一元二次方程
1．（模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．
（1）用含p的代数式表示q；
（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．
2．设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值围，使|α|＋|β|≤6成立．
3．（）已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．
4．（模拟）已知关于x的方程x2－(a＋b＋1)x＋a＝0（b≥0）有两个实数根x1、x2，且x1≤x2．（1）求证：x1≤1≤x2
（2）若点A（1，2），B（1
2
，1），C（1，1），点P（x1，x2）在△ABC的三条边上运动，
问是否存在这样的点P，使a＋b＝5
4
？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（模拟）已知方程组 ?????y
2＝4x y ＝2x ＋b 有两个实数解 ?????x ＝x 1y ＝y 1 和 ?????x ＝x 2y ＝y 2
，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2． （1）求b 的取值围；
（2）否存在实数b ，使得
1 x 1 ＋ 1 x
2 ＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．
6．（某校自主招生）已知a ，b ，c 为实数，且满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，求c 的取值围．
7．（某校自主招生）已知实数x 、y 满足
?????x ＋y ＝3a －1x 2＋y 2＝4a 2－2a ＋2
，求x y 的取值围．
8．（某校自主招生）已知方程(ax ＋1)2＝a 2(1－x
2)（a ＞1）的两个实数根x 1、x 2满足x 1＜x 2，求证：
－1＜x 1＜0＜x 2＜1．
（答案）
1．（模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．
（1）用含p的代数式表示q；
（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．
解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2 ∴2 2＋2p ＋q ＋1＝0，整理得：q ＝－2p －5 （2）∵△＝p 2－4q ＝p 2－4(－2p －5)＝p 2＋8p ＋20＝( p ＋4) 2＋4 无论p 取任何实数，都有( p ＋4) 2≥0 ∴无论p 取任何实数，都有( p ＋4)
2＋4＞0，∴△＞0 ∴抛物线y 1＝x
2＋px ＋q 与x 轴有两个交点 （3）∵抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 与抛物线y 2＝x 2＋px ＋q ＋1的对称轴相同，都为直线x ＝－
p
2 ，且开口大小相同，抛物线y 2＝x 2＋px ＋q ＋1可由抛物线y 1＝x
2＋px ＋q 沿y 轴方向向上平移一个单位得到
∴EF ∥MN ，EF ＝MN ＝1
∴四边形FEMN 是平行四边形
由题意得S 四边形FEMN ＝EF ·|－ p 2 |＝2，即|－
p
2 |＝2 ∴
p ＝±4
2．（某校自主招生）设关于x 的方程x 2－5x －m 2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m 的取值围，使|α|＋|β|≤6成立． 解：∵△＝5 2－4(－m 2＋1)＝4m 2＋21 ∴不论m 取何值，方程x 2－5x －m 2＋1＝0都有两个不相等的实根 ∵x 2－5x －m 2＋1＝0，∴α＋β＝5，αβ＝1－m 2 ∵|α|＋|β|≤6，∴α 2＋β 2＋2|αβ|≤36，即( α＋β )2－2αβ＋2|αβ|≤36 ∴25－2(1－m 2)＋2|1－m
2|≤
36