第二章应力状态分析
一、内容介绍
弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。
应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。因此，一点各个截面的应力是不同的。确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。
本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。
二、重点
1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；
2、平衡微分方程与切应力互等定理；
3、面力边界条件；
4、应力分量的转轴公式；
5、应力状态特征方程和应力不变量；
知识点：
体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力
分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质；
截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量；
切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态
特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量
§2.1 体力和面力
学习思路:
本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。
体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。
面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。
体力和面力分量的方向均规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。
学习要点：
1、体力；
2、面力。
1、体力
作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。
所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。
面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。为了表明物体在xyz坐标系内任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点的邻域取一微小体积元素△V，如图所示
设△V 的体力合力为△F，则P点的体力定义为
令微小体积元素△V趋近于0，则可以定义一点P的体力为
一般来讲，物体内部各点处的体力是不相同的。
物体内任一点的体力用F b表示，称为体力矢量，其方向由该点的体力合力方向确定。
体力沿三个坐标轴的分量用F b i( i = 1,2,3)或者F b x, F b y, F b z表示，称为体力分量。体力分量的方向规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。
应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位体积的力。
2、面力
类似于体力，可以给出面力的定义。
对于物体表面上的任一点P，在P点的邻域取一包含P点的微小面积元素△S，如图所示
设△S 上作用的面力合力为△F，则P 点的面力定义为
面力矢量是单位面积上的作用力，面力是弹性体表面坐标的函数。一般条件下，面力边界条件是弹性力学问题求解的主要条件。
面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。面力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反之为负。
弹性力学中的面力均定义为单位面积的面力。
§2.2 应力和应力状态
学习思路:
物体在外界因素作用下，物体内部各个部分之间将产生相互作用，物体内部
相互作用力称为内力。为讨论弹性体的强度，将单位面积的内力，就是内力集度定义为应力。
p n为过任意点M，法线方向为n的微分面上的应力矢量。应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且即使在同一点，也由于截面的法线方向n的方向改变而变化。
一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态。讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析。
凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。应力状态对于研究物体的强度是十分重要的。显然，作为弹性体内部一个确定点的各个截面的应力矢量，就是应力状态必然存在一定的关系。不可能也不必要写出一点所有截面的应力。为了准确、明了地描述一点的应力状态，必须使用合理的应力参数。
为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。
学习要点：
1、应力矢量；
2、应力矢量的分解；
3、应力分量。
1、应力矢量
物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力称为内力。
内力的计算可以采用截面法，即利用假想平面将物体截为两部分，将希望计算内力的截面暴露出来，通过平衡关系计算截面内力F。
内力的分布一般是不均匀的。为了描述任意一点M的内力，在截面上选取一个包含M的微面积单元ΔS，如图所示
则可认为微面积上的内力主矢ΔF的分布是均匀的。设ΔS 的法线方向为n，则定义：
上式中p n为微面积ΔS 上的平均应力。如果令ΔS 逐渐减小，并且趋近于零，取极限可得
上述分析可见：p n是通过任意点M，法线方向为n的微分面上的应力矢量。
应力p n是矢量，方向由内力主矢ΔF确定，又受ΔS方位变化的影响。
应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且即使在同一点，也由于截面的法线方向n的方向改变而变化。这种性质称为应力状态。因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。
一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态。应力状态对于研究物体的强度是十分重要的。显然，作为弹性体内部一个确定点的各个截面的应力矢量，就是应力状态必然存在一定的关系。不可能也不必要写出一点所有截面的应力。为了准确、明了地描述一点的应力状态，必须使用合理的应力参数。
2、应力矢量的分解
讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析。为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。
应力矢量的一种分解方法是将应力矢量p n在给定的坐标系下沿三个坐标轴方向分解，如用p x, p y, p z表示其分量，则p n=p x i + p y j+ p z k，这种形式的分解并没有工程实际应用的价值。它的主要用途在于作为工具用于推导弹性力学基本方程。
另一种分解方法，如图所示，是将应力矢量p n沿微分面ΔS的法线和切线方向分解。与微分面ΔS 法线n方向的投影称为正应力，用 n表示；平行于微分面ΔS
的投影称为切应力或剪应力，切应力作用于截面内，用τn表示。
弹性体的强度与正应力和切应力息息相关，因此这是工程结构分析中经常使用的应力分解形式。
由于微分面法线n的方向只有一个，因此说明截面方位就确定了正应力σn的方向。但是平行于微分面的方向有无穷多，因此切应力τn不仅需要确定截面方位，还必须指明方向。
3、应力分量
为了表达弹性体内部任意一点M 的应力状态，利用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过M点截取一个平行六面体单元，如图所示。
将六面体单元各个截面上的应力矢量分别向3个坐标轴投影，可以得到应力分量σij。
应力分量的第一脚标i 表示该应力所在微分面的方向，即微分面外法线的方向；
第二脚标j 表示应力的方向。如果应力分量与j 坐标轴方向一致为正，反之为负。
如果两个脚标相同，i＝j，则应力分量方向与作用平面法线方向一致，这是正应力，可以并写为一个脚标，例如σx。
如果两脚标不同，i≠j，则应力分量方向与作用平面法线方向不同，这是切应力，例如τxy。
六面体单元的3对截面共有九个应力分量σij。
应该注意：应力分量是应力矢量在坐标轴上的投影，因此是标量，而不是矢量。
在已知的坐标系中应力状态通常用应力张量
表示。使用应力张量可以完整地描述一点的应力状态。
§2.3 斜截面上的应力应力矢量与应力分量
学习思路:
应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且也由于截面的法线方向n的方向改变而变化，研究这一变化规律称为应力状态分析。如果应力分量能够描述一点的应力状态，那么应力分量与其它应力参数必然有内在联系。
本节分析应力矢量与应力分量之间的关系，为深入讨论应力状态作准备。
利用三个坐标平面和一个任意斜截面构造微分四面体单元，通过四面体单元探讨坐标平面的应力分量和斜截面上的应力矢量的关系。
根据平衡关系，推导任意斜截面的应力矢量、法线方向余弦和各个应力分量之间的关系。
分析表明：一点的应力分量确定后，任意斜截面的应力矢量是确定的。
学习要点：
1、分四面体单元；
2、应力矢量与应力分量。
1、微分四面体单元
一点的九个应力分量如果能够完全确定一点的应力状态，则其必须能够表达通过该点的任意斜截面上的应力矢量。
为了说明这一问题，在O点用三个坐标面和一任意斜截面截取一个微分四面体单元，如图所示。
斜截面的法线方向矢量为n，它的三个方向余弦分别为l，m和n。
设斜截面上的应力为p n，i，j和k 分别为三个坐标轴方向的单位矢量，p n 在坐标轴上的投影分别为p x, p y, p z。则应力矢量可以表示为
p n= p x i+ p y j+ p z k
同样，把单位体积的质量所受的体积力F b沿坐标轴分解，有
F b= F b x i+ F b y j+ F b z k
设S为ΔABC的面积，则
ΔOBC=lS, ΔOCA=mS, ΔOAB=nS
ΔABC的法线方向的单位矢量可表示为
n= l i+ l j + m k
2、应力矢量与应力分量
微分四面体在应力矢量和体积力作用下应满足平衡条件，设h为O点至斜面ABC的高，由x方向的平衡，可得
将公式代入上式，则
对于微分四面体单元，h与单元体棱边相关，因此与1相比为小量，趋近于零，因此
同理
如果采用张量记号，则上述公式可以表示为
上式给出了物体内一点的9个应力分量和通过同一点的各个微分面上的应力之间的关系。这一关系式表明，只要有了应力分量，就能够确定一点任意截面的应力矢量，或者正应力和切应力。因此应力分量可以确定一点的应力状态。
§2.4 平衡微分方程
学习思路:
物体在外力作用下产生变形，最后达到平衡位置。平衡不仅是指整个物体，而且弹性体的任何部分也是平衡的。
本节通过微分平行六面体单元讨论弹性体内部任意一点的平衡。
应该注意：在讨论微分单元体平衡时，考虑到坐标的微小变化将导致应力分量的相应改变。即坐标有增量时，应力分量也有对应的增量。这个增量作为高阶小量，如果不涉及微分单元体平衡时是可以不考虑的。
微分平衡方程描述了弹性体内部任意一点的平衡，确定了应力分量与体力之间的关系。又称为纳维（Navier）方程。
平衡微分方程描述弹性体内部应力分量与体力之间的微分关系，是弹性力学的第一个基本方程。
切应力互等定理是弹性体力矩平衡的结果。
学习要点：
1、微分单元体及平衡关系；
2、平衡微分方程与切应力互等定理。
1、微分单元体及平衡关系
物体在外力作用下产生变形，最后达到平衡位置。不仅整个物体是平衡的，而且弹性体的任何部分也都是平衡的。
为了考察弹性体内部的平衡，通过微分平行六面体单元讨论任意一点M 的平衡。在物体内，通过任意点M，用三组与坐标轴平行的平面截取一正六面体单元，单元的棱边分别与x，y，z轴平行，棱边分别长d x，d y，d z，如图所示
讨论微分平行六面体单元的平衡：
在x面上有应力分量σx，τxy和τxz；在x+d x面上，应力分量相对x截面有一个增量，取一阶增量，则
对y，z方向的应力分量作同样处理。
根据微分单元体x方向平衡，∑F x=0，则
简化并且略去高阶小量，可得
同理考虑y，z方向，有
上述公式给出了应力和体力之间的平衡关系，称为平衡微分方程，又叫纳维（Navier）方程。
用张量形式表示，可以写作
如果考虑微分单元体的力矩平衡，则可以得到
τ xy =τ yx，τ yz=τzy，τzx=τxz
由此可见，切应力是成对出现的，9个应力分量中仅有6个是独立的。
上述关系式又称作切应力互等定理。用张量形式表示，则
σij = σji
§2.5 面力边界条件
学习思路:
在弹性体内部，应力分量必须与体力满足平衡微分方程；在弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，以维持弹性体表面的平衡。
面力边界条件的推导时，参考了应力矢量与应力分量关系表达式。只要注意到物体边界任意一点的微分四面体单元表面作用应力分量和面力之间的关系就可以得到。
面力边界条件描述弹性体表面的平衡，而平衡微分方程描述物体内部的平衡。当然，对于弹性体，这仅是静力学可能的平衡，还不是弹性体实际存在的平衡。
面力边界条件确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。
学习要点：
1、面力边界条件。
1、面力边界条件
物体在外力作用下处于平衡状态，不仅整体，而且任意部分都是平衡的。在弹性体内部，应力分量必须与体力满足平衡微分方程；在弹性体的表面，应力分量须与表面力满足面力边界条件，以满足弹性体表面的平衡。
考虑物体表面任一微分四面体的平衡，如图所示。
由于物体表面受到表面力，如压力和接触力等的作用，设单位面积上的面力分量为F s x、F s y和F s z，物体外表面法线n的方向余弦为l，m，n。参考应力矢量与应力分量的关系，可得
用张量符号可以表示为
上述公式是弹性体表面微分单元体保持平衡的必要条件，公式左边表示物体表面的外力，右边是弹性体内部趋近于边界的应力分量。公式给出了应力分量与面力之间的关系，称为静力边界条件或面力边界条件。
平衡微分方程和面力边界条件都是平衡条件的表达形式，前者表示物体内部的平衡，后者表示物体边界部分的平衡。
显然，若已知应力分量满足平衡微分方程和面力边界条件，则物体平衡；反之，如物体平衡，则应力分量必须满足平衡微分方程和面力边界条件。
§2.5 坐标变换的应力分量和应力张量
学习思路:
一点的应力不仅随着点的位置改变而变化，而且由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不同。因此必须探讨一点任意截面应力之间的变化关系。应力分量能够描述一点的应力状态，因此确定不同截面应力分量的变化规律，就可以确定应力状态。
本节分析坐标系改变时应力分量的变化规律。为了简化分析，首先假设斜截面的法线与新坐标轴方向相同，建立斜截面应力矢量表达式。然后利用斜截面应力矢量与应力分量的关系，将应力矢量投影于各个坐标轴得到应力分量表达式。
应力分量的转轴公式说明：应力分量满足张量变换条件。
根据切应力互等定理，应力张量是二阶对称张量。
转轴公式说明了一点的应力状态，尽管截面方位的变化导致应力分量改变，但是一点的应力状态是不变的。
学习要点：
1、坐标系的变换；
2、坐标平面的应力矢量；
3、应力分量的投影；
4、应力分量转轴公式；
5、平面问题的转轴公式。
1、坐标系的变换
一点的应力不仅是坐标的函数，随着弹性体中点的位置改变而变化，而且即使同一点，由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不相同。一点的应力随着截面的法线方向的改变而变化称为应力状态。
应力状态分析就是讨论一点不同截面的应力变化规律。由于应力分量可以描述应力状态，因此讨论坐标系改变时，一点的各个应力分量的变化就可以确定应力状态。
当坐标系改变时，同一点的各个应力分量将作如何的改变。
容易证明，坐标系仅作平移变换时，同一点的应力分量是不会改变的，因此只须考虑坐标系旋转的情况。
假设在已知坐标系Oxyz中，弹性体中某点的应力分量为
如果让坐标系转过一个角度，得到一个新的坐标系Ox'y'z'。设新坐标系与原坐标系之间有如下关系：
其中，l i，m i，n i表示新坐标轴Ox'y'z'与原坐标轴Oxyz之间的夹角方向余弦。
2、坐标平面的应力矢量
如果用
表示同一点在新坐标系下的应力分量。
作斜截面ABC与x' 轴垂直，其应力矢量为p n，则
根据应力矢量与应力分量的表达式
3、应力分量的投影
设i'，j'，k'为新坐标系Ox'y'z'的三个坐标轴方向的单位矢量，如图所示将p n ，即p x'向x'轴投影就得到σ x'；
向y'轴投影就得到τ x'y'；
向z'轴投影就得到τx'z'；
所以
4、应力分量转轴公式
将应力矢量分量表达式代入上述各式，并分别考虑y，z方向，则可以得到转轴公式
注意到，τx'y' =τy'x' , τy'z' =τz'y' , τx'z' =τz'x'。
用张量形式描述，则上述公式可以写作
应力变换公式表明：当坐标轴作转轴变换时，应力分量遵循张量的变换规律。坐标轴旋转后，应力分量的九个分量均有改变，但是作为一个整体所描述的应力状态是不会发生变化的。
应力张量为二阶对称张量，仅有六个独立分量。新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。因此，应力张量的六个应力分量就确定了一点的应力状态。
5、平面问题的转轴公式
对于平面问题，如Ox轴与Ox'成?角。则新旧坐标系
有如下关系：
根据转轴公式，可得
上述公式即材料力学中常用的应力变换公式。
应该注意的问题是：材料力学是根据变形效应定义应力分量的，而弹性力学是根据坐标轴定义应力分量的符号的。因此对于正应力二者符号定义结果没有差别，但是对于切应力符号定义是不同的。例如对于两个相互垂直的微分面上的切应力，根据弹性力学定义，符号是相同的，而根据材料力学定义，符号是相反的。
§2.7 主应力和应力不变量
学习思路:
应力状态的确定，不仅需要描述一点各个截面的应力变化规律，而且需要确定最大正应力和切应力，以及作用平面方位。
本节讨论应力状态的的重要概念－主平面和主应力。主平面是指切应力为零的平面；主平面法线方向称为应力主轴；主平面的正应力称为主应力。主平面和主应力是描述一点应力状态的重要参数，关系弹性体的强度。
根据主应力和应力主轴的定义，可以建立其求解方程－应力状态特征方程。
对于应力主轴，在主应力求解后，再次应用齐次方程组和方向余弦特性可以得到。
主应力特征方程的系数具有不变性、实数性和正交性。因此称为应力不变量。
学习要点：
1、主平面与主应力；
2、l，m，n的齐次线性方程组；
3、应力状
态特征方程；4、主应力性质；5、正交性证明。
1、主平面与主应力
应力状态的确定，不仅需要描述一点各个截面的应力变化规律，而且需要确定最大正应力和切应力，以及作用平面方位。
物体内一点的应力分量是随坐标系的旋转而改变的，那么，对于这个确定点，是否可以找到这样一个坐标系，在这个坐标系下，该点只有正应力分量，而切应力分量为零。也就是说：对于物体内某点，是否能找到三个相互垂直的微分面，面上只有正应力而没有切应力。答案是肯定的，对于任何应力状态，至少有三个相互垂直平面的切应力为零。
切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。
主平面的法线称为应力主轴或者称为应力主方向。
主平面上的正应力称为主应力。
根据主应力和应力主轴的定义，可以建立其求解方程。
设过点O与坐标轴倾斜的微分面ABC为主微分面，如图所示
其法线方向n，既应力主轴的三个方向余弦分别为l，m，n，微分面上的应力矢量p n，即主应力的三个分量为p x, p y, p z。
根据主平面的定义，应力矢量p n的方向应与法线方向n一致，设为主应力，则应力矢量的三个分量与主应力的关系为
p x =σ l, p y =σ m, p z =σ n
2、l，m，n的齐次线性方程组
同时，根据应力矢量与应力分量表达式，有
将上述公式联立求解，可以得到
上述公式是一个关于主平面方向余弦l，m，n 的齐次线性方程组。
求解关于l，m，n的齐次线性方程组。这个方程组具有非零解的条件为系数行列式等于零。即
3、应力状态特征方程
展开上述行列式,可得
以上方程称为应力状态特征方程，是确定弹性体中任意一点主应力的方程。其中，，为应力张量元素构成的行列式主对角线元素之和。
是行列式按主对角线展开的三个代数主子式之和。
是行列式的值。
由于一点的主应力和应力主轴方向取决于物体所受载荷和约束条件等，而与坐标轴的选取无关。因此特征方程的根是确定的，即I1, I2, I3的值是不随坐标轴的改变而变化的。因此I1, I2, I3分别称为应力张量的第一，第二和第三不变量。
应当指出，所谓不变量是指同一点的应力张量而言的，它们与坐标轴的选取无关。对于不同点，应力状态不同，这些量当然是要变化的
4、主应力性质
可以证明，特征方程有三个实数根，如用σ 1， σ 2，σ 3 分别表示这三个根，则它们代表某点的三个主应力。
对于应力主轴方向的确定，可以将计算所得的σ 1， σ 2，σ 3分别代入齐次方程组的任意两式，并且利用关系式
联立求解，则可以求得应力主方向。
应力不变量具有以下性质：
1、不变性：
由于一点的正应力和应力主轴方向取决于弹性体所受的外力和约束条件，而与坐标系的选取无关。因此对于任意一个确定点，特征方程的三个根是确定的，因此I1，I2，I3的值均与坐标轴的选取无关。坐标系的改变导致应力张量的各个分量变化，但该点的应力状态不变。应力不变量正是对应力状态性质的描述。
2、实数性：
特征方程的三个根，就是一点的三个主应力，根据三次方程根的性质，容易证明三个根均为实根，所以一点的三个主应力均为实数。
3、正交性：
任一点的应力主方向，即三个应力主轴是正交的。下面证明主应力的正交性：
a、若σ 1≠σ2≠σ 3，则特征方程无重根，因此，应力主轴必然相互垂直；
b、若σ 1＝σ 2≠σ 3，则特征方程有两重根，σ 1 和σ 2的方向必然垂直于σ 3的方向。而σ 1 和σ 2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；
c、若σ 1＝σ 2＝σ 3，则特征方程有三重根，三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直。这就是说，任何方向都是应力主轴。
5、正交性证明
证明应力不变量的正交性。
假设主应力σ 1＝σ 2＝σ 3的方向余弦分别为（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），由于满足齐次方程组，有
将上述公式的前三式分别乘以l2，m2和n2，中间三式分别乘以-l1，-m1，-n1，然后将六式相加，可得
同理
根据上述关系式，如果σ 1≠σ 2≠σ 3，有
l1l2+m1m2+n1n2＝0，l2l3+m2m3+n2n3 ＝0，l1l3+m1m3+n1n3＝0
上式说明如果三个主应力均不相等，则三个应力主方向是相互垂直的。
如果σ 1＝σ 2≠σ 3，有
l2l3+m2m3+n2n3 ＝0，l1l3+m1m3+n1n3 ＝0
而l1l2+m1m2+n1n2可以等于零，也可以不等于零。
这说明σ 3的方向同时与σ 1和σ 2的方向垂直，而σ 1和σ 2的方向可以垂直，也可以不垂直。因此所有与σ 3垂直的方向都是σ 1和σ 2的应力主方向。
如果σ 1＝σ 2＝σ 3，则l1l2+m1m2+n1n2，l2l3+m2m3+n2n3 和l1l3+m1m3+n1n3
均可以等于零，也可以不等于零。也就是说任何方向都是应力主方向。
由此证明应力不变量的正交性。
§2.8 应力圆和最大切应力
学习思路:
应力状态的确定，还需要讨论一点的正应力和切应力之间的变化关系。
课程编号：05z8514 弹性力学Theory of Elasticity 学分学时：3/48 先修课程: 高等数学；线性代数；理论力学；材料力学 一、课程教学目标 《弹性力学》是航空、航天结构强度和力学专业的重要专业基础课程，是固体力学的一个分支。主要研究弹性体受外力作用或温度改变等原因而产生的应力、位移和变形。弹性力学的任务是分析各种结构或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。本课程的主要研究对象为非杆状结构，如板、壳以及其它实体结构。通过本课程的学习可为进一步学习力学类和相关工程类的后续课程打下坚实的力学基础。 二、教学内容及基本要求 1. 绪论（2学时） 弹性力学的发展史；研究内容；基本假设；矢量、张量基本知识。 2. 应力理论（4学时） 内力和应力；斜面应力公式；应力分量转换公式；主应力、应力不变量；最大剪应力；应力偏量；平衡微分方程。 3. 应变理论（4学时） 位移和变形；几何方程；转动张量；主应变和应变不变量；变形协调方程；位移场的单值条件；由应变求位移。 4. 本构关系（2学时） 热力学定律与应变能；本构关系；具有弹性对称面的弹性材料的本构关系；各向同性弹性材料的弹性常数；各向同性弹性材料的应变能密度 5. 弹性理论的建立与一般原理（4学时） 弹性力学基本方程和边界条件；位移解法和拉梅方程；应力解法与变形协调方程；叠加原理；解的唯一性原理；圣维南原理。 6.柱形杆问题（4学时） 圣维南问题；柱形扭转问题的基本解法；反逆法与半逆法，扭转问题解例；薄膜比拟；*柱形杆的一般弯曲。 7.平面问题（12学时） 平面问题及其分类；平面问题的基本解法；应力函数的性质；直角坐标解例（矩形梁的纯弯曲、简支梁受均布载荷和任意分布载荷）；极坐标中的平面问题基本方程；轴对称问题（均匀圆筒或圆环、纯弯的曲梁、压力隧洞）；非轴对称问题（小圆孔应力集中、楔体问题）；关于解和解法的讨论。 8. 空间问题（2学时） 基本方程及求解方法；空间轴对称和球对称问题的基本方程；半空间体受重力及均布压力；半空间体在边界上受法向集中力；空心球受内压作用问题。 9．能量原理与变分法（6学时） 弹性体的变形比能与形变势能；变分法；位移变分方程；位移变分法；位移变分法应用于平面问题；应力变分方程与极小余能原理；应力变分法；应力变分法应用于平面问题；应力变分法应用于扭转问题。 10．复变函数解法或薄板弯曲（4学时）
图8-1 第 8章 应力状态及强度理论 例8-1 已知应力状态如图7-1所示，试计算截 面m-m 上的正应力m σ与切应力m τ 。 解：由图可知，x 与y 截面的应力分别为 MPa x 100-=σ MPa x 60-=τ MPa y 50=σ 而截面m-m 的方位角则为 α= -30o 将上述数据分别代入式（7-1）与（7-2）， 于是得 ()()()()MPa m 5.11460sin 6060cos 250100250100-=?-?+?---++-=σ()()()MPa m 0.3560cos 6060sin 2 50100=?-?-?---=τ 例8-2 试用图解法解例8-1（图8-2a ）。 (a) (b) 图8-2 解：首先，在τσ-平面内，按选定的比例尺，由坐标(-100，-60）与(50，60)分别确定A 和B 点图7-2b ）。然后，以AB 为直径画圆，即得相应的应力圆。 为了确定截面m-m 上的应力，将半径CA 沿顺时针方向旋转α2=60o至CD 处，所得D 点即为截面m-m 的对应点。 按选定的比例尺，量得OE =115MPa （压应力），ED =35MPa ，由此得截面 m-m 的正应力与切应力分别为
MPa m 115-=σ MPa m 35=τ 例 8-3 从构件中切取一微体，各截面的应力如图8-3a 所示，试用解析法与图解法确定主应力的大小及方位。 (a) (b) 图8-3 解：1.解析法 x 和y 截面的应力分别为 MPa x 70-=σ，MPa x 50=τ，0=y σ 将其代入式 (7-3）与 (7-5），得 }{MPa MPa 2696502070207022max min -=+?? ? ??--±+-=σσ ?-=??? ??--=?? ? ??-- =5.6202650arctan arctan max y x o σστα 由此可见， MPa 261=σ，02=σ，MPa 963-=σ 而正应力1σ 的方位角 o α则为-62.5o(图8-3a ）。 2.图解法 按选定的在τσ-平面内，按选定的比例尺，由坐标(-70，50）与(0，-50)分别确定D 和E 点（图8-3b ）。然后，以DE 为直径画圆即得相应的应力圆。 应力圆与坐标轴σ相交于A 和B 点，按选定的比例尺，量得OA =26MPa ，
第二章弹性力学基础 弹性力学又称弹性理论，它是固体力学的一个分支。弹性力学任务是确定结构或机械零件在外载荷作用或温度改变等原因而发生的应力、位移和应变。 弹性力学与材料力学总的任务是相同的，但弹性力学研究的问题比材料力学要更加深刻和精确，并研究材料力学所不能解决的一些问题。 材料力学-----研究杆状构件（长度>>高度和宽度）在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。 弹性力学-----研究板壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结构。对杆状构件作较精确的分析，也需用弹性力学。 结构力学-----研究杆状构件所组成的结构。例如桁架、刚架。
第一节弹性力学假设 在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题，所谓理想弹性体的线性问题，是指符合以下假定的物体。 1. 假设物体是线弹性的 假定物体服从虎克定律，即应变与引起该应变的应力成正比，反映这一比例关系的常数，就是弹性常数。即该比例关系不随应力、应变的大小和符号而变。 由材料力学已知： 脆性材料的物体：在应力?比例极限以前，可作为近似的完全弹性体； 韧性（塑性）材料的物体：在应力＜屈服极限以前，可作为近似的完全弹性体。 这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。 2. 假设物体是连续性的 假设整个物体的体积都被该物体介质完全充满，不留下任何空隙。有了这一假定决定了应力、应变、位移是连续的，可用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 注：实际上，一切物体都是由微粒组成的，都不能符合该假定。但是由于物体粒子的尺寸以及相邻粒子间的距离，
都比物体自己本身的尺寸小得很多，因此连续性假设不会引起显着的误差。 3. 假设物体是均匀性、各向同性的 整个物体是由同一材料组成的。这样整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数不随坐标而变化，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得结果应用于整个物体。 各向同性是指物体内一点的弹性在所的各个方向上都是相同的，故物体的弹性常数不随方向而变化。 对于非晶体材料，是完全符合这一假定。而由木材，竹材等做成的构件，就不能作为各向同性体来研究；钢材构件基本上是各向同性的。 弹性常数？ 凡是符合以上三个假定的物体，就称为理想弹性体。 4. 假设物体的位移和应变是微小的 假定物体在载荷或温度变化等外界因素的作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，应变分量和转角都远小于1。 因此 ①在建立物体变形以后的平衡方程时，可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，而不至于引起显著的误差。
土体应力计算 补充一、力学基础知识 材料力学研究物体受力后的内在表现，即变形规律和破坏特征。 一、材料力学的研究对象 材料力学以“梁、杆”为主要研究对象。
二、材料力学的任务 材料力学的任务：在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适宜的材料，而提供必要的理论基础和计算方法。 强度:杆件在外载作用下，抵抗断裂或过量塑性变形的能力。刚度:杆件在外载作用下，抵抗弹性变形的能力。 稳定性:杆件在压力外载作用下，保持其原有平衡状态的能力。 如：自行车结构也有强度、刚度和稳定问题； 大型桥梁的强度、刚度、稳定问题 强度、刚度、稳定性
三、基本假设 1、连续性假设：物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。（可用微积分数学工具） 2、均匀性假设：物体内，各处的力学性质完全相同。 3、各向同性假设：组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。（这样的材料称为各项同性材料；沿各方向的力学性质不同的材料称为各项异性材料。） 4、小变形假设：材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形与原始尺寸相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其变形。 假设
四、杆件变形的基本形式
五、内力?截面法?轴力 1、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。 2、截面法 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。
（1）截面法的基本步骤： ①截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力） 截面法
40 MPa .word 可编辑 . 应力状态强度理论 1. 图示单元体，试求60100 MPa (1)指定斜截面上的应力； (2)主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。 解： (1) x y x y cos 2x sin 276.6 MPa 22 x y sin 2x cos232.7 MPa 2 3 1 (2)max xy( x y) 2xy281.98MPa39.35 min22121.98 181.98MPa，2 ，3121.98MPa 12 xy1200 0arctan()arctan39.35 2x y240 200 6060 2. 某点应力状态如图示。试求该点的主应力。129.9129.9解：取合适坐标轴令x25 MPa，x 由 120xy sin 2xy cos20 得 y 2 所以m ax x y ( xy ) 2xy 2 m in 22 129.9 MPa 2525 (MPa) 125MPa 50752( 129.9)250 150100 MPa 200 1 100 MPa，20 ，3200MPa 3. 一点处两个互成45 平面上的应力如图所示，其中未知，求该点主应力。 解：y150 MPa，x120 MPa
.word 可编辑 . 由得45x y sin 2xy cos 2x 15080 22 x10 MPa 所以max xy(x y) 22 22xy min y x 45 45 45 214.22 MPa 74.22 1214.22 MPa，20 ， 45 374.22 MPa 4.图示封闭薄壁圆筒，内径 d 100 mm，壁厚 t 2 mm，承受内压 p 4 MPa，外力偶矩 M e 0.192 kN·m。求靠圆筒内壁任一点处的主应力。 0.19210 3 解： xπ(0.104 40.14)0.05 5.75MPa t 32 x y pd MPa 50 4t pd MPa 100 2t M e p M e max x y(x y ) 2 xy2 min22100.7 MPa 49.35 1100.7 MPa，249.35 MPa，3 4 MPa 5.受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。 解：取坐标轴使 x 100 MPa，x 20MPa40 MPa100 MPa xy x y 12020 MPa 22cos2x sin 2
第四章应力和应变关系知识点 应变能原理 应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体 正交各向异性弹性体本构关系弹性常数 各向同性弹性体应变能格林公式 广义胡克定理 一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系 一、内容介绍 前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。 对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。 本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。 二、重点 1、应变能函数和格林公式； 2、广义胡克定律的一般表达式； 3、具 有一个和两个弹性对称面的本构关系；4、各向同性材料的本构关系； 5、材料的弹性常数。 §4.1 弹性体的应变能原理 学习思路: 弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求
解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。 本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。 根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。 探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。 如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。 学习要点：1、应变能；2、格林公式；3、应变能原理。 1、应变能 弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。本节通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。 根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一部分将转化为动能；另外变形过程中，弹性体的温度将发生变化，它必须向外界吸收或释放热量。设弹性体变形时，外力所做的功为d W，则 d W=d W1+d W2 其中，d W1为表面力F s所做的功，d W2为体积力F b所做的功。变形过程中，由外界输入热量为d Q，弹性体的内能增量为d E，根据热力学第一定律, d W1+d W2=d E - d Q 因为 将上式代入功能关系公式，则
第二章应力状态分析 一、内容介绍 弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。 应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。因此，一点各个截面的应力是不同的。确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。 本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。 二、重点 1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量； 2、平衡微分方程与切应力互等定理； 3、面力边界条件； 4、应力分量的转轴公式； 5、应力状态特征方程和应力不变量； 知识点： 体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力 分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质； 截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量； 切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态 特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量 §2.1 体力和面力 学习思路:
本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。 应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。 体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。 面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。 体力和面力分量的方向均规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。 学习要点： 1、体力； 2、面力。 1、体力 作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。 所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。 面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。为了表明物体在xyz坐标系内任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点的邻域取一微小体积元素△V，如图所示 设△V 的体力合力为△F，则P点的体力定义为 令微小体积元素△V趋近于0，则可以定义一点P的体力为
7.1已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求： ⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力； ⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。 解： 100x MPa σ= 200y MPa σ= 100x MPa τ= 0 30α=- （1）cos 2sin 2211.622 x y x y x ασσσσ σατα+-= + -=sin 2cos 293.32 x y x MPa ασστατα-=+= （2）max 261.82 x y MPa σσσ+= = min 38.22x y MPa σσσ+== MPa 8.2611=σ MPa 2.382=σ 03=σ （3）13 max 130.92 MPa σστ-== 7.2扭矩m kN T ?=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成ο 30=α方向上的正应变。设E=200GPa, 0.3υ=。 解：表面上任一点处切应力为： max 59P T MPa W τ= = 表面上任一点处单元体应力状态如图 30sin 251MPa στα=-=- 120sin 251MPa στα=-= () 00430301201 3.310E εσυσ-= -=? 2 στ τ
7.3用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成ο45方向上的正应 变4 100.2-?=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传 递的功率。 解：表面任一点处应力为 max 9550P P P T n W W τ== max 9550 P W n P τ∴= 纯剪切应力状态下，0 45斜截面上三个主应力为：1στ= 20σ= 3στ=- 由广义胡克定律 ()11311E E υ εσυστ+= -= 又()21E G υ=+Q V 2G τε∴= 代入max 9550 P W n P τ= ，得109.4P KW = 7.4图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成ο 60 方向上的正应变4 60101.4-?=ο ε，E=200GPa ，0.3υ=， 试求荷载P 。 解：0P A σ= 204D P πσ=? 斜截面上 02 060cos 4 σσσα== 2001503cos 4 σσσα== 由广义胡克定律 () 0006015060134E E υεσυσσ-= -= 将060043E εσυ = -代入2 04 D P πσ=? 解得P=36.2KN ο
第 七 章 应力状态 强度理论 一、 判断题 1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。 (√) 2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。 (√) 3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。 (×) 原因：正应力一般不为零。 4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴 上的一个点。 (×) 原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。三向等拉或等压倒是为一个点。 5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。(×) 原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上 6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。 (√) 7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。 (×) 8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。 (×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论 9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。(×) 原因：只形状改变，体积不变 10、铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管内的冰不会被破坏，只是因为冰的强度比铸铁的强度高。(×) 原因：铸铁的强度显然高于冰，其破坏原因是受到复杂应力状态 二、 选择题 1、危险截面是（ C ）所在的截面。 A 最大面积 B 最小面积 C 最大应力 D 最大内力 2、关于用单元体表示一点处的应力状态，如下论述中正确的一种是( D )。 A 单元体的形状可以是任意的 B 单元体的形状不是任意的，只能是六面体微元 C 不一定是六面体，五面体也可以，其他形状则不行 D 单元体的形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的硬力 3、受力构件内任意一点，随着所截取截面方位不同，一般来说（ D ） A 正应力相同，剪应力不同 B 正应力不同，剪应力相同 C 正应力和剪应力均相同 D 正应力和剪应力均不同 4、圆轴受扭时，轴表面各点处于（ B ） A 单向应力状态 B 二向应力状态 C 三向应力状态 D 各向等应力状态 5、分析处于平面应力状态的一点，说法正确的是（ B ）。 A a σ=0时，必有a τ=max τ或a τ=min τ B a τ=0时，必有a σ=max σ或a σ=min σ C a σ+90a σ+及|a τ|+|90a τ+|为常量 D 1230σσσ≥≥≥
知识点9：应力状态理论和强度理论 一、应力状态理论 （一）应力状态的概念 １．一般情况下，受力构件内各点的应力是不同的，且同一点的不同方位截面上应力也不相同。过构件内某一点不同方位上总的应力情况，称为该点的应力状态。 ２．研究一点的应力状态，通常是围绕该点截取一个微小的正六面体（即单元体）来考虑。单元体各面上的应力假设是均匀分布的，并且每对互相平行截面上的应力，其大小和性质完全相同，三对平面上的应力代表通过该点互相垂直的三个截面上的应力。当单元体三个互相垂直截面上的应力已知时，可通过截面法确定该点任一截面上的应力。截取单元体时，应尽可能使其三个互相垂直截面的应力为已知。 ３．单元体上切应力等于零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。过受力构件内任一点，一定可以找到一个由三个相互垂直主平面组成的单元 体，称为主单元体。它的三个主应力通常用σ １，σ ２ 和σ ３ 来表示，它们按代数值 大小顺序排列，即σ １＞σ ２ ＞σ ３ 。 ４．一点的应力状态常用该点的三个主应力来表示，根据三个主应力的情况可分为三类：只有一个主应力不等于零时，称为单向应力状态；有两个主应力不等于零时，称为二向应力状态（或平面应力状态）；三个主应力都不等于零时，称为三向应力状态。其中二向和三向应力状态称为复杂应力状态，单向应力状态称为简单应力状态。 5．研究一点的应力状态是对构件进行强度计算的基础。 （二）平面应力状态的分析 １．分析一点的平面应力状态有解析法和图解法两种方法，应用两种方法时都必须已知过该点任意一对相互垂直截面上的应力值，从而求得任一斜截面上的应力。
２．应力圆和单元体相互对应，应力圆上的一个点对应于单元体的一个面，应力圆上点的走向和单元体上截面转向一致。应力圆一点的坐标为单元体相应截面上的应力值；单元体两截面夹角为α，应力圆上两对应点中心角为２α；应力圆与σ轴两个交点的坐标为单元体的两个主应力值；应力圆的半径为单元体的最大切应力值。 ３．在平面应力状态中，过一点的所有截面中，必有一对主平面，也必有一对与主平面夹角为４５?的最大（最小）切应力截面。 ４．在平面应力状态中，任意两个相互垂直截面上的正应力之和等于常数。 图9-1（a ）所示单元体为平面应力状态的一般情况。单元体上，与x 轴垂直的平面称为x 平面，其上有正应力σx 和切应力τxy ；与y 轴垂直的平面称为y 平面，其上有正应力σy 和切应力τyx ；与z 轴垂直的z 平面上应力等于零，该平面是主平面，其上主应力为零。平面应力状态也可用图9-1（b ）所示单元体的平面图来表示。设正应力以拉应力为正，切应力以截面外法线顺时针转90?所得的方向为正，反之为负。 （a ） （b ） （c ） 图9-1 图9-1（c ）所示斜截面的外法线与x 轴之间的夹角为α。规定α角从x 轴逆时针向转到截面外法线n 方向时为正。α斜截面上的正应力和切应力为： ??? ??? ? +-=--++=ατασστατασσσσσαα2cos 2sin 22sin 2cos 22xy y x xy y x y x 最大正应力和最小正应力 2 2 min max 22xy y x y x τσσσσσσ+??? ? ? ?-±+=
(2) 主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。 解：(1) MPa 6.762sin 2cos 2 2 =--+ += ατασσσσσα x y x y x MPa 7.322cos 2sin 2 -=+-=ατασστα x y x (2) 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=98.12198.81-=MPa 98.811=σMPa ，02 =σ，98.1213-=σ MPa 35.3940 200 arctan 21)2arctan( 2 10== --=y x xy σστα 2. 解：取合适坐标轴令25=x σ MPa ，9.129-=x τ由02cos 2sin 2 120 =+-= ατασστxy y x 得125-=y σMPa 所以2 2m in m ax )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-± += 200 100 15050)9.129(755022-= ±-=-+± -= MPa 1001=σ MPa ，02=σ，2003-=σ MPa 3. 一点处两个互成 45平面上的应力如图所示，其中σ未知，求该点主应力。 解：150=y σ MPa ，120-=x τ MPa
由 ατασστ2cos 2sin 2 45 xy y x +-= 802 150 -=-= x σ 得 10-=x σ MPa 所以 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+= 22 .7422.214-= MPa 22.2141=σ MPa ，02=σ，22.743-=σ 4. 图示封闭薄壁圆筒，内径100=d mm ，壁厚2=t mm ，承受内压4=p MPa ，外力偶矩192.0=e M kN ·m 。求靠圆筒内壁任一 点处的主应力。 解：75.505.032 ) 1.0104.0(π1019 2.0443 =?-?= x τ MPa 504==t pd x σ MPa 1002==t pd y σ MPa 35.497.100)2 (22 2min max =+-±+=xy y x y x τσσσσσσ MPa 7.1001=σ MPa ，35.492=σ MPa ，43-=σ MPa 5. 受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。 解：取坐标轴使100=x σMPa ，20=x τ α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 x y x y x --+ += ' 45-M e
材料力学应力状态
关键词：单元体的取法，莫尔应力圆的前提 有那么一个单元体后（单元体其中的一对截面上主应力=0（平面）或平衡（空间），也就是单元体的一对截面为主平面），才有这么 一个隔离体，才有那么一个莫尔应力圆和表达式 也就是：取的单元体不同，则单元体的应力特点不一样，从而用截面法求任意截面上的应力取隔离体列平衡方程时，隔离体的受力特点不同，从而球出来的表达式也不同，只有这种表达式才适合 莫尔应力圆。 因此拿到一个单元体后，不要急着应用莫尔应力圆，要先看它的特点适合不适合莫尔应力圆，也就是σα和τα的表达式球出来以后还是 不是下面的这个公式。
σy的形式。比如，面的外法线之间的夹角，这样公式中才是σx— 当α表示的是斜截面的外法线与σ1所在平面的夹角，那么公式就是σ1—σ2的形式；不论是谁减谁，应力圆的性状都不变； 1.首先，先有主平面和主应力的概念，剪应力为0的平面为主平面，主平面上的正应力为主应力； 2.然后，由于构件受力情况的不同，各点的应力状态也不一样，可以按三个主应力中有几个不等于零而将一点处的应力状态划分为三类： ?单向应力状态：只有一个主应力不等于零，如受轴向拉伸和压缩的直杆及纯弯曲的直杆内各点的应力状态。 ?二向应力状态(平面应力状态)：有两个主应力不等于零，如受扭的圆轴，低压容器器壁各点的应力状态。 ?三向应力状态：三个主应力都不等于零，如高压容器器壁内各点的应力状态。 3.然后，根据受力宏观判断是单轴应力状态还是平面应力状态还是三轴应力状态，取单元体关键，单元体取的不同，单元体上的应力也不同，做莫尔圆的繁简程度也不同，对于平面应力状态，当然要用主应力=0的那个截面参与单元体截取；
第二章 应力分析 研究弹性力学问题要从三方面规律（条件）：平衡、几何、物理来建立，本章就是研究第一个规律：平衡规律。 第1节 内力和外力 1.1 外力： 物体承受外因而导致变形，外因可以是热力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械力中的体力和面力的范围。 1． 外部体力：作用在物体单位体积（质量）上的力如重力（惯性力）。 量纲：力/（长度）3。 求V 中任意点P 上承受体力采用极限方法： X X 2 X X 2
第2节 应力和应力张量 2.1 应力 当变形体受外力作用时，要发生变形，同时引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）——内力，为了描述物体内任意点P 的内力可采取如下方法： 过P 点设一个截面S 将V 分为两部分：（作用力与反作用力） F F -
l n n x ==1、m n n y ==2、n n n z ==3。即 n t m t l t n t n t n t n t t z y x i i n )()()(3)3(2)2(1)1()()( ++=++== , , 1S n P B C S A B C ????== 0)()(=++-V f S t S t i i n ??? 而 S n S t t i i i i ??=-=-, )()( 代入上式，并忽略高阶微量 0)()(=-S n t S t i i n ?? 或 )()(i i n t n t = 展开为 3)3(2)2(1)1()(n t n t n t t n ++= 或 n t m t l t t z y x n )()()()( ++= 2.1 应力张量 每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量，比如坐标面法线为x 1 j xj j j z xz y xy x xx x e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==1313212111)()1( x 2 x 1 x 1 (x) x 3, ,32S n PAB S n PAC ?=??=?
应力状态和强度理论 一、判断题 1.若单元体某一截面上的剪应力为零，则该截面称为主平面。（） 2.主平面上的剪应力称为主应力。（） 3.当单元体上只有一个主应力不为零时，称作二向应力状态。（） 5.图2所示单元体最大剪应力为25Mpa。（） 6.图3所示单元体为单向应力状态。（） 图2图3图4 7. 向应力状态如图4所示，其最大主应力σ1=3σ（）。 8. 任一单元体，在最大正应力作用面上，剪应力为零。（） 9. 主应力是指剪力为零的截面上的正应力。（） 10.力圆上任一点的横坐标值对应单元体某一截面上的正应力。（） 二、选择题 1.图1所示应力圆对应的单元体为图（）。
图5 三、选择题 1.若一点的应力状态为平面应力状态，那么该点的主应力不可能为：（）。 A 、σ1> 0 σ2=σ3=0 B、σ1> 0 σ2 =0 σ3 < 0 C、σ1>σ2>0 σ3=0 D、σ1>σ2>σ3>0 ２.已知单元体各面上的应力如图，则其主平面方位为（）。 A、B、 C、D、 四、填空题 １.图示为一平面应力状态的单元体及其应力圆，试在应力圆上表示０－１，０－２，０－３平面的位置。 图6
2.试验表明，材料受力后的破坏主要有两种形式，一种是，是由于或所引起；另一种是，是由于所引起的。 3.一单元体如图所示，则单元体的主应力为__________ ，为 __________ ，为__________ ，最大主应力与x 轴的夹角为__________ 。 五、简单计算 1.单元体上的应力如图7所示，试求其它应力和最大剪应力。 2.图8所示单元体，试求图示斜截面上的正应力和剪应力。 图7图8 3.试求图示单元体o斜截面应力。已知：。 图9
2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 (绝密试题) 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力 =1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力 =1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为
第10章 应力状态与强度理论 及其工程应用 10.1 概述 10.1.1 应力状态的基本概念 轴向拉伸或压缩杆： 横截面 1 P F A σ= 1A 横截面面积 斜截面 2 cos sin 22 x x θθσσθστθ? =??= ?? 即用不同方位的截面截取，任意点A 的应力是不同的。 受扭圆轴：
横截面 x P M I τρ= 斜截面 s i n2 α στα =-c o s2 α ττα = 即， A点的应力大小和方向随截面的方位不同而不同。 应力状态：构件受力后，通过一个点的所有截面上的应力情况的总体，称为该点的应力状态。 对于受力构件有必要研究其一点的应力状态。 研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。 10.1.2 应力状态分析的基本方法 研究一点的应力状态时，往往围绕所考察的点取一微小正六面体------
单元体。 单元体：微小的立方体， dx dy dz 、、为无限小，其侧面上的应力可 看作是均匀分布的，立方体的两相对侧面的应力可看成是大小相等，方向相反。 在单元体各面上标上应力——应力单元体。 根据一点的应力状态中各应力在空间的不同位置，可以将 ?? ? 空间应力状态 应力状态平面应力状态 空间应力状态：所有面上均有应力作用的应力状态。 平面应力状态：所有应力作用线都处于同一平面内的应力状态（有一对面上总是没有应力）。
?? ? 单向应力状态 平面应力状态纯剪切应力状态 单向应力状态：只受一个方向的正应力作用的应力状态。 纯剪切应力状态：只受剪应力作用的应力状态。 对于平面应力状态，由于单元体有一对面上没有应力作用，所以三维单元体可以用一平面微元表示。
第九章应力状态与强度理论 教学目标：了解一点的应力状态；掌握一点应力状态主应力及主平面的计算。 重点、难点：一点应力状态主应力及主平面的计算。 学时分配：4学时。 （一） 一点的应力状态 通过受力构件内一点的所有截面上的应力情况称为一点的应力状态。 （二） 一点的应力状态的表示法一一单元体 围绕所研究的点，截取一个边长为无穷小的正六面体， 用各面上的应力分量表示周围材料对 其作用。称为应力单元体。 特点： 1单元体的尺寸无限小，每个面上的应力为均匀分布。 2?单元体表示一点处的应力，故相互平行截面上的应力相同。 （三） 主平面、主应力、主单元体 主平面单元体中剪应力等于零的平面。 主应力 主平面上的正应力。 可以证明：受力构件内任一点，均存在三个互相垂直的主平面。三个主应力用 厂、（T 2 和（T 3表示，且按代数值排列即 （T l > （T 2> b 3。 主单元体 用三对互相垂直的主平面取出的单元体。 （四）应力状态的分类 根据主单元体上三个主应力中有几个是非零的数值，可将应力状态分为三类: 只有一个主应力不等于零。 有两个主应力不等于零。 三个主应力都不等于零。 1 .单向应力状态 2 .二向应力状态 3 .三向应力状态
单向应力状态又称为简单应力状态，二向和三向应力状态统称为复杂应力状态。单向及二向应力状态又称为平面应力状态。
（三）平面应力状态分析法 平面应力状态通常用单元体中主应力为零的那个主平面的正投影表示如图所示。 （四）任意斜截面成 a 的应力 （T x 、（T y 、（T xy ,则与I 轴成。角的斜截面上的应力分量为 ~ 2 _ T Ky sin2vt + r xv cos2a 式中 正应力T 以拉应力为正；剪应力 T 以对单元体产生顺时针力矩者为正, 时针转向为正。 （五）主平面 主应力 主平面的方位角 a 0 主应力 考虑到单元体零应力面上的主应力为零，因此若已知一平面应力状态 a 角以逆
一、填空题 1.弹性力学的基本假设为均匀性、各向同性、 连续性 、 完全弹性 和 小变形 。 2.弹性力学正面是指 外法线方向与坐标轴正向一致 的面，负面指 外法线方向与坐标轴负向一致 的面。 3.弹性力学的应力边界条件表示在边界上 应力 与 面力 之间的关系式。除应力边界条件外弹性力学中还有 位移 、 混合 边界条件。 4.在平面应力问题与平面应变问题中，除 物理 方程不同外，其它基本方程和边界条件都相同。因此，若已知平面应力问题的解答，只需将其弹性模量E 换为 ()21E -μ，泊松比μ换为()1μ-μ，即可得到平面应变问题的解答。 5.平面应力问题的几何形状特征是 一个方向上的尺寸远小于另外两个方向上的尺寸；平面应变问题的几何形状特征是 一个方向上的尺寸远大于另外两个方向上的尺寸。 二、单项选择题 1. 下列关于弹性力学问题中的正负号规定，正确的是 D 。 (A) 应力分量是以沿坐标轴正方向为正，负方向为负 (B) 体力分量是以正面正向为正，负面负向为正 (C) 面力分量是以正面正向为正，负面负向为负 (D) 位移分量是以沿坐标轴正方向为正，负方向为负 2. 弹性力学平面应力问题中应力分量表达正确的是 A 。 (A) 0z σ= (B) [()]/z z x y E σεμεε=-+ (C) ()z x y σμσσ=+ (D) z z f σ= 3. 弹性力学中不属于基本方程的是 A 。 (A) 相容方程 (B) 平衡方程 (C) 几何方程 (D) 物理方程
4. 弹性力学平面问题中一点处的应力状态由 A 个应力分量决定。 (A) 3 (B) 2 (C) 4 (D) 5 三、简答题 1. 求解弹性力学问题的三类基本方程是什么？仅由基本方程是否可以求得具体问题的解答？为什么？ 答：平衡方程，几何方程和物理方程。仅由基本方程不可以求得具体解答，因为缺少边 界条件，只能得到问题的通解而不是特解。 2. 简述圣维南原理及其在弹性力学中的简化作用。 答：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢和主矩 相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用： (1)将次要边界上复杂的面力做分布的面力替代； (2) 将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 四、计算题 如图所示，设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力忽略不计，l h >>。试 用应力函数233 Axy By Cy Dxy =+++?求解应力分量。 解：(I) 显然，应力函数 233Axy By Cy Dxy ?=+++ (1) 满足双调和方程。 (II) 写出应力的表达式（不计体力） 22266x B Cy Dxy y ?? σ==++? (2) 220y x ?? σ==? (3) 223xy A Dy x y ?? τ=- =--?? (4) (III) 通过边界条件确定待定系数