第十讲 高光谱遥感图象混合象元分析
一． 混合象元的概念：
遥感器所获取的地面反射或发射光谱信号是以象元为单位记录的。它是象元所对应的地表物质光谱信号的综合。图象中每个象元所对应的地表，往往包含不同的覆盖类型，他们有着不同的光谱响应特征。而每个象元则仅用一个信号记录这些“异质”成分。若该象元仅包含一种类型，则为纯象元(pure pixel)，也称为端元（endmember ），它所记录的正是该类型的光谱响应特征或光谱信号；若该象元包含不止一种土地覆盖类型，则成为混合象元(mixed pixel)，它记录的是所对应的不同土地覆盖类型光谱响应特征的综合。由于传感器的空间分辨力限制以及自然界地物的复杂多样性，混合像元普遍存在于遥感图象中。
二． 混合象元模型
光谱混合形式上可以分为致密式（intrinsic ）、聚合式（aggregate ）和整合式（areal ）三种情形（如图）,本质上分可以分为线性混合和非线性混合两种模式。线性混合模型假定到达传感器的光子只与一种物质发生作用[rast,1991]；当混合元素尺寸小，入射光子与多于一种以上的物质发生作用时，导致非线性混合[smiths,1985； Mustard,1987]。
图 1
1． 线性混合模型
通常情况下,高光谱图象中每个象元都可以近似认为是图象中各个端元的线性混合象元:
n Ec n e p +=+=∑=N
i i i c 1 (1)
11
=∑=N
i i c (2)
10≤≤i c (3)
其中N 为端元数，p 为图象中任意一L 维光谱向量（L 为图象波段数），
][21N e e e E =为N L ?矩阵，其中的每列均为端元向量。t N c c c )(21 =c 为系数向量，i c 表示象元p 中端元i e 所占的比例，n 为误差项。
在误差项n 很小的情况下，满足（1）、（2）和（3）的所有点的集合正好构成一个高维空间的凸集，这些端元则坐落于这个凸面单形体的顶点。以两个波段三个端元为例来说明它们之间的几何关系(图2).从图2可以看出,端元a,b,c 分别位于三角形体的顶点,三角形内部的点则对应着图象中的混合象元.这样,提取高光谱图象的端元问题就转化为求单形体的顶点的问题.
图2 两个波段三个端元的散点图在空间上具有明显的三角形结构
2． 非线性混合模型
三． 端元提取
1． PPI
当把特征空间中的所有散点往一个单位向量u 上投影时，端元就会投影到u 的两侧，而混合象元则会投影到中部。基于这个思想，可以让图象在n 个随机的单位向量上投影，并且记下每个象元被投影到端点的次数，即为纯象元指数(PPI).
波段 i
当然，被投影到随机向量端点的次数越多，说明此象元为纯粹象元的可能性越大。
2． N-FINDR
N-FINDR 算法正是通过求最大单形体的体积而得到各个端元的，其体积公式如下：
?
?
?
?
??=N e e e E 21111 (4) )()!
1(1
)(E E abs n V -=
(5)其中i e 为表征第i 个端元的列向量,V 是由N e e e ,,,21 这N 个端元所构成的单形体的体积,?为行列式运算符.由于用到了求行列式的运算,所以要求E 必须为方阵,这样向量i e 的维数必须为1-N ,但原始的高光谱数据往往是不满足这个条件的,于是需要先对原始数据进行降维处理,这也正是N-FINDR 算法可能引起偏差(比如’忽视’小目标)的原因所在,同时也是此算法的不足之处
3． 距离法
首先，以图象中所有象元的平均向量0e 为初始值；从图象中找出距离0e 最远的点即为第一个端元1e ；距离1e 最远的点2e 即为第二个端元，同时记下此距离为)1(d ；然后找出距离1e 与2e 所构成直线最远的点3e ,即与这两个顶点端元围成的三角形面积最大的点,此即为第三个端元，同时记下此距离为)2(d ；然后，再
找出距这三个端元1e 、2e 和3e 所构成的平面最远的点4e ，即与这三个端元围成的三棱锥体积最大的点，同时记下此距离为)3(d 。依此类推，可以找到图象中的所有端元N e e e ,,,21 （其中),,,(21Li i i i e e e =e ，L 为波段数），
上述算法的关键在于如何得到高维空间中一个点到一个超平面的距离。假设现在已经得到端元l e e e ,,,21 ，p 是图象中的任一象元（光谱向量），我们通过施密特正交化得到p 到l e e e ,,,21 所构成的超平面的单位垂直向量u ，过点p 以u 为方向可以得到L 维空间的一个直线方程；过l e e e ,,,21 中的任何一点以u 为法方
向可以得到L 维空间的一个超平面方程；上述直线方程与超平面方程在L 维空间有唯一的交点，可以验证，p 到此交点的距离既是p 到l e e e ,,,21 所构成的超平面的距离，其中距离l e e e ,,,21 所构成的超平面最大的象元即为第1+l 个端元
1+l e ，下面给出具体的数学描述：
在L 维特征空间中，过点p 方向为u 的直线方程为：
u p y k =- (6)
过点i e ，以u 为法向量的超平面方程为：
0)(=-i t e y u (7)
由（6）、（7）可以得到，两个方程的交点为：
u
u u
p e u p y t i t )(0-+
=
(8)
对于不同的两个端元i e ，j e 由于 0)()()(=-=---u
u u
e e u u u u p e u u u u p e u t
j i t
t j t t i t 于是，L 维特征空间中，过点p 方向为u 的直线与以过任何一个端元),,1(l i i =e ，
以u 为法向量的超平面均交于相同的一点0y 。并且点p 到点0y 的距离即为点p 到
l e e e ,,,21 所构成的超平面的距离。
4． 体积法
蔡聪明把低维空间平行多面体的体积成功得推广到了高维，得到了m 维平行多面体的体积为：
),,,()det(),,,(2121m t m m m G V V v v v A A v v v === (9)
其中),,2,1(m i i =v 为m 维空间中的列向量，),,,(21m m v v v A =，
),,,(21m G v v v 为克莱母行列式。
t m
m t m t m t m
t t t m
t t
m G v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
2122
2121211
121),,,(=
（10）
（a ）在1=m 时，即得到一维平行多面体的体积就是线段的长度：
11111)(v v v v v ?===的长度的体积V
（b ）2=m 时，可得到二维平行多面体即平行四边形的面积：
()),d e t (),(),(2121212121v v v v v v v v v v ???
?
??===G V 面积
所决定的平行四边形的与由向量的体积
(c) 3=m 时，即可得到三维平行多面体即平行六面体的体积：
())
,,d e t (),,(,),,(321321321321321v v v v v v v v v v v v v v v ???
?
?
??===G V 体积
所决定的平行六面体的和由向量的体积
由于m 维单形体包含于m 维平行多面体之中，并且它们的体积有如下对应关 系：
m m V m V !1
= （11）
其中m V 为m 维单形体体积，m V 为m 维平行多面体体积。显然，当1=m 时，一维单形体与平行多面体均为直线，两者体积相同；当2=m 时，二维单形体为三角形，其体积为相应平行四边行体积的一半；当3=m 时，三维单形体为三棱锥，其体积为相应的平行六面体体积的6
1。可以证明，在高维空间中同样有上述关系成立。
上述体积公式中单形体均由向量组成，对于高光谱图象，象元在其特征空间 中都是以散点的形式存在的，图象中的每个象元对应于特征空间中的一个点，假设n p p p ,,,21 是图象中的n 个象元（光谱向量），令
),,,(1211-----=n n n n n p p p p p p A ，则在特征空间中，以这n 个点为顶点的1-n 维单形体体积为：
11121)!
1(1),,,(----=
---=n t
n n n n n n n V V A A p p p p p p （12）
其中?为行列式运算符,由于)1,,1(-=n i i T
i A A 一定为方阵,所以式（12）对于任何维数的高光谱数据都是成立的,因而可直接把本公式应用于原始高光谱数据的端元提取,而不需要对原始数据进行降维处理,这样就避免了N-FINDR 算法中因
数据降维而可能带来的偏差。当n=2时，式（12）给出了象素21p p 与之间的距离；当n=3时，22A A t 为由象素321,p p p 和为顶点确定的平行四边形的面积，
再乘以系数
2
1
即是以象素321,p p p 和为顶点的三角形的面积；当n=4时，33A A t 为由象素4321,,p p p p 和为顶点确定的平行六面体的体积，再乘以系数6
1
即是以象
素4321,,p p p p 和为顶点的三棱锥的体积；当n>4时，11--n t n A A 为由象素
n p p p ,,,21 为顶点确定的高维平行多面体的体积，再乘以系数)!
1(1
-n 即是以象素n p p p ,,,21 为顶点的高维凸面单行体的体积。
结论1：当高光谱图像的维数正好比端元数少一时，N-FINDR 方法与体积法等价。
下面给出证明： 由于：
()()()()[]()()
()()
()()
()(
)
1
211
211121211121212111211111
000
()()
0()
(
)
T
T
T N T
N T N T N T
T
N T
T
N N N abs sqrt sqrt sqrt p sqrt ??????
??-==?
???--????
??-?
?
??
-??=--????-????
----=----=
p p p E E E p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
因而：
213111
()()(,,,)(1)!
N N V abs V V N =
=---=-E E p p p p p p 四． 混合象元分解 1． 端元投影向量
目标提取就是根据目标的特性（比如吸收特征，光谱曲线等）在抑制背景的同时从图象中得到该目标的分布情况。我们的目标提取算法基于以下事实：在高维特征空间中，每一个端元都游离于其它所有的端元构成的超平面之外，且是距离超平面最远的点。这样，对于任何一个端元，我们都可以得到一个最佳的投影方向（即此端元到其它端元所构成的超平面的垂线方向），在这个方向上投影，将得到此端元和别的端元的最佳分离效果，相应地，我们可以得到各种地物的成分图。下面以两个波段三个端元时的情况为例来说明我们的算法,如下图3,端元A,B,C 分别位于三角形的三个顶点,点D,E,F 是它们在各自对应边上的垂足.于是我们就可以得到三个单位矢量： AD AD =
1l ,BE BE =2l ,CF
CF
=3l （13） 其中，直线段AD,BE,CF 这里均看作是矢量。这三个单位矢量就是我们所要得到端元投影向量，在其上投影就可以得到地物与背景的最佳分离效果。比如，在图3中，在直线AD 方向上的投影将使得端元A 所对应的地物与端元B 和端元C 所组成的背景得以最大的区分，而且端元B 与端元C 所对应的地物在此方向上
图3 端元投影向量示意图
由于高光谱数据在特征空间呈现近似凸面单体性态，很容易把上述结论推广
到高维空间，问题的关键所在是如何求那些端元投影向量，也就是说，如何得到从一个端元到另外所有端元所构成的超平面的垂线方向。我们利用施密特正交化
波段i
波段j
很好地解决了这一问题。假设),,,(21N e e e 是从图象中求出的所有端元，下面我
们给出从图象中提取出端元N e 所对应目标的具体算法（对其它端元同 理）：
)
(1
1
)
(2
1
121121321
21--+++--=+-=-=N N N N e e e e b e e e b e e b
1
1
11122221111
1
11
2221
1.c c c c
b c c c c b b c c c c c b b c b c ?--??-
=??-
==--------N N N N N N N N
(14）
1
11
---?=
N N N N c c c l
然后把图象中的所有象元投影到N l 就得到端元N e 所对应的地物在整个图象中的分布情况。
2． 最小二乘
线性混合模型一般可分为三种情形：公式（1）为第一种情形，为无约束的线性混合模型，加上如下约束条件(2)则为部分约束混合模型，再加上约束条件(3)则为全约束混合模型。线性解混就是在已知所有端元的情况下求出它们图象的各个象元中所占的比例，从而得到与反应每个端元在图象中分布情况的比例系数图。利用最小二乘法可以得到方程(1)的无约束解：
p E E E c
t t 1)(?-= (15) 再加上(2)可以得到部分约束的最小二乘解：
l E E l l
E E p E E E l E E l ll E E I c 11111)()()()()(?-----+???
? ??-=t t t t t t t t t (16)
其中I 为N 阶单位矩阵，l 为分量均为1的N 维列向量。
3． OSP
4． 几何法
以两个波段、三个端元为例来阐明我们算法的原理，如图4，像元P 是以端元
C B A ,,为顶点的三角行内部的一个点，则此像元中端元C B A ,,对应的地物的含量
分别为：
,,,321A B C
P A B
A B C
P A C
A B C
P B C
S S c S S c S S c =
=
=
（17）
图 4 二维情况下混合像元中各端元比例的几何示意图
其中ABC S 为三角形ABC 的面积，PAB PAC PBC S S S 和,也分别是相应三角形的面积。我们把上述结论推广到了高维空间，并且证明了在高维空间中对于凸面单形体仍有上述规律成立.
五．混合象元分析中代数与几何的关系
波
段j
波段 i