第三节 洛伦兹变换式
教学内容:
1、 洛伦兹变换式的推导;
2、 狭义相对论的时空观:同时性的相对性、长度的收缩与时间的延缓; 重点难点:
狭义相对论时空观的主要结论。 基本要求:
1、 了解洛伦兹坐标变换与速度变换的推导;
2、 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩与时间延缓概念;
3、 理解牛顿力学中的时空观与狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导
()()?????
???
???--='='='--='
222
11c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()?
????
???
??
?
-'+'='='=-'+'=2
22
11c v c x v t t z z y y c v t v x x
据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。
1、 时空坐标间的变换关系
作为一条公设,我们认为时间与空间都就是均匀的,因此时空坐标间的变换必须就是线性的。
对于任意事件P 在S 系与S '系中的时空坐标(x ,y ,z ,t )、(x ',y ',z ',t '),因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动,显然有y '=y , z '=z 。
在S 系中观察S 系的原点,x =0;在S '系中观察该
点,x '=-v t ',即x '+v t '=0。因此x =x '+v t '。
在任意的一个空间点上,可以设:x =k (x '+v t '),k 就是—比例常数。
同样地可得到:x '=k '(x -v t )= k '(x +(-v )t )
根据相对性原理,惯性系S 系与S '系等价,上面两个等式的形式就应该相同(除正、负号),所以k =k '。
2、 由光速不变原理可求出常数k
设光信号在S 系与S '系的原点重合的瞬时从重合点沿x 轴前进,那么在任一瞬时t (或t '),光信号到达点在S 系与S '系中的坐标分别就是:x =c t , x '=c t ',则:
t t c x x '='2
()()()()t v t c vt ct k t v x vt x k '+'-='+'-=22
()222v c t t k -'=
由由此此得得到
到()2
2211
c v v c c k -=
-=。。
这样,就得到
()
2
1c v vt x x --=
',
()
2
1c v t v x x -'+'=
。由上面二式,消去x '得到
()
2
21c v c vx t t --=
';若消去x 得到
()
2
21c v c x v t t -'+'=
,综合以上结果,
就得到 洛仑兹变换, 或 洛仑兹反变换
()()?????
???
???--='='='--='
222
11c v c vx t t z z y y c v vt x x
()()????????
??
?
-'+'='='=-+'=222
11c v c x v t t z z y y c v vt x x
可见洛仑兹变换就是两条基本原理的直接结果。
3、 讨论
(1)可以证明,在洛仑兹变换下,麦克斯韦方程组就是不变的,而牛顿力学定律则要改变。故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象,而牛顿力学不适用描述高速现象,故它有一定的适用范围。
(2)当|v /c |<<1时,洛仑兹变换就成为伽利略变换,亦即后者就是前者在低速下的极限情形。故牛顿力学仅就是相对论力学的特殊情形—低速极限。
四、相对论速度变换公式
洛仑兹变换就是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系,根据洛仑兹变换可以得到狭义相对论的速度变换公式。
设物体在S 、S '系中的的速度分别为()z y
x
u u
u ,,,
()
z y x u u u ''',,,根据洛仑兹变换
式可得:
()()()()()2
22111c v dt
v u c v dt v dt dx c v vdt
dx x d x --=--=--=
'
()
()
()
2
2
2
2111c v c vu dt c v c vdx dt t d x --=
--=
'
因此:
()()
()
()
2
2
2111c v c vu dt c v dt v u t d x d x x ----=
'',即:
2
1c vu v
u u x x x --=
'
因y '=y , z '=z ,有d y '=d y , d z '=d z
则
()
()
22
11c v c vu dt dy
t d y d x --='',即
()22
11c vu c v u u x y y --=
'。同理:()2
2
11c vu c v u u x z z --='
因此得相对论的速度变换公式:
2
1c vu v
u u x x x --=
'、
()2
2
11c vu c v u u x y y --=
'、
()
2
2
11c vu c v u u x z z --='
其逆变换为:
21c u v v u u x x x '++'=、
()2
2
11c u v c v u u x y y '+-'=、
()2
2
11c u v c v u u x z z '+-'=。
讨论
(1)当速度u 、v 远小于光速c 时,即在非相对论极限下,相对论的速度变换公式即转化为伽利略速度变换式v
u u x x -='。
(2)利用速度变换公式,可证明光速在任何惯性系中都就是c 。
证明:设S '系中观察者测得沿x ' 方向传播的一光信号的光速为c ,在S 系中的观察者测得
该光信号的速度为:c c vc v c u x =++=2
1,即光信号在S 系与S '系中都相同。