《微积分Ⅱ》课外练习题 一、选择： 1. 函数在闭区间上连续是在上可积的． ( ) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．无关条件 2. 二元函数定义域是． ( ) B． D． 比较大小：． ( ) B． C． D．不确定 4.微分方程的阶数是． ( ) A．5 B．3 C．2 D．1 5.下列广义积分发散的是． ( ) A． B． C． D． 6.是级数收敛的条件． ( ) A．必要非充分 B．充分非必要 C．充分必要 D．无关7．如果点为的极值点，且在点处的两个一阶偏导数存在,则点必为的． ( ) 最大值点 B．驻点 C．最小值点 D．以上都不对 微分方程是微分方程． ( ) A．一阶线性非齐次 B. 一阶齐次 C. 可分离变量的 D. 一阶线性齐次 9 .设是第一象限内的一个有界闭区域，而且。记，，，则的大小顺序是 ． ( ) C. D. 10. 函数的连续区域是． ( ) B. D.
1. ． ( ) B. C. D. 12．下列广义收敛的是． ( ) A． B． C． D． ．下列方程中，不是微分方程的是． ( ) A． B． C． D． ．微分方程的阶数是． ( ) A．5 B．3 C．2 D．1 ．二元函数的定义域是． ( ) A． B． C． D． ．设，则 ( ) A． B． C． D． ．= 其中积分区域D为区域：． ( ) A． B． C． D． 18．下列等式正确的是． ( ) A．B． C．D． 19．二元函数的定义域是． ( ) A． B． C． D． 20．曲线在上连续，则曲线与以及轴围成的图形的面积是．( ) A．B．C．D．|| ．． ( ) A． B． C． D． 22．= 其中积分区域D为区域：． ( ) A． B． C． D．
第十章 级数与幂级数及其应用 一、填空题： 1. 级数1 1 (1)3n n n -∞ =-∑= 2. 级数 1 11 2 n n ∞ -=∑= . 3. 级数 11 (1) n n n ∞ ==+∑ 4. 级数1 8(1)9n n n n ∞ =-=∑ 5. 幂级数 ∑∞ =13 n n n n x 的收敛半径为 6. 级数 1 3()4n n ∞ =-=∑ 7. 设级数 ∑∞ =11 n p n ，当p 时，级数收敛. 8. 级数=+-++-+--ΛΛ)3 1 21()3121()311(12n n . 9. 级数 1 1 2 n n n ∞ -==∑ . 10. 幂级数1 n n x n ∞ =∑的收敛区间是 . 11. 级数1 (ln 3)2n n n ∞ =∑的和为 . 12. 级数1 1147 k k k +∞ -=∑= . 13. 如果级数 1 (3) n n n a x ∞ =-∑，在 1.1x =-处收敛，则该级数在5x =处 （填“收敛” 或“发散”）.
14. 当p 时，级数 2 1 p n n ∞ =∑收敛。 15. 将函数x e 在1x =处展开成Taylor 级数得 16. 级数2 2 3 3 4 4 12222x x x x L +++++的收敛域是 . 二、单项选择题： 1. 下列级数中属于条件收敛的是（ ） （A ）1 1 (1)n n n n ∞ =+-∑ （B ） 1(1)sin n n n n n π ∞ =-∑ （C ）21(1)n n n ∞=-∑ （D ）1(1)31 n n n ∞ =-+∑ 2. .若级数 ∑∞ =1 n n u 收敛于s , 则级数 )(11 +∞ =+∑n n n u u ( ) （A ）收敛于s 2 （B ）收敛于12u s + （C ）收敛于12u s - （D ）发散 3. 下列级数条件收敛的是（ ） （Ａ）11n n -∞ =（Ｂ）112(1)3n n n n ∞-=-∑（Ｃ）12 1 (1)n n n -∞ =-∑ （Ｄ）11(1)n n ∞-=-∑ 4. 若级数 (1) 1n n n a x x ∞ =-=-∑在处收敛，则该级数在2x =处（ ） （A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ） 无法判断 5. 级数 21sin n n n α∞ =? ? ∑（α为常数） （ ） （Ａ）绝对收敛 （Ｂ）条件收敛 （Ｃ）发散 （Ｄ）收敛性与α取值有关 6. 幂级数12 n n n x n ∞ =∑的收敛域为 ( ) （A ）(2,2)- （B ）[2,2]- （C ）(2,2]- （D ）[2,2)- 7.设级数 ∑ ∞ =1 1 n n p ,(0)p > 则 ( ) （A ）当1≥p 时级数收敛，当1
p 时级数收敛,当1≤p 时级数发散
[填空题] 1．数项级数∑ ∞ =+-1) 12)(12(1n n n 的和为 21 。 2．数项级数∑∞ =-0 )!2()1(n n n 的和为 1cos 。 注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分 和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。 3．设1))1((lim ,1,01 =->>∞ →n n p n n a e n p a 且，若级数∑∞ =1 n n a 收敛，则p 的取值范 围是),2(+∞。 分析：因为在∞→n 时，)1(1-n e 与 n 1 是等价无穷小量，所以由1))1((lim 1=-∞ →n n p n a e n 可知，当∞→n 时，n a 与 1 1-p n 是等价无穷小量。由因为 级数∑∞=1 n n a 收敛，故∑ ∞ =-11 1 n p n 收敛，因此2>p 。 4．幂级数∑∞ =-0 2)1(n n n x a 在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 ]2,0[。 分析：根据收敛半径的定义，2=x 是收敛区间的端点，所以收敛半径 为1。由因为在0=x 时，级数∑∑∞ =∞ ==-0 2) 1(n n n n n a x a 条件收敛，因此应填]2,0[。 5．幂级数∑∞ =-+12) 3(2n n n n x n 的收敛半径为 3。 分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因 为
22)1(21131)3(2)3(21lim x nx x n n n n n n n n =-+-+++++∞→， 所以，根据比值判敛法，当3
第十四章 幂级数习题课 一 疑难解析与注意事项 1．如何求缺项幂级数的收敛半径 答：如果一个幂级数有无限多个项的系数为零这样的幂级数称为缺项幂级数，对这种幂 级数，不能直接用公式1lim n n n n a a ρρ+→∞? ? = ? ??? ．常用方法是： 1）进行变量替换．将原幂级数变为一个无缺项的幂级数．计算出后一幂级数的收敛半 径，再根据两变量之间的关系得出原幂级数的收敛半径． 例如幂级数2112n n n x ∞ =∑，可令2 y x =，化为幂级数112n n n y ∞=∑，而幂级数112 n n n y ∞ =∑的收 敛半径为2R =，从而当22x <时，原幂级数收敛，当2 2x >时，原幂级数发散，由此推 出原幂级数的收敛半径为R = 2）对缺项幂级数需要按照类似于定理14．2来求． 例如求幂级数2202 n n n x ∞ =∑（缺项幂级数）的收敛半径．对于幂级数 220 2n n n x ∞ =∑ ，因为222 22222lim 4 2n n n n n x x x ++→∞ = ，当 2 14 x <时，即2x <，220 2n n n x ∞ =∑ 收敛，则原来级数绝对收敛；当2 14 x >时，即2x >，220 2n n n x ∞ =∑ 发散，则原来级数发散，所以收敛半径2=R ． 2．如何求幂级数的收敛域 答：1）首先求幂级数的收敛半径R ； 2）写收敛区间(),R R -； 3）讨论端点处的收敛性，即讨论 n n n a R ∞ =∑， () n n n a R ∞ =-∑的收敛性，如果两个都收敛， 则幂级数的收敛域为[],R R -，如果两个都发散，则收敛域为(),R R -，如果其中一个收敛，一个发散，则收敛域为[),R R -（ () n n n a R ∞ =-∑收敛），(],R R -（ n n n a R ∞ =∑收敛）． 3．幂级数在()R R ,-内每一点都绝对收敛，那么在端点处敛散性如何 答：1）幂级数在()R R ,-端点处可能收敛可能发散．
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =L 是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++∈L L 为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 200102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑L L
1引言 函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位，在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开，几乎不用积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。 2 泰勒级数 泰勒定理指出：若函数f 在点0x 的某个邻域内存在直至n 阶的连续导数，则 ()()()()() () 2 0' ' 00002! x x f x f x f x x x f x -= + -+ () () ()) 00(! n n n x x f x R x n -+++ ， (1) 这里()x R n =()()n x x o 0-称为皮亚诺型余项。如果增加条件“()x f 有1+n 阶连续导数”，那么()x R n 还可以写成三种形式 ()()() () 1 101 ()1! n n n R x f x x n ξ++= -+ （拉格朗日余项） ()() 1 (1) 001[()]1!n n n f x x x x x n θθ++=+--- （柯西余项） ()() (1) 1! x n n x f t x t dt n += -? ， （积分型余项） 如果在(1)中抹去余项()x R n ，那么在0x 附近f 可用(1)式中右边的多项式来近似代替。 如果 f 在0x x =处有任意阶的导数，这时称形式为： ()()()()() () () () 2 0000000"'2! ! n n f x f x f x f x x x x x x x n +-+-++ -+ (2) 的级数为函数f 在0x 的泰勒级数，对于级数(2)是否能够在0x 附近确切地表达f ，或说f 在0x 泰勒级数在0x 附近的和函数是否就是f ，这是我们现在要讨论的问题。下面我们先看一个例子：
第七章 无穷级数 一、本章的教学目标及基本要求： （1） 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性 质和收敛的必要条件。 （2） 掌握几何级数与p —级数的收敛性。 （3） 会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 （4） 会用交错级数的莱布尼茨定理。 （5） 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 （6） 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 （7） 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 （8） 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 （9） 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 （10） 掌握函数α )1(),1ln(,cos ,sin ,x x x x e x +-的麦克劳林展开式，会用它们 将一些简单函数间接展开成幂级数。 （11） 了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义 在],[l l -上的函数展开成傅氏级数，会将定义在],0[l 上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。 二、本章教学内容的重点和难点： 重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求 法． 难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开． §7.1 常数项级数的概念及性质 一、内容要点 1、常数项级数概念： 常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项； 2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数∑∞= 1 n n u 收敛于和s ，则级数∑∞ =1 n n ku 也收敛，且其和为ks ．(证明) 性质2：若级数 ∑∞=1 n n u 、∑∞= 1 n n v 分别收敛于和s 、σ，则级数()∑∞ =+1 n n n v u 也收敛，且其和为s ±σ．(证明) 性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数∑∞ = 1 n n u 收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)； 性质5(级数收敛的必要条件)：若级数 ∑∞ = 1 n n u 收敛，则它的一般项u n 趋于零，即
题目部分，(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (10小题,共22.0分) (2分)[1] (2 分)[2] 函数项级数∑ ∞ =1n n n x 的收敛域是 (A) []1,1- (B) [)1,1- (C) ()1,1- (D) (]1,1- 答( ) (2分)[3] 设级数()n n n x b 20-∑∞ =在2-=x 处收敛，则此级数在 4=x 处 (A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。 答：( ) (3分)[4]设级数()n n n x a 30+∑∞ =在1-=x 处是收敛的，则此级数 在1=x 处 (A)发散； (B)绝对收敛；
(C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。 答：( ) (2分)[5]设级数()n n n x a 10-∑∞ =的收敛半径是1，则级数在3 =x 点 (A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)不能确定敛散性。 答：( ) (2 分)[6]如果81 lim 1=+∞→n n n a a ,则幂级数∑∞ =03n n n x a (A)当2
(C)R a n n =∞ →lim , (D)n n n a a 1lim +∞ →不一定存在 . 答( ) (3分)[8] 若幂级数∑∞ =0n n n x a 在2=x 处收敛，在3-=x 处发 散，则 该级数 (A)在3=x 处发散； (B)在2-=x 处收敛； (C)收敛区间为(]2, 3- ; (D)当3>x 时发散。 答( ) (2分)[9] 如果()x f 在0x 点的某个邻域内任意阶可导，那么 幂级数()()()∑∞ =?? ? ? ??-000!n n n x x n x f 的和函数 (A) 必是()x f ， (B)不一定是()x f ， (C)不是()x f ， (D)可能处处不存在。 答( )。
第一次作业 1.写出级数√x 2 + x 2?4 + x√x 2?4?6 + x2 2?4?6?8 +?的一般项。 解：一般项为u n=(x 1 2) n (2n)!! 2.已知级数∑2n n! n n ∞ n=1收敛，试求极限lim n→∞ 2n n! n n 。 解：由级数收敛必要条件可知 lim n→∞2n n! n n =0 3.根据级数性质，判定级数∑(1 5n +2n) ∞ n=1 的敛散性。 解：因为级数∑(1 5n ) ∞ n=1收敛，级数∑(2n)发散， ∞ n=1 所以由性质可推导出级数∑(1 n +2n)发散。 ∞ n=1 4.根据级数收敛与发散定义判定级数∑(√n?1?√n)的敛散性， ∞ n=1 若收敛，求其和。 解：设u n=√n?1?√n ,S n=√2?1+√3?√2+√4?√3+?+√n?1?√n =√n+1?1= n 1+√n+1 因为lim n→∞S n=lim n→∞ n 1+√n+1 =∞ ,所以所求级数发散。 5.判定级数∑√ n+1 n ∞ n=1 的敛散性。 解：因为lim n→∞u n=lim n→∞ √ n+1 n =1≠0 ，
所以由级数收敛的必要条件知级数∑√n +1n ∞ n=1 发散 。 6.根据级数性质判定级数 1√2?1 ? 1√2+1 + 1√3?1 ? 1√3+1 +? 的敛散性。 解：原式=( 1√2?1 ? 1√2+1 )+( 1√3?1 ? 1√3+1 )+? =12(1+12+13+?1n +?)=12∑1n ∞ n=1 第二次作业 1.根据P—级数的敛散性，判定级数∑2n +1 (n +1)2(n +2) 2∞ n=1 的敛散性。 解：因为2n +1(n +1)2(n +2)2<2n +2(n +1)2(n +2)2<2(n +1)3<2 n 3 由∑1n 3∞ n=1 是收敛的，所以∑2n +1(n +1)2(n +2)2∞ n=1 收敛。 2.如果∑a n ∞ n=1 ，∑b n ∞ n=1 为正项级数且收敛，试判定∑√a n b n ∞ n=1 的敛散性 。 解：因为√n b n ≤a n +b n 2 ,所以由比较审敛法知∑√a n b n ∞ n=1 收敛。 3.根据极限审敛法，判别级数∑sin π 2n 的敛散性 。∞ n=1 解：因为lim n→∞(sin π 2n π2n ?)=1 ,且级数∑π2 n ∞n=1收敛， 所以由极限审敛法知∑sin π 2 n ∞ n=1 收敛。 4.判别级数∑ 1 n 1+ 1n ∞ n=1 的敛散性 。
幂级数求和函数方法概括与总结
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑
第10章 无穷级数练习和习题解答 练 习 10.1 1.写出下列级数的一般项： (1) +-+-+-111111； 解：该级数一般项为1 )1(--=n n u (2) +-+-9 7535 432a a a a ； 解：该级数一般项为1 2)1(1 1 +-=++n a u n n n (3) ++++17 4 1035221； 解：该级数一般项为1 2+=n n u n (4) +++++-6 3 5241021. 解：该级数一般项为1 2 +-=n n u n 2.用定义判断下列级数的收敛性： (1) ∑∞ =-0 ) 1(n n 解： 01111112=-++-+-= n S ，1111111112=+-++-+-=+ n S 显然n n S ∞ →lim 不存在，故原级数发散. (2) ∑∞ =+1 1 ln n n n 解：ln )1ln(1 ln -+=+=n n n u n [])1ln(ln )1ln()3ln 4(ln )2ln 3(ln )1ln 2(ln +=-+++-+-+-=n n n S n ∞=∞ →n n S lim ，故原级数发散. (3) ∑∞ =? 1 5 199n n
解：)511(4995 11)511(51995199519911n n n k k n k k n S -=--==?=∑∑== 4 99 lim =∞→n n S ，故原级数收敛. (4) ∑∞ =-0)1(n n n x 解：x x x x x x S n n n k k n k k k n +--= ----=-=-=∑∑-=-=1)(1)(1)(1)()1(1 1 0 ??? ??≥-≤<<-+=+--=∞→∞→时 或不存在，时1111,111)(1lim lim x x x x x x S n n n n ，所以当11<<-x 时原级数收敛，当1-≤x 或 1≥x 时原级数发散. (5) ∑∞ =+-1 )12)(12(1 n n n 解：?? ? ???+--=+-= )12(1)12(121)12)(12(1n n n n u n ?? ????+-= )12(1121n S n ，21 lim =∞→n n S ，故原级数收敛. 练 习 10.2 1.根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性： (1) ∑∞ =-1 21 2n n n ； 解：因为通项)(121 2∞→→-=n n n u n ，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散. (2) ∑∞ =1 6 sin n n π； 解：因为6 sin lim lim π n u n n n ∞ →∞ →=不存在，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散.
解析函数展开成幂级数的方法分析 姓名：媛媛 学号：201100171431 专业：物理教育 指导教师：莉莉
解析函数展开成幂级数的方法分析 姓名 某某大学物理与电气信息工程学院 摘要：将解析函数展开成幂级数的方法不一，且比较复杂。本论文着重介绍了将解析函数展开成幂级数的几种方法以及分析。 关键词：解析函数，幂级数，展开，奇点等。 一前言 解析函数的应用及现状：解析函数边值问题和广义解析函数边值问题在奇异积分方程方面有广泛的应用，它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的应用。这些方面的理论及其应用，主要是由苏联学者建立和发展起来的。自20世纪60年代以来，中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作。 关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓，关于解析开拓的一般定义是，f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函数，若DÉD*，且在D*上f（z）=g（z）。则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓。解析开拓的概念可以推广到这样的情形：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，在D1∩D2上f（z)=g（z)则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。这样的完全解析函数实际是一个多值函数。黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。解析函数的基本性质：解析函数的导函数仍然是解析函数；单连通域内解析
项目四 无穷级数与微分方程 实验1 无穷级数（基础实验） 实验目的 观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的 逼近. 掌握用Mathematica 求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展 开周期函数为傅里叶级数的方法. 基本命令 1. 求无穷和的命令Sum 该命令可用来求无穷和. 例如,输入 Sum[1/n^2,{n,l,Infinity}] 则输出无穷级数的和为.6/2π 命令Sum 与数学中的求和号∑相当. 2. 将函数展开为幂级数的命令Series 该命令的基本格式为 Series[f[x],{x,x0,n}] 它将)(x f 展开成关于0x x -的幂级数. 幂级数的最高次幂为,)(0n x x -余项用10)(+-n x x 表 示. 例如,输入 Series[y[x],{x,0,5}] 则输出带皮亚诺余项的麦克劳林级数 [][][]()[]()[]()[][]6 5443320120 1024106102100x O x y x y x y x y x y y +++ +''+'+ 3. 去掉余项的命令Normal 在将)(x f 展开成幂级数后, 有时为了近似计算或作图, 需要把余项去掉. 只要使用 Normal 命令. 例如,输入 Series[Exp[x],{x,0,6}] Normal[%] 则输出 76 5432]x [O ! 6x !5x !4x !3x !2x x 1++++++ + ! 6x 5x 4x !3x !2x x 16 5432++++++ 4. 强制求值的命令Evaluate 如果函数是用Normal 命令定义的, 则当对它进行作图或数值计算时, 可能会出现问题. 例如,输入 fx=Normal[Series[Exp[x],{x,0,3}]] Plot[fx,{x,-3,3}] 则只能输出去掉余项后的展开式 6 x 2x x 13 2+++ 而得不到函数的图形. 这时要使用强制求值命令Evaluate, 改成输入 Plot[Evaluate[fx],{x,-3,3}] 则输出上述函数的图形. 5. 作散点图的命令ListPlot ListPlot [ ]为平面内作散点图的命令, 其对象是数集,例如,输入
函数展开成幂级数的间接展开法
一、基本初等函数的间接展开法根据唯一性，利用常见展开式，通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等 方法，求展开式。 ?基本公式：).,( ,)!12()1(sin ). ,( , !).1,1( 1101 200 +∞-∞∈+-=+∞-∞∈=-∈=-∑∑∑∞=+∞=∞ =x n x x x n x e x x x n n n n n x n n ，
二、典型例题例1. )( 的幂级数展开成将x a x f x =由于令注意到解 . ln , ln a x u e a a x x ==).,( ,! 1!2112+∞-∞∈+++++=u u n u u e n u ),(!ln !2ln ln 122+∞-∞∈+++++=x x n a x a a x a n n x 代入上式得 将 ln a x u =
++-+-+-=+)! 12()1(!51!31sin 1253n x x x x x n n , ),( 时解：当+∞-∞∈x 例2、. cos )( 的幂级数展开成将x x x f =对上式逐项求导得 +-+-+-=)! 2()1(!41!211cos 242n x x x x n n
.11)( )1(:x x f +='解例3、. 的幂级数展开成将下列函数x ∑?? ∞ =-=+=+000)1(1)1ln( n x n n x dt t t dt x 则). 1,1( ,1 )1(10-∈+-=+∞=∑x x n n n n ).1,1( ,)1()(1111 0 -∈-=--=+∑∞=x x x x n n n 又.arctan )()2( ; )1ln()( (1)x x f x x f =+=板书
微积分第七章无穷级 数
第七章无穷级数 一、本章的教学目标及基本要求： （1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本 性质和收敛的必要条件。 （2）掌握几何级数与p—级数的收敛性。 （3）会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 （4）会用交错级数的莱布尼茨定理。 （5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 （6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 （7）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 （8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 （9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 （10）掌握函数?Skip Record If...?的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 （11）了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在?Skip Record If...?上的函数展开成傅氏级数，会将定义在?Skip Record If...?上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和 的表达式。 二、本章教学内容的重点和难点： 重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法． 难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开． §7.1常数项级数的概念及性质 一、内容要点 1、常数项级数概念： 常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项； 2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数?Skip Record If...?收敛于和s，则级数?Skip Record If...?也收敛，且其和为ks．(证明) 性质2：若级数?Skip Record If...?、?Skip Record If...?分别收敛于和s、σ，则级数?Skip Record If...?也收敛，且其和为s±σ．(证明) 性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数?Skip Record If...?收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)；
幂级数及泰勒展开习题 解答 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
幂级数及泰勒展开 一、求下列幂级数的收敛区间 1. 1 2(21)n n x n n ∞ =-∑ 解：12(21) lim lim 12(1)(21) n n n n a n n a n n +→∞ →∞-==++ 1R ?= 当1x =时，因 2111 2(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以1 12(21)n n n ∞ =-∑收 敛， 当1x =-时， 1(1)2(21) n n n n ∞ =--∑绝对收敛， ? 收敛区间为[1,1]-。 2. 1 1n n n -∞ = 解：11lim 2n n n n a a +→∞== 2R ?= 当2x = 时，1 n n ∞ =为收敛的交错级数， 当2x =-时， 1n n n n -∞ ∞===-发散， ? 收敛区间为(2,2]-。 3. 1(1)32n n n n n n x x ∞ =?? -+???? ∑ 解：11 1 1 (1)32lim lim 3(1) 32 n n n n n n n n n n a a ++++→∞ →∞-+==-+
13R ?=， 当13x =±时，通项不趋于零，? 收敛区间为11,33?? - ???。 4. 1 (23)(1)21n n n x n ∞ =---∑ 解：121lim lim 121n n n n a n a n +→∞ →∞-==+ 1R ?= 故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。 当1x =时， 11 (1)(1)11 1, 21212-12n n n n n n n n ∞ ∞==--??=> ?--??∑∑发散， 当2x =时， 1(1)21 n n n ∞ =--∑为收敛的交错级数， ? 收敛区间为(1,2]。 5. 1 ln(1) (1)1n n n x n ∞ =+-+∑ 解：1ln(2)(1) lim lim 1(2)ln(1) n n n n a n n a n n +→∞ →∞++==++ 1R ?= 故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。 当0x =时，因为 1 ln(1)ln lim lim lim 01 1n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+，2ln 1ln ln(2)ln(1) ()()0() 3 21 x x n n f x f x x e n x x n n -++'=?=<>?≥< ++时， 所以 1 (1)ln(1) 1n n n n ∞ =-++∑收敛， 当2x =时，因为当2n ≥时ln(1)11 112n n n n +>>++ 所以1 ln(1)1n n n ∞ =++∑发散， ? 收敛区间为[0,2)。
[填空题] 1．数项级数 ∑∞ =+-1 )12)(12(1n n n 的和为 21 。 2．数项级数∑∞ =-0 )!2()1(n n n 的和为 1cos 。 注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分和极限；另一种是 将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。 3．设1))1((lim ,1,01 =->>∞ →n n p n n a e n p a 且，若级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则p 的取值范围是 ),2(+∞。 分析：因为在∞→n 时，)1(1 -n e 与n 1是等价无穷小量，所以由1 ))1((lim 1 =-∞→n n p n a e n 可知，当∞→n 时，n a 与1 1-p n 是等价无穷小量。由因为级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，故 ∑∞ =-1 1 1 n p n 收敛， 因此2>p 。 4．幂级数∑∞ =-0 2)1(n n n x a 在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 ]2,0[。 分析：根据收敛半径的定义，2=x 是收敛区间的端点，所以收敛半径为1。由因为在 0=x 时，级数∑∑∞ =∞ ==-0 02) 1(n n n n n a x a 条件收敛，因此应填]2,0[。 5．幂级数∑∞ =-+12) 3(2n n n n x n 的收敛半径为 3。 分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因为 22)1(21131)3(2)3(21lim x nx x n n n n n n n n =-+-+++++∞→， 所以，根据比值判敛法，当3
《高数》下册第十二 章练习题
第十二章无穷级数 习题 12-1 1.写出下列级数的前五项 （1） 2 1 1 1 n n n ∞ = + +∑ （2）113(2n1) 242 n n ∞=- ∑g g L g g g L g （3） 1 1 (1) 5 n n n -∞ = -∑ （4）1! n n n n ∞ = ∑ 2.写出下列级数的的一般项 （1） 111 1 357 ++++L （2）23456 12345 -+-+-L （3 ） 2 2242462468 x x ++++L g g g g g g （4） 2345 3579 a a a a -+-+L 3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性 （1 ）1n ∞ =∑ （2） 1111 133557(2n1)(2n1) +++++ -+ L L g g g g （3） 2 sin sin sin 666 n πππ ++++ L L 4.判定下列级数的收敛性
（1）23238888(1)9999n n n -+-++-+L L （2）1111 3693n +++++L L （3 ）13+++L L （4）232333332222n n +++++L L （5）223311111111()()()()23232323n n ++++++++L L 5.利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性 （1）1 1(1)n n n +∞ =-∑ （2）11111123456+-++-+L （3）1sin 2n n nx ∞ =∑ （4）0111 ( )313233n n n n ∞ =+-+++∑ 习题 12-2 1.用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性 （1）1111++++35n +L L （2-1） （2）222 12131112131n n +++++++++++L L （3）1112536(n 1)(n 4)++++++L L g g （4） 2 3 sin sin sin sin 2 222n π π π π +++++L L （5）11 (a 0)1n n a ∞ =>+∑
微积分无穷级数作业
12.1 无穷级数的概念与基本性质 一、填空题 1．级数?Skip Record If...?的部分和?Skip Record If...?，其和?Skip Record If...? . 2．若级数?Skip Record If...?收敛，则级数?Skip Record If...? （填收敛或发散）. 3．级数?Skip Record If...?的部分和?Skip Record If...?，其和?Skip Record If...? . 4．已知无穷级数的部分和?Skip Record If...?，则级数的一般项?Skip Record If...?= . 5．若级数?Skip Record If...?收敛于?Skip Record If...?，则级数?Skip Re cord If...?= . 6.已知?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? . 二、判别级数?Skip Record If...?的收敛性，若收敛求和. 三、判别级数?Skip Record If...?的收敛性 12.2 常数项级数的审敛法（一） 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢36
一、单项选择题 1.下列级数收敛的是 . A.?Skip Record If...? B.?Skip Record If...? C.?Skip Record If...? D.?Skip Record If...? 2.正项级数?Skip Record If...?收敛是级数?Skip Record If...?收敛的 条件. A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分也非必要 二、判别以下级数的敛散性 1．?Skip Record If...? 2.?Skip Record If...? 3.?Skip Record If...? 4.?Skip Record If...? 三、求极限?Skip Record If...? 12.2 常数项级数的审敛法（二） 一、单项选择题 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢36