函数图象关于点对称性

函数图象关于点对称性
函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。 函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质之一，对称关 系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决， 对称关系还充分体现了数学的之美。对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的 较少。本文只探讨函数的关于点对称性。
I.函数自身关于点对称性
命题 1：函数
的图像关于点
对称的充要条件是
(或者
)
证明：（必要性）设
是
图像上任一点，∵点
关于点
的对称点
也在
图像上，∴
，即
故
，必要性得证。
（充分性）设点
是
图像上任一点，则
，∵
，∴
，即
，故点
也在
图像上，而点 与点 关于点
对称，充分性得证。
推论 1：奇函数的图像关于原点对称。
证明：设函数
是奇函数，则奇函数定义有 f (x) f (x) 0 ，由命题 1 可得
函数
图像关于源点
对称。
推论 2：如果函数
满足
,则函数
图象关于点
对称。（证明略）
推论 3：函数
的图像关于点
。
证明：∵
，
，
∴
精品

由命题 1 有函数
的图像关于点
对称。
例 1 已知定义域为 的函数 满足
上单调递增，如果
且
，则
且函数 在区间 的值（ ）
A. 恒小于 0 B. 恒大于 0 C. 可能为零 D. 可正可负
分析：先 代替 ，使
变形为
，它的特
征就是推论 2，因此函数 的图像关于点 对称。 在区间
上单调递增，
在区间 个单位。
上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两
解：∵ ∴
且在区间 ，∵
上单调递增， ∴函数 的图像关于点
对称，
∴
∴
.所以选
A
例 2 如果函数
满足
，求该函数的对称中心。（因为
自变量加起来为 7 时函数值的和始终为 6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称
中心）
如果 为奇函数，并且 轴。（由周期性定义知周期为 4，又 按上例知 x=-1 为对称轴，所以
，求该函数的所有对称中心和对称
，从而
，
为对称轴，
为对称中心其中 k∈Z）
例 3 定义在 上的函数 满足
，
精品

则
解：由命题 1 可得函数 关于点
对称，所以点
关于点
的对称
点
也在函数 图象上，所以
，即
；
同理可得
，
，
；于是
.
例 4 已知定义在 上的函数 的图象关于点
成中心对称，对任意的实
数 都有
，且
、
则 A. 2 B. -1 C. 0
D. 1
， 的值为（
解：由函数 的图象关于点
成中心对称，得
）。 ，又
，∴
;令
则
,于是 是偶
函数，且 则
，即 ，
是以 3 为周期的函数， ，∴
精品

=
例 4 函数 .
=1.
的图象关于点
成中心对称，则实数
解：由推论 3 可知 ，即 .
图象关于点
成中心对称,所以
例 5 函数
.
A. 2
B. 3
的反函数的图象关于点
C. -2
D. -4
成中心对称，则实数
由推论 3 可知
图象关于点
成中心对称,又
的反函数的图象关于点
成中心对称，
所以点
点
关于直线 ,即
.
II.不同函数关于点对称性
命题 1: 函数
与
的图像关于点 成中心对称。
证明：设
是函数
图象上的任意一点，则点 关于 的对称点是
,因为点
在函数
的图象上，所以函
数
与
的图像关于点 成中心对称。
命题 2：设
均为常数，函数
)与函数
的定义域均为 ，那么
函数
的图象与函数
是：对一切
,均有
证明：（1）充分性：设
的图象关于 b.
成中心对称图形的充要条件
是函数
图象上的任意一点，
则点 关于
的对称点是
,且
精品

.所以
,即点
是
函数图象上的一点，也即函数
图象上任意一关于点
的对
称点都在函数
的图象上；同理可证，函数
图象上任意一关于点
的对称点也都在函数 (2) 必要性：设点
的图象上。 是函数
图象上的任意一点，则点
关于点
的对称点
∴
,即
.
由（1）（2）证明可知：命题 2 成立。
推论 1 :设
均为常数，则函数
在函数
图象上， ，也即对一切
,均有
的图象与函数
的图
象关于点
成中心对称。
证明：令
,
则
,对
均成立。
∴
对
均成立.
∴由命题 2，函数
与函数
的图象，即函数
的图象与
函数
的图象关于点
成中心对称。
例 1 已知函数
是定义在 上的函数，那么
与
的图象 ( ) A.关于直线
对称. B.关于直线
对称.
C.关于点
对称. D.关于点
对称。
简解：令
,则
对
均成立。
∴
,由：命题 2 可知选 D。
精品