初中衔高中——英语模拟选择题，数学经典练习
【模拟试题】
词语辨析（一）
1. —Do you like the music the Moonlight Sonata ?
—Yes , it really beautiful .
A. feels
B. sounds
C. listens
D. hears
2. The Internet it easy to get much new information in a short time .
A. finds
B. makes
C. feels
D. takes
3. —Oh , you painted the walls yourself ?
—Yes . It was not hard . The whole work didn’t much .
A. want
B. cost
C. spend
D. pay
4. Soon Wu Dong up with Li Lei , then they were neck and neck .
A. taught
B. caught
C. bought
D. brought
5. They will Guangzhou tonight .
A. arrive
B. get
C. reach
D. go
6. —Do you still have a headache , Billy ?
—No , it’s . I’m all right now , mum .
A. dropped
B. run
C. left
D. gone
7. It will about half an hour to get to the park by bus .
A. spend
B. cost
C. want
D. take
8. I didn’t quite what the teacher said . Could you ask him to it again ?
A. catch , speak
B. hear , talk
C. follow , explain
D. listen , say
9. — will you finish your homework ?
—In half an hour .
A. How long
B. How soon
C. How often
D. What time
10. They watched the game , and then they were invited to it .
A. join
B. join in
C. take part
D. attend
11. It’s going to rain . We’d better our things , so that they will not get wet .
A. put up
B. put down
C. put away
D. put in
12. —Where can we get a football ?
—Let’s .
A. lend Jim one
B. lend one to Jim
C. borrow one from Jim
D. borrow one of Jim
13. When she was 22 years old , her dream to be a teacher .
A. came true
B. come true
C. came real
D. come real
14. It’s that some foreign students will come to our school next week .
A. sure
B. right
C. real
D. true
15. We made several different plans for out holiday , but we went to Huangshan .
A. at the end
B. in the end
C. by the end
D. to the end
16. He was looking very with himself , so I knew he had passed the examination .
A. please
B. pleasing
C. pleased
D. pleasant
17. He had a strange way of making his class and interesting .
A. live
B. lively
C. living
D. alive
18. —When is he going to leave ?
— next week .
A. Sometime
B. Some time
C. Sometimes
D. Some times
19. What words can you talk about the picture ?
A. used to
B. use to
C. look for
D. look up
20. Ted , the radio is too loud . Please .
A. turn it over
B. turn it on
C. turn it back
D. turn it down
21. —Will the foreigners have any problems talking with Chinese in 2008 ?
—I don’t think so . N ow the young the old can speak some English .
A. either , or
B. not only , but also
C. neither , nor
D. both , or
22. —Look ! The bus is coming .
—But there are too many people . We can’t it .
A. get off
B. get down
C. get on
D. get up
23. Again and again the doctor the crying girl , but he couldn’t find out what was wrong with her .
A. looked over
B. looked after
C. looked for
D. looked out
24. —Hello ! Can I speak to Alice , please ?
— , please .
A. Call on
B. Go on
C. Hold on
D. Carry on
词语辨析（二）
1. Don’t the road when the light is red .
A. across
B. cross
C. pass
D. past
2. I’m thirsty . Please me something to drink .
A. take
B. bring
C. carry
D. show
3. If you to learn a foreign language well , you must practise it every day .
A. like
B. love
C. want
D. think
4. This digital camera is so expensive that I can’t it .
A. carry
B. use
C. pay
D. afford
5. I’m not tall enough to the book on the top of the shelf .
A. feel
B. take
C. arrive
D. reach
6. We are going to plant trees tomorrow . Would you like to us ?
A. follow
B. share
C. join
D. enjoy
7. I you a pleasant journey .
A. wish
B. hope
C. expect
D. want
8. What would you like to us about your hometown ?
A. speak
B. talk
C. tell
D. say
9. Young people must learn to what is right and what is wrong .
A. speak
B. talk
C. tell
D. say
10. Did you your pen-friend every month ?
A. heard about
B. hear from
C. heard of
D. hear to
11. This is very difficult . I can’t work it out .
A. math
B. physics
C. question
D. problem
12. The young lady over there our new English teacher .
A. may
B. maybe
C. may be
D. can be
13. We should keep in the reading-room .
A. quiet
B. quietly
C. quite
D. quickly
14. There was a strange sound outside . Mary went out and around , but she
nothing .
A. looked , saw
B. saw , saw
C. watched , looked
D. looked , find
15. Father is sleeping . Please the radio .
A. turn on
B. put down
C. turn down
D. put on
16. It’s not polite to others when they are in trouble .
A. get on well with
B. play games with
C. laugh at
D. wait for
17. Jack always runs faster than Peter , but this time he him .
A. went over
B. fell behind
C. put off
D. dropped off
18. More and more foreigners want to their companies in Dalian .
A. clean up
B. look up
C. pick up
D. open up
19. —Can I use the expression in the text ?
—No . It has . Nobody uses it today .
A. given up
B. broken down
C. gone out
D. got off
20. I don’t know Sam’s telephone number . Will you please in your address book for me ?
A. look up it
B. look it up
C. look for it
D. look at it
21. We could see nothing because the lights suddenly .
A. went on
B. went over
C. went down
D. went out
22. Ann is so careful that she always goes over her exercises to there are no mistakes .
A. look for
B. make sure
C. find out
D. think about
23. Mrs. Green is out , I have to her baby at home .
A. look at
B. take out
C. look for
D. take care of
24. They often help the farmers to the crops in autumn .
A. get in
B. get on
C. get back
D. get to
词语辨析（三）
1. Let’s him a message to meet us at the station .
A. take
B. get
C. leave
D. receive
2. Never forget to “ Excuse me ” when you trouble somebody .
A. say
B. speak
C. tell
D. talk
3. The war another three years before it ended in 1864 .
A. had
B. went
C. fought
D. lasted
4. The girl’s team us in the football match .
A. beat
B. knock
C. hit
D. won
5. He spoke so fast that I could not what he said .
A. touch
B. catch
C. hear
D. find
6. We can what is happening on the other side of the world by telephone .
A. learn
B. hear
C. see
D. understand
7. This bus was built to less than 60 passengers .
A. carry
B. take
C. accept
D. keep
8. The meeting room is large enough to fifty people .
A. keep
B. have
C. hold
D. fill
9. I got up late this morning , so I had a breakfast and hurried to school .
A. fast
B. quick
C. rapid
D. soon
10. Many people were burnt to in the fire .
A. die
B. dead
C. death
D. dying
11. She has been in Tianjin for ten years . Tianjin has become her second .
A. family
B. house
C. home
D. room
12. We Chinese have sent a spaceship into .
A. space
B. sky
C. heaven
D. universe
13. Tom’s ill in hospital and his mother is him .
A. looking for
B. looking over
C. looking at
D. looking after
14. China another spaceship , “ Shenzhou III ” into space in March from the Satellite Centre in China .
A. put up
B. put off
C. sent up
D. sent away
15. The students in our class very well with each other .
A. get in
B. get up
C. get on
D. get to
16. Tim felt too hungry when he got home . He quickly all the food on the table .
A. ate up
B. looked up
C. took up
D. ate out
17. The ticket is on the floor . Could you please for me ?
A. pick it up
B. pick up it
C. pick up them
D. pick them up
18. You may and then decide if you’ll buy it .
A. try on it
B. try out it
C. try it on
D. try it out
19. —What’s wrong with your aunt , Bill ?
—She’s very ill . A doctor must be .
A. sent back
B. sent up
C. sent away
D. sent for
20. The government will some new colleges for more students to receive higher education .
A. set up
B. set out
C. put down
D. put on
21. “ Get a ladder , please . I can’t . ” Jim said in a tall tree .
A. come back
B. come out
C. come down
D. come over
22. —Did Jack come for the meeting last night ?
—No . He was so tired that he soon in his room .
A. fell behind
B. fell off
C. fell asleep
D. fell over
23. If you don’t know a word , you must the word in a dictionary .
A. look up
B. look down
C. look over
D. look out
24. Please the TV . I’d like to see the TV play .
A. turn up
B. turn on
C. turn down
D. turn off
词语辨析（四）
1. If you make a lot of , you may disturb others .
A. noise
B. noisy
C. voice
D. sound
2. Dad told us a very interesting story , which made all of us .
A. smile
B. smiling
C. laugh
D. laughing
3. My father is ill . I stay at home and look after him .
A. have to
B. must
C. don’t have to
D. mustn’t
4. I’m sure our football team will the team from No. 3 Middle School .
A. win
B. beat
C. lose
D. fail
5. It took her afternoon to check out information .
A. the whole , the all
B. the whole , all the
C. whole , all the
D. whole the , the all
6. Could you please help me the children ?
A. wear
B. dress
C. put on
D. dress in
7. The doctor will operate on him at once as soon as he the hospital .
A. is sent to
B. will be taken to
C. leaves
D. doesn’t return
8. Jack , all the things on the desk .
A. puts away
B. put away
C. puts on
D. took away
9. , young man ! If you’re late for work again , you’ll lose your job .
A. Watch your step
B. Take it easy
C. Use your head
D. Have a look
10. —I’m going to school now . Bye , Mum .
—Wait ! It’s cold outside . your coat , please .
A. Put on
B. Take off
C. Put up
D. Take down
11. —Mr. Black , some boys are going to fight .
—You’d better the police .
A. send for
B. send to
C. look for
D. look over
12. He has for three or four days .
A. got a headache
B. fallen ill
C. caught a cold
D. had a cold
13. The farmers are all busy the next year .
A. get ready for
B. got ready for
C. getting ready for
D. gets ready for
14. The students will the hole the earth .
A. fill , with
B. full , to
C. fill , to
D. full , by
15. Jim Kate broke the mirror . The cat did .
A. Both , and
B. Either , or
C. Neither , nor
D. Not , but
16. —When is the plane to Shanghai going to take off ?
— . Please get ready as soon as possible .
A. For a moment
B. Just a moment
C. In a moment
D. A moment ago
17. —Why are you in such a hurry ?
—I was told that my mother had been sent to the hospital . I have to leave .
A. before long
B. right now
C. from now on
D. all the time
18. When the headmaster came into the hall , all the students to welcome him .
A. sat down
B. went out
C. stood up
D. turned back
19. Miss Li told the children to walk one after another . She didn’t want them to in the park .
A. get wrong
B. get away
C. get lost
D. get ready
20. I have friends . They often come to see me .
A. a quite new
B. a few quite
C. quite a few
D. quite few
21. Uncle Wang is man that he always helps others .
A. such friend of
B. such a friendly
C. such friendly a
D. such a wonderful
22. Lucy said she hadn’t heard music before .
A. such a beautiful piece of
B. a beautiful
C. so beautiful a
D. such a wonderful
23. After we them , we the last match .
A. beat , beat
B. won , beat
C. beat , won
D. win , won
24. Would you please speak slowly ? I can hardly you .
A. talk with
B. agree with
C. follow
D. hear of
【试题答案】
词语辨析（一）
1. B
2. B
3. B
4. B
5. C
6. D
7. D
8. C
9. B 10. B
11. C 12. C 13. A 14. D 15. B 16. C 17. B 18. A 19. B 20. D
21. B 22. C 23. A 24. C
词语辨析（二）
1. B
2. B
3. C
4. D
5. D
6. C
7. A
8. C
9. C 10. B
11. C 12. C 13. A 14. A 15. C 16. C 17. B 18. D 19. C 20. B
21. D 22. B 23. D 24. A
词语辨析（三）
1. C
2. A
3. D
4. A
5. B
6. A
7. A
8. C
9. B 10. C
11. C 12. A 13. D 14. C 15. C 16. A 17. A 18. C 19. D 20. A
21. C 22. C 23. A 24. B
词语辨析（四）
1. A
2. C
3. A
4. B
5. B
6. B
7. A
8. B
9. C 10. A
11. A 12. D 13. C 14. A 15. C 16. C 17. B 18. C 19. C 20. C
21. B 22. A 23. C 24. C
【试题分析】
词语辨析（一）
1. 选B。考查4个动词中可作表动词的一项，且可表示“听起来”，只有sounds符合。
2. 选B。可以接it做形式宾语的动词A、B、C三个均可，但A、C常用人做主语，且由句意思“互联网使得在短时间内获得很多新知识变得容易。”这样只有makes一项符合要求。
6. 选D。此句意为“头痛已经消失了。”所以gone是正确选项，它可表示某人或某物、某事消失，不存在了。
10. 选B。join后可以接组织等，表示长时间地加入，也可加某人，指短时间地加入；join in可以活动，比赛等；take part后加in才可加活动，比赛等，而attend较为正式，用于正式场合，如出席会议等。故选B。
词语辨析（三）
10. 选C。固定搭配be burnt to + n. 被烧成……，所以只有C为die的名词。
词语辨析（四）
6.选B。考查与“穿”有关的动词区别，其中只有dress后可加某人，意为给“某人穿衣服”。
【模拟试题】
1.已知方程x2-（m-1）x+m=0的两根之比为2：3 求m的值
2.二次函数求y=2x2-6x+5在大于0小于2的范围
求函数y=1/3x2+2x在大于-5小于-4的范围
3.已知抛物线y=x2-(m2+4)x-2m2-12
证明:不论m为何值抛物线与x轴很有两个支点且一个是(-2,0)
m为何值时,抛物线与x轴两支点之间距离是12?
m为何值时,两支点之间的距离最小?
4.已知不等式kx2-2x+6k<0 (k不等于0)
若不等式的解是x<-3或x>-2 求k
若不等式的解是x不等于1/K 求K
试题解析
1、设两根为x1，x2，则
x1+x2=m-1
x1x2=m
x1/x2=2/3
m=6,x1=2,x3=3
或m=1/6，x1=-1/3,x2=-1/2
所以m=6或m=1/6
2、设f（x）=2x^2-6x+5=2（x-3/2）^2+1/2
最大值=f（0）=5
最小值=f（3/2）=1/2
设f（x）=1/3x^2+2x=(x+3)^2/3-3
最大值=f（-5）=-5/3
最小值=f（-4）=-8/3
3、证明：y=x^2-(m^2+4)x-2m^2-12
=x^2-(m^2+4)x-2(m^2+6)=(x-2)(x+m^2+6)
令y=0，即(x-2)(x+m^2+6)=0，x1=2，x2=-m^2-6
所以抛物线必有一个跟（2，0）
令x1-x2=2+m^2+6=12，即m=2或m=-2
x1-x2=2+m^2+6=m^2+8,所以当m=0时，两支点之间的距离最小为8
4、即方程kx2-2x+6k=0的两根为x=-3，x=-2
x1+x2=-5=2/k
k=-2/5
不等式的解是x不等于1/K,即k<0,△=4-4k*6k=0
k=-√6/6
高中数学经典例题讲解高中数学经典例题讲解典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是 （）． A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线 外一点与该直线平行的平面C．过平面外一点与平面平行的直 线D．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线 关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为 ，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作
已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）． A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系； - 1 - 高中数学经典例题讲解（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．故选D．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如E、FGBC在
初高中数学教材衔接的必要性与措施 近几年，随着我国教育体制改革步代加大，素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。黄石市初中是率先使用课改新教材的县市之一，经过两届学生实验，结果表明：使用课改新教材的学生学习的自主性，思维的广阔性，师生的互动性明显增强，但思维的严谨性，推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨，教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1. 绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用 2．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 3．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 4．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 5．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 6．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 7．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 8．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 9．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 10. 圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习，高中则在使用。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久，在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后，我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查，统计情况如下：
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
升腾教育高一数学 满分150分 姓名 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4
二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 19、已知集合{}1,1A =-，B=} { 2 20x x ax b -+=，若B ≠?，且A B A ?= 求实数 a ， b 的值。
高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
高中数学必修1复习测试题（难题版） 1.设5log 3 1=a ，5 13=b ，3 .051??? ??=c ，则有（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a << 2.已知定义域为R 的函数)(x f 在),4(∞+上为减函数，且函数()y f x =的对称轴为4x =，则（ ） A ．)3()2(f f > B ．)5()2(f f > C ．)5()3(f f > D ．)6()3(f f > 3.函数lg y x = 的图象是（ ）
4.下列等式能够成立的是（ ） A ．ππ-=-3)3(66 B = C =34 ()x y =+ 5.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)1()2 3 ()2(-<- 6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-,则()y f x =在R 上的解析式为 A ． ()(2)f x x x =-+ B ．()||(2)f x x x =- C ．()(||2)f x x x =- D. ()||(||2)f x x x =- 7.已知函数log (2)a y ax =-在区间[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．(2,)+∞ 一．选择题 1．将函数2()log (2)f x x =的图象向左平移1个单位长度，那么所得图象的函数解析式为（ ） A.2log (21)y x =+ B ．2log (21)y x =- C ．2log (1)1y x =++ D ．2log (1)1y x =-+ 2 ．已知22221log 9log 1log log 2 a b c =-=+=+，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．c b a >> 3．若1x 满足522=+x x ，2x 满足5)1(log 222=-+x x ，则=+21x x （ ） A ．25 B ．3 C ．2 7 D ．4 4．已知函数3|log |,03,()310, 3. x x f x x x <≤?=?-+>?若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围 是（ ） A ．(3,10) B ．10(3, )3 C ．10(1,)3 D ．1(,10)3 5．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当1(0,]2 x ∈时，12()log (1)f x x =-，则()f x 在区间3(1,)2 内是（ ） A ．减函数且()0f x > B ．减函数且()0f x < C ．增函数且()0f x > D ．增函数且()0f x < 6．已知函数x x f x 2log 2)(+=，1log 2)(2+=x x g x ，1log 2)(2-=x x h x 的零点分别为,,a b c ，则 ,,a b c 的大小关系为 ( ) A.a b c << B.c b a << C.c a b << D.b a c << 7 ．已知),0()),0 x x f x x x ?≥?=?的解集为（ ） A ．(2,)+∞ B ．(,2)(2,)-∞-+∞U C ．(1,2)- D ．(,1)(2,)-∞-+∞U 8．已知定义在R 上的奇函数)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，当01<≤-x 时，)(log )(2 1x x f --=，则方程021)(=- x f 在)6,0(内的零点之和为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．16 二．填空题 9．已知1log 12a >，则a 的取值范围为________． 初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 1 绝对值： ⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?-<<；||(0)x a a x a >>?<-或x a > 2 乘法公式： ⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+， 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ⑸完全立方公式：33223() 33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式： ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程： ⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a =； ②当0a =，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组： （1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。 新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2 －2x ＋m )(x 2 －2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为4 1 的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ． 4 3 C ． 2 1 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝9 5 ，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则2 1 2b a a 的值是( )． A ． 2 1 B ．－ 2 1 C ．－ 21或2 1 D ． 4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2 n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 函 数 练 习 题 班级 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，数m 的取值围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y =⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； 发散思维培训班测试题 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ，{}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D } {2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2x ax b ++,A=}{}{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M 到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合 A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A 到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）映射与函数的区别与联系： 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。 映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射 方向性 上题答案应选C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素 【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（） 高中数学经典例题、错题详解 高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0? 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 椭圆练习题 一.选择题： １.已知椭圆 上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为（ D ） A ．２ B ．３ C ．５ D ．７ ２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ C ） A. B. C. D. ３.与椭圆9x 2 +4y 2 =36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( B ) A ４．椭圆的一个焦点是，那么等于（ A ） A. B. C. D. ５．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B ) A. B. C. D. ６．椭圆两焦点为 ， ，P 在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ B ） A. B . C . D . ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2| 的等差中项，则该椭圆方程是（ C ）。 A ＋＝1 B ＋＝1 C ＋＝1 D ＋＝1 ８.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( C ) (A)450 (B)600 (C)900 (D)120 ９．椭圆 上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为（ A ） A. 4 B . 2 C. 8 D . 116 252 2=+y x 22143x y +=22134x y +=2214x y +=22 14 y x +=5185 8014520125201 20 252222222 2=+=+=+=+y x D y x C y x B y x 2 2 55x ky -=(0,2)k 1-1512 21(4,0)F -2(4,0)F 12PF F 221169x y +=221259x y +=2212516x y +=22 1254 x y +=16x 29y 216x 212y 24x 23y 23x 24 y 222 1259 x y +=2 3 初高中数学衔接教材 1.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． 解法一：原式=2222 (1)(1)x x x ??-+-?? =242(1)(1)x x x -++ =61x -． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -． 例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习 1．填空： （1）221111 ()9423 a b b a -=+（ ） ； （2）(4m + 22 )164(m m =++ )； (3 ) 2222 (2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题： （1）若2 1 2 x mx k + +是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2 m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22 248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 2．因式分解 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式： （1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． 高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种高中数学对数练习题经典
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