D
B A 1
高中立体几何证明平行的专题（基本方法)
立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1）通过“平移”。（2）利用三角形中位线的性质。(３)利用平行四边形的性质。(４）利用对应线段成比例。(５)利用面面平行,等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质
1.如图，四棱锥Ｐ-AB ＣＤ的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱A Ｂ、 ＰD 的中点．求证:A Ｆ∥平面P ＣE ；
分析:取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEG Ｆ是平行四边
形
2、如图,已知直角梯形A ＢCD 中，AB ∥CD,AB ⊥B Ｃ,AB ＝1,B Ｃ＝2,CD=1＋3， 过Ａ作AE ⊥C Ｄ,垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将△ADE 沿AE 折叠,使得DE ⊥EC ．
（Ⅰ）求证：BC ⊥面C ＤＥ； (Ⅱ)求证:FG ∥面BCD;
分析:取ＤB 的中点H ，连ＧH,H Ｃ则易证FGHC 是平行四边形
3、已知直三棱柱ABC-Ａ1B 1Ｃ1中，D ， E, F 分别为AA １, C Ｃ１, AB 的中点, M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证:
（Ⅰ）Ｃ1D ⊥BC; (Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连E Ａ，易证C 1ＥA Ｄ是平行四边形，于是ＭF//EA
（第1题图）
4、如图所示, 四棱锥P -ＡＢＣD 底面是直角梯形,
,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=２AB, E 为ＰC 的中点,
证明： //EB PAD 平面;
分析:：取PD 的中点Ｆ，连ＥF,AF 则易证AB ＥF 是平行四边形
(2) 利用三角形中位线的性质 5、如图,已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证:AM ∥平面EFG 。
分析:连ＭD 交GF 于H ，易证ＥH 是△AMD 的中位线
６、如图,ＡB ＣD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证: P Ａ ∥平面BDE
7.如图,三棱柱ABC —A 1B 1C １中， Ｄ为AC 的中点. 求证：ＡＢ１//面BDC 1；
分析:连B 1C 交BC １于点Ｅ，易证ＥD 是
△B 1AC 的中位线
8、如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,
090,BAD FAB BC
∠=∠=//=
1
2
AD ,BE //=
1
2
AF ,,G H 分别为,FA FD 的中点 （Ⅰ)证明：四边形BCHG 是平行四边形; (Ⅱ）,,,C D F E 四点是否共面?为什么?
A
B
C
D
E
F G M
P
E
D
C
B
A
(．3） 利用平行四边形的性质
9．正方体ＡBCD —A 1B 1Ｃ１Ｄ1中O 为正方形A ＢＣＤ的中心,M 为B Ｂ1的中点, 求证： D １O ／/平面A 1B Ｃ1;
分析:连D 1Ｂ1交A 1C 1于O 1点,易证四边形OBB 1Ｏ1 是平行四边形
1０、在四棱锥Ｐ-ABCD 中，ＡB ∥C Ｄ，AB ＝2
1
DC ，中点为PD E . 求证:AE ∥平面PBC;
分析:取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形
11、在如图所示的几何体中,四边形A ＢCD 为平行四边形，∠ AC Ｂ=90?,EA ⊥平面ABC Ｄ，ＥF ∥ＡB,ＦＧ∥ＢC,ＥG ∥AC.AB ＝2ＥＦ．
（Ⅰ)若M 是线段ＡＤ的中点,求证:ＧＭ∥平面AB ＦＥ; (Ⅱ）若ＡＣ=ＢC=２AE,求二面角Ａ-BF-Ｃ的大小．
（Ｉ）证法一：
因为EF//AB ，FG//BC,ＥG//ＡC ，90ACB ∠=?, 所以90,EGF ABC ∠=??∽.EFG ? 由于A Ｂ=2ＥＦ,因此，BC=2FC, 连接AF,由于ＦG/／B Ｃ，BC FG 2
1
=
在ABCD 中,M 是线段AD 的中点,则AM ／/BC,且BC AM 2
1
=
因此FG/／AM 且ＦＧ=AM,所以四边形AFGM 为平行四边形,因此GM//FA 。 又FA ?平面ABF Ｅ，GM ?平面ＡBFE ，所以G Ｍ／/平面AB 。
(4)利用对应线段成比例
12、如图：S 是平行四边形A ＢC Ｄ平面外一点,M 、N 分别是S Ａ、BD 上的点,且SM AM =ND
BN
, 求证:ＭN ∥平面SDC
分析:过M 作M Ｅ//AD,过N 作ＮF ／/AD 利用相似比易证ＭNFE 是平行四边形
13、如图正方形A ＢCD 与ABEF 交于AB,Ｍ,Ｎ分别为AC 和B Ｆ上的点且ＡＭ=ＦN 求证：ＭN ∥平面BE Ｃ
分析：过Ｍ作ＭＧ//AB,过Ｎ作NH ／AB 利用相似比易证ＭNH Ｇ是平行四边形
(5)利用面面平行 1４、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=,PB=BC ＝CA ，E 为PC 的中点,M 为AB 的中点，点F 在PA 上,且2AF FP =． (1）求证:BE ⊥平面PAC ； (２)求证://CM 平面BEF ;
分析: 取A Ｆ的中点N,连CN 、MN ，易证平面CMN/／ＥＦB
A F
E
B
C D
M
N
直线、平面平行的判定及其性质 经典题（附详细解答)
一、选择题
1.下列条件中，能判断两个平面平行的是( ) A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
2.E ,F ,G 分别是四面体A ＢCD 的棱BC ,CD ,ＤA 的中点，则此四面体中与过E ,F ，G 的截面平行的棱的条数是 A ．０ B.１ Ｃ．2 D ．3
3. 直线,a b c ，及平面αβ，,使//a b 成立的条件是( )
A ．//,a b αα? B.//,//a b αα C.//,//a c b c Ｄ．//,a b ααβ= 4．若直线ｍ不平行于平面α，且m ?α,则下列结论成立的是（ )
A ．α内的所有直线与ｍ异面
B ．α内不存在与m 平行的直线 Ｃ.α内存在唯一的直线与m 平行 D.α内的直线与m 都相交 5．下列命题中，假命题的个数是( )
① 一条直线平行于一个平面,这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行;⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行
A.4??
B.3 Ｃ．２????D ．1 6．已知空间四边形ABCD 中,,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是( ） A ．()12
MN AC BC ≥+ B.()12
MN AC BC ≤+
C.()12
MN AC BC =+ Ｄ．()12
MN AC BC <+
二、填空题
7.在四面体ＡB ＣＤ中，M ,N 分别是面△ＡCD ，△ＢCD 的重心,则四面体的四个面中与M Ｎ平行的是________．
8.如下图所示,四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别
为其所在棱的中点，能得到ＡＢ//面ＭNP 的图形的序号的是
①②③④
9.正方体ＡB ＣD -A １B 1C １D 1中,Ｅ为DD 1中点，则BD 1和平面A ＣＥ位置关系是 .
D C
A B
B 1A 1
C 1
三、解答题
１0．如图,正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是错误!，Ｄ是ＡC 的中点.求证://1C B 平面BD A 1.
11.如图,在平行六面体AB ＣＤ-Ａ１B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是ＡＡ1,CD ,CB ,ＣＣ1的中点, 求证:（１)MN //B 1D 1 ;(２）ＡC 1//平面E Ｂ１Ｄ1 ;（3)平面EB １D 1//平面BDG .
参考答案
一、选择题 1．D
【提示】当l =?βα时,α内有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面β平行.故A,B ，Ｃ均是错误的 2．C
【提示】棱AC,ＢD 与平面E ＦG 平行，共2条. ３.C
【提示】//,,a b αα?则//a b 或,a b 异面；所以A 错误;//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误;//,,a b αα
β=则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；//,//a c b c ,
则//a b ,这是公理4，所以C 正确. 4．B
【提示】若直线m 不平行于平面α,且m ?α，则直线m 于平面α相交,α内不存在与m 平行的直线. 5．Ｂ
【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行,有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上. ６． Ｄ
【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边. 二、填空题
７．平面A ＢC ，平面ABD
【提示】连接ＡＭ并延长,交ＣD 于E ,连结BN 并延长交ＣD 于F ，由重心性质可知，Ｅ、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ,由
MA EM ＝NB EN =2
1
得MN ∥AB .因此，M Ｎ∥平面ＡB Ｃ且MN ∥平面ＡBD .
8. ①③ 【提示】对于①，面ＭＮP ／／面AB,故AB/／面MNP ．对于③,MP/／ＡB,故A Ｂ//面MNP,对于②④，过AB 找一个平面与平面M ＮP 相交，AB 与交线显然不平行,故②④不能推证AB ／/面MNP. 9．平行
【提示】连接BD 交A Ｃ于O,连OE,∴OE ∥Ｂ D 1,ＯEC 平面A ＣE ，∴B D 1∥平面AC Ｅ.
三、解答题
10.证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点,
D 为AC 中点，∴PD ／/C B 1.
又 P Ｄ?平面B A 1D ，∴C B 1／/平面B A 1 D
１1.证明:（１) M 、N 分别是CD 、ＣB 的中点，∴M Ｎ//BD
又 BB 1//D Ｄ1,∴四边形BB 1Ｄ1Ｄ是平行四边形.
所以BD//B １D １.又MN ／/ＢD ，从而ＭN//B １D 1 (2)（法1)连A 1C 1，A １C 1交Ｂ１D １与O 点
四边形A １B １Ｃ1D 1为平行四边形，则Ｏ点是A 1C １的中点 E 是AA １的中点，∴E Ｏ是?AA 1C 1的中位线，ＥＯ//ＡＣ1．
AC 1?面EB 1D 1 ,ＥO ?面EB １D 1,所以AC 1//面EB １D 1 （法2)作BB 1中点为Ｈ点，连接ＡＨ、C 1H,E 、Ｈ点为A Ａ１、BB 1中点， 所以EH //Ｃ1Ｄ１，则四边形E ＨC １D 1是平行四边形,所以ＥD 1//ＨC 1 又因为EA //B １H,则四边形ＥＡH Ｂ1是平行四边形,所以EB 1//ＡH
AH ?HC 1=H,∴面AHC 1//面ＥB 1Ｄ1．而ＡC １?面ＡHC 1，所以ＡC 1//面EB 1D １
（３)因为EA //Ｂ1Ｈ，则四边形EAHB １是平行四边形，所以EB 1／／ＡH 因为AD //HG,则四边形ADGH 是平行四边形，所以D Ｇ//ＡH ，所以ＥB １//DG 又 BB 1//DD 1，∴四边形BB 1Ｄ１D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.
ＢD?DG=G,∴面EB1D1//面BＤＧ