江苏省涟水一中重点中学2020-2021学年高考适应性考试数学试卷 考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b +=1(a>b>0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e=（ ） A ．12 B ．22 C ．32 D ．33
2．曲线312ln 3
y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．32 D ．1
3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别
是棱1BB CC ，上的点，且1BE B E =，1114
C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）
A ．210
B ．2613
C ．1313
D ．1310
4．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则m β⊥的一个充分条件是（ ） A ．αβ⊥且m α? B ．//m n 且n β⊥ C ．αβ⊥且//m α D ．m n ⊥且//n β
5．设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（ ）
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．既不充分也不必要条件
D ．充分不必要条件
6．已知函数()()1x e a ax f x e ??=-+ ???
，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a 的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
7．在ABC ?中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足
0PA xPB yPC ++=，设ABC ?、PBC ?、PCA ?、PAB ?的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记i i S S λ=（1,2,3i =），则23λλ?取到最大值时，2x y +的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．32-
D ．32
8．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*N n ∈，若2020
211n n k a a -==∑，则k =( )
A ．2020
B ．4038
C ．4039
D ．4040
9．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为
6π,则()(2)a b a b +?-=( ) A ．12 B ．32- C ．12- D ．32
10．函数()1ln 1y x x
=-+的图象大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）
A ．163
B ．6
C ．203
D ．223
12．已知双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ）
A ．8
B ．16
C ．62
D ．122
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()g x 为R 上的单调函数，对任意实数x ∈R 都有
()g 221x g x ??-+=??，当[]0,1x ∈时，()()f x g x =，则()2log 12f =________.
14．函数()24f x sin x π??=+
???的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________.
15．若1x >，则91211
x x x +++-的最小值是______. 16．已知数列{}n a 是等比数列，131,36a a ==，则2a =__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数()3f x x =+，()21g x x =-.
（1）解不等式()()f x g x <；
（2）若2()()4f x g x ax +>+对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围.
18．（12分）为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间(2,2)x s x s -+之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x ,s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得15s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（1）求样本平均数的大小；
（2）若一个零件的尺寸是100 cm ，试判断该零件是否属于“不合格”的零件.
19．（12分）已知集合(){}2|log 33A x x =+≤，{}|213B x m x m =-<≤+.
（1）若3m =，则A B ； （2）若A B B =，求实数m 的取值范围.
20．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=?，PAD △为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是线段PD 和BC 的中点.
（1）求直线CM 与平面PAB 所成角的正弦值；
（2）求二面角D-AP-B 的余弦值；
（3）试判断直线MN 与平面PAB 的位置关系，并给出证明.
21．（12分）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ?的面积为24sin a A
. （1）求sin sin B C ；
（2）若10cos cos 1B C =-，2a =，求ABC ?的周长.
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：
的右准线方程为x ＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）假设直线l ：与椭圆C 交于A ，B 两点．①若A 为椭圆的上顶点，M 为线段AB 中点，
连接OM 并延长交椭圆C 于N ，并且
，求OB 的长；②若原点O 到直线l 的距离为1，并且，当时，求△OAB 的面积S 的范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1、C
【解析】
【分析】
设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ??- ???
，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.
【详解】
设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =，则11,2y D x ??- ??
?，设()22,B x y ， 则221122222222
11x y a b x y a b ?+=????+=??，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-， 2121221212PB y y x x b k x x a y y -+==-?-+，AD AB k k =，即112112
4y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PB
k k ?=-，即2241b a -=-，故2234a c =
，故e =故选：C .
【点睛】 本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
2、A
【解析】
【分析】
根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案.
【详解】 解：由于312ln 3
y x x =+，根据导数的几何意义得： (
)()2221130k f x x x x x x x '==+
=++≥=>， 即切线斜率3k ≥，
当且仅当1x =等号成立， 所以312ln 3
y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3.
故选：A.
【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.
3、B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值.
【详解】
依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设AB 的中点为O ，建立空间直角坐标系如下图所示.所以()()()()10,2,8,0,2,4,0,2,0,23,0,6A E A
F ---，所以()()10,4,4,23,2,6A E AF =-=-.所以异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为118242642213
A E AF
A E AF ?-==??. 故选：B
【点睛】
本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.
4、B
【解析】
由//m n 且n β⊥可得m β⊥，故选B.
5、D
【解析】
【分析】
结合纯虚数的概念，可得0,0a b =≠，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.
【详解】
若复数z a bi =+为纯虚数，则0,0a b =≠，所以0ab =，若0ab =，不妨设1,0a b ==，此时复数1z a bi =+=，不是纯虚数，所以“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的充分不必要条件.
故选：D
【点睛】
本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.
6、C
【解析】
【分析】
由不等式恒成立问题分类讨论：①当0a =，②当0a <，③当0a >，考查方程1lna ae
=-
的解的个数，综合①②③得解．
【详解】
①当0a =时，1()00x f x e -=>，满足题意，
②当0a <时，0x e a ->，01(x ae ?∈-，)+∞，10ax e +<，故()0()f x x R ∈不恒成立， ③当0a >时，设()x g x e a =-，1()h x ax e
=+， 令()0x g x e a =-=，得x lna =，1()0h x ax e =+
=，得1x ae
=-， 下面考查方程1lna ae =-的解的个数， 设?（a ）alna =，则?'（a ）1lna =+
由导数的应用可得：
?（a ）alna =在1(0,)e 为减函数，在1(e
，)+∞为增函数， 则?（a ）1min e
=-， 即1lna ae
=-有一解， 又()x g x e a =-，1()h x ax e
=+均为增函数， 所以存在1个a 使得()0()f x x R ∈成立，
综合①②③得：满足条件的a 的个数是2个，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.
7、D
【分析】
根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到
12312S S
S S =
=+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ?取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果. 【详解】
如图所示：
因为EF 是△ABC 的中位线，
所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，
所以12312
S S S S ==+， 由此可得22232322322(
)1216S S S S S S S S S S λλ+=?=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立，
所以0PE PF +=，
由平行四边形法则可得2PA PB PE +=，2PA PC PF +=， 将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=，
所以11022
PA PB PC ++=， 又已知0PA xPB yPC ++=，
根据平面向量基本定理可得12x y ==
， 从而132122
x y +=+
=. 故选：D
【点睛】
本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.
8、D
【解析】
计算134a a a +=，代入等式，根据21n n n a a a ++=+化简得到答案.
【详解】
11a =，32a =，43a =，故134a a a +=，
2020
21134039457403967403940401............n n a a a a a a a a a a a a -==+++=++++=+++==∑，
故4040k =.
故选：D .
【点睛】
本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.
9、A
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.
【详解】
221
()(2)223122
a b a b a b a b +?-=-+?=-+=. 故选：A.
【点睛】
本题主要考查数量积的运算，属于基础题.
10、A
【解析】
【分析】 确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项．
【详解】
0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足．
故选：A.
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项． 11、D
【分析】
根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.
【详解】
如图,该几何体为正方体去掉三棱锥111B A C E -,
所以该几何体的体积为：11111111122222221323
B A
C E ABC
D A B C D V V V --=-=??-?
???=, 故选：D
【点睛】 本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题.
12、D
【解析】
【分析】
根据题意画出几何关系，由四边形1122A B A B 的内切圆面积求得半径，结合四边形1122A B A B 面积关系求得c 与ab 等量关系，再根据基本不等式求得c 的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.
【详解】
根据题意，画出几何关系如下图所示：
设四边形1122A B A B 的内切圆半径为r ，双曲线半焦距为c ，
则21,,OA a OB b ==