用均值不等式求最值的方法
和技巧
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
用均值不等式求最值的方法和技巧
一、几个重要的均值不等式
①，、)(2
22
22
2
R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，
、)(222
+
∈??
? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3
33
333
3
3
+∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；
④)(333
3+
∈??
? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”
号成立.
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
② 熟悉一个重要的不等式链：b
a 112
+2a b
+≤≤≤
2
2
2b a +。 二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。 例1、求函数2
1
(1)2(1)
y x x x =+>-的最小值。 解析：
21(1)2(1)y x x x =+
>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2
111
1(1)222(1)
x x x x --=+++>-
1
≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5
2
。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：
①23
(32)(0)2
y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<
解析：
①30,3202x x <<->∴，∴23
(32)(0)(32)2
y x x x x x x =-<<=??-
3
(32)[
]13
x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大
值是1。②0,sin 0,cos 02
x x x π
<<>>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先
求y 2的最大值。
242sin cos y x x =?222sin sin cos x x x =??2221
(sin sin 2cos )2
x x x =??
22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤?=,当且仅当22sin 2cos x x =(0)
2
x π< x ?=x arc =时，不等式中的“=。 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 3、用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y +∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ f x ax a b x =+>、图象及性质知，当(0,1] x ∈时，函数4 ()f x x x =+是减函数。 证明： 任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则121212 44 ()()()()f x f x x x x x -=-+- 211212()4x x x x x x -=-+?121212 4 ()x x x x x x -=-?， ∵1201x x <<≤，∴12 1212 4 0,0x x x x x x --<<， 则1212()()0()()f x f x f x f x ->?>，即4 ()f x x x =+在(0,1]上是减函数。 故当1x =时，4 ()f x x x =+在(0,1]上有最小值5。 解法二：（配方法）因01x <≤，则有4 ()f x x x = +24=+，易知当01 x <≤时， 0μ => 且单调递减，则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数， 即4()f x x x =+在(0,1]上是减函数，当1x =时，4 ()f x x x =+在(0,1]上有最小值5。 解法三：（导数法）由4()f x x x =+得24 ()1f x x '=-，当(0,1]x ∈时， 24()10f x x '=-<，则函数4 ()f x x x =+在(0,1]上是减函数。故当1x =时， 4 ()f x x x =+在(0,1]上有最小值5。 解法四：（拆分法）4 ()f x x x =+ )10(≤ +31≥5=，当且仅当 1x =时“=”号成立，故此函数最小值是5。 评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。 4、条件最值问题。 例4、已知正数x 、y 满足81 1x y +=，求2x y +的最小值。 解法一：（利用均值不等式） 2x y +8116()(2)10x y x y x y y x =++=+ +1018≥+=,当且仅当81116x y x y y x ?+=????=??即12,3x y ==时“=”号成立，故此函数最小值是18。 解法二：（消元法） 由811x y +=得8x y x =-，由00088 x y x x x >?>>?>-又则 2x y +22(8)161616 2(8)108888 x x x x x x x x x x -+=+ =+=++=-++--- -1018≥=。当且仅当16 88 x x -=-即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。 解法三：（三角换元法） 令228sin 1cos x x x y ?=????=??则有228sin 1cos x x y x ?=??? ?= ?? 则2282 2sin cos x y x x +=+2222228csc 2sec 8(1cot )2(1tan )108cot 2tan x x x x x x =+=+++=++ 10≥+18≥，易求得12,3x y ==此时时“=”号成立，故最小值是18。 评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误 的求解方法： 812()(2)8x y x y x y +=++≥。原因就是等号成立的条件 不一致。 5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。 解法一： 由0,0x y >>，则3xy x y =+ +3xy x y ?-=+≥ ，即230-≥解 13≤-≥(舍)，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。 又2 3()2 x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ?+-+-≥2()6x y x y ?+≤-+≥舍或，当且 仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故x y +的取值范围是[6,)+∞ 解法二： 由0,0x y >>，3(1)3xy x y x y x =++?-=+知1x ≠， 则31x y x +=-，由30011 x y x x +>?>?>-，则： 2233(1)5(1)44 (1)51111 x x x x x xy x x x x x x ++-+-+=?===-++--- -59≥=，当且仅当4 1(0)31 x x x x -=>=-即，并求得3y =时取“=”号，故xy 的取值范围是 [9,)+∞。 314441(1)2261111x x x y x x x x x x x x +-++=+ =+=++=-++≥=----，当且仅当4 1(0)31 x x x x -= >=-即，并求得3y =时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。 三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、 添、减项（配常数项） 例1 求函数2216 32y x x =+ +的最小值. 分析： 2216 32x x + +是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定 值.而2 1 2x +可与22x +相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即 2216 3662y x x =++ -+，再用均值不等式. 222 22 16 20,3216 3(2)6266x y x x x x +>=++=++ -+≥=解： 当且仅当22163(2)2x x += + ，即2 2 3x =-时,等号成立. 所以y 的 最小值是6. 评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项. 2、 配系数（乘、除项） 例2 已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最大值. 分析 lg lg lg()x y xy +=, xy 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y +是否定值， 而已知是3x 与2y 的和为定值12，故应先配系数，即将xy 变形为 326x y ?，再用均值不等式. 220,0 32lg lg lg()lg 6 132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>?+==????+????≤=???? ? ????????????? =解： 当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最大值是 lg 6. 评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即 利用 2 2a b ab +?? ≤ ? ??来解决. 3、 裂项 例3 已知1x >-，求函数 ()() 521 x x y x ++= +的最小值. 分析 在分子的各因式中分别凑出1x +，借助于裂项解决问题.
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