基本不等式的使用
均值不等式的使用
一、 公式的意义和使用条件:
1、 a 2+b 2≥2ab ,a ∈R,b ∈R,当a=b 时取“=”。 逆运用公式:ab ≤
a 2+
b 22
,a ∈R,b ∈R,当a=b 时取“=”。
例:求y=sin x cos x 的最大值。[12
] (使用三角函数和均值不等式两种解法)
结论:积为常数时,平方和有最小值;平方和为常数时,积有最大值。
2、 a+b ≥2√ab, a ∈R +,b ∈R +, 当a=b 时取“=”。[带同学们分析两个公式的使用差别] 逆运用公式:ab ≤(a+b 2
)2
, a ∈R +,b ∈R +, 当a=b 时取
“=”。
例:求y=x(5-x)的最大值。[25
4]
例:设a ,b ,c 都是正数,求证:bc a +ac b +ab
c ≥a+b +
c.
证明 ∵a ,b ,c 都是正数,∴bc a ,ca b ,ab
c 都是正数.
∴bc a +ca b ≥2c,当且仅当a =b 时等号成立,ca b +ab
c
≥2a,
当且仅当b =c 时等号成立,
ab c +bc
a ≥2b,当且仅当a =c 时等号成立.三式相加,得2(bc a +ca
b +ab
c
)≥2(a+b +c),
即bc a +ca b +ab
c ≥a+b +c.当且仅当a =b =c 时等号成立. 3、
a 2+
b 22
≥
(a+b 2
)2
a ∈R,
b ∈R,当a =
b 时取“=”[可通过求差比较法得到], 化简后:a 2+b 2≥
(a+b)2
2
逆运用公式:a+b ≤2+b 2注:直接建立和与平方和的运算关系 例:已知√x +√y =1,求x +y 的最小值。 解法一:(√x +√y )2
=x +y +2√xy ? x +
y =1-2√xy
所以求x +y 的最小值,只需当√xy 取最大时即可。 √x +√y ≥2√√xy ?2√√xy ≤1?√xy ≤1
4,此时x +y 的最小值为1
2
,当x=y=1
4
取=。
解法二:x+y≥(√x+√y)2
2=1
2
,当x=y=1
4
取=。
例:已知:a>0,b>0,a+b=1,求证:√a+1
2
+
√b+1
2
≤2
解法一:(√a+1
2+√b+1
2
)
2
=
a+b+1+2√(a+1
2)(b+1
2
)=2+2√ab+3
4
求√a+1
2+√b+1
2
的最大值,则需满足ab最大即可.
a+b≥2√ab,?ab≤1
4?(√a+1
2
+√b+1
2
)
2
≤
4?√a+1
2+√b+1
2
≤2
解法二:直接利用公式。
注意:①公式中的字母可以是一个字母、数字或者式子;
②公式中的字母取值范围
③取“=”条件是否满足
例:[意义考察]下列函数中,最小值为2的是:( D ) A、y=x + 1
x
B
y=log x + 1
log x
(1 C y=sin x + 2sin x (0 π2 ) D y=3x +3?x 例:如果0 2 b ), M =12log 1 2(a +b ),那么P ,Q ,M 的大小顺序是 ( B ) A .P >Q >M B .Q >P >M C .Q >M >P D .M >Q >P 解析 因为P =log 12a +b 2,Q =12(log 12a +log 12b ),M = 1 2 log 1 2(a +b ), 所以只需比较a +b 2,ab ,a +b 的大小,显然a +b 2>ab . 又因为a +b 2< a + b (因为a +b >(a +b )24,也就是a +b 4 <1), 所以 a + b >a +b 2 >ab ,而对数函数当底数大于0且小 于1时为减函数,故Q >P >M . 注意:①若公式中的字母是负数,处理方式是提负号;若公式中的字母是可正可负,处理方式是分正负讨论。 例:y=x-2 + 4x?2 , x <2,求y 的取值范围。 例:y=tan x + 1 2tan x , 求y 的取值范围。 ②当取=条件无法满足,或者求取值范围时,可 借助对勾函数的单调性。 补充:对勾函数y=x+a x 的单调性,并指明优点是即可以 求最大值也能求最小值,而均值不等式的局限性在于只能求某一最值 例:y=sin x + 2sin x (0 2 ) ,求y 的取值范围。 例:y=3x+12x ,其中4≤x ≤9,求值域。 例:y=sin x + 12sin x , 求值域。 二、公式使用中的配常数问题 [分式配凑]例:已知x <54 ,求函数y =4x ?2+14x?5 的 最大值。(答案为1) 例:求函数y= x 2x?1 的值域。 例:x >3,求y= 2x 2+x x?3 值域。 例:设x,y,z 均为正实数,满足x-2y+3z=0,则y 2xz 最小值为(3) 解:y= x+3z 2 代入,原式=14 ( XZ +9z x +6)≥3(体现消 元思路) [根式配凑]例:求函数y= 2√x 2+2 的最小值。 解:y=2√x 2+2 = 2√x 2+2=2 +2+ √x 2+2 ≥4 当√x 2 +2= √x 2+2 即x=±√ [条件性配凑] 例:若x >0且x 2+ y 22 =1,则x√1+y 2的最大值为( ) 解:原式=√2 2 √2x√1+ y 2≤ √22 2x 2+1+y 22=3√24 ,当√=√1+ y 2即x=√32 , y 2=1 2 取=。 例:x >0,y >0, x+2y=2,求3xy 的最大值() 解:3xy =3 2x 2y ≤ 32( x+2y 2)2=32 ,当x=2y=1时取等号。 注:多次使用增值不等式的条件:同向且取=条件能同 时满足。 例:已知a2+b2=1,x2+y2=4,求ax+by的最大值 错解:ax≤a 2x2 2 ,by≤b 2++y2 2 ?ax+by≤a2+b2+x2+y2 2 =5 2 ,取 =条件无法满足。 正解;ax=1 2(2a?x)≤4a2x2 2 ,by=1 2 (2b?y)≤ b2++y2 2?ax+by≤4a2+4b2+x2+y2 2 =4 当x=2a且y=2b时取等号。 三、数字代换及等式代换 例:已知a>0,b>0,且1 a +1 b =1,求a+b的最小值。(4) 分析:两种思路解一下。 例:已知a>0,b>0,c>0,a+2b+3c=6求证:a+6 a +b+3 b + c+2 c ≥12 证明:a+6 a +b+3 b +c+2 c =3+6 a +3 b +2 c 6 a +3 b +2 c =1 6 (a+2b+3c)(6 a +3 b +2 c )=1 6 (18+3a b +12b a + 18c a +2a c +9c b +4b c )≥9 当a=2,b=1,c=2 3 时,取等号。 例:已知:x>0,y>0,且x+y=1,求3 x +4 y 的最小值。 解:3 x +4 y =(3 x +4 y )(x+y)=7+3y x +4x y ≥7+4√3 当3y x =4x y ,联立x+y=1?x=2√3?3,y=4?2√3,等号成 立。 例:已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1 a + 4 b 的最小值 是(c). A.7 2 B.4 C. 9 2 D.5 例:(2012·浙江)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x +4y的最小值是(c ) A.24 5 B. 28 5 C.5 D.6 解析 ∵x >0,y >0,由x +3y =5xy 得15? ?? ?? 1y +3x =1. ∴3x +4y =1 5(3x +4y )? ????1y +3x =15? ????3x y +4+9+ 12y x =135+15? ????3x y +12y x ≥135+15×23x y ·12y x =5(当且仅当x =2y 时取等号),∴3x +4y 的最小值为5. 例:函数y =log a (x +3)-1 (a >0,且a ≠1)的图象恒过定 点A ,若点A 在直线mx +ny +1=0上,其中m ,n 均大于0,则1m +2 n 的最小值为 ( C ) A .2 B .4 C .8 D .16 解析 点A (-2,-1),所以2m +n =1. 所以1m +2n =(2m +n )? ?? ?? ?1m +2n =4+n m +4m n ≥8,当且仅当n =2m ,即m =14,n =1 2 时等号成 例:已知m 、n 、s 、t ∈R + ,m +n =2,m s +n t =9,其中 m 、n 是常数,且s +t 的最小值是4 9 ,满足条件的点 (m ,n )是圆(x -2)2+(y -2)2=4中一弦的中点,则此弦所在的直线方程为__________.答案 x +y -2=0 解析 因(s +t )? ???? ?m s +n t =m +n +tm s +sn t ≥m +n + 2mn ,所以m +n +2mn =4, 从而mn =1,得m =n =1,即点(1,1),而已知圆的圆心为(2,2),所求弦的斜率为-1, 从而此弦的方程为x +y -2=0. 例:已知不等式(x +y )? ?????1x +a y ≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( 4 ) 类型二 变等式为不等式 例:若正数x 、y 满足x+y+3=xy,求xy 的最小值。(9) 解:x+y ≥2√xy ; ∴3+2√xy ≤xy ,略 例:已知x >0,y >0,x +2y +2xy =8,则x +2y 的最小值是 ( 4 ) 例:若正实数x ,y 满足2x +y +6=xy ,则xy 的最小值是18 例:设x 、y 均为正数,且12+x + 12+y =1 3 ,求xy 的最小值。 解: 12+x + 12+y =1 3, 同乘以(2+x )(2+y ) ? xy=x+y+8,同理xy 的 最小值为16。 1.设a >0,b >0,若3是3a 与3b 的等比中项,则1a +1 b 的最小值为( ) A .8 B .4 C .1 D.1 4 2.(2011·鞍山月考)已知不等式(x +y )? ?? ???1x +a y ≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( ) A .2 B .4 C .6 D .8 3.已知a >0,b >0,则1a +1 b +2ab 的最小值是( ) A .2 B .2 2 C .4 D .5 4.一批货物随17列货车从A 市以a km/h 的速度匀速直达B 市,已知两地铁路线长400 km ,为了安全,两 列车之间的距离不得小于? ?? ???a 202 km ,那么这批货物全部运 到B 市,最快需要( ) A .6 h B .8 h C .10 h D .12 h 5.(2011·宁波月考)设x ,y 满足约束条件 ???? ? 3x -y -6≤0x -y +2≥0x ≥0,y ≥0 ,若目标函数z =ax +by (a >0,b >0)的最大值为12,则2a +3 b 的最小值为( ) A.256 B.83 C.11 3 D .4 二、填空题(每小题4分,共12分) 6.(2010·浙江)若正实数x ,y 满足2x +y +6=xy ,则xy 的最小值是________. 7.(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点 的一条直线与函数f (x )=2 x 的图象交于P ,Q 两点,则线段PQ 长的最小值是________. 8.已知f (x )=32x -(k +1)3x +2,当x ∈R 时,f (x )恒为正值,则k 的取值范围为__________________. 9. (1)已知0 3 ,求x (4-3x )的最大值; (2)点(x ,y )在直线x +2y =3上移动,求2x +4y 的最小值. 10. 不等式a 2+b 2≥2|ab |成立时,实数a ,b 一定是 ( ) A .正数 B .非负数 C .实数 D .不存在