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高等数学同济版第五章第六版教案

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高等数学同济第六版教材pdf

高等数学同济第六版教材pdf

高等数学同济第六版教材pdf 高等数学是大学理工科专业中必修的重要课程之一，对于培养学生的逻辑思维和分析问题的能力具有重要意义。

而同济大学的《高等数学》第六版教材在教学界具有很高的声誉和影响力。

对于学习这门课程的学生来说，拥有一本全面且详细的教材十分重要。

在这里，我将介绍并推荐同济第六版教材的PDF版本，帮助大家更好地学习高等数学。

第一部分：教材简介同济大学的《高等数学》第六版教材由同济大学出版社出版，作者为王立平等。

这本教材共分为上下两册，内容涵盖了高等数学的基础知识以及一些较为深入的内容。

教材的编写风格通俗易懂，逻辑清晰，注重理论与实践相结合。

并且，该教材还融入了一些生活中的实际问题，帮助学生将数学理论应用于实际情境中。

第二部分：教材内容概览《高等数学》第六版教材共包含十章内容，分别是函数与极限、微分学、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分与柯西公式、定积分应用、微分方程、无穷级数、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学与多元函数积分学。

每章内容都有详细的讲解和大量的习题，帮助学生巩固知识并提高解题能力。

第三部分：PDF版本介绍同济大学的《高等数学》第六版教材的PDF版本是在线阅读和下载的电子书籍。

相比于纸质版教材，PDF版本有以下几个优点：1. 方便携带：由于PDF版本可以保存在电子设备中，学生可以随时随地进行学习，解决了携带纸质教材的不便。

2. 搜索功能：PDF版本具有搜索功能，可以快速定位特定的知识点或者习题，提高学习效率。

3. 多媒体支持：PDF版本可以嵌入图片、音频和视频等多媒体元素，使学习过程更加生动有趣。

4. 环保节约：PDF版本无需印刷和运输，节约了纸张资源，符合现代社会的可持续发展理念。

第四部分：获取PDF版本方法要获取同济大学《高等数学》第六版教材的PDF版本，可以通过以下途径进行：1. 在线教育平台：许多在线教育平台提供免费或付费的电子教材下载服务，学生可以登录平台并搜索《高等数学》第六版教材进行获取。

同济版高数课件PPT课件

同济版高数课件PPT课件

1
e . 试证 limn f 1 f 2 f n n n n n
ln f ( x )dx
0
证明 利用对数的性质得
lim n f 1 f 2 f n n n n n
eln lim n n
f
1 n
f
2 n
f
n n
19
极限运算与对数运算换序得
三、利用定积分的定义计算积分 b xdx ，( a b ) . a
25
四、利用定积分的几何意义，说明下列等式：
1
1、
1 x2dx ;
0
4
2、
2
cos
xdx
2
2 cos xdx
0
;
2
五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知 闸门上水的压强 P 是水深 h 的 函数，且有
p 9.8h(千米 米2 )，若闸门高H 3米 ，宽 L 2米 ，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水
b
f ( x)dx 0.
a
48
例 1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
49
性质5的推论：
51
性质6 设M 及m 分别是函数
补充：不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
例 若 a b c,
c
a
f ( x)dx
b
a f ( x)dx

高等数学1-6 同济第六版

高等数学1-6 同济第六版
2π
例4. 已知圆内接正 n 边形面积为
n
2π sin n 证: lim An lim πR 2 n 2π n n
证明:
R
注: 计算中注意利用
( x ) 0 重要 !
三、单调有界数列的收敛准则
准则II ：单调有界数列必有极限。
若数列{xn}满足 x1 x2 x3 xn xn1
t 1 t t
x
e
x 1 x 1 x 故 lim (1 1 ) e ( 因 lim ( 1 ) lim ( 1 x x x) e )
x
x
例5.
解: 令 t x , 则
1 t lim (1 ) t t 1 lim
t
几何平均值 算术平均值
n
a1 a2 an a1 a2 an n
Cauchy不等式
第二步, 证明数列{xn}有界.
1 1 1 n 1 1 1 1 1 xn (1 ) (1 ) (1 )(1 ) 4 4 n 2 2 n n n
( 形如1 的情形要注意用此极限并 “凑”成标准型 )
课堂练习
求极限:
作业
P56-57
1/(2)(3)(4)(6)
2
4/(2)(3)
提示：利用单调有界数列有极限证明。 先用归纳法证明有界， 再证明单调。
下页有思考题.
思考题
(中科院2001硕士入学考题)
（研1996 ）
ε 0, 正整数 N 1 , 当n N 1 时, | yn a | ε. ε 0, 正整数 N 2 , 当n N 2 时, | zn a | ε.

高数同济六版bai-D5_习题课

高数同济六版bai-D5_习题课

例10. 选择一个常数 c , 使
解: 令 t x c, 则
bc t cos99 t d t ac
因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使
a c (b c)
即
c ab
2
可使原式为 0 .
目录 上页 下页 返回 结束
例11. 设
解:
1
(x
1) 2
f
( x) dx
0
1 (x 1)3 f (x)
2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 .
如, P270 题7
1 xp
1 1 xp
1
1
x
p
x
p
1
(0 x 1)
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例2. 求
(1998考研)
解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式
n
n
sin
n 1k 1
kπ n
1 n
n
sin
kπ n
k 1
n
1 k
n
sin
不妨设 f (x)≠0, 则
f (x)
f (x) dx
1 2
2
sin x cos
x
dx
1 ln(2 cos x) C
2
目录 上页 下页 返回 结束
f (x) 1 ln(2 cos x) C 2
注意 f (0) = 0, 得C 1 ln 3 2
f (x) 1 ln(2 cos x) 1 ln3
1 n1
2 00 2
π
π
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练习:
1.求极限 lim ( n
n
n 2
1
n2

高等数学教材 同济版

高等数学教材 同济版

高等数学教材同济版同济版高等数学教材高等数学是大学数学的重要组成部分，是培养学生分析问题和解决实际应用问题能力的基础课程。

同济大学出版社出版的《高等数学》教材，是世界著名数学家吴文俊先生等人合作编写的经典教材之一。

该教材内容全面、符合课程标准，并且结构严谨，适合大学本科高等数学教学使用。

第一章函数与极限函数与极限是高等数学的基础概念和核心内容之一。

本章首先介绍了函数的概念，并从数学模型的角度讲解了实际问题中的函数应用。

接着详细阐述了极限的定义、性质和计算方法，重点讲解了常用的极限公式和极限的四则运算规则。

通过大量的例题和习题，帮助学生理解函数与极限的关系，掌握极限的计算方法。

第二章导数与微分导数与微分是研究函数变化率和函数表达式的最重要的数学工具。

本章从导数的定义入手，介绍了导数的几何意义和物理意义，并给出了常见函数的导数计算方法。

接着讲解了导数的运算法则、高阶导数和隐函数的导数计算方法。

通过大量的例题和应用题，帮助学生巩固导数与微分的概念和计算方法，培养学生的问题解决能力。

第三章微分中值定理与导数的应用微分中值定理和导数的应用是导数理论的重要应用，也是数学与实际问题结合的典型范例。

本章首先介绍了拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并应用到函数的极值点、最值问题和曲线的凸凹性判定中。

接着讲解了导数的应用，如曲线的凹凸性、最大最小问题、求曲线的弧长和曲率等。

通过大量的例题和实际问题的讨论，帮助学生理解微分中值定理和导数应用的思想方法，进一步培养学生的问题分析和解决能力。

第四章不定积分不定积分是导数的逆运算，是微积分的重要内容之一。

本章从不定积分的定义和性质入手，阐述了换元积分法、分部积分法、有理函数的积分等计算方法。

并通过实例讲解了一些特殊函数的积分方法和常用的不定积分公式。

最后介绍了一些常见函数定积分的计算方法。

通过大量的例题和计算题，帮助学生掌握不定积分的基本计算方法和技巧。

第五章定积分的应用定积分是高等数学在实际问题中的重要应用，尤其在物理、经济学、生物学等学科中具有广泛的应用价值。

高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件

高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点

高数课本_同济六版

第一章函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重第二章要的内容，要掌握求极限的集中方法）第三章第四章第一节映射与函数（一般章节）第五章一、集合（不用看）二、映射（不用看)三、函数(了解）第六章注：P1--5 集合部分只需简单了解第七章P5--7不用看第八章P7--17 重点看一下函数的四大性态：单调、奇偶、周期、有界第九章P17--20 不用看第十章P21 习题1.1第十一章1、2、3大题均不用做第十二章4大题只需做（3）（5）（7）（8）第十三章5--9 均做第十四章10大题只需做（4）（5）（6）第十五章11大题只需做（3）（4）（5）第十六章12大题只需做（2）（4）（6）第十七章13做14不用做15、16重点做第十八章17--20应用题均不用做第二节数列的极限（一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求，可不看）一、数列极限的定义（了解）二、收敛极限的性质（了解）二、P26--28 例1、2、3均不用证三、p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解四、P30 定理4不用看五、P30--31 习题1-2六、1大题只需做（4）（6）（8）七、2--6均不用做第三节（一般章节）（标题不再写了对应同济六版教材标题）一、（了解）二、（了解）二、P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可三、P35 例6 要会做例7 不用做四、P36--37 定理2、3证明不用看定理3’4”完全不用看五、六、p37习题1--3七、1--4 均做5--12 均不用做第四节（重要）第五节第六节一、无穷小（重要）二、无穷大（了解）第七节第八节 p40 例2不用做 p41 定理2不用证第九节 p42习题1--4第十节第十一节 1做 2--5 不全做 6 做 7--8 不用做第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在)第六节p43 定理1、2的证明要理解第七节p44推论1、2、3的证明不用看第八节p48 定理6的证明不用看第九节p49 习题1--5第十节1题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14)第十一节2、3要做4、5重点做6不做第六节极限存在准则(重要) 两个重要极限(重要两个重要极限要会证明第七节第八节第九节p50 准则1的证明要理解第十节p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限)第十一节第十二节p53另一个重要极限的证明可以不用看第十三节p55--56柯西极限存在准则不用看第十四节第十五节p56习题1--7第十六节第十七节1大题只做(1)(4)(6)第十八节2全做3不用做4全做，其中(2)(3)(5)重点做第七节(重要）第八节p58--59 定理1、2的证明要理解第九节p59 习题1--7 全做第十节第八节（基本必考小题）第九节p60--64 要重点看第八节基本必出考题第十节p64 习题1--8第十一节第十二节1、2、3、4、5要做其中4、5要重点做第十三节6--8不用做第九节（了解）第十节p66--67 定理3、4的证明均不用看第十一节p69 习题1--9第十二节1、2要做第十三节3大题只做（3）——（6）第十四节4大题只做（4）——（6）第十五节5、6均要重点做第十节（重要，不单独考大题，但考大题会用到）第十一节第十二节一、（重要）二、（重要）p72三、一致连续性（不用看）第十三节p74习题1--10第十四节1、2、3、5要做，要会用5的结论。

高等数学第六版教材 同济大学

高等数学第六版教材同济大学高等数学是一门重要的基础学科，对于大学理工类专业的学生来说，掌握高等数学的知识非常重要。

同济大学的高等数学第六版教材是我国国内知名的数学教材之一，本文将对该教材进行简要的介绍和评述。

一、教材概述《高等数学（第六版）》是同济大学数学系主编的一本教材，适用于理工科各专业的大学生。

该教材内容全面，结构严谨，从基础概念开始，逐步引入高等数学的各个分支，包括数列与极限、微分学、积分学、级数、常微分方程等内容。

教材中的例题和习题设计合理，有助于帮助学生巩固理论知识，并提升解题能力。

二、教材特点1. 严谨的逻辑结构：该教材按照数学知识的逻辑顺序编排，内容层层递进，各章节之间相互联系，使学生能够较为顺利地掌握高等数学的各个概念和定理。

2. 全面的内容涵盖：教材内容全面，包括数列与极限、函数与极限、连续函数、导数与微分、积分、常微分方程等多个方面的知识，基本涵盖了高等数学的核心内容。

3. 详细的讲解与例题：教材对重要的概念和定理进行详细的解释和推导，配有大量的例题进行说明，帮助学生理解和掌握数学的基本方法和思维。

4. 多样化的习题类型：教材中的习题涵盖了例题辅助练习、基础巩固题和拓展练习题等多种类型，帮助学生提高解题水平，并培养其数学思维能力。

5. 注重理论与实践结合：教材在讲解理论知识的同时，注重将数学与实际问题相结合，引导学生将数学知识应用到实际问题的解决中，培养学生的应用能力。

三、教材优势1. 知名高校编写：该教材由同济大学数学系编写，借助该校数学学科优势，教材体现了高水平的学术水准，符合当前高等数学教学的发展趋势。

2. 经典权威之选：该教材已经发行了多个版本，得到了广大教师和学生的认可和推崇，被许多高校列为高等数学课程的教材之一。

3. 专业性强：教材内容系统全面，适合专业学生深入学习高等数学，并为后续的专业课程打下坚实的数学基础。

四、教材问题与改进1. 部分章节过于繁琐：在某些章节中，教材的讲解显得过于冗长，容易让学生产生疲劳感，建议编辑部在后续版本中对这些内容进行精简。

高等数学_同济大学教案

课程名称：高等数学授课对象：同济大学本科生授课时间：2课时教学目标：1. 理解高等数学的基本概念和原理，掌握微积分、微分方程、向量代数与空间解析几何、无穷级数等内容。

2. 能够运用所学知识解决实际问题，提高数学思维能力。

3. 培养学生的自学能力和团队协作精神。

教学内容：一、微积分1. 导数的概念和计算方法2. 偏导数和全微分3. 高阶导数和隐函数求导4. 微分方程及其解法二、向量代数与空间解析几何1. 向量的概念和运算2. 空间直角坐标系3. 向量积和混合积4. 平面和直线的方程5. 曲面和曲线的方程教学过程：第一课时一、导入1. 复习初等数学知识，如函数、极限等。

2. 介绍高等数学的基本概念和原理。

二、微积分1. 导数的概念和计算方法2. 举例讲解导数的几何意义和物理意义。

3. 讲解导数的计算方法，如求导法则、复合函数求导等。

三、课堂练习1. 学生独立完成例题，巩固所学知识。

2. 教师讲解学生作业中的问题。

第二课时一、复习1. 复习上节课所学内容，检查学生对导数的理解和掌握程度。

2. 解答学生提出的问题。

二、偏导数和全微分1. 介绍偏导数的概念和计算方法。

2. 讲解全微分的概念和计算方法。

3. 举例讲解偏导数和全微分在实际问题中的应用。

三、向量代数与空间解析几何1. 介绍向量的概念和运算。

2. 讲解空间直角坐标系和向量的表示方法。

3. 讲解向量积和混合积的计算方法。

4. 介绍平面和直线的方程。

四、课堂练习1. 学生独立完成例题，巩固所学知识。

2. 教师讲解学生作业中的问题。

教学评价：1. 课堂表现：观察学生的课堂参与度、回答问题的情况。

2. 作业完成情况：检查学生的作业质量，了解学生对知识的掌握程度。

3. 期末考试：评估学生对本课程知识的综合运用能力。

教学反思：1. 根据学生的学习情况，调整教学内容和教学方法。

2. 注重培养学生的自学能力和团队协作精神。

3. 提高教学效果，提高学生的学习兴趣。

高等数学第六版上下册同济大学出版社


y ex ex
y ch x
O
x
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又如, y f (x) ex ex
y 奇函数 ex ex
2
y sh x
记
sh x 双曲正弦
Ox
再如,
y
sh x ch x
e e
x x
e e
x x
奇函数
y
记
th x 双曲正切
说明: 给定 f (x), x (l, l)
1 y th x
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f (x) C
狄利克雷函数
1, x 为有理数 0 , x 为无理数
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3. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为单射, 则存在一新映射
使
其中
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
y f 1(x) , x f (D)
性质:
1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数
且也单调递增 (减) .
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2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k π (k 0, 1, 2,) v x , x (, )
2
可定义复合函数:
k Z
约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.
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授 课 教 案

课程名称： 高等数学 授课专业： 总 学 时： 开课单位： 制 定 人： 审 核 人： 制定时间： 教 案 授课学时 2学时 课型 新授课 教学内容（章节） 第五章 定积分 第1节 不定积分的概念与性质（1） 教学目标 掌握定积分的概念 教学重、难点 掌握定积分的概念 教学方法及手段 讲练结合法/板书教学 教学准备 教材，辅助教材 教学过程： 一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积 设()yfx在区间,ab上非负、连续。由直线,,0xaxby及曲线()yfx所围成的图形称为曲边梯形.由于曲边梯形的高是变动的,所以不能直接用矩形的面积公式进行计算.而如下考虑:将区间,ab划分为很多小区间,在每个小区间上用其中某一点处的高来近似的代替同一个小区间上的窄曲边梯形的变高,那么,每个窄曲边梯形就可以近似的看成这样得到的窄矩形,而将这些所有窄矩形的面积之和作为曲边梯形面积的近似值,并把区间,ab无限细分下去,使得每个区间的长度都趋于零,则这时所有窄矩形的面积之和的极限值就可定义为曲边梯形的面积.现将计算方法详述如下: 在,ab中任意插入若干个分点 0121nnaxxxxxb，把区间,ab分成n个小区间 ，其长度依次为: 011xxx△,122xxx△,…, 1nnnxxx△. 在每个小区间上1,iixx任取一点i,以1,iixx为底,为()if高的窄矩形近似地替代第i个窄曲边梯形,这样得到的n个窄矩形地面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值,即 1()niiiAfx 并记12max,,,nxxx,则0当时,取上述和式的极限,便得曲边梯形的面积 01()limniiifxA△ 1()limniiivtS△备注： 1、 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔[21,TT]上t的连续函数，且0)(tv，计算在这段时间内物体所经过的路程s 在[21,TT]内任意插入若干个分点 212101TttttttTnii 把[21,TT]分成n个小段 [10,tt]，[21,tt]，…，[iitt,1]，…， [nntt,1] 各小段时间长依次为 ,,,,,,11122011nnniiitttttttttttt 相应各段的路程为 nissss,,,,,21

在[iitt,1]上任取一个时刻)(1iiiitt，以i时的速度)(iv来代替[iitt,1]上各个时刻的速度，则得 iiitvs)( ),,2,1(ni

进一步得到 nntvtvtvs)()()(2211

=niiitv1)( 设0,,,,max21当nttt时，得 niitvs10)(lim

二、定积分定义 定义1 设函数)(xf在ba,上有界，在ba,中任意插入若干个分点

0121nnaxxxxxb，把区间ba,分成n个小区间

，其长度依次为: ],,[,],,[],,[12110nnxxxxxx

各个小区间的长度依次为 1122011,,,nnnxxxxxxxxx.

在每个小区间[iixx,1]上任取一点iiiixx1(),对应函数值为)(if作小区间长度ix与)(if的乘积),,,2,1()(nixfii

并作出和

niiixfS1)(.

记},,,max{21nxxx,如果不论对],[ba怎样分法,也不论在小区间[iixx,1]上点i怎样取法,只要当1时，和式S总趋于确定的极限I,这时我们称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分(简称积分), 记作badxxf)(,即

badxxf)(=I=niiixf10)(lim,

其中)(xf叫做被积函数, dxxf)(叫做被积表达式,x叫做积分变量,a叫做积分下限,b叫做积分上限, ],[ba叫做积分区间. 注 (1)积分区间有限，被积函数有界； (2)与“分法”、“取法”无关； (3)定积分的值与积分变量的选取无关

babadttfdxxf)()(

;

(4))(xf在ba,有界是)(xf在ba,可积的必要条件，)(xf在ba,连续是)(xf 在ba,可积的充分条件。

接下来的问题是：函数)(xf在ba,上满足怎样的条件，)(xf在ba,上一定可积？以下给出两个充分条件。

注意：积分与积分变量无关，即： bababaduufdttfdxxf)()()(

函数可积的两个充分条件： 定理1 设)(xf在],[ba上连续，则)(xf在],[ba上可积。 定理2 设)(xf在区间ba,上有界，且只有有限个间断点，则)(xf在ba,上可积。

如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分badxxf)(的几何意义为：它是

介于x轴、函数曲线y)(xf的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。

练习设计 课后习题9 教学反思 与学生一起做练习，边讲边练 注：1．每2学时至少制定一个教案。2．课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3．上新课和新上课的教师要求写详案。4．要求教师上课必带教案。5．“备注”填写历年更新的内容（手写）。6．教案可带附件（课程内容补充材料）。 教 案 授课学时 2学时 课型 新授课 教学内容（章节） 第五章 定积分 第1节 不定积分的概念与性质（2） 教学目标 掌握定积分的概念 教学重、难点 掌握定积分的概念 教学方法及手段 讲练结合法/板书教学 教学准备 教材，辅助教材 教学过程： 三、定积分的性质 为了以后计算及应用方便起见,首先,我们作如下补充规定: 1. 当ba时, badxxf)(=0; 2. 当ba时, badxxf)(=-abdxxf)( 由上式可知,交换定积分上、下限时,绝对值不变而符号相反. 假设下列性质中所列出的定积分都时存在的. 性质1 badxxgxf)()(=badxxf)(badxxg)( 证明 badxxgxf)()( = niiiixgf10)()(lim△ =niiixf10)(lim△niiixg10)(lim△ =badxxf)(badxxg)( 性质2 badxxkf)(=badxxfk)((k是常数) 性质3 设bca,则 badxxf)(=cadxxf)(+bcdxxf)( 这个性质表明定积分对积分区间具有可加性,而且不论bca,,的相对位置如何,此等式总是成立的. 性质4 如果在区间ba,上, 1)(xf,则 badx1=badx=ab 备注： 性质5 如果在区间ba,上, 0)(xf,则 )(0)(badxxfba 推论1 如果在区间ba,上, )()(xgxf,则 badxxf)(badxxg)( )(ba

推论2 babadxxfdxxf)()()(ba 性质6(估值定理) 设M及m分别是函数)(xf在区间ba,上的最大值及最小值,则 )()()(abMdxxfabmba)(ba 据此性质,利用被积函数在积分区间上的最大值及最小值,可以估计积分值的大致范围. 性质7(积分中值定理) 如果函数)(xf在闭区间ba,上连续,则在积分区间ba,上至少存在一个点,使下式成立: ))(()(abfdxxfba)(ba 这个公式叫做积分中值公式. 例1 利用定积分几何意义，求定积分值1201xdx 解 上式表示介于0x, 1x, 0y, 2x1y之间面积 所以 12014xdx 例2 证明 102211322dxxx 证明 2221x49xx2在0,1 上最大值为49，最小值为2 ∴ 21xx21322 ∴ 21xx2132102

练习设计 课后习题9 教学反思 与学生一起做练习，边讲边练 注：1．每2学时至少制定一个教案。2．课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3．上新课和新上课的教师要求写详案。4．要求教师上课必带教案。5．“备注”填写历年更新的内容（手写）。6．教案可带附件（课程内容补充材料）。 教 案 授课学时 2学时 课型 新授课 教学内容（章节） 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式 教学目标 理解积分上限函数的定义及有关运算 掌握牛顿_莱布尼兹公式

教学重、难点 掌握牛顿_莱布尼兹公式

教学方法及手段 讲练结合法/板书教学 教学准备 教材，辅助教材 教学过程： 一、变速直线运动中位置函数于速度函数之间的关系 由第一节知,物体在时间间隔21,TT内经过的路程可以用速度函数)(tv在21,TT上的定积分 21)(TTdttv 来表达;另一方面,这段路程又可以通过位置函数)(ts在区间21,TT上的增量 )()(12TsTs 来表达.由此可见,位21)(TTdttv置函数)(ts与速度函数)(tv之间又如下的关系: 21)(TTdttv=)()(12TsTs 而)(ts=)(tv,即位置函数)(ts是速度函数)(tv的原函数,所以上述关系式表示, 速度函数)(tv在区间21,TT上的定积分等于)(tv的原函数)(ts在区间21,TT上的增量)()(12TsTs 上述问题在一定条件下具有普遍性 二、积分上限的函数及其导数 设函数)(xf在区间ba,上连续,并且设x为ba,上的一点,则称 xadttf)( 为积分上限x的函数,记为 xadttfx)()( )(bxa 此函数具有如下重要性质: 定理1 如果函数)(xf在区间ba,上连续,则积分上限的函数 xadttfx)()( 在ba,上可导,并且其导数是 )()()(xfdttfdxdxxa)(bxa 定理2(原函数存在定理) 如果函数)(xf在区间ba,上连续,则函数 xadttfx)()()(xfba,备注：