2021届内蒙古集宁一中高三(上)期中考试
数学(理科)试题
一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是最符合题意的.每小题5分,共60分.)
1.若全集U=R ,集合M={x|﹣x 2﹣x+2<0},N={x|x ﹣1<0},则如图中阴影部分表示的集合是( )
A .(﹣∞,1]
B .(1,+∞)
C .(﹣∞,﹣2)
D .(﹣2,1) 2.命题“若α=
,则tan α=1”的逆否命题是( ) A .若α≠,则tan α≠1 B .若α=,则tan α≠1
C .若tan α≠1,则α≠
D .若tan α≠1,则α=
3.若命题p :函数y=x 2﹣2x 的单调递增区间是[1,+∞),命题q :函数y=x ﹣的单调递增区间是[1,+∞),则( )
A .p ∧q 是真命题
B .p ∨q 是假命题
C .非p 是真命题
D .非q 是真命题
4.已知a ,b ∈R ,则“log 3a >log 3b ”是“()a <()b ”的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
5.已知函数f (x )=log 2x+
,若x 1∈(1,2),x 2∈(2,+∞),则( ) A .f (x 1)<0,f (x 2)<0
B .f (x 1)<0,f (x 2)>0
C .f (x 1)>0,f (x 2)<0
D .f (x 1)
>0,f (x 2)>0 6.设实数x ,y 满足,则的取值范围是( )
A .
B .
C .
D .
7.若函数y=a x +b 的图象如图,则函数y=+b+1的图象为( )
A. B.C.D.
8.方程log
2
x+x=2的解所在的区间为()
A.(0.5,1)B.(1,1.5)C.(1.5,2)D.(2,2.5)
9.已知等比数列{a
n }的前n项和S
n
,且a
1
+a
3
=,a
2
+a
4
=,则=()
A.4n﹣1B.4n﹣1 C.2n﹣1D.2n﹣1
10.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x﹣a﹣x+2,若g(2)=a,则f (2)=()
A.2 B.C.D.a2
11.已知2sin2α=1+cos2α,则tan2α=()
A.B.C.或0 D.或0
12.如图可能是下列哪个函数的图象()
A.y=2x﹣x2﹣1 B.y=
C.y=(x2﹣2x)e x D.y=
二、填空题:(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.)
13. cosxdx= .
14.已知e为自然对数的底数,则曲线y=2e x在点(1,2e)处的切线斜率为.
15.如图,△AOB为等腰直角三角形,OA=1,OC为斜边AB的高,点P在射线OC上,则?的最小值为.
16.函数f (x )=sin (2x+φ)(|φ|<)向左平移个单位后是奇函数,则函数f (x )在[0,]上的最小值为 . 三、解答题(本大题共6小题满分70分)
17.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若
=k (k ∈R ) (1)判断△ABC 的形状;
(2)若c=,求k 的值.
18.已知函数f (x )=Asin (ωx+
)(A >0,ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0+
,﹣2).
(1)求函数f (x )的解析式;
(2)求sin (x 0+)的值. 19.三角形ABC 中,内角A ,B ,C 所对边a ,b ,c 成公比小于1的等比数列,且sinB+sin (A ﹣C )=2sin2C .
(1)求内角B 的余弦值;
(2)若b=,求△ABC 的面积.
20.设数列{a n }的前n 项和为S n ,满足(1﹣q )S n +qa n =1,且q (q ﹣1)≠0.
(Ⅰ)求{a n }的通项公式;
(Ⅱ)若S 3,S 9,S 6成等差数列,求证:a 2,a 8,a 5成等差数列.
21.已知函数f (x )=alnx ﹣ax ﹣3(a ≠0).
(1)讨论f (x )的单调性;
(2)若f (x )+(a+1)x+4﹣e ≤0对任意x ∈[e ,e 2]恒成立,求实数a 的取值范围(e 为自然常数).
22.设函数f (x )=|x+1|+|x ﹣4|﹣a .
(1)当a=1时,求函数f (x )的最小值;
(2)若f (x )≥+1对任意的实数x 恒成立,求实数a 的取值范围.
2021届内蒙古集宁一中高三(上)期中考试
数学(理科)试题参考答案
一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是最符合题意的.每小题5分,共60分.)
1.若全集U=R,集合M={x|﹣x2﹣x+2<0},N={x|x﹣1<0},则如图中阴影部分表示的集合是()
A.(﹣∞,1] B.(1,+∞)C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣2,1)
【考点】Venn图表达集合的关系及运算.
【分析】先观察Venn图,得出图中阴影部分表示的集合,再结合已知条件即可求解.
【解答】解:图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合M中,但不在集合N中.
又M={x|﹣x2﹣x+2<0}={x|x<﹣2或x>1},N={x|x﹣1<0}={x|x<1},
∴图中阴影部分表示的集合是:
N)∩M={x|x≥1}∩{x|x<﹣2或x>1}={x|x>1},
(?
R
故选B.
2.命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是()
A.若α≠,则tanα≠1 B.若α=,则tanα≠1
C.若tanα≠1,则α≠D.若tanα≠1,则α=
【考点】四种命题间的逆否关系.
【分析】原命题为:若a,则b.逆否命题为:若非b,则非a.
【解答】解:命题:“若α=,则tanα=1”的逆否命题为:若tanα≠1,则α≠.
故选C.
3.若命题p:函数y=x2﹣2x的单调递增区间是[1,+∞),命题q:函数y=x﹣的单调递增区间是[1,+∞),则()
A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.非p是真命题 D.非q是真命题
【考点】复合命题的真假.
【分析】先判断命题p为真命题,q为假命题,再根据复合命题的真假性判断选项是否正确.
【解答】解:∵函数y=x2﹣2x的单调递增区间是[1,+∞),∴命题p为真命题;
∵函数y=x﹣的单调递增区间是(﹣∞,0)和(0,+∞),∴命题q为假命题;
∴p∧q是假命题,A错误;
p∨q是真命题,B错误;
非p 是假命题,C 错误;
非q 是真命题,D 正确.
故选:D .
4.已知a ,b ∈R ,则“log 3a >log 3b ”是“()a <()b ”的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;指数函数与对数函数的关系.
【分析】根据对数函数的性质由“log 3a >log 3b ”可得a >b >0,然后根据指数函数的性质由“()a <()b ,可得a >b ,然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断.
【解答】解:∵a ,b ∈R ,则“log 3a >log 3b ”
∴a >b >0,
∵“()a <()b ,
∴a >b ,
∴“log 3a >log 3b ”?“()a <()b ,
反之则不成立,
∴“log 3a >log 3b ”是“()a <()b 的充分不必要条件,
故选A .
5.已知函数f (x )=log 2x+,若x 1∈(1,2),x 2∈(2,+∞),则( )
A .f (x 1)<0,f (x 2)<0
B .f (x 1)<0,f (x 2)>0
C .f (x 1)>0,f (x 2)<0
D .f (x 1)>0,f (x 2)>0
【考点】函数的零点与方程根的关系.
【分析】根据函数f (x )=log 2x+利以及复合函数的单调性的判定方法可知,该函数在(1,+∞)是增函数,并且可以求得f (2)=0,利用单调性可以得到答案.
【解答】解:函数f (x )=log 2x+
在(1,+∞)是增函数,(根据复合函数的单调性)
而f (2)=0,
∵x 1∈(1,2),x 2∈(2,+∞),
∴f (x 1)<0,f (x 2)>0,
故选B .
6.设实数x ,y 满足,则的取值范围是( )
A.B. C.D.
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用两点间的斜率公式,利用数形结合即可得到结论.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
设z=,则z的几何意义为区域内的点到定点D(﹣3,1)的斜率,
由图象知,AD的斜率最大,BD的斜率最小,
由得,即A(2,6),
由得,即B(2,0),
即AD的斜率k=,
BD的斜率k=,
故z的取值范围是,
故选:D
7.若函数y=a x+b的图象如图,则函数y=+b+1的图象为()
A .
B .
C .
D .
【考点】指数函数的图象变换.
【分析】由y=a x +b 的图象知,0<a <1,﹣2<b <﹣1,然后利用y=的图象平移变换可得答案.
【解答】解:由y=a x +b 的图象知,0<a <1,﹣2<b <﹣1,
y=+b+1的图象可看作由y=先向左平移a 个单位,再向下平移﹣(b+1)个单位得到,
故选C .
8.方程log 2x+x=2的解所在的区间为( )
A .(0.5,1)
B .(1,1.5)
C .(1.5,2)
D .(2,2.5)
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】判断f (x )=log 2x+x ﹣2,在(0,+∞)上单调递增.根据函数的零点存在性定理得出:f (1)?f (1.5)<0,可得出f (x )的零点在(1,1.5)区间 内,即可得出答案.
【解答】解:设f (x )=log 2x+x ﹣2,在(0,+∞)上单调递增.
∵f (1)
=0+1﹣2=﹣1<0,
f (1.5)=lo
g 21.5﹣0.5=log 21.5﹣log 2>0
∴根据函数的零点存在性定理得出:f (x )的零点在(1,1.5)区间 内
∴方程log 2x+x=2的解所在的区间为(1,1.5)
故选:B .
9.已知等比数列{a n }的前n 项和S n ,且a 1+a 3=,a 2+a 4=,则
=( )
A .4n ﹣1
B .4n ﹣1
C .2n ﹣1
D .2n ﹣1
【考点】等比数列的性质;等比数列的前n 项和.
【分析】利用等比数列{a n }的前n 项和S n ,且a 1+a 3=,a 2+a 4=,求出q=,a 1=2,可得a n 、S n ,即可得出结论.
【解答】解:∵等比数列{a n }的前n 项和S n ,且a 1+a 3=,a 2+a 4=,
∴两式相除可得公比q=,
∴a 1=2,
∴a
n ==,S
n
==4(1﹣),
∴=2n﹣1,
故选:D.
10.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x﹣a﹣x+2,若g(2)=a,则f (2)=()
A.2 B.C.D.a2
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】利用函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,由条件f(x)+g(x)=a x﹣a﹣x+2,构建方程组,然后求解即可.
【解答】解:∵f(x)+g(x)=a x﹣a﹣x+2,g(2)=a,
∴f(2)+g(2)=a2﹣a﹣2+2.①,
∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴当x=﹣2时,f(﹣2)+g(﹣2)=a﹣2﹣a2+2 ②
即﹣f(2)+g(2)=a﹣2﹣a2+2,③
①+③得:2g(2)=4,即g(2)=2,
又g(2)=a,∴a=2.
代入①得:f(2)+2=22﹣2﹣2+2,
∴f(2)=22﹣2﹣2=4﹣=.
故选:B.
11.已知2sin2α=1+cos2α,则tan2α=()
A.B.C.或0 D.或0
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】把已知等式两边平方,利用同角三角函数间的基本关系化简,整理求出cos2α的值,进而求出sin2α的值,即可求出tan2α的值.
【解答】解:把2sin2α=1+cos2α两边平方得:4sin22α=(1+cos2α)2,
整理得:4﹣4cos22α=1+2cos2α+cos22α,即5cos22α+2cos2α﹣3=0,
∴(5cos2α﹣3)(cos2α+1)=0,
解得:cos2α=或cos2α=﹣1,
当cos2α=时,sin2α=,tan2;
当cos2α=﹣1时,sin2α==0,tan2α=0,
则tan2α=或0.
故选:C.
12.如图可能是下列哪个函数的图象()
A.y=2x﹣x2﹣1 B.y=
C.y=(x2﹣2x)e x D.y=
【考点】函数的图象与图象变化.
【分析】A中y=2x﹣x2﹣1可以看成函数y=2x与y=x2+1的差,分析图象是不满足条件的;
B中由y=sinx是周期函数,知函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线,是不满足条件的;
C中函数y=x2﹣2x与y=e x的积,通过分析图象是满足条件的;
D中y=的定义域是(0,1)∪(1,+∞),分析图象是不满足条件的.
【解答】解:A中,∵y=2x﹣x2﹣1,当x趋向于﹣∞时,函数y=2x的值趋向于0,y=x2+1的值趋向+∞,∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0,∴A中的函数不满足条件;
B中,∵y=sinx是周期函数,∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线,
∴B中的函数不满足条件;
C中,∵函数y=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1,当x<0或x>2时,y>0,当0<x<2时,y<0;
且y=e x>0恒成立,
∴y=(x2﹣2x)e x的图象在x趋向于﹣∞时,y>0,0<x<2时,y<0,在x趋向于+∞时,y趋向于+∞;∴C中的函数满足条件;
D中,y=的定义域是(0,1)∪(1,+∞),且在x∈(0,1)时,lnx<0,
∴y=<0,∴D中函数不满足条件.
故选:C.
二、填空题:(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.)
13. cosxdx= .
【考点】定积分.
【分析】根据积分公式直接计算即可得到结论.
【解答】解: cosxdx=sin|=,
故答案为:.
14.已知e为自然对数的底数,则曲线y=2e x在点(1,2e)处的切线斜率为2e .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出切线的斜率.
【解答】解:曲线y=2e x的导数为:y′=2e x,
曲线y=2e x在点(1,2e)处的切线斜率为:y′|
=2e1=2e,
x=1
故答案为:2e.
15.如图,△AOB为等腰直角三角形,OA=1,OC为斜边AB的高,点P在射线OC上,则?的最小值为.
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】如图所示,,设=t≥0.可得?=?=t2﹣t=﹣,利用二次函数的单调性即可得出.
【解答】解:如图所示,,
设=t≥0.
∴?=?
=﹣
=t2﹣t
=﹣
.
当t=时取等号,
∴?的最小值为﹣.
故答案为:.
16.函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<)向左平移个单位后是奇函数,则函数f(x)在[0,]上的最小值为.
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】首先利用函数图象的平移得到平移后的图象的函数解析式,再根据函数为奇函数得到φ的值,则函数解析式可求,由x的范围得到相位的范围,最后求得函数的最小值.
【解答】解:把函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位得到函数y=sin(2x++φ)的图象,
∵函数y=sin(2x++φ)为奇函数,故+φ=kπ,
∵|φ|<,故φ的最小值是﹣.
∴函数为y=sin(2x﹣).x∈[0,],
∴2x﹣∈[﹣,],
x=0时,函数取得最小值为﹣.
故答案为:﹣.
三、解答题(本大题共6小题满分70分)
17.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若=k(k∈R)
(1)判断△ABC的形状;
(2)若c=,求k的值.
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;余弦定理的应用.【分析】(1)判断△ABC的形状需要研究出三角形的边与角的大小,由题设条件变换整理,由其结果结合图形进行判断即可.
(2)由=k,故求出的内积即可,由(1)的结论,易求.
【解答】解:(1)∵,∴
∴
令AB 的中点是M ,则
∴
即AB 边上的中线垂直于AB ,故△ABC 是等腰三角形
(2)由(1)知a=b
∴
=bccosA=bc ×
∵c=
∴k=1
18.已知函数f (x )=Asin (ωx+
)(A >0,ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0+
,﹣2). (1)求函数f (x )的解析式;
(2)求sin (x 0+)的值. 【考点】两角和与差的正弦函数;由y=Asin (ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】(1)根据条件求出振幅以及函数的周期,即可求函数f (x )的解析式;
(2)根据函数的最值,求出x 0的大小,结合两角和差的正弦公式进行求解即可.
【解答】解:(1)∵图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0+,﹣2).
∴A=2, =x 0+﹣x 0=,
即函数的周期T=π,即T=
,解得ω=2, 即f (x )=2sin (2x+).
(2)∵函数的最高点的坐标为(x 0,2),
∴2x 0+
=,
即x 0=, 则sin (x 0+
)=sin (+)=sin cos +cos sin
=(sin +cos )=()=.
19.三角形ABC 中,内角A ,B ,C 所对边a ,b ,c 成公比小于1的等比数列,且sinB+sin (A ﹣C )=2sin2C .
(1)求内角B 的余弦值;
(2)若b=,求△ABC 的面积.
【考点】正弦定理;余弦定理.
【分析】(Ⅰ) 三角形ABC 中,由条件化简可得C=90°,故有a=2c .再由b 2=ac 利用正弦定理可得,sin 2B=sinAsinC ,化简求得cosB 的值.
(Ⅱ)根据b=,求得ac=b 2的值,求得sinB= 的值,再根据△ABC 的面积S=ac ?sinB ,计算求得结果.
【解答】解:(Ⅰ) 三角形ABC 中,∵sinB+sin (A ﹣C )=2sin2C ,
∴sin (A+C )+sin (A ﹣C )=4sinCcosC ,∴sinA=2sinC ,或cosC=0.
∴a=2c ,或C=90°(不满足a ,b ,c 成公比小于1的等比数列,故舍去).
由边a ,b ,c 成公比小于1的等比数列,可得b 2=ac ,∴b=c ,
∴cosB===.
(Ⅱ)∵b=,cosB=,∴ac=b 2=3,sinB=
, ∴△ABC 的面积S=ac ?sinB=
.
20.设数列{a n }的前n 项和为S n ,满足(1﹣q )S n +qa n =1,且q (q ﹣1)≠0.
(Ⅰ)求{a n }的通项公式;
(Ⅱ)若S 3,S 9,S 6成等差数列,求证:a 2,a 8,a 5成等差数列.
【考点】等差数列与等比数列的综合.
【分析】(Ⅰ)求出a 1=1.利用当n ≥2时,由S n ﹣S n ﹣1=a n ,利用q (q ﹣1)≠0,说明{a n }是以1为首项,q 为公比的等比数列,求出通项公式.
(Ⅱ)求出S n =,灵活S 3+S 6=2S 9,得到a 2+a 5=2a 8.说明a 2,a 8,a 5成等差数列.
【解答】解:(Ⅰ)当n=1时,由(1﹣q )S 1+qa 1=1,a 1=1.
当n ≥2时,由(1﹣q )S n +qa n =1,得(1﹣q )S n ﹣1+qa n ﹣1=1,两式相减得:(1﹣q )a n +qa n ﹣qa n ﹣1=0,即a n =qa n ﹣1,
又q (q ﹣1)≠0,所以{a n }是以1为首项,q 为公比的等比数列,
故a n =q n ﹣1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知S
n =,又S
3
+S
6
=2S
9
,得+=,
化简得a
3+a
6
=2a
9
,两边同除以q得a
2
+a
5
=2a
8
.
故a
2,a
8
,a
5
成等差数列.
21.已知函数f(x)=alnx﹣ax﹣3(a≠0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)+(a+1)x+4﹣e≤0对任意x∈[e,e2]恒成立,求实数a的取值范围(e为自然常数).【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(1)先求导,再分类讨论即可得到函数的单调性;
(2)令F(x)=alnx﹣ax﹣3+(a+1)x+4﹣e=alnx+x+1﹣e,从而求导F′(x)=,再由导数的正负讨论确定函数的单调性,从而求函数的最大值,从而化恒成立问题为最值问题即可.
【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=﹣a==(x>0),
当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,1],单调减区间为[1,+∞);
当a<0时,f(x)的单调增区间为[1,+∞),单调减区间为(0,1];
(Ⅱ)令F(x)=alnx﹣ax﹣3+(a+1)x+4﹣e=alnx+x+1﹣e,则F′(x)=,
若﹣a≤e,即a≥﹣e,
F(x)在[e,e2]上是增函数,
F(x)
max
=F(e2)=2a+e2﹣e+1≤0,
a≤(e﹣1﹣e2),无解.
若e<﹣a≤e2,即﹣e2≤a<﹣e,
F(x)在[e,﹣a]上是减函数;在[﹣a,e2]上是增函数,
F(e)=a+1≤0,即a≤﹣1.
F(e2)=2a+e2﹣e+1≤0,即a≤(e﹣1﹣e2),
∴﹣e2≤a≤(e﹣1﹣e2).
若﹣a>e2,即a<﹣e2,
F(x)在[e,e2]上是减函数,
F(x)
max
=F(e)=a+1≤0,即a≤﹣1,
∴a<﹣e2,
综上所述,a≤(e﹣1﹣e2).
22.设函数f(x)=|x+1|+|x﹣4|﹣a.
(1)当a=1时,求函数f(x)的最小值;
(2)若f(x)≥+1对任意的实数x恒成立,求实数a的取值范围.
【考点】函数恒成立问题;分段函数的解析式求法及其图象的作法.
【分析】(1)当a=1时,利用绝对值不等式的性质即可求得最小值;
(2)?|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+?a+≤4,对a进行分类讨论可求a的取值范围.
【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|(x+1)﹣(x﹣4)|﹣1=5﹣1=4.
所以函数f(x)的最小值为4.
(2)对任意的实数x恒成立?|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+对任意的实数x恒成立?a+≤4对任
意实数x恒成立.
当a<0时,上式显然成立;
当a>0时,a+≥2=4,当且仅当a=即a=2时上式取等号,此时a+≤4成立.
综上,实数a的取值范围为(﹣∞,0)∪{2}.