等比数列的性质总结
１. 等比数列的定义:()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式：
()11110,0n n
n n a a a q q A B a q A B q
-==
=??≠?≠，首项:1a ；公比：q 推广:n m n m a a q -=, 从而得n m
n
m
a q
a -=. 3. 等比中项
(1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：2
A ab =
或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数)
(2)数列{}n a 是等比数列?2
11n n n a a a -+=?
4． 等比数列的前n 项和n S 公式:
(1）当1q =时, 1n S na =.
(2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q
q
--=
=
--11''11n n n a a
q A A B A B A q q =-=-?=---(,,','A B A B 为常数) 5． 等比数列的判定方法
(1）定义法:对任意的n ,都有1
1(0)n n n n n
a a a q q q a a ++==≠或
为常数，?{}n a 为等比数列． （2)中项公式法：2
11n n n a a a +-=(11n n a a +-≠0)?{}n a 为等比数列．
(３） 通项公式法：()0n
n a A B A B =??≠?{}n a 为等比数列
（4） 前n 项和公式法:()11'',,','11
n n n n n a a
S q A A B S A B A A B A B q q =-=-?=---或为常数?{}n a 为等比数列
6. 等比数列的证明方法
依据定义:若
()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=?{}n a 为等比数列 7. 注意
（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到５个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这５个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知３求２。
（2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项;1
1n n a a q -=
如奇数个数成等比，可设为…,2
2
,,,,a a a aq aq q q
…(公比为q ,中间项用a 表示）；
8. 等比数列的性质
（１)当1q ≠时
①等比数列通项公式()1
110n n
n n a a a q
q A B A B q
-==
=??≠是关于n 的带有系数的类指数函数,底数为公比q ． ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q
q q q
--=
==-=-?=-----,系数和常数项是互为相反数
的类指数函数，底数为公比q
（2）对任何,m n N *
∈,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=，特别的,当1m =时,便得到等比数列的通项公式.因此，
此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
（3）若m n s t +=+ （,,,m n s t N *
∈),则n m s t a a a a ?=?.特别的,当2m n k +=时,得2n m k a a a ?=
注：12132n n n a a a a a a --?=?=???
（4）数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列{}n
k
a ，{}n k a ?,{}k n a ，{}n n k a
b ??{}n n a b (k 为非零常数) 均为等比
数列．
（５）数列{}n a 为等比数列,每隔()k k N *
∈项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等比数列. （6）如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是等差数列. （7)若{}n a 为等比数列,则数列n S ,2n n S S -，32,n n S S -???，成等比数列．
(8)若{}n a 为等比数列,则数列12n a a a ??????， 122n n n a a a ++??????, 21223n n n a a a ++???????成等比数列
(9)①当1q >时,110{}0{}{
n n a a a a ><，则为递增数列
，则为递减数列
②当01q <<时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列
③当1q =时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）. ④当0q <时，该数列为摆动数列.
（10)在等比数列{}n a 中, 当项数为2n (ｎ∈*
N )时,
1
S S q
=奇偶． (11)若{}n a 是公比为q 的等比数列，则n
n m n m S S q S +=+?
注意：解决等比数列问题时,通常考虑两类方法:
①基本量法:即运用条件转化为关于1a 和q 的方程;
②巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量.
等比数列练习
一、选择题
1.已知数列4,,,121--a a 成等差数列, 4,,,1321--b b b 成等比数列，则
2
1
2b a a -的值为( ） A 、2
1 Ｂ、—2
1 C 、2
1或—2
1 D 、4
1
2.等比数列{}n a 中,1990,,n a a a >为方程2
10160x x -+=的两根，则205080a a a ??的值为( ）Ａ.32 Ｂ.64 C ．256 D ．64±
3.已知-9，ａ１，a 2，－1四个实数成等差数列，-9，b 1,ｂ2,b ３,-1五个实数成等比数列,则ｂ2(a 2-a 1）＝（ )A.8 Ｂ.-8 C.8± D.错误!
4.某数列既成等差数列也成等比数列，那么该数列一定是 ???( ) A.公差为0的等差数列; B ．公比为１的等比数列； C.常数数列1,1，１…; D.以上都不对．
5.等比数列{}n a 的各项均为正数,且5647a a a a +=18，则3132310log log log a a a ++
+=（ )
A ．12 B.10 C ．8 Ｄ.2+3log 5 ６．已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和,且421,,S S S 成等比数列,则1
3
2a a a +等于( ） Ａ． 4 B. ６ C.8 D.10
7.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是3a 与7a 的等比中项,1060,S =则8S 等于( ） Ａ、２８ Ｂ、３２ C 、36 Ｄ、4０ 8.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若242S S =，则公比为( ） Ａ.１ Ｂ．1或－1 C.
21或2
1
- Ｄ.２或－2 9.已知等比数列{}a n 的公比为2，前４项的和是1,则前8项的和为( ）
A.15 B ．17 C ．１９ Ｄ .２1 10．设{}n a 是公比为正数的等比数列，若354,16a a ==,则数列{}n a 的前5项和为（ ） A ．15 Ｂ.31 C ．32 D.4１
二、填空题
13.设等比数列｛n a }的前n 项和为n s 。若3614,1s s a ==,则4a =
14．已知等差数列{}n a 满足:6,821-=-=a a 。若将541,,a a a 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为 。
１5.等比数列{}n a 的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{}n a 的前4项和4S = __＿. 16.等比数列{}n a 的前n 项和n S =22-+?a a n
,则n a ＝＿___＿__．
三、解答题
1７．(１)在等差数列{}n a 中，16412,7a a a +==,求n a 及前n 项和n S ; (2）在等比数列{}n a 中，,2
198,2763==S S ,求n a . 18.为了保护三峡库区的生态环境,凡是坡度在25°以上的坡荒地都要绿化造林。据初步统计，到2012年底库区的绿化率只有30%。计划从２0１３年开始加大绿化造林的力度,每年原来坡度在25°以上的坡荒面积的1６％将被造林绿化,但同时原有绿化面积的４%还是会被荒化。设该地区的面积为1,2012年绿化面积为10
3
1=a ,经过一年绿化面积为a 2,…，经过ｎ年绿化面积为.1+n a
（I ）试写出n n a a 与1+的关系式，并证明数列}5
4{1-+n a 是等比数列； （II)问至少需要经过多少年努力，才能使库区的绿化面积超过６0%？
19.已知等比数列,8
3
,12}{83=
=a a a n 满足记其前ｎ项和为.n S （１)求数列}{n a 的通项公式n a ； （2）若.,93n S n 求=
２０．在等比数列{}n a 中,,11>a 公比0>q ，设n n a b 2log =，且.0,6531531==++b b b b b b （１)求证:数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S 及数列{}n a 的通项公式; （3）试比较n a 与n S 的大小.
21．等比数列{}a n 的前n 项和为S S S S n ，3692+=，求公比q 。
22.设数列{}a n 的前n 项和n S ，且*)(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-． 其中m 为常数,且.0,3≠-≠m m (Ⅰ)求证{}a n 是等比数列;
（Ⅱ）若数列{}a n 的公比)(m f q =，数列{}n b 满足)2,)((2
3
,111≥∈==-n N n b f b a b n n ， 求证}1
{
n
b 为等差数列,并求n b .
答案
一、选择题
1.A
2.Ｂ
3.Ｂ
4.B
5.Ｂ
6.C
7.Ｂ 8．Ｂ 9.A １0.B 二、填空题 13.3 14.－1 15.15
2
16.12-n 三、解答题
17.解析:(1）数列{}n a 是等差数列,因此124361=+=+a a a a , 由于74=a
122)3(52,53-=?-+=∴=∴=∴n n a d a n
又2122
)
1(,1n n n n S a n =?-+
=∴= （２)q q a S --==1)1(27313 q
q a S --==1)1(98616由 32813
36==+=q q S S 得
所以2671=
a ,1326
7
-?=n n a 18.解析：(I)设2012年坡度在25°以上的坡荒地面积为b 1,经过n 年绿化造林后坡荒地面积为
.1,1=++n n n b a b 则
196%16%96%16%(1)
4480%16%525
n n n n n n n a a b a a a a +=+=+-=+=+
故
由).54
(5454,2545411-=-+=
++n n n n a a a a 得 所以数列.5
4
,2154}54{11为公比的等比数列为首项是以-=--+a a n
（II)由（I ）可知.
)5
4(21541n
n a ?-=+
.5
2)54(%,60)54(2154<>?-n n 则若 234555424161024642
,(),(),
5552525551255425625024102462522(),(),562562555555
442(),5,().
555
x n y n >=>===?=>==<==≥<因为又是减函数所以当时故至少需要5年才能使库区的绿化面积超过６0%。 １9.解析:（1）设等比数列}{n a 的公比为ｑ，则
??
???====,83,127
18213q a a q a a 解得?????==,21,481q a ?? 所以.)2
1
(4811
1--?==n n n q
a a ?
（2）])21(1[96211]
)21(1[481)1(1n n n
n q q a S -=--=--=?
由.5,93])2
1(1[96,93==-=n S n
n 解得得?
20.解析：（1)由已知q a a b b n
n n n log log 1
2
1==-++为常数．故数列{}n b 为等差数列， 且公差为.log 2q d = （先求q 也可) （2）因0log ,11211>=?>a b a ，又263531=?=++b b b b ，所以.05=b
由.291,40
4,22211513???-=?-==?=+==+=n n S d b d b b d b b n
由*511212,221
,164
log 1log N n a q a a b q d n n ∈=?==????==-==-.
（3)因,0>n a 当9≥n 时，0≤n S ，所以9≥n 时,n n S a >；
又可验证2,1=n 是时,n n S a >；8,7,6,5,4,3=n 时,n n S a <. 2１.解析：若q =1
则S a S a S a 319161396===，，
∴=?≠9290
11
1a a a
∴矛盾
∴≠∴--+--=?
--∴--=≠∴--=∴+-=q a q q a q q a q q
q q q q q q q q 1
1111211210
21021101316193
6
3
6333()()()()()()
q q q ≠∴+=∴=
-121042
33 说明:此题易忽略q =1的情况,在等比数列求和时要分公比q q =≠11和两种情况进行讨论。
22.解析:(Ⅰ)由32)3(32)3(11+=+-+=+-++m ma S m m ma S m n n n n 得,两式相减得
n n ma a m 2)3(1=++ …………3分
3
2301+=∴
-≠≠+m m
a a m m n n ，且, ∴{ａn }是等比数列 …………6分 （Ⅱ）
b 1=ａ１=1,时且，23
2)(≥∈∴+=
=n N n m m
m f q , 3
111,33,3223)(23111111=-=++?==
------n n n n n n n n n n b b b b b b b b b f b ……１0分 ∴}1{
n b 是1为首项3
1
为公差的等差数列 ∴2
3,323111+=∴+=-+=n b n n b n n (4)
等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 . （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． ` （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 ？ （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.
等差等比数列的性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
一、等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间 项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.
一、等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，
等比数列性质 2. 通项公式： a n a 1q n 1 a i q n A B n a 1 q 0, A B 0 , 首项：a 1;公比：q q 推广：a n a m q n m , 从而得q n m 也或q n a m a m 3. 等比中项 （1） 如果a,A,b 成等比数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项?即： A ab 或A 、. Ob 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个（两个等比中项互为相反数） 2 （2） 数列a n 是等比数列 a n a n 1 a n 1 4.等比数列的前n 项和S n 公式: ⑴当q 1时，S n na 1 A B n A'B n A'（代 B,A',B'为常数） a 亠 q （q 为常数，a n 0） {a .}为等比数列 a n 0） {a n }为等比数列 {a n }为等比数列 A'B n A' A,B,A',B'为常数 {a n }为等比数列 6. 等比数列的证明方法 … a * 依据定义：若 — q q 0 n 2,且n N 或a n 1 qa n {a n }为等比数列 a n 1 7. 注意 （1） 等比数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5个元素：a 1、q 、n 、a n 及&，其中a 1、 基本元素。只要已知这 5个元素中的任意 3个，便可求出其余 2个，即知3求2。 （2） 为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项； a n aq n1 1.等比数列的定义: a n a n 1 q q On 2,且 n N ,q 称为公比 ⑵当 a 11 q n a 1 1 a n q q h 1 q a 1 a 〔 n -q A 1 q 1 q 5.等比数列的判定方法 (1) 用定义：对任意的 n,都有 a n 1 qa n 或 (2) 2 等比中项：a n a n 1a n 1 ( a n 1a n 1 (3) 通项公式：a n A B n A B 0 (4) 前n 项和公式： & A A B^S n q 称作为
等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n ，都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或 为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质： （2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。 （3）若* (,,,) m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=??? 等差和等比数列比较：
等差数列与等比数列总结 一、等差数列： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示； 等差中项，如果2 b a A += ，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数； 等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=； 等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-； 等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n ）a a （n 1?+=d 2）1-n （n na 1?+ = 中12na n ）2d -a （n ）2d （=?+?； 【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n += 【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+ 【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+ 3、md 成等差数列，公差为、a 、a 、a m 2k m k k ??++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =??==+++ 4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ??成等差数列，公差为d n 2 【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+??+++??++=++， ） a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+??+++??++=++++??=，d n 2 5、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2，q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=?+
等比数列性质 （一）、等比数列的公式 1. 等比数列的定义： ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式： ()1110n n a a q a q -=?≠， 首项：1a ；公比：q n m n m a a q -=， 3. 等比中项 （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 A ab = 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列{}n a 是等比数列?211n n n a a a -+=? 4. 等比数列的前n 项和n S 公式： (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，() 11111n n n a q a a q S q q --==-- 11''11n n n a a q A A B A B A q q =-=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5. 等比数列的判定方法 （1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n n a a qa q q a a ++==≠或为常数，?{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）?{}n a 为等比数列 （3） 通项公式：()0n n a A B A B =??≠?{}n a 为等比数列 （4） 前n 项和公式：()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-?=-或为常数?{}n a 为等比数列 6. 等比数列的证明方法 依据定义：若()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=?{}n a 为等比数列 7. 注意 （1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为 基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11n n a a q -= 如奇数个数成等差，可设为…，22,,,,a a a aq aq q q …（公比为q ，中间项用a 表示）；
等差等比数列知识点总结 1. 等差数列： 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d叫做等差数列的公差，即 a n a n 1 d （d为常数）（n 2）； 2. 等差中项： 1）如果a ， A ，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中 项．即： 或2A a b 3. 等差数列的通项公式： 一般地，如果等差数列 a n 的首项是a1 ，公差是 d ，可以得到等差数列的通 项公式为： a n a1 n 1d 推广：a n a m(n m)d ．a n a m 从而 d ； nm 4．等差数列的前n 项和公式： n（a1 a n）n（n 1） d 2 1 2 S n na1 d n （a1 d）n An Bn 2 2 2 2 （其中A、B是常数，所以当d≠ 0时，S n是关于n的二次式且常数项为0）5．等差数列的判定方法 （1）定义法：若a n a n 1 d或a n 1 a n d（常数n N ）a n 是等差数列．（2）等差中项：数列a n是等差数列 2a n a n-1 a n 1(n 2)2a n 1a n a n 2 ． （3）数列a n 是等差数 列a n kn b （其中k,b 是常数）。 （4）数列a n 是等差数 列S n An2Bn, （其中A、B是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若a n a n 1 d 或 a n1a n d （常数n N ）a n 是等差数列． ab 2 2）等差中项数列a n是等数列2a n a n-1 a n 1(n 2) 2a n 1 a n a n 2
二轮专题复习：等差数列与等比数列 澄海实验高级中学 曦怀 一、教材分析： 数列知识是历年高考的重点容，是必考的热点。数列考查的重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差（比）中项及等比等差数列的性质的灵活运用。这一部分主要考查学生的运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿．在选择题、填空题中突出了“小、巧、活”的三大特点，在解答题中以中等难度以上的综合题为主，涉及函数、方程、不等式等重要容，试题中往往体现了函数与方程，等价转化，分类讨论等重要的数学思想。 二、复习目的： 1．熟练掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式、等差（比）中项及等差（比）数列的相关性质． 2. 灵活运用等差（比）数列的相关性质解决相应问题.在解决数列综合性问题时，灌输方程思想、化归思想及分类讨论思想。培养学生运算能力、逻辑思维能力、分析问题以及解决问题的能力. 三、复习重点、难点： 重点：等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差（比）中项及等差（比） 数列的相关性质． 难点：灵活运用差（比）数列的相关性质结合函数思想、方程思想探求解题思路，分析问 题、解决问题． 复习容： 四、复习过程： （一）知识要点回顾： 1、重要公式： （1）数列通项公式n a 与前n 项和公式n S 之间的关系：1n 1 n 1 S n 2 n n S a S -=?=?-≥?. （2）等差数列： ①定义：1{}(n n n a a a d +? -=为等差数列常数）. ②通项公式：1(1)n a a n d =+- ， ()n m a a n m d =+- . ③前n 项和公式：11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-=+ = . ④等差中项:112n n n a a a -+=+ .
等比数列性质 1. 等比数列的定义：()()* 1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式： ()1 1110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠， 首项：1a ；公比：q 推广：n m n m a a q -=， 从而得n m n m a q a -= 或n q = 3. 等比中项 （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab = 或A = 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列{}n a 是等比数列?211n n n a a a -+=? 4. 等比数列的前n 项和n S 公式： (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，() 11111n n n a q a a q S q q --= =-- 11 ''11n n n a a q A A B A B A q q = - =-?=---（,,','A B A B 为常数） 5. 等比数列的判定方法 （1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n n a a qa q q a a ++==≠或 为常数，?{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：2 11n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）?{}n a 为等比数列 （3） 通项公式：()0n n a A B A B =??≠? {}n a 为等比数列 （4） 前n 项和公式：()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-?=-或为常数?{}n a 为等比数列 6. 等比数列的证明方法 依据定义：若 ()()* 1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1 n n a qa +=?{}n a 为等比数列 7. 注意 （1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；1 1n n a a q -= 如奇数个数成等差，可设为…， 2 2 , ,,,a a a aq aq q q …（公比为q ，中间项用a 表示） ；
等差数列性质总结 1.等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +?=+≥∈212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间 项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、 d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???， （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等差数列
等比数列知识点总结及题型归纳 1、等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m n m m m a a a a q q q a a ---=?=?= 3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A ab =± 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n ，都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或 为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若()()*12,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质： （2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。 （3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=??? （4）数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列{}n k a ，{}n k a ?，{}k n a ，{}n n k a b ??，{}n n a b （k 为非零 常数）均为等比数列。 （5）数列{}n a 为等比数列，每隔*()k k N ∈项取出一项23(,,,,)m m k m k m k a a a a +++???仍为等比数列 （6）如果{}n a 是各项均为正数的等比数列，则数列{log }a n a 是等差数列 （7）若{}n a 为等比数列，则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -???，成等比数列 （8）若{}n a 为等比数列，则数列12n a a a ??????，122n n n a a a ++??????，21223n n n a a a ++???????成等比数列
等差数列性质总结 1.等差数列的定义式：d a a n n =--1 （d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +?=+≥∈212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???， （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列
等比数列知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
等比数列 知识梳理： 1、等比数列的定义： ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -===??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?= ?=3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab = 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= =-- 11''11n n n a a q A A B A B A q q =-=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或 为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列
等差数列 1.等差数列的定义：（d为常数）（）； 2．等差数列通项公式： ，首项:，公差:d，末项: 推广：．从而； 3．等差中项 （1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或 （2）等差中项：数列是等差数列 4．等差数列的前n项和公式： （其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项 （项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1）定义法：若或(常数)是等差数列．（2）等差中项：数列是等差数列 ． （3）数列是等差数列（其中是常数）。 （4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若或(常数)是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项
②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）； ③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2） 8..等差数列的性质： （1）当公差时， 等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差； 前和是关于的二次函数且常数项为0. （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。 （3）当时,则有，特别地，当时，则有. 注：， （4）若、为等差数列，则都为等差数列 （5）若{}是等差数列，则，…也成等差数列 （6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列 （7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和 1.当项数为偶数时， 2、当项数为奇数时，则 （其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）． （8）、的前和分别为、，且， 则.
等比数列及其前n 项和 教学目标： 1、熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。 2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关的简单问题。 知识回顾： 1．定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。用递推公式 表示为)2(1≥=-n q a a n n 或q a a n n =+1。注意：等比数列的公比和首项都不为零。（证明数列是 等比数列的关键） 2．通项公式： 等比数列的通项为：11-=n n q a a 。推广：m n m n q a a -= 3．中项： 如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项；其中ab G =2。 4．等比数列的前n 项和公式 ?? ? ??≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n 5．等比数列项的性质 （1）在等比数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则q p n m a a a a =；特别的，若m ，p ，q N +∈且q p m +=2，则q p m a a a =2 。 （2）除特殊情况外，,...,,232n n n n n S S S S S --也成等比数列。n q q ='。 （其中特殊情况是当q=-1且n 为偶数时候此时n S =0，但是当n 为奇数是是成立的）。 4、证明等比数列的方法 （1）证： q a a n n =+1（常数）；（2）证：112 ·+-=n n n a a a （2≥n ）. 考点分析
等比数列 知识梳理： 1、等比数列的定义： ()()*12,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -===??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?= ?=3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab = 或A =、 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互 为相反数） （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= =-- 11''11n n n a a q A A B A B A q q =-=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： ` （1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或 为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列
（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质： （1）当1q ≠时 > ①等比数列通项公式()1110n n n n a a a q q A B A B q -===??≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ； ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q q q q --==-=-?=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q 。 （2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=，特别的，当1m =时，便得到等比数列的通项公式。因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 （3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=??? （4）数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列{}n k a ，{}n k a ?，{}k n a ，{}n n k a b ??，{}n n a b （k 为非零常数）均为等比数列。 （5）数列{}n a 为等比数列，每隔*()k k N ∈项取出一项23(,,,,)m m k m k m k a a a a +++???仍为等比数列 （6）如果{}n a 是各项均为正数的等比数列，则数列{log }a n a 是等差数列 # （7）若{}n a 为等比数列，则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -???，成等比数列 （8）若{}n a 为等比数列，则数列12n a a a ??????，122n n n a a a ++??????，21223n n n a a a ++???????成等比数列