立体几何
基本知识点
1．平面的基本性质
（1）公理1：ααα??∈∈∈∈a B A a B a A ,,,；
（2）公理2：设βα∈∈A A ,，则平面βα,相交于过点A 的一条公共直线； （3）公理3：设C B A ,,为不共线的三点，则C B A ,,三点确定一个平面。
公理3是确定平面的依据，它的推论是“过直线和直线外一点确定一个平面”，“过两条相交（平行）直线确定一个平面” 2．直线和平面的位置关系
（1）直线与直线：分为共面（相交或平行）直线与异面直线两大类；
（2）直线和平面：分为线面平行、线面相交（含线面垂直）和直线在平面内三种情形； （3）平面与平面：分为面面平行与面面相交两类。 3．面积和体积问题
计算几何体的表面积和体积问题，是立体几何中一类较常见的综合问题，往往需要运用立体几何中的多种知识、概念和方法。对较复杂的几何体计算其表面积时，先要将几何体是由哪些面围成弄清楚，每个面又分别是什么形状，以保证计算准确无误。在求复杂几何体的体积时，有时将图形补成规则几何体，或将其剖分成几个规则几何体；对四面体（三棱锥）体积计算时注意利用等积法。补形法、剖分法和等积法是计算体积的非常有效的方法 （1）球的表面积：R R S ,42
π=球为球的半径； （2）锥体的体积：S Sh V ,3
1=
为其底面积，h 是它的高；
（3）外切于半径为r 的球的多面体的体积为rS V 3
1=，S 为多面体的表面积
（4）球的体积：R R V ,3
43
π=
为球的不半径
典型例题讲解
1.给定下列两个关于异面直线的命题：
命题一、若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是βα,的交线，那么c 至多与b a ,中的一条相交；
命题二、不存在这样的无穷条直线，它们中的任意两条都是异面直线。则此两命题的真假情况是
2. 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过顶点A 1作直线l ，使l 与直线AC 和直线BC 1所成的角均
为60°，则这样的直线l 的条数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于3
3.在正方体1111ABC D A B C D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面
ABCD 和平面AB 11C D 均成030角，则这样的直线l 的条数为（ ） A. 1 B .2 C. 3 D .4
4.过空间一定点P 的直线中，与长方体1111ABC D A B C D -的
12条棱所在直线成等角的直
线共有（ ）
A ．0条
B ．1条
C ．4条
D ．无数多条
5. 已知P 为四面体ABC S
-的侧面SBC 内的一个动点，且点P 与顶点S 的距离等于点P
到底面ABC 的距离，那么在侧面SBC 内，动点P 的轨迹是某曲线的一部分，则该曲
线一定是 （ ） A ．圆或椭圆 B ．椭圆或双曲线 C ．双曲线或抛物线
D ．抛物线或椭圆
6. 圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P
在圆锥底面内（包括圆周）。若AM ⊥MP ，则P 点形成的轨迹的长度为（ ）
A.
B.
2
C. 3
D.
32
7. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）
正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形） A. 4+52
π B. 4+32
π C. 4+2
π D. 4+π
8. 连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为
4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于
72和34，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下
面四个命题：
①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1 其中真命题为（ ）
A.①③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
9.
D C B A ABCD ''''-为正方体。任作平面α与对角线C A '垂直，使得α 与正方体的每
个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l .则（ ） A ．S 为定值，l 不为定值 B ．S 不为定值，l 为定值 C ．S 与l 均为定值
D ．S 与l 均不为定值
10. 已知正方体ABCD?A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，
3
32为半径作一个球，
2
2
1
2
2
3
1
则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于___。
11. 一个半径为1
的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，
则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是
12. 在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球在盒内任意
地运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于
13. 在三棱锥ABC S
-中，4=SA ，7≥SB ，9≥SC ，5=AB ，6≤BC ，8≤AC ．则
三棱锥ABC S -体积的最大值为
14. 如图，四面体
DABC 的体积为
6
1，且满足,32
,45=+
+?=∠AC BC AD ACB 则
=CD .
第14题图
答12图1
答12图
2
10. 解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在
的三个面上，即面AA 1B 1B 、面ABCD 和面AA 1D 1D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面BB 1C 1C 、面CC 1D 1D 和面A 1B 1C 1D 1上。在面AA 1B 1B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为3
32=AE ，AA 1=1，则6
1πAE A =
∠。同理6
πBAF =∠，所以6
πEAF =∠，
故弧EF 的长为
ππ9
3
6332=?，而这样的弧共有三条。在面BB 1C 1C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B ，半径为
3
3，
2
πFBG =
∠，所以弧FG 的长为
ππ6
3
233=?。这样的弧也有三条。 于是，所得的曲线长为6
356339
33πππ=
?+?。
11. [解] 如答
12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //
平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，
111PO A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心．
因11
1
1111
3
P A B C A B C V S PD -?=
?
111
4O A B C V -
=?
111143
A B C S O D ?=?
??，
故44P D O D r ==，从而43P O P D O D r r r =-=-=．
记此时小球与面P A B 的切点为1P ，连接1O P ，则
2
2
11PP PO OP =-=
=．
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为P A B )相切时的情况，易知小球在面P A B 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P E F ，如答12图2．记正四面体
的棱长为a ，过1P 作1P M PA ⊥于M ． 因16
M P P π∠=
，
有11cos 2
PM PP M PP =?==
，故小三角形的边
长12
P E P A P M r
=-=
． 小球与面P A B 不能接触到的部分的面积为（如答12图
2中阴影部分）
1P A B P E F S S ??
-22
())4
a a =
-
-2
=-．
又1r =
，a =
1PAB P EF S S ??-==．
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容
器内壁的面积共为
12. 3
3144π
-
13. 设SA B α
∠=，根据余弦定理有222
222
4571cos 2245
5
SA AB SB SA AB
α+-+-=
≤
≤-
????，
故sin 5
α=
≤
，1sin 2
SA B S SA A B α?=
??≤由于棱锥的高不超过它
的侧棱长，所以13
C SA B SA B V S BC -?≤?≤.事实上，取7=SB ，6=BC 且
CB SAB ⊥平面时，可以验证满足已知条件，此时68=SABC V ，棱锥体积可以达到最大．
14. ,6
1)45sin 2
1(
3
1=
≥?????DABC V AC BC AD
即.12
≥?
?AC BC AD
又,32
2
33
≥?
?≥
+
+=AC BC AD AC BC AD
等号当且仅当12
==
=AC BC AD 时成立，这时⊥=AD AB ,1面ABC ，3=∴DC .
9. 解：将正方体切去两个正三棱锥A A BD '-与C D B C
'''-后，得到一个以平行平面
A BD D
B
C '''与为上、下底面的几何体V ，V 的
每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的
每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱B A ''剪开，展平在一张平面上，得到一个
11A B B A ''，而多边形W 的周界展开后便成为一条与1A A '平行的线段（如图中
1E E '），显然11A A E E '='，故l 为定值.
当E '位于B A ''中点时，多边形W 为正六边形，而当E '移至A '处时，W 为正三角形，
易知周长为定值l 的正六边形与正三角形面积分别为
2
24
3l 与
2
36
3l ，故S 不为定值。
8. ：假设AB
、CD 相交于点N ，则AB 、CD 共面，所以A 、B 、C 、D 四点共圆，
而过圆的弦CD 的中点N 的弦AB 的长度显然有CD AB ≥，所以②是错的．容易证明，当
以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心两侧时，MN 最大为５，故③对．当
以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心同侧时，MN 最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.故选Ａ．
7. 解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（2
π
），所以该几
何体的体积为5221342
2
π
ππ??+-
=+
。正确答案为A 。6.B, 5.D 4.C 3.B 2.C