专题01 集合与常用逻辑用语
易错点1 忽略集合中元素的互异性
设集合2{},,,1,{,}A x x xy B x y ==，若A B =，则实数,x y 的值为
A ．1
x y =??
∈?
R
B ．1
0x y =-??
=?
C ．1
1x y =??=?
D ．1x y =??∈?R 或10x y =-??=?或1
1x y =??=?
【错解】由A B =得21x xy y ?=?=?或21x y xy ?=?=?，解得1x y =??∈?R 或10x y =-??=?或1
1x y =??=?
，所以选D.
【错因分析】在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就不算了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．当1x y =??
∈?R 时，A =B ={1,1，y }，不满足集合元素的互异性；当1
1
x y =??=?时，A =B ={1,1,1}
也不满足元素的互异性；当1
x y =-??
=?时，A =B ={1，?1,0}，满足题意．
【试题解析】由A B =得21x xy y ?=?=?或21x y xy ?=?=?，解得1x y =??∈?R 或10x y =-??=?或11x y =??=?，经检验，当取1
x y =??
∈?R
与11x y =??
=?时不满足集合中元素的互异性，所以1
x y =-??=?. 【参考答案】B
集合中元素的特性：
（1）确定性. 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元
素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合；
（2）互异性. 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特
性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素
（3）无序性. 集合与其中元素的排列顺序无关，如a ，b ，c 组成的集合与b ，c ，a 组成的集合是相同的集
合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系
1．已知集合2{2,2}A m m m =++，若3A ?，则m 的值为________． 【解析】由题意得23m +=或223m m +=，则1m =或32
m =-
. 当1m =时，23m +=且2
23m m +=，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当32m =-
时，122m +=，而2
23m m +=，故32m =-. 【答案】3
2
-
易错点2 误解集合间的关系致错
已知集合{}{|0,1}A B x x A ==?，，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是 A ．A B ? B ．A ?≠B C ．B ?≠A
D ．A B ∈
【错解】因为x A ?，所以{}{}{}01{0,1}B =?，，，，所以A ?≠B ，故选B.
【错因分析】判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中的元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等关系，但有时也可能为从属关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两个集合中元素之间的关系是什么．本题比较特殊，集合B 中的元素就是集合，当集合A 是集合B 的元素时，A 与B 是从属关系．
【试题解析】因为x A ?，所以{}{}{}01{0,1}B =?，，，，则集合{}0,1A =是集合B 中的元素，所以
A B ∈，故选D.
【参考答案】D
（1）元素与集合之间有且仅有“属于（∈）”和“不属于（?）”两种关系，且两者必居其一.判断一个对象是
否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征.
（2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是
集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ?（或
B A ?）；如果集合A B ?，但存在元素x B ∈，且x A ?，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作
A B ?≠（或B A ?≠）.
2．已知集合{}{|0,1}A B x x A ==∈，，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是 A ．A B = B ．A ?≠B C ．B ?≠A
D ．A B ∈
【解析】因为集合B 是由集合A 的所有元素构成，B ={0,1}，所以A B =，故选A. 【答案】A
易错点3 忽视空集易漏解
已知集合2{|3100}A x x x =--?，{|121}B x m x m =+＃
-，若A B A = ，则实数m 的取值
范围是 A ．[3,3]- B ．[2,3] C ．(,3]-∞
D ．[2,)+∞
【错解】∵2
3100x x --?，∴25x -＃，∴{|25}A x x =-＃.
由A B A = 知B A ?，∴21
215m m -≤+??-≤?
，则33m -≤≤.
∴m 的取值范围是33m -≤≤.
【错因分析】空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.由并集的概念知，对于任何一个集合A ，都有A A ?= ，所以错解中忽略了B =?时的情况.
【试题解析】∵A B A = ，∴B A ?.2{|3100}{|25}A x x x x x =--?-＃，
①若B =?，则121m m +>-，即2m <，故2m <时，A B A = ； ②若B ≠?，如图所示，
则121m m +?，即2m 3.
由B A ?得21215
m m -≤+??-≤?，解得33m -≤≤.又∵2m 3，∴23m ≤≤.
由①②知，当3m ≤时，A B A = . 【参考答案】C
（1）对于任意集合A ，有A ?=? ，A A ?= ，所以如果A B =? ，就要考虑集合A B 或可能是
?；如果A B A = ，就要考虑集合B 可能是?.
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即A ??，()B B ??≠?≠
.
3．若{|}34211{|}A x x B x m x m =≤≤=-≤≤+-，，若B A ?，则实数m 的取值范围是 A ．[1,3]- B ．[2,)+∞ C ．[1,2]-
D ．[1,)-+∞
【解析】当B =?时，211m m ->+，∴m >2；
当B ≠?时，由题意，得213
14211m m m m -≥-??
+≤??-≤+?
，解得12m -≤≤.
∴m ≥?1，即所求m 的取值范围是[1,)-+∞. 【答案】D
易错点4 A 是B 的充分条件与A 的充分条件是B 的区别
设,a b ∈R ,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
【错解】选A.
【错因分析】充分必要条件的概念混淆不清致错.
【试题解析】若2,2a b >>且，则4a b +>，但当4,1a b ==时也有4a b +>，故本题选B ． 【参考答案】B
（1）“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ，即B ?A 且A /TB ； （2）“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ，即A ?B 且B /TA .
4．已知a ，b ∈R ，若22
1a b +≥的一个充分不必要条件是ab m ≤(0)m <，则实数m 的取值范围是
A
B ．(]
,2-∞-
C
D ．[
)2,0-
【解析】又因为22
1a b +≥的A. 【答案】A
易错点5 命题的否定与否命题的区别
命题“()*
*
n f n ?∈∈N N ，且()f n n ≤”的否定形式是
A ．()*
*
()n f n f n n ?∈?>N N ，且
B ．**()()n f n f n n ?∈?>N N ，或
C ．**0000
)()(n f n f n n ?∈?>N N ，且
D ．**0000()()n f n f n n ?∈?>N N ，或
【错解】错解1：“*0n ?∈N ”的否定为“*0n ?∈N ”，“()*
f n ∈N 且()f n n ≤”的否定为“()*
0f n ?N 且00()f n n >”，故选C.
错解2：“()*
f n ∈N 且()f n n ≤”的否定为“()*
f n ?N 且()f n n >”，故选A.
错解3：“()*
f n ∈N 且()f n n ≤”的否定为“()()*
f n f n n ?>N 或”，故选B.
【错因分析】错解1对命题的结论否定错误，没有注意逻辑联结词； 对于错解2，除上述错误外，还没有否定量词；
错解3的结论否定正确，但忽略了对量词的否定而造成错选．
【试题解析】全称命题的否定为特称命题，因此命题“()*
*
n f n ?∈∈N N ，且()f n n ≤”的否定形式是
“()()*
*
0000n f n f n n ?∈?>N N ，或 ”．故选D.
【参考答案】D
1．命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论． 2．命题的否定
（1）对“若p ，则q ”形式命题的否定； （2）对含有逻辑联结词命题的否定； （3）对全称命题和特称命题的否定．
（4）全称（或存在性）命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称（或存在性）命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．
5．已知2||1
:523,:
045
p x q x x ->>+-，则?p 是?q
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
【解析】∵:3|5|2p x ->，∴5x ?2>3或5x ?21或15x <-，∴?p ：1
15
x -≤≤. ∵2
1
:
045
q x x >+-，∴x 2＋4x ?5>0，∴x >1或x
的否定形式错误地认为：
一、集合
1．元素与集合的关系：a A a A
∈????属于，记为不属于，记为.
2．集合中元素的特征：
（1）确定性：一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合.
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.
（3）无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如a ，b ，c 组成的集合与b ，c ，a 组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系.
3．常用数集及其记法：
4．集合间的基本关系
2n 个子集，有C A ??5．集合的基本运算
B B
? B B ?
二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1．四种命题
2．四种命题间的关系
都是
任意3．充分条件与必要条件的概念
(1)若p ?q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)若p ?q 且q /?p ，则p 是q 的充分不必要条件； (3)若p /?q 且q ?p ，则p 是q 的必要不充分条件； (4) 若p ?q ，则p 是q 的充要条件；
(5) 若p /?q 且q /?p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.
(1)等价转化法判断充分条件、必要条件
①p 是q 的充分不必要条件?q ?是p ?的充分不必要条件； ②p 是q 的必要不充分条件?q ?是p ?的必要不充分条件； ③p 是q 的充要条件?q ?是p ?的充要条件；
④p 是q 的既不充分也不必要条件?q ?是p ?的既不充分也不必要条件. (2)集合判断法判断充分条件、必要条件
若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：A ={x |p (x ) }，q ：B ={x |q (x ) }，则 ①若A B ?，则p 是q 的充分条件； ②若B A ?，则p 是q 的必要条件； ③若A B ?≠，则p 是q 的充分不必要条件； ④若B A ?≠，则p 是q 的必要不充分条件；
⑤若A B =，则p 是q 的充要条件；
⑥若A B ?≠且B A ?≠，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 三、逻辑联结词、全称量词与存在量词 1．常见的逻辑联结词：或、且、非
一般地，用联结词“且”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧，读作“p 且q ”； 用联结词“或”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨，读作“p 或q ”； 对一个命题p 的结论进行否定，得到一个新命题，记作p ?，读作“非p ”． 2．复合命题的真假判断
“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：
3．全称量词和存在量词
4．含有一个量词的命题的否定
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：
含有逻辑联结词的命题的真假判断： （1）p q ∧中一假则假，全真才真． （2）p q ∨中一真则真，全假才假． （3）p 与p ?真假性相反．
注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念.
1．[2017新课标Ⅱ卷文]设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =
A ．{}1
23,4，， B ．{}123，， C ．{}234，
， D ．{}13
4，， 2．[2017北京卷文] 已知全集U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则U A =e A ．(2,2)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞ C ．[2,2]-
D ．(,2][2,)-∞-+∞
3．[2015湖北卷文] 命题“0(0,)x ?∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是
A ．0(0,)x ?∈+∞，00ln 1x x ≠-
B ．0(0,)x ??+∞，00ln 1x x =-
C ．(0,)x ?∈+∞，ln 1x x ≠-
D ．(0,)x ??+∞，ln 1x x =-
4．[2017北京卷文]设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0
D ．既不充分也不必要条件
5．[2017浙江卷] 已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知集合{}|00{},1x x ax +==，则实数a 的值为 A ．?1
B ．0
C ．1
D ．2
7．已知集合{|12},{|14,}A x x B x x x =-≤≤=-<<∈Z ，则A B = A ．{}0,1,2 B ．[]
0,2 C ．{}0,2
D ．()0,2
8．设命题p :1,ln x x x ?>>,则p ?为 A ．0001,ln x x x ?>> B ．0001,ln x x x ?≤≤ C ．0001,ln x x x ?>≤
D ．1,ln x x x ?>≤
9．“若1
2
a ≥
，则0x ?≥，都有()0f x ≥成立”的逆否命题是 A ．0x ?<，有()0f x <成立，则1
2a <
B ．0x ?<，有()0f x ≥成立，则1
2a <
C ．0x ?≥，有()0f x <成立，则1
2a <
D ．0x ?≥，有()0f x <成立，则1
2
a <
10．已知集合(){,|1,01}A x y y x x ==+≤≤，集合(){,|2,010}B x y y x x ==≤≤，则集合A B =
A ．{}1,2
B ．{}1,2x y ==
C ．(){}
1,2
D ．{}1,2x x == 11．已知集合
，
，若，则实数的取值范围是
A ．
B ．
C ．
D ．
12．“1m >”是“在区间[
)1,+∞无零点”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
13．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使
A ．=-a b
B ．∥a b
C ．2=a b
D ．∥a b 且14．已知命题p :对任意x ∈R ,总有20;:1x q x >>是2x >的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是
A ．p q ∧?
B ．p q ?∧?
C ．p q ?∧
D ．p q ∧
15．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ?为真命题的充分不必要条件为31a m >+，
则实数m 的取值范围是 A ．[
)1,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),1-∞
D ．(]
,1-∞
16．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目
标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是 A ．()()p q ?∨?为真命题 B ．()p q ∨?为真命题 C ．()()p q ?∧?为真命题
D ．p q ∨为真命题
17．已知集合{}1,2,21A m =--，集合{}
2
2,B m =，若B A ?，则实数m =________．
18．若命题“2000,20x x x m ?∈-+≤R ”是假命题，则m 的取值范围是__________．
19．已知条件()2:log 10p x -<，条件:q x a >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______．
20．设U =R ，集合()2
2{|320}{|10}A x x x B x x m x m =++==+++=，，若()
U A B =? e，则
m =_________.
21．设有两个命题，p :关于
x 的不等式1x a >（0a >,且1a ≠）的解集是{|0}x x <；q :函数
()
2lg y ax x a =-+的定义域为R .如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则实数a 的取值范围是
_________.
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