本满足客户要求。 市场调查公司（MSI）专门评定消费者对新的产品、服务和广告活动的反映。一个客户公司要求MSI帮助确定消费者对一种近期推出的家具产品的反应。在与客户会面的过程中，MSI统一开展个人入户调查，以从有儿童的家庭和无儿童的家庭获得回答。而且MSI还同意同时开展日间和晚间调查。尤其是，客户的合同要求依据以下限制条款进行1000个访问： ●至少访问400个有儿童的家庭； ●至少访问400个无儿童的家庭； ●晚间访问的家庭数量必须不少于日间访问的家庭数量； ●至少40%有儿童的家庭必须在晚间访问； ●至少60%无儿童的家庭必须在晚间访问。 因为访问有儿童的家庭需要额外的访问时间，而且晚间访问者要比日间访问者获得更多收入，所以成本因访问的类型不同而不同。基于以往的调查研究，预计的访问费用如下表所示： 以最小总访问成本满足合同要求的家庭——时间访问计划是什么样的
六种经典线性规划例 题
求线性目标函数的取值范围 x y [3,6] y 2 i O x=2 求可行域的面积 y y C 5 \ M O ) 13 x y x x O x y ) D y =2 x , 个 2 2 x + y -3 = 0s D 、无穷大 2 2 2 2 () y y y y 三、求可行域中整点个数 y x B A 2x + y =5 旦y =2 解：如图，作出可行域，△ OMBC 的面积减去梯 x L ' x + y =2 D 、( 3,5] ABC 的面积即为所求，由梯形 OMAC 的面积即可，选 B (x (x (xp 0 (xp 0 中整点(横纵坐标都是整数)有 、14个 A 、[2,6] B 、[2,5] C 解：如图，作出可行域，作直线 l 向右上方平移，过点 A ( 2,0 2，过点B ( 2,2 )时，有最大值 线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标 函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 例1、若x 、y 满足约束条件 例3、满足|x| + |y| <2的点 A 、9 个 B 、10 个 C 、 ，则z=x+2y 的取值范围是 2 0,y 0) 0, y p 0) y 0) yp 0) 作出可行域如右图，是正方形内部(包括边界)，容易得 到整点个数为 13个，选D () A 、 4 B 、 1 x 解：凶+ |y| <2等价于 y 6 y 3 0表示的平面区域的面积为 2 2x 例2、不等式组 x x+2y = 0，将 时，有最小值 6，故选A
对线性规划整点问题的探究 厦门双十中学 郭俊芳 在人教版第二册（上）（2004年6月第一版，2006年4月第3次印刷）的高中数学教材第7.4节——简单线性规划。课本第61~62页给出两个线性规划的实际问题。分别代表两个类型：例3属于第一类：给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大；例4属于第二类：给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源最小。且例4还要求最优解是整数解。笔者在教学中发现，这个问题是学生的难点，学生仅靠阅读课本解答是不能完全理解怎样得到这个最优解的。笔者经过多次的教学实践和研究，试图找到解决这类问题的方法，以下是笔者认为行之有效的方法。 一、精确图解法求整数最优解 课本P88习题16 某运输公司有7辆载重量为6t 的A 型卡车与4辆载重量为10t 的B 型卡车，有9名驾驶员。在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费A 型车160元，B 型车252元。每天派出A 型车和B 型车各多少辆公司所花的成本费最低？ 解：设每天派出A 型车x 辆、B 型车y 辆，公司所花的成本为z 元，则 0x 70y 4x y 9 68x 106y 360x,y Z ≤≤??≤≤?? +≤????+??≥?∈?? 即0x 70y 4x y 94x 5y 30x,y Z ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?∈?? z=160x+252y. 如图可行域是ABCD 围成的区域， 作直线160x+252y=0，图形中两直线160x+252y=0和4x+5y=30接近平行， 比较直线斜率k=160252- >-4 5 , 平移直线160x+252y=0，由图可知在A （7， 2 5 ）处取到最小值，但A 不是整数解。 在可行域内共有（3，4），（4，3），（4，4），（5，2），（5，3），（6，2），（6，3），（7，1），（7，2）整数解，经检验只有（5，2）是最优解，此时z=160×5+252×2=1304元。 这种方法适用于区域是封闭区域，且区域内的整数点可数，坐标网络画出来容易在图上识别哪些整点在可行域内。 二、利用近似解估算整数最优解 课本P63例4 要将两种不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： x+y=9 4x+5y=30 160x+252y=0 A B C D
简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值 线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的 截距是z， b b b 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值； 当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．
知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种 材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一求线性目标函数的最值 y≤2， 例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( ) x－y≤1， A ． 12 B ．11 C ．3 D ．－ 1 答案 B 解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点 的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经 y＝2，x＝ 3，
线性规划的实际应用 摘 要：线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 关键词：研究性学习；线性规划，教学改革 随着当前基础教育的改革的深入，研究性学习成为当前基础教育的一个热点，引起了教育界和社会的广泛关注，也成为当前培养学生能力的一个崭新的课题。我们本着教学过程始于课内，终于课外的原则对线性规划的实际应用进行研究。主要是把实际问题抽象为数学模型，使其在约束条件下，找到最佳方案。也就是说求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题。 一． 线性规划问题 在实际社会活动中遇到这样的问题：一类是当一项任务确定后，如何统筹 安排，尽量做到最少的资源消耗去完成；另一类是在已有的一定数量的资源条件下，如何安排使用它们，才能使得完成的任务最多。 例如1-1：某工厂需要使用浓度为的硫酸10，而市场上只有浓度为，0080kg 00600 070和的硫酸出售，每千克价格分别为8元，10元，16元，问应购买各种浓度的硫酸各多0090少？才能满足生产需求，且所花费用最小？ 设取浓度为，，的硫酸分别为千克，总费用为，则 006000700090321,,x x x Z s.t ?? ?=++=++8 9.07.06.010 321321x x x x x x ) 3,2,1,0(16108321=≥++=j x x x x Z j 例如1-2：某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲产品需要种原料不超过3千克，但 A 每千克甲产品需要种原料为2千克；生产乙产品需要种原料不超过4.5千克，但每千克C B 乙产品需要种原料为3千克。每千克甲产品的利润为3元，每千克乙产品的利润为4元， C 工厂生产甲，乙两种产品的计划中要求所耗的种原料不超过15千克，甲，乙两种产品各应C 生产多少，能使的总利润最大？ 设生产甲，乙两种产品分别为千克，利润总额为元，则 21,x x Z s.t ???????≥≤+≤≤0 ,15325.43212121x x x x x x 2143x x Z +=二． 线性规划问题的模型 1．概念 对于求取一组变量使之既满足线性约束条件，又使具有线 ),,3,2,1(n j x j ???=性目标函数取得最值的一类最优问题称为线性规划问题。
课题：线性规划在实际生活中的应用 教学目标： 1．知识目标：会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题； 2．能力目标：培养学生观察、分析、联想、以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，培养学生自主探究意识，提高学生“建模”和解决实际问题的能力； 3．情感目标：培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神． 教学重、难点： 教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答． 教学难点：1．建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题； 2．寻找整点最优解的方法． 教具：多媒体、实物投影仪、印好的习题纸和直尺（习题纸附后） 教学方法：讲练结合、分组讨论法 教学过程： （一）讲解新课 1．实例1讲解 引入：李咏主持的《非常6＋1》是大家很喜欢的娱乐节目． （播放视频：李咏首支个人单曲MV《你是我们的大明星》） 当娱乐大哥大李咏把《非常6＋1》里的金蛋砸得金花四溅时，央视总编却在思考着另外一个问题： 例1：央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？ 应用题是同学们最头痛的题型之一，它的特点是文字多、数据多，条件复杂，要看懂题目意思，理清题目中的数据，可以采用什么方式？请学生回答． 分析：将已知数据列成下表 播放片甲播放片乙节目要求 片集时间（min） 3.5 1 ≤16 广告时间（min）0.5 1 ≥3.5 收视观众（万）60 20
简单的线性规划应用题解析 1．某人有楼房一幢，室内面积共180㎡,拟分隔两类房间作为旅游客房．大每间面积为18㎡，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15㎡，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？ 设应隔出大、小房间分别为x ,y 间，此时收益为z 元，则 1815180 1000600800000 x y x y x y +≤??+≤? ? ≥??≥? 200150z x y =+ 将上述不等式组化为 6560 534000 x y x y x y +≤??+≤? ? ≥??≥? 作出可行域，如图⑴，作直线l:200x+150y=0,即l:4x+3y=0. 将直线l 向右平移，得到经过可行域的点B ，且距原点最远的直线l 1. 解方程组 6560 5340 x y x y +=?? +=? 图⑴
得最优解 20 7 60 7 2.9 8.6 x y =≈ ? ? =≈ ? 但是房间的间数为整数，所以，应找到是整数的最优解． ①当x=3时，代入5x+3y=40中，得401525 338 y- ==>，得整点（3，8），此时z=200×3＋150×8=1800（元）; ②当x=2时,代入6x+5y=60中，得601248 559 y- ==>，得整点（2，9），此时z=200×2＋150×9=1750（元）； ③当x=1时,代入6x+5y=60中，得60654 5510 y- ==>，得整点（1，10）,此时z=200×1＋150×10=1700（元）； ④当x=0时,代入6x+5y=60中，得60 512 y==，得整点（0，12），此时 z=150×12=1800（元）． 由上①～④知，最优整数解为（0，12）和（3，8）． 答：有两套分隔房间的方案：其一是将楼房室内全部隔出小房间１２间；其二是隔出大房间３间，小房间８间，两套方案都能获得最大收益为１８００元． 2．某家具厂有方木料90m3,五合板60㎡，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3、五合板2㎡，生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1㎡，出售一张书桌可获得利润80元，出售一个书橱可获得利润120元．如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使所得利润最大？ 【解析】将已知数据列成下表: 用完五合板，此时获利润为80×300=24000（元）； ⑵只生产书橱因为90÷0.2=450，600÷1=600，所以，可产生450个书橱，用完方木料.此时获利润为120×450=54000（元）；
Ⅰ线性规划理论在实际问题中的应用 ⅰ问题背景描述 线性规划是运筹学的一个基本分支，它广泛应用现有的科学技术和数学方法，解决实际中的问题，帮助决策人员选择最优方针和决策。把线性规划的知识运用到企业中，企业就有必要利用线性规划的知识对战略计划，生产，销售的各个环节进行优化，从而降低生产成本，提高企业的生产效率，通过建立模型并利用相关软件，对经济管理中有限资源进行合理分配，从而获得最佳经济效益。根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明,线性规划的应用程度名列前矛,有85%的公司频繁地使用线性规划,并取得了显著提高经济效益的效果。 在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益的问题，而这正是线性规划研究的基本内容，它在实际生活中有着非常广泛的应用．任何一个组织的管理者都必须对如何向不同的活动分配资源的问题做出决策，即如何有效地利用人力、物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下如何耗用最少的人力、物力去实现目标。在许多情况下，大量不同的资源必须同时进行分配，需要这些资源的活动可以是不同的生产活动，营销活动，金融活动或者其他一些活动。随着计算技术的不断发展，使成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题能迅速地求解，更为线性规划在经济等各领域的广泛应用创造了极其
有利的条件。线性规划已经成为现代化管理的一种重要的手段。 建模是解决线性规划问题极为重要的环节，一个正确的数学模型的建立要求建模者熟悉线性规划的具体实际内容，要明确目标函数和约束条件，通过表格的形式把问题中的已知条件和各种数据进行整理分析，从而找出约束条件和目标函数。 从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤； 1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量； 2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数； 3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。 所建立的数学模型具有以下特点： 1、每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。 2、目标函数是决策变量的线性函数根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。 3、约束条件也是决策变量的线性函数。 当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。 线性规划模型的基本结构:
线性规划题及答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
线性规划题型及解法 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x 、y 满足约束条件?? ???≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 例2、已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22x y +的最小值是 . “()()2221++-y x ”值域？ 三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例3、在约束条件0 024x y y x s y x ≥??≥??+≤??+≤?下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范 围是（） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤??+≥??≤≤? 五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。 例5已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤??-≤-≤? 若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。 六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题 例６在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域的面积是（） (A) 七、研究线性规划中的整点最优解问题 例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件 ?? ???≤≥+-≥-.112, 932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 八、比值问题 当目标函数形如b x a y z --= 时,可把z 看作是动点()y x P ,与定点()a b Q ,连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
应用题最后一卷 三题 一、类型 基本不等式 1、某种商品第一天销售价为42元,以后每天提价2元,且在开始销售的前30天内每天的销售量与上市天数的关系是5100()x g x x +=(其中x 为天数). (1)写出上市30天内商品销售价格与天数x 的关系式. (2)求销售30天内,哪一天的销售额最小,并求出最小值. 二、类型 换元成二次函数 2、销售甲、乙两种商品所得利润分别是12,y y 万元，它们与投入资金x 万元的关系分别为 12,y a y bx ==（其中,,m a b 都为常数） ，函数12,y y 对应的曲线12,C C 如图所示． （1）求函数12,y y 的解析式； （2）若该商场一共投资8万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值． 解：（1）由题意0835m a m a +=???+=?? ，解得5 4,54-==a m ， 14,(0)5 y x =≥………………………………………………4分 又由题意588=b 得5 1=b 215 y x =(0)x ≥……………………………………………7分 （2）设销售甲商品投入资金x 万元，则乙投入（8x -）万元 由（1 ）得41(8)55 y x =+-，(08)x ≤≤………………………10分 ,(13)t t =≤≤，则有 2149555y t t =-++=2113(2)55 t --+，(13)t ≤≤， 当2=t 即3=x 时,y 取最大值135 . 答：该商场所获利润的最大值为135 万元．………………………………16分
线性规划的应用题三题 1、 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是万元． 【解析】设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨， 则获得的利润为z ＝5x ＋3y . 由题意得????? x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18， 可行域如图阴影所示． 由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．
巧用线性规划思想解题 当约束条件或目标函数不是线性规划问题，但其几何意义明显时，仍可利用线性规划的思想来解决问题，从而使解题思路拓宽，提高解题能力． 一、 函数问题转化为线性规划问题 例1 如图1，x y ，满足的可行域是图中阴影部分（包括边界）．若函数2t ax y =-在 点(05)，取得最小值，求a 的取值围． 解：由图1易得x y ，满足的约束条件为5026000.x y x y x y +-?? +-?????， ， ，≤≤≥≥ 将目标函数2t ax y =-改为斜截式22a t y x =-，2 t -表示直线 在y 轴上的截距，欲求t 的最小值，可转化为求2 t -的最大值． 当0a ≥时，显然直线在点(05)，处，2 t -取得最大值； 当0a <时，依题意，12 a -≥，易得20a -<≤． 综上所述，2a -≥时，函数2t ax y =-在点(05)， 取得最小值． 二、 方程问题转化为线性规划问题 例2 已知a b +∈R ，，若方程2 20x ax b ++=与方程2 20x bx a ++=都有实数根， 求a b +的最小值． 解：由题意，得220,0,80440a b a b b a >??>??-??-?，，≥≥即220, 0,8.a b a b b a >??>? ???? ，≥≥ 画出其可行域为如图2所示阴影部分． 令t a b =+，故要求a b +的最小值，即求过可行域的点，使得b t a =-在b 轴上截距最小的点的坐标．由图知，A 点即为所求． 由228. a b b a ?=??=??，解得42a b ==，． a b ∴+的最小值为6．
破解线性规划中的整点问题 河南省三门峡市卢氏一高（472200）赵建文 Email:zhaojw1968@https://www.doczj.com/doc/ce18518173.html, 线性规划中的整点问题是高中数学线性规划中的重要一类问题，是高中数学的一个难点，本文将整数线性规划问题解法作以简单介绍供同学们学习时参考. 例 某商店计划同时销售某品牌电热水器和太阳能热水器，由于市场需求旺盛，这两种产品供不应求，因该商店根据具体情况（如成本、员工工资）确定产品的月采购量，具体数据如下，问这两种产品各采购多少时，才能使总利润最大？最大利润是多少？ 分析：本题是整数规划问题，设采购电热水器x 台、太阳能热水器y 台，列出约束条件和目标函数，用图解法解之. 解析：设月采购电热水器x 台、太阳能热水器y 台，月总利润为z 元，则 1000300030000100050011000 ,x y x y x y N +≤??+≤??∈? ，即330222 ,x y x y x y N +≤??+≤??∈?，目标函数为 z =800600x y + 作出可行域如图所示， 作直线l ：86x y +=0， 平移直线z =800600x y +知过M 3638( ,)55时，max z =10320，但x =365，y =385不是整数，所以可行域内点M 3638( ,)55不是整点最优解. 求整点最优解 解法一 网格平移法 首先在可行域内打网格，其次描出M 3638(,)55 附近的所有整点，接着平移直线l ：86x y +=0，会发现当移至（8，6）时，直线在y 轴上截距最大，即max z =10000元. 解法二 特值检验法 由图可知目标函数取得最大值的整点应分布在可行域右上侧靠近边界的区域，一次取得满足条件的整点，（0，10），（1，9），（2，9），（3，9）（4，8），（5，8），（6，8），（7，7），（8，6），（8，5），（9，4），（10，2），（10，1），（11，0）.将这些点分别代入z =800600x y +，求出各点对应的值，经验证可知，在整点(8,6)处max z =10000元. 解法三 调整最优法 单位产品所需资金 月资金供应量（百元） 电热水器 太阳能热水器 成本 10 30 300 工资 10 5 110 单位利润 8 6
简单的线性规划问题 [学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一 线性规划中的基本概念 1．目标函数的最值 线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z b ， 当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，
可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． (2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案． 知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题 例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题 例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题 例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．
线性规划模型在实际生活中的应用 【摘要】线性规划在实际生活中扮演着很重要的角色，研究对象是计划管理工作中有关安排和估值的问题,其广泛应用于经济等领域，是实际生活中进行管理决策的最有效的方法之一。解决的主要问题是在给定条件下,按某一衡量指标来寻找安排的最优方案。本文通过对例题利用线性规划分析，如何合理的分配利用，最终找到最优解使企业利润最大，说明了线性规划在实际生活中的应用，而且对线性规划问题模型的建立，模型的解进行了分析，运用图解法和单纯形法解决问题。 【关键词】线性规划、建模、实际生活、图解法、单纯形法 前言：线性规划（Linear programming,简称LP）是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。 在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益的问题，而这正是线性规划研究的基本容，它在实际生活中有着非常广泛的应用．任何一个组织的管理者都必须对如何向不同的活动分配资源的问题做出决策，即如何有效地利用人力、物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下如何耗用最少的人力、物力去实现目标。在许多情况下，大量不同的资源必须同时进行分配，需要这些资源的活动可以是不同的生产活动，营销活动，金融活动或者其他一些活动。随着计算技术的不断发展，使成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题能迅速地求解，更为线性规划在经济等各领域的广泛应用创造了极其有利的条件。线性规划已经成为现代化管理的一种重要的手段。本文运用常用的图解法和单纯形法解决利润最大化决策问题，贴近生活，很好的吧线性规划应用到生活实践中。 1、简单线性问题步骤简单介绍 建模是解决线性规划问题极为重要的环节，一个正确的数学模型的建立要求建模者熟悉线性规划的具体实际容，要明确目标函数和约束条件，通过表格的形式把问题中的已知
线性规划在企业管理中的应用 摘要：随着运筹学广泛应用，作为其一重要分支的线性规划在企业的生产管理中起到了极其重要的作用。本文分别对线性规划和企业管理简单介绍，然后着重讨论线性规划在现代企业生产管理中的应用，并应用几种常见的解法对所提出的问题加以解答，从而获得最优解或制定最佳方案等。 关键词：线性规划企业管理数学建模线性求解 Linear Programming Be Used In Business Management Abstract：With the Operational Research has been widly used. As the major branch,The L inear Programming paly an important role in Business Management. This dissertation main introduce the L inear Programming and Business Management, then we will discuss the apply of L inear Programming in modem Business Managemen, and use some usual methods to solve this problems which we found and applied, so that we can gain the optimal solution or work out optimal schema. Keywords：Linear Programming，Business Managemen ，Mathematical Modelling，Deprecatory ，Apply 由于计算机技术的发展，许多利用运筹学处理的问题可在较短的时间内得出结果，线性规划作为运筹学的一重要分支，它的应用也日益广泛，如利用其数学方法，通过计算机软件应用于生产组织、几乎与管理中。线性规划所探讨的问题是在由所提出的问题的性质决定的一系列约束条件下，如何把有限的资源进行合理的分配，制定出最优实施方案。企业管理是对企业的生产经营活动进行组织、计划、指挥、监督和调节等一系列职能的总称。它运用各类策略与方法，对企业中的人、机器、原材料、方法、资产、信息、品牌、销售渠道等进行科学管理，从而实现组织目标的活动。在企业的各项活动中，如计划、生产、运输、技术等问题，为达到目的所采取的各种有效的方法手段，从各种限制条件的组合中，选择出最合理的计算方法，从而求得最佳结果。企业的最终目的是盈利，要获得较好的效益需要有足够的竞争力，竞争力来源于有效的管理，线性规划在企业管理中的应用对企业的管理起到了极其重要的作用。 1线性规划应用简介 1.1线性规划概念 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线