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一、选择题
1.（2004年福建福州4分）下列图形中能够用来作平面镶嵌的是【】
A、正八边形
B、正七边形
C、正六边形
D、正五边形
2.（2005年福建福州大纲卷3分）如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两顶点重合折叠得图（3），按图（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是【】
A．都是等腰梯形B．都是等边三角形
C．两个直角三角形，一个等腰三角形D．两个直角三角形，一个等腰梯形
【答案】C。
【考点】剪纸问题。
【分析】严格按照图中的顺序向上对折，对角顶点对折，沿折痕中点与重合顶点的连线剪开展开可得到两个直角三角形，一个等腰三角形。故选C。
3.（2005年福建福州课标卷3分）如图是小明用八块小正方体搭的积木，该几何体的俯视图是【】
A、B、C、D、
4.（2007年福建福州3分）只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是【】
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
5.（2008年福建福州4分）．如图所示的物体是一个几何体，其主视图是【】
A．B．C．D．【答案】C。
【考点】简单几何体的三视图。
【分析】找到从正面看所得到的图形即可：从正面看易得是一个等腰梯形。故选C。
6.（2009年福建福州4分）如图所示的几何体的主视图是【】
A．B．C．D．
7.（2009年福建福州4分）如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是【】.
A．2DE=3MN，B．3DE=2MN，C．3∠A=2∠F D．2∠A=3∠F
8.（2009年福建福州4分）如图， AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为 AD 上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是【】.
A．15 B．20 C．15+D．15+
9.（2010年福建福州4分）下面四个立体图形中，主视图是三角形的是【】
A．B．C．D．
10. （2011年福建福州4分）在下列几何体中，主视图、左视图与俯视图都是相同的圆，该几何体是【】
A、B、C、D、
11.（2011年福建福州4分）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是【】
A、2
B、3
C、4
D、5
12.（2012年福建福州4分）如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是【 】
A ．
B ．
C ．
D ．
13.（2013福建福州4分）下列立体图形中，俯视图是正方形的是【 】
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
1. （2002年福建福州3分）如图：四边形 ABCD 是正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1…叫做“正方形的渐开线”，
其中 1111111DA A B B C C D 、、、…的圆心依次按A 、
B 、
C 、
D 循环，它依次连接．取AB ＝1，则曲线11222DA B C D A 的长是 ▲ （结果保留π）．
2. （2004年福建福州3分）图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，…，你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第六行有▲ 个苹果、第十行有▲ 个．（可用乘方形式表示）
3. （2005年福建福州大纲卷4分）如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式▲ ．
4. （2006年福建福州课标卷4分）如图，正方形ABCD 边长为3，以直线AB 为轴，将正方形旋转一周．所得圆柱的主视图（正视图）的周长是 ▲
5. （2007年福建福州4分）如图， 05AOB 4∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1357911 ，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1234S S S S ，，，，．观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积10S = ▲ ．
6. （2011年福建福州4分）以数轴上的原点O 为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB=90°，另一个扇形是以点P 为圆心，5为半径，圆心角∠CPD=60°，点P 在数轴上表示实数a ，如图．如果两个扇形的
圆弧部分（ AB
和 CD ）相交，那么实数a 的取值范围是 ▲ ．
当A 、D 两点重合时，如图PO=PD －OA=5－3=2，此时P 点坐标为a 2=-；
当 CD
与 AB 交于点B 时，如图连接PB ，则由勾股定理，得
4=，此时P 点坐标为a 4=-。
则实数a 的取值范围是－4≤a ＜－2。
三、解答题
1. （2004年福建福州13分）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是DC 中点，点F 在BC 边上，且CF=1，在△AEF 中作正方形A 1B 1C 1D 1，使边A 1B 1在AF 上，其余两个顶点C 1、D 1分别在EF 和AE 上．
（1）请直接写出图中两直角边之比等于1：2的三个直角三角形（不另添加字母及辅助线）；
（2）求AF 的长及正方形A 1B 1C 1D 1的边长；
（3）在（2）的条件下，取出△AEF ，将△EC 1D 1沿直线C 1D 1、△C 1FB 1沿直线C 1B 1分别向正方形A 1B 1C 1D 1内折叠，求小正方形A 1B 1C 1D 1未被两个折叠三角覆盖的四边形面积．
【答案】解：（1）Rt △CEF 、Rt △ADE 、Rt △AEF 、Rt △AA 1D 1、Rt △ED 1C 1、Rt △C 1B 1F （写出其中三个即可）。
（2）∵正方形ABCD 的边长为4，CF=1，∴BF=3。
∴=5。
过E 作EM ⊥AF ，垂足为M ，交D 1C 1于N ，则EM=2。
∵四边形A 1B 1C 1D 1是正方形，∴D 1C 1∥AF 。
∴△D 1C 1E ∽△AFE 。∴11D C EN EM AF =。
【考点】翻折变换（折叠问题），勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定和性质。
（3）如何说明△EC1D1沿直线C1D1、△C1FB1沿直线C1B1分别向正方形A1B1C1D1内折叠以后两个三角形的交界处既不重叠又没有空隙是一个难点，比较容易忽略，值得引起重视．下面给出一种另解供参考：由△E1C1D1、△C1B1F1分别由△EC1D1、△C1FB1折叠而成，可得∠3=∠4、∠1=∠2，因为正方形A1B1C1D1中有∠D1C1B1=90°，所以∠4+∠1=180°﹣90°=90°，即∠2+∠3=90°=∠D1C1B1，从而C1E1与
C 1F 1重合在一条直线上（或三点C 1、E 1、F 1在一条直线上）。
2. （2005年福建福州大纲卷13分）已知，如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=5cm ，CD=6cm ，∠DCB=60°，∠ABC=900．等边三角形MPN （N 为不动点）的边长为acm ，边MN 和直角梯形ABCD 的底边BC 都在直线l 上，NC=8cm ．将直角梯形ABCD 向左翻折180°，翻折一次得图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去．
（1）将直角梯形ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a≥2cm ，这时两图形重叠部分的面积是多少？
（2）将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD 的面积，这时等边三角形的边长a 至少应为多少？
（3）将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD 的面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？
【答案】解：（1）如图，∵CB=5，CN=8，∴QN=2。
又∵∠PNM=60°且∠EQN=60°，
∴△EQN 为等边三角形．
∴△EQN 的高为
∴EQN 1S 22
?=?=cm 2）。
（2）如果第三次翻折得到的直角梯形
与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD
的面积，这时等边三角形最小时，直角梯形的A 点
落在PM 上，如图。
在直角梯形ABCD 中，
∵CD=6
，∠DCB=60°，
∴AB=。
在Rt △KHM 中，MH=KH·tan30°=3=。 ∴MN=MH ＋HQ ＋QN=3＋5＋2=10。 ∴这时等边三角形的边长a 至少应为10 cm 。
（3）()ABCD 1S 2+52=??梯形 当MP 经过H 点时，交D′G 于F ，如图，
则HQF ABCD 11S 5>S 222
?=??梯形。 ∴MQ ＜5。
设MQ=x ，则有重叠部分等边三角形的高 h=
2．
∴1S =x 2?重部分叠，解得。
∵QN=2，∴等边三角形PNM 的边长a +2）cm 。
【考点】翻折变换（折叠问题），等边三角形的判定和性质，直角梯形的性质。
3. （2006年福建福州大纲卷8分）一串有趣的图案按一定规律排列，请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是 ；在前16个图案中有 个“”；第2008个图案是 .
……
【答案】解：；5；。 【考点】探索规律题（图形的变化类）。
【分析】该图案是循环类，3个一循环，因此，
∵10÷3=3……1，∴第10个图案与第1个图案相同，是。
∵16÷3=5……1，∴在前16个图案中有5个。
∵2008÷3=669……1，∴第2008个图案与第1个图案相同，是。
4. （2006年福建福州大纲卷8分）一串有趣的图案按一定规律排列，请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是；在前16个图案中有个“”；第2008个图案是.
……
【答案】解：；5；。
【考点】探索规律题（图形的变化类）。
【分析】该图案是循环类，3个一循环，因此，
∵10÷3=3……1，∴第10个图案与第1个图案相同，是。
∵16÷3=5……1，∴在前16个图案中有5个。
∵2008÷3=669……1，∴第2008个图案与第1个图案相同，是。
5. （2007年福建福州12分）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、
②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
选择(a) 证明：如图a，设BP与AC相交于点M，
∵AC∥BD，∴∠PMC=∠PBD 。
又∵∠PMC=∠PAM＋∠APM ,∴∠PBD=∠PAC＋∠APB。
【考点】平行的性质，三角形外角性质，分类思想的应用。
【分析】（1）延长BP交直线AC于点E，由平行和三角形外角性质可证。
（2）当动点P落在第②部分时，延长BP交直线AC于点F，
∵AC∥BD，∴∠PFA=1800－∠PBD。
∵∠APB=∠PAF＋∠PFA , ∠PAF=1800－∠PAC，
∴∠APB =1800－∠PAC＋1800－∠PBD=3600－（∠PAC＋∠PBD）。
∴∠APB =∠PAC＋∠PBD不成立。
（3）分动点P在射线BA的右侧、在射线BA上、在射线BA的左侧三种情况讨论。
6. （2008年福建福州13分）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到
达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：
（1）当t=2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；
（3）作QR ∥BA 交AC 于点R ，连接PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ．
（3）∵QR ∥BA ，∴∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600。∴△QRC 是等边三角形。
∴QR=RC=QC=6－2t 。
∵BE=BQ·cos600=1
2t=t 2?，∴EP=AB －AP －BE=6－t －t=6－2t 。
∴EP QR 。∴四边形EPRQ 是平行四边形。∴。
又∵∠PEQ=900，∴∠APR=∠PRQ=900。
∴要使△APR ∽△PRQ ，必须∠ QPR=∠A=600。
∴0QR
tan 60=
PR ，解得6
t=5。 ∴当6
t=5时，△APR ∽△PRQ 。
7. （2009年福建福州12分）如图，等边△ABC 边长为4，E 是边BC 上动点，EH ⊥AC 于H ，过E 作EF ∥AC ，交线段AB 于点F ，在线段AC 上取点P ，使PE=EB ．设EC=x （0＜x≤2）．
（1）请直接写出图中与线段EF 相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；
（2）Q 是线段AC 上的动点，当四边形EFPQ 是平行四边形时，求平行四边形EFPQ 的面积（用含x 的代数式表示）；
（3）当（2）中的平行四边形EFPQ 面积最大值时，以E 为圆心，r 为半径作圆，根据⊙E 与此时平 行四边形EFPQ 四条边交点的总个数，求相应的r 的取值范围．
【答案】解：（1）BE 、PE 、BF 三条线段中任选两条。
（2）在Rt △CHE 中，∠CHE ＝90°，∠C ＝60°，EC=x ，
∴EH x 。 又∵PQ=EF=BE=4－x ，
∴()2EFPQ S EF 4x =?-= 。
（3）∵)22EFPQ S EF EH x 222
=?=-- 0＜x≤2， ∴当x ＝2时，EFPQ S 有最大值。
此时E 、F 、P 分别为△ABC 三边BC 、AB 、AC 的中点，且点C 、 点Q 重合，
∴平行四边形EFPQ是菱形。
过E点作ED⊥FP于D，∴ED＝EH
∴当⊙E与EFPQ
四条边交点的总个数是2个时，0r<
当⊙E与EFPQ
四条边交点的总个数是4个时，r
当⊙E与EFPQ
四条边交点的总个数是6r2<；
当⊙E与EFPQ
四条边交点的总个数是3个时，r＝2时；
当⊙E与EFPQ
四条边交点的总个数是0个时，r＞2时。
8. （2010年福建福州13分）如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP 在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：AH EF AD BC
=；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．
【答案】解：（1）证明：∵四边形EFPQ是矩形，∴EF∥QP。∴△AEF∽△ABC。
又∵AD⊥BC，∴AH⊥EF。∴AH EF AD BC
=。
（2）由（1）得AH x 810=，∴4AH x 5
=。 ∴EQ=HD=AD －AH=8－4x 5
。 ∴
()22EFPQ 444S EF EQ x 8x x 8x x 520555??=?=-=-+=--+ ??
?矩形。 ∵45
-＜0，0＜5＜8， ∴当x=5时，S 矩形EFPQ 有最大值，最大值为20。
②如
图3，当4≤t ＜5
时，则ME=5－t ，QC=9
－t ， ∴EMCQ S S [5t 9t ]44t 28==-+-?=-+梯形（
）（）。 ③如图4，当5≤t≤9时，设EQ 交AC 于点K ，
则KQ=QC=9－t 。 ∴22KQC 11S S 9t t 922
?==-=-（）（）。 综上所述：S 与t 的函数关系式为： S=()
()()221t 200t 424t 284t 51t 95t 92
<
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，等腰直角三角形的判定和性质，分类思想的应用。
③当5≤t≤9时，重合部分是个等腰直角三角形，其直角边的长易求得，即可得出此时S、t的函数关系式。
9. （2011年福建福州12分）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P 自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位:cm,ab0
),，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
（2）①显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平
行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形。
∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA 。
∵点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，
∴PC=5t ，QA=12﹣4t 。
∴5t=12﹣4t ，解得t =43
。 ∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t =
43秒。 ②由题意得，以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P 、Q 在互相平
行的对应边上．分三种情况：
i ）如图1，当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时，AP=CQ ，即a 12b =-,得a b 12+=；
ii ）如图2，当P 点在BF 上、Q 点在DE 上时，AQ=CP ，即12b a -=,得a b 12+=；
iii ）如图3，当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时，AP=CQ ，即12a b -=,得a b 12+=。
综上所述，a 与b 满足的数量关系式是a b 12+=（ab 0≠）。