2016年甘肃省兰州市初中生毕业学业考试
数学(A)
注意事项：
1.本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）在答题卡上。
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。
一、选择题：本大题15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中仅有一项是符合题意的。 1. （2016兰州，1，4分）如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（ ）
A B C D 【答案】A
2. （2016兰州，2，4分）反比例函数y=
x
2
的图像在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 【答案】B
3. （2016兰州，3，4分）已知ΔABC ∽ΔDEF,若ΔABC 与ΔDEF 的相似比为4
3
，则ΔABC 与ΔDEF 对应中线的比为（ ） A.
43 B. 34
C. 169
D. 9
16
【答案】A
4. （2016兰州，4，4分）在Rt ΔABC 中，∠C=900，sinA=5
3,BC=6,则AB=（ ）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10 【答案】D
5. （2016兰州，5，4分）一元二次方程x 2+2x+1=0的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不想等的实数根 D. 没有实数根
【答案】B
6. （2016兰州，6，4分）如图，在ΔABC 中，DE//BC,若DB AD =32,则EC
AE =（ ）
A.
31 B. 52 C. 32 D. 5
3
（第6题） 【答案】C 7. （2016兰州，7，4分）如图，在⊙O 中，点C 是弧AB 的中点，∠A=500， 则∠BOC=（ ）
A. 400
B. 450
C. 500 D . 600
【答案】A （第7题） 8. （2016兰州，8，4分）二次函数y=x 2-2x+4化为y=a(x-h)2+k 的形式，下列正确的是（ ） A. y=(x-1)2+2 B. y=(x-1)2+3 C. y=(x-2)2+2 D. y=(x-2)2+4 【答案】B
9. （2016兰州，9，4分）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区 域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为 18m 2，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为x m ，则可列方程为（ ）
A. (x+1) (x+2) =18
B. x 2-3x+16=0
C. (x-1) (x-2) =18
D. x 2+3x+16=0 【答案】C
10. （2016兰州，10，4分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，四边形ABCD 是平行 四边形，则∠ADC=（ ）
A. 450
B. 500
C. 600
D. 750
【答案】C （第10题）11.（2016兰州，11，4分）点P1（-1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=-x2+2x+c的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A.y3 > y2 >y1
B. y3>y1=y2
C. y1>y2>y3
D. y1=y2>y3
【答案】D
12.（2016兰州，12，4分）如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上
一点P旋转了1080，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）
A. πcm
B. 2πcm
C. 3πcm
D. 5πcm
【答案】C （第12题）
13.（2016兰州，13，4分）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，对称轴是直线
x=-1，有以下结论：①abc>0；②4ac
数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 （第13题）
【答案】C
14.（2016兰州，14，4分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE//BD，DE//AC，AD=23,DE=2，则四边形OCED的面积为（）
A. 23
B. 4
C. 43
D. 8
【答案】A （第14题） 15. （2016兰州，15，4分）如图，A ，B 两点在反比例函数y=
x
k1
的图像上，C ，D 两点在反比例函数y=
x
k2
的图像上，AC ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点F ，AC=2，BD=3， EF=
3
10
，则k 2-k 1=（ ） （第15题）
A. 4
B. 314
C. 3
16 D. 6 【答案】A
二、填空题：本大题共5小题 ，每小题4分，共20分.
16. （2016兰州，16，4分）二次函数y=x 2+4x-3的最小值是_____________________. 【答案】-7
17. （2016兰州，17，4分）一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球_________________________个. 【答案】20
18. （2016兰州，18，4分）双曲线y=x
1
-m 在每个象限内，函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是__________________. 【答案】m <1
19. （2016兰州，19，4分）平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，请添加一个条件：_____________________，使得平行四边形ABCD 为正方形. 【答案】AC=BD 或∠A=900或∠B=900或∠C=900或∠D=900
20. （2016兰州，20，4分）对于一个矩形ABCD 及⊙M 给出以下定义：在同 一平面内，如果矩形ABCD 的四个顶点到⊙M 上一点的距离相等，那么称这个矩 形ＡＢＣＤ是⊙M 的“伴侣矩形”.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y=3x-3
交x 轴于点M ，⊙M 的半径为2，矩形ABCD 沿直线ｌ运动（ＢＤ在直线ｌ上）， （第20题） BD ＝２，A Ｂ//y,当矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”时，点C 的坐标为_________.
【答案】（3-
21，-2
3
3）或（3+23，23）
三、解答题：本大题共8小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
21. （2016兰州，21，10分）
(1)（2016兰州，21(1)，5分）8+(2
1)-1-2cos450-(π-2016)0
解：原式=1212
2
2222+=-?
-+。 （2016兰州，21(2)，5分）2y 2+4y=y+2
【答案】原方程可化为2,2+3y-2=0，解得y 1=2;y 2=-2
22. （2016兰州，22，5分）如图已知⊙O ，用尺规作⊙O 的内接正四边形ABCD.(写出结论，不写作法，保留做题痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑.)
【答案】如图，四边形ABCD 即为所求。
23. （2016兰州，23，6分）小明和小军两人起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，…，8中任意选择一个数字，然后两人各转动一次如图所示的转盘（转盘被分为面积相等的四个扇形），两人转出的数字之和等于谁事先选择的数，谁就获胜；若两人转出的数字之和不等于他们各自选择的数，就在做一次上述游戏，直至决出胜负，若小军事先选择的数是5，用列表或画树状图的方法求他获胜的概率. 【答案】
列表法： 树状图： 小军 小亮
1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4
5
6
7
8
小军获胜的概率为：
4
1 24. （2016兰州，24，7分）如图，一垂直于地面的灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成450夹角（∠CDB=450），在C 点上方2米处加固定另一条钢缆ED ，ED 与地面成530夹角（∠EDB=530），那么钢缆ED 的长度约为多少米？
（结果精确到1米，参考数据：sin530≈0.80，cos530≈0.60，tan530≈1.33）
【答案】10
解：设BD=xm,则BC=x m,BE =(x+2)m 在Rt ΔBDE 中：
ED
BD
=tan ∠EDB
∴
x
2
x +=1.33，x=6.06
∵
ED
BE
=SIN===sin ∠EDB ∴ED=
sin∠EDB EB
=
80
.006
.62+=10.1≈10
EF//AC
EF=
2
1
AC
点Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＣ的中点
点G，H分别是CD，AD的中点GH//AC
GH=
2
1
AC
EF//GH
EF=GH
四边形
EFGH是平
行四边形
?
?
?
?
??
?
?
?
答：钢缆ED的长度约为10米.
25.（2016兰州，25，10分）阅读下面材料：
在数学课上老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边形中点E，F，G，H依次连接起来得到四边形的EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC
三角形
中位线定理
三角形
中位线定理
结合小敏的思路作答：
(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；
参考小敏思考问题的方法，解决一下问题：
(2)如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD.
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与ＢＤ满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论.
【答案】
（1）四边形EFGH还是平行四边形，理由如下：
连接AC
∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点 ∴EF//AC,EF=2
1AC
∵G,H 分别是CD ，AD 的中点 ∴GH//AC,GH=2
1AC ∴EF//GH,EF=GH
∴四边形EFGH 是平行四边形.
(2)①当AC=BD 时，四边形EFGH 是菱形，理由如下： 由（1）可知四边形EFGH 是平行四边形 当AC=BD 时，FG=21BD,EF=2
1AC ∴FG=EF
∴四边形EFGH 是菱形.
②当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形.
26. （2016兰州，26，10分）如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点C ，点A （3，1）在反比例函数y=
x
k
的图像上. (1)求反比例函数y=
x
k
的表达式； （2）在x 轴的负半轴上存在一点P ，使得S ΔAOP =
2
1
S ΔAOB ，求点P 的坐标； （3）若将ΔBOA 绕点B 按逆时针方向旋转600得到ΔBDE ，直接写出点E 的坐标，并判断点E 是否在该反比例函数的图像上，说明理由.
【答案】
(1)∵点A （3，1）在反比例函数y=
x
k
的图像上 ∴k=3×1=3 ∴y=
x
3
（2）∵A （3，1） ∴OC=3，AC=1
由射影定理OC 2=AC ?BC 可得BC=3，B （3，-3） ∴S ΔAOB =
21
×3×4=23 ∵S ΔAOP =
2
1
S ΔAOB ∴S ΔAOP =3 设P （m ，0） ∴
2
1
×m ×1=3 ∴m =23
∵P 是x 轴的负半轴上一点 ∴m=-23 ∴m （-23，0）
（3）E （-3，-1），点E 在反比例函数y=x
3
的图像上，理由如下： ∵（-3）×（-1）=3=k ∴点E 在反比例函数y=
x
3
的图像上. 27. （2016兰州，27，10分）如图，ΔABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AB 于点O ，分别交AC ，CF 于点E 、D ，且DE=ＤＣ. （1）求证：CF 是⊙O 的切线
（2）若⊙O 的半径为5，BC=10，求ＤＥ的长.
【答案】
（1）证明：连接OC ，则∠A=∠OCA ∵OD ⊥AB ∴∠A+∠AEO=900 ∵DE=DC
∴∠DEC=∠DCE ∵∠AEO=∠DEC ∴∠AEO=∠DCE ∴∠OCE+∠DCE=900 ∴CF 是⊙O 的切线.
（2）作DH ⊥EC ，则∠EDH=∠A ∵DE=DC ∴EH=HC=
2
1EC ∵⊙O 的半径为5 ,BC=10 ∴AB=10,AC=310 ∵ΔAEO ∽ΔABC ∴
AB AE
AC AO = ∴AE=
3
10
510
310×5= ∴EC=AC-AE=310-
3
105=310
4
∴EH=
21EC=3
10
2 ∵∠EDH=∠A ∴sin ∠A=sin ∠EDH 即
DE
EH AB BC = ∴DE=
10
310
210?
=?BC
EH
AB =320
28. （2016兰州，28，10分）如图1，二次函数y=x 2+bx+c 的图像过点A （3，0），B （0，4）两点，动点P 从A 出发，在线段AB 上，沿A →B 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ⊥y 于点D ，交抛物线于点C.设运动时间为t （秒）. （1）求二次函数y=-x 2+bx+c 的表达式；
（2）连接BC ，当t=6
5时，求ΔBCP 的面积；
（3）如图2，动点P 从Ａ出发时，动点Ｑ同时从O 出发，在线段OA 上沿O →A 的方向以1个单位长度的速度运动，当点P 与B 重合时，P ，Q 两点同时停止运动，连接DQ ，PQ ，将ΔDPQ 沿直线PC 折叠得到ΔDPE.在运动过程中，设ΔDPE 和ΔOAB 重合部分面积为5，直接写出S 与t 的函数关系式及t 的取值范围.
图1 图2
【答案】（1）∵y=-x 2+bx+c 过A （3，0），B （0，4）
∴???=++-=0394c b c ，解得??
???==4
35
b c
∴解析式为y=-x 2+
35x+4 （2）当t=6
5时，AP=3
5,BP=
3
10 ∴OD=
34,C(-1, 34) ∴S ΔBCP =
21×3×3
8=4 (3)当01715t ≤
≤时，S=-25
24t 2+512
t ；
当1715
≤≤t 25时，S=-125132t 2+556t+11
36