如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯
[课题]：锐角三角比的意义（一）
[知识目标]：1、了解放缩变换中的不变量；2、理解并记住锐角的正切和余切的意义及其表示法和读法；3、了解同角的正切和余切之间的关系及互余两角的正切和余切之间的关系；4、能由直角三角形中任意两边的值求出锐角的正切和余切值。
[能力目标]：在探研锐角正切、余切的概念中，培养学生发散性思维，培养学生综合运用知识的能力。
[情感目标]：培养学生学习兴趣和学生思维互助，勇于探索的精神。
[教学重点]：锐角的正切和余切的意义。
[教学难点]：锐角的正切和余切表示法的理解与运用。在各种位置下直角三角形中的锐角三角比。
[教学方法]：“引导、讨论、探索”教学法。
[教学用具]：三角尺、多媒体课件等。
[课的类型]：新授课。
[教学过程]：
（一）复习提问
1、任意两个等腰三角形是否一定相似？
2、任意两个直角三角形是否一定相似？
3、任意两个等腰直角三角形是否一定相似？
4、等腰直角三角形中两直角边之比为多少？这与等腰直角三角形的大小有关系吗？两块大小不同，但同含45°角的三角尺中，45°角所对的直角边与其相邻的直角边的比值。
5、任意两个有一个锐角为30°的直角三角形是否一定相似？30°角所对的直角边与另一直角边（即30°角的邻边）之比为多少？、
学生初步形成概念：直角三角形中，一个锐角所对的直角边、所邻的直角边和斜边中任两条线段长度之比值与直角三角形的大小无关。
讲课进程：（1）、讨论：锐角是450的那块三角尺的边长之间的关系。类似地可得锐角是300的那块三角尺的边长之间的关系。
（2）、操作：1、任作锐角∠A（分两大组进行），画RtΔABC，其中∠C=900，要求每位同学量出所画的RtΔABC的各边长，并计算出两条直角边的比值。2、延长AB到P，延长AC到Q，在AP上任取B1、B2、B3，分别过B1、B2、B3作AQ的垂线，垂足为C1、C2、C3。
（3）、讨论：根据以上作图，可得出什么结论？当锐角A的大小确定后，无论RtΔABC的边长怎样变化，两条直角边的比值总是不变的，即在放缩变换中，除了角是不变的量以外，还有两条直角边的比值也是不变的
（4）、以上结论怎样表示呢？给出正切和余切的定义。
强调：1、正切、余切的定义是在RtΔABC中定义的。2、tgA是一个整体符号，不能分割。
（5）、讨论：1、tgA与ctgA之间有何关系？2、tgA与ctgB之间有何关系？tgB与ctgA之间呢？
（6）、讨论：在直角三角形中，求一锐角的正切或余切，需要已知什么条件？
（二）锐角的正切、余切概念引入及运用
1（1）如图1，Rt△ABC（或△AB1C1，△AB2C2，△AB3C3）中，∠C＝90°，（∠B1C1A＝∠B2C2A＝B3C3A ＝90°），∠A＝30°，
则。
（2）如图2，Rt△ABC（或△AB1C1，△AB2C2）中，∠C＝90°，（∠B1C1A＝∠B2C2A＝90°），∠A＝
45°，则。
思考：在（1）中你能算出的值吗？在（2）中你能算出的值吗？
(3)、引出：如图3，当∠A确定后，在一边AB上取点B1、B2、B3…，过点B1、B2、B3…分别作AC的垂线，垂足是C1、C2、C3…，这样得到了Rt△AB1C1，Rt△AB2C2，Rt△AB3C3…，由△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3…，（或B1C1∥B2C2∥B3C3…）可得：
是一个确定的值。上式中，各式的分子是Rt△中∠A的对边，分母是∠
A的邻边，即在Rt△ABC中，∠C＝90°，则＝一个确定的值，显然，
也是一个确定的值。
2、锐角A的正切和余切：
如图4 ，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边（BC）与∠A的邻边（AC）的比值叫做∠A的正
切，用tgA表示，即tgA＝。
注：（1）锐角A的正切必须在含A的直角三角形中获得；
（2）tgA是锐角A的正切表示，它是一个整体，绝不能分开；
（3）Rt△中的三条边（两条直角边，一条斜边）对任一锐角都是一条对边，一条邻边，一条斜边。（斜边不称锐角的邻边）
3、概念的延伸
（1）思考：同一锐角的正切与余切有怎样的关系？
（2）得出结论：同一锐角的正切与余切互为倒数。
显然，在直角三角形中，一个锐角A确定后，此角的对边与其邻边的比的倒数：
必也是一个确定的值，我们称此值为锐角的余切，用ctgA表示，即：。由上述定义可知：，或。
（3）一锐角的正切与它的余角的余切有怎样的关系？
（4）一锐角的正切等于其余角的余切。即若∠A＋∠B＝90°，那么。
4、练习理解
例1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝7，求：的值。
解：在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝7，；
。
（三）巩固练习（课本P.77）
1、（1）（口答）如图，在Rt△ABC和Rt△MNP中，∠C＝∠N＝90°，则
角A的对边是__________，角A的邻边是__________；
角B的对边是__________，角B的邻边是__________；
角P的对边是__________，角P的邻边是__________；
角M的对边是__________，角M的邻边是__________。
（2）（口答）如图，△ABC和△PQR都是直角三角形，∠C＝∠R＝90°，AC＝7，BC＝5，PQ＝5，PR＝3。求：（1）；（2）。
（3）如图，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，D、E在BC上，AC＝4，BD＝5，EC＝3，∠ABC＝，∠ADC＝，∠AEC＝。求：（1）；（2）；（3）。
2、（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB:AC＝3:2，求的值。
（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，找出与相等的所有的线段的比，
（四）课堂小结（师生共同归纳）
1、必须熟悉直角三角形中锐角的对边和锐角的邻边。
2、Rt△中，一锐角α，则，且。
3、一些反映现实领域特征的问题内含着一定的数学概念、方法和结果，应逐步建立起一种从具体到抽象，从特殊到一般的数学思想。
（五）布置作业
1、数学练习册B册P.27习题29.1（1）。
=============== 教学设计说明 ===============
一、新课引入
锐角三角比的概念是初三数学中的重要数学概念，它在数学学习与生活生产实际中都有广泛应用，为了使学生进一步体会到数学学习在现实中的实效性，激发起学生主动参与学习的积极性，本节课的新课引入时，设计了一系列提问，由浅入深，循序渐进。这样不仅本课一开始就可引起学生的强烈的求知欲和解决问题的高涨的热情，而且使他们感受到数学知识不是脱离现实而孤立存在的，让学生体会到学习数学不仅仅满足于记住结论，而应该更注重数学知识的发生过程。
二、内容编排
由于本课时是锐角三角比概念形成的第一节课，主要教学目标是掌握锐角的正切、余切的概念及相互关系，因此我把锐角正切、余切的概念形成作为本节课的重点及难点。在问题解决过程中不断反馈和分析信息，做到适时点拨，引导学生自己从问题解决过程中提炼出超越问题情景的思想，并在前一章“相似形”所学知识的基础上寻找出新知识的生长点，即直角三角形一个锐角大小确定后，其直角边的比值也确定，从而建立起新的数学概念----锐角的正切、余切的概念，并让学生感知到学习这两个概念的实际意义。这样既能突出重点、难点，又能符合学生的普遍接受能力。
为了加强学生对锐角正、余切概念及相互关系的应用，在讲解完课本例1之后，安排了两组课内练习题，先是课本第70页的一组练习题，后是补充的一组变式训练题。其中第二组的第2题是一道活
动练习题，让学生根据图形找出线段比等于的所有情况。这道题不仅培养了学生严密的思维能
力，而且对引出锐角正、余切概念时所涉及的重要结论：“一般情况下，当直角三角形一个锐角的大小确定后，不论边长怎样变化，直角边的比值总是确定的”进行了回顾，起到首尾呼应的作用，从而进一步实现本节课难点的突破。此外，从总体上看这两组题目的内容是由浅入深，循序渐进的。
三、教具使用
教具演示是贯彻直观性教学原则的重要手段，是从具体的、直觉的思维上升到抽象思维的手段，“锐角正切、余切的概念形成”是本节课的难点，在引出课题时为了使学生能切实想像实际中的情境，我设计了多媒体模拟演示，给学生以形象刺激，从而通过学生探索、思考形成新的数学概念，由此也培养了学生的观察、分析、抽象的思维能力。
把计算机辅助教学引入课堂，通过计算机中图象、声音、动画等形式的辅助显示，能将学习内容变得生动有趣，容易理解和掌握。同时也大大提高了课堂效率，使在有限的时间内取得最大的效益，因此体现出强烈的时代气息。
四、教学方法
本节课的课堂教学主要采用问题解决教学的方法，在概念学习时并没有把知识直接传授给学生，而是让学生从问题解决过程中去发现，去探求，并通过教师适当、必要的引导对结论进行归纳。在教学过程中还充分运用电脑、模型演示等手段，从各个方面来帮助学生理解，使形象思维与抽象思维充分地、有机地结合起来，旨在学生对新概念的理解更深入、更准确、更有效。