三章习题解答
真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题图所示)。
解 由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为
33[]4q R R π+-
+-
=
-=R R D 22322232
()
(){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量
d d z
z S
S
S Φ====??D S D e
223222320()[]2d 4()()
a
q a a
r r r a r a ππ--=++? 2212
(
1)0.293()2
a
qa
q q r a =-=-+ 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314r
a Ze r r r π??
=- ???
D e ，试证明之。 解 位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 12
4r
Ze
r
π=D e 原子内电子云的电荷体密度为 33
3434a a Ze Ze
r r ρππ=-
=-
q
q -
a
赤道平面
题 图
a b c
0ρ
电子云在原子内产生的电通量密度则为 3223
4344r r a
r Ze r
r r ρπππ==-D e e 故原子内总的电通量密度为 122314r
a Ze r r r π??=+=- ???
D D D e 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为3
0C m ρ, 两圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题图()a 所示。求空间各部分的电场。
解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题图()b 所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。
在b r >区域中，由高斯定律
d S
q
ε=
?
E S ，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生
的电场分别为 2200120022r b b r r πρρπεε==r E e 220012
0022r a a r r πρρπεε'
-''==-''
r E e 点P 处总的电场为 2211
220()2b a r r ρε''=+=-'
r r E E E 在b r <且a r >'区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为
220022r r r πρρπεε==r E e 2222
0022r a a r r πρρπεε'
-''==-''r E e
点P 处总的电场为 2022
20()2a r ρε''=+=-'
r E E E r 在a r <'的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为
20030022r r r πρρπεε==r E e 2003
00
22r r r πρρπεε''
-''==-'r E e 点P 处总的电场为 0033
00
()22ρρεε''=+=-=E E E r r c 题3. 3图()b
＝＋
a b c
0ρ
a b
c
0ρ
a
b c
0ρ-
半径为a 的球中充满密度()r ρ的体电荷，已知电位移分布为
3254
2
()()
r r Ar r a D a Aa r a r ?+≤?
=?+≥?
? 其中A 为常数，试求电荷密度()r ρ。
解：由ρ?=D ，有 2
21d ()()d r r r D r r
ρ=?=D 故在r a <区域 2322
02
1d ()[()](54)d r r r Ar r Ar r r
ρεε=+=+ 在r a >区域 54
2
022
1d ()()[]0d a Aa r r r r r
ρε+== 一个半径为a 薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q 为的体电
荷，球壳上又另充有电荷量Q 。已知球内部的电场为4
()r r a =E e ，设球内介质为真空。计算：
（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。
解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为
20021d [()]d r E r r ρεε=?==E 43
2002441d [()]6d r r r r r a a
εε=
（2）球体内的总电量Q 为 322
0040
d 64d 4a
r Q r r a a τρτεππε===??
球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q -，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q ，所以
球壳外表面上的总电荷为2Q ，故球壳外表面上的电荷面密度为 02
224Q
a σεπ=
= 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r a =和r b =()b a >，圆柱表面分别带有密度为1
σ和2σ的面电荷。（1）计算各处的电位移0D ；（2）欲使r b >区域内00=D ，则1σ和2σ应具有什么关系？
解 （1）由高斯定理
d S
q =?D
S ，当r a <时，有 01
0=D
当a r b <<时，有 02122rD a ππσ= ，则 1
02r
a r
σ=D e 当b r <<∞时，有 0312222rD a b ππσπσ=+ ，则 12
03r
a b r
σσ+=D e （2）令 12
030r a b r
σσ+==D e ，则得到 12b a σσ=- 计算在电场强度x y y x =+E e e 的电场中把带电量为2C μ-的点电荷从点1(2,1,1)P -移
到点2(8,2,1)P -时电场所做的功：（1）沿曲线2
2x y =；（2）沿连接该两点的直线。
解 （1）d d d d x y C
C
C
W q q E x E y ===+=???
F l E l
2
2
2
1
d d d(2)2d C
q y x x y q y y y y +=+=??2
261
6d 142810()q y y q J -==-??
（2）连接点1(2,1,1)P -到点2(8,2,1)P -直线方程为
28
12
x x y y --=-- 即 640x y -+= 故W =2
1
d d d(64)(64)d C
q y x x y q y y y y +=-+-=??2
6
1
(124)d 142810()q y y q J --==-??
长度为L 的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为0l ρ。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位?；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E ，并用?=-?E 核对。 解 （1）建立如题图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P 的电位为
2
02
2
2
0(,0)4L l L r r z ?πε-=
='
+?
220
2
ln(4L l L z r z ρπε-''++=
2
20
220(2)24(2)2l r L L r L L ρπε++=+-
2
20
0(2)22l r L L ρπε++（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元z l 'd 0ρ在点P 的电场为
02
2
d d 2l r r r
E r z θπε'
==='+E e e 02232
0d 2()l r
r z r z ρπε'
'+e
故长为L 的线电荷在点P 的电场为
2L
2L -
P θ
z
r
o
0l ρ
题图
2
0223200
d d 2()L l r r z r z ρπε'
==='+??
E E e 20220
0(2L l r r r z ρπε'='
+e 02204(2)l r
r r L πε+e 由?=-?E 求E ，有
2
2002(2)2l L r L ρ?πε?++?=-?=-?=??
??
E (2
200d ln 2(2)ln 2d l r
L r L r r ρπε??-+-=?
???e
022220122(2)(2)l r r L r L r L ρπε??
?-=????
+++?????
e 0
2
2
04(2)
l r r r L πε+e 已知无限长均匀线电荷l ρ的电场02l
r r ρπε=E e ，试用定义式()d P
r r
r ?=?E l 求其电位函
数。其中P r 为电位参考点。
解
000()d d ln ln 222P
P
P
r r r
l l l P r r
r
r r r r r r
ρρρ?πεπεπε====??
E l 由于是无限长的线电荷，不能将P r 选为无穷远点。
一点电荷q +位于(,0,0)a -，另一点电荷2q -位于(,0,0)a ，求空间的零电位面。 解 两个点电荷q +和2q -在空间产生的电位
2
2
2
2
2
2
1(,,)[
4()()x y z x a y z x a y z
?πε=
+++-++
令(,,)0x y z ?=，则有
222222
0()()x a y z x a y z
=+++-++
即 222222
4[()]()x a y z x a y z +++=-++
故得 222254()()33x a y z a +
++= 由此可见，零电位面是一个以点5(,0,0)3a -为球心、4
3
a 为半径的球面。
证明习题的电位表达式为 2013
()()422a a
Ze r r r r r ?πε=
+- 解 位于球心的正电荷Ze 在原子外产生的电通量密度为 12
4r
Ze
r
π=D e 电子云在原子外产生的电通量密度则为 3222
4344a r r r Ze
r r
ρπππ==-D e e 所以原子外的电场为零。故原子内电位为
23001
1()d ()d 4a
a r r
a
r r Ze r
r D r r r r ?επε==-=??2013()422a a Ze r r r r πε+- 电场中有一半径为a 的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为
2
()0
()()cos r r a a r A r r a r
??φ=≤??
?=-≥?? （1）求圆柱内、外的电场强度；
（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。
解 （1）由?=-?E ，可得到 r a <时， 0?=-?=E
r a >时， ?=-?=E 22
[()cos ][()cos ]r a a A r A r r r r r
φφφφ??----=??e e
22
22(1)cos (1)sin r a a A A r r
φφφ-++-e e
（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为
0002cos r r a r a A σεεεφ=====-n E e E
验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足20??= （1）sin()sin()hz
kx ly e
- 其中222h k l =+；
（2）[cos()sin()]n
r n A n φφ+ 圆柱坐标；
（3）cos()n
r n φ- 圆柱坐标；
（4）cos r φ 球坐标；
（5）2
cos r
φ- 球坐标。
解 （1）在直角坐标系中 2222
222
x y z ???
?????=
++??? 而 22222
[sin()sin()]sin()sin()hz hz
kx ly e k kx ly e x x ?--??==-?? 22
222[sin()sin()]sin()sin()hz hz kx ly e l kx ly e y y ?--??==-?? 22222
[sin()sin()]sin()sin()hz hz
kx ly e h kx ly e z z
?--??==?? 故 2222()sin()sin()0hz
k l h kx ly e ?-?=--+=
（2）在圆柱坐标系中 222
2221()r r r r r z
???
?φ?????=
++???? 而
11(){[cos()sin()]}n r r r n A n r r r r r r
?φφ????
=+=????22[cos()sin()]n n r n A n φφ-+
222
22
1[cos()sin()]}n n r n A n r ?φφφ
-?=-+? 2222[cos()sin()]0n
r n A n z z
?φφ-??=+=?? 故 2
0??=
（3）
2211(){[cos()]}cos()n n r r r n n r n r r r r r r ?φφ---????
==???? 22222
1cos()n n r n r ?
φφ--?=-? 2222[cos()]0n
r n z z
?φ-??==?? 故 2
0??=
（4）在球坐标系中 22
22
2222
111()(sin )sin sin r r r r r r ???
?θθθθθφ??????=++????? 而 222
2112
()[(cos )]cos r r r r r r r r r r ?θθ????==???? 22
11(sin )[sin (cos )]sin sin r r r ?θθθθθθθθθ
????
==???? 2
2
12(sin )cos sin r r r
θθθθ?-=-? 22
222222
11(cos )0sin sin r r r ?θθφθφ
??
==?? 故 2
0??=
（5） 2222
22112
()[(cos )]cos r r r r r r r r r r ?θθ-????==???? 2
22
11(sin )[sin (cos )]sin sin r r r ?θθθθθθθθθ
-????==???? 22
24
12(sin )cos sin r r r
θθθθ-?-=-? 22
2
222222
11(cos )0sin sin r r r ?θθφθφ
-??==?? 故 2
0??=
已知0>y 的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解?
（1）cosh y e x -； （2）x e y cos -； （3）2cos sin y e x x
（4）z y x sin sin sin 。
解 （1）222222(cosh )(cosh )(cosh )y y y
e x e x e x x y z
---???++=???2cosh 0y e x -≠
所以函数x e y cosh -不是0>y 空间中的电位的解；
（2） 222222(cos )(cos )(cos )y y y
e x e x e x x y z
---???++=???cos cos 0y y e x e x ---+= 所以函数x e y cos -是0>y 空间中可能的电位的解；
（3） 2222222
22(cos sin )(cos sin )(cos sin )y
y
y
e x x e
x x e
x x x y
z
-
???++=???
224cos sin 2cos sin 0y e x x e x x --+≠
所以函数x x e y sin cos 2-不是0>y 空间中的电位的解；
（4） 222
222(sin sin sin )(sin sin sin )(sin sin sin )x y z x y z x y z x y z
???++=??? 3sin sin sin 0x y z -≠
所以函数z y x sin sin sin 不是0>y 空间中的电位的解。
中心位于原点，边长为L 的电介质立方体的极化强度矢量为0()x y z P x y z =++P e e e 。（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。 解 （1） 03P P ρ=-?=-P
2
2
0()2
2P x L x x L L L x P σ======
n P
e P
22
0()2
2
P x L x x L L L x P σ=-=-=-==-=
n P e P
同理 0()()()()22222
P P P P L L L L L
y y z z P σσσσ===-====-=
（2） 32
00d d 3602P P P S
L q S P L L P τρτσ=+=-+?=?? 一半径为0R 的介质球，介电常数为0r εε，其内均匀分布自由电荷ρ，证明中心点的电位
为
200
21()23r r R ερ
εε+ 解 由
d S
q =?D S ，可得到
0r R <时， 3
2
1443
r r D ππρ=
即 13
r D ρ=， 11
003r r D r E ρεεεε==
0r R >时， 3
2
2443
R r D ππρ=
即 3
022
3R D r ρ= ， 3
012200
3R D E r ρεε== 故中心点的电位为
00
30122
0000(0)d d d d 33R R r R R
R r E r E r r r r ρρ?εεε∞∞=+=+=????22200000021()6323r r r R R R ρρερεεεεε++= 一个半径为R 的介质球，介电常数为ε，球内的极化强度r K r =P e ，其中K 为一常数。
（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。
解 （1） 介质球内的束缚电荷体密度为 222
1d ()d p K K
r r r r r ρ=-?=-=-P 在r R =的球面上，束缚电荷面密度为 p r r R
r R K
R
σ=====n P e P
（2）由于0ε=+D E P ，所以 0
0εεε
?=?+?=?+?D E P D P 即 0
(1)εε
-
?=?D P 由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 2
0()p K
r εεερρεεεεεε=?=?=-
=
---D P
总的自由电荷量 2
200014d 4d R K RK q r r r τ
επερτπεεεε===--?? （3）介质球内、外的电场强度分别为
100()r K
r
εεεε=
=--P E e ()r R < 2220004()r r
q RK
r r επεεεε==-E e e ()r R > 介质球内、外的电位分别为
112d d d R
r r
R
E r E r ?∞
∞
==+=???E l
200
0d d ()()R
r R K RK
r r r r εεεεεε∞
+=--?? 000ln ()()
K R K
r εεεεεε+-- ()r R ≤
222
0d d ()r r RK
E r r r ε?εεε∞
∞
===-??00()RK r εεεε- ()r R ≥
（1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；（2）导出束缚电荷密度P ρ的表达式。
解 （1）由0ε=+D E P ，得束缚电荷体密度为 0P ρε=-?=-?+?P D E 在介质内没有自由电荷密度时，0?=D ，则有 0P ρε=?E 由于ε=D E ，有 ()0εεε?=?=?+?=D E E E 所以 ε
ε
??=-
E E
由此可见，当电介质不均匀时，?E 可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。
（2）束缚电荷密度P ρ的表达式为 0
0P ερεεε
=?=-
?E E 两种电介质的相对介电常数分别为1r ε=2和2r ε=3，其分界面为z =0平面。如果已知介质1中的电场的
123(5)x y z y x z =-++E e e e
那么对于介质2中的2E 和2D ，我们可得到什么结果？能否求出介质2中任意点的2E 和2D ？
解 设在介质2中
2222(,,0)(,,0)(,,0)(,,0)x x y y z z x y E x y E x y E x y =++E e e e
2022023r εεε==D E E
在0z =处，由12()0z ?-=e E E 和12()0z -=e D D ，可得
2200223(,,0)(,,0)
253(,,0)x y x x y y z y x E x y E x y E x y εε-=+????=??
e e e e
于是得到 2(,,0)2x E x y y =
2(,,0)3y E x y x =-
2(,,0)103z E x y =
故得到介质2中的2E 和2D 在0z =处的表达式分别为
220(,,0)23(103)(,,0)(6910)
x y z x y z x y y x x y y x ε=-+=-+E e e e D e e e
不能求出介质2中任意点的2E 和2D 。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。
电场中一半径为a 、介电常数为ε的介质球，已知球内、外的电位函数分别为
3010020cos cos 2E r a E r
εεθ
?θεε-=-+
+ r a ≥
200
3cos 2E r ε?θεε=-
+ r a ≤
验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。
解 在球表面上
00
1000
003(,)cos cos cos 22a E a aE E a εεε?θθθθεεεε-=-+
=-++
20
03(,)cos 2a E a ε?θθεε=-
+
010
0000
2()3cos cos cos 22r a E E E r εε?ε
θθθεεεε=-?=--=-?++ 02
03cos 2r a
E r ε?θεε=?=-?+ 故有 12(,)(,)a a ?θ?θ=， 12
0r a r a r r
??εε==??=??
可见1?和2?满足球表面上的边界条件。
球表面的束缚电荷密度为
2
02()p r a
r σεε===-=n P e E 002000
3()
()
cos 2r a
E r
εεε?εεθεε=-?--=
?+
平行板电容器的长、宽分别为a 和b ，极板间距离为d 。电容器的一半厚度(2
~0d
)用介电常数为ε的电介质填充，如题图所示。
(1) (1) 板上外加电压0U ，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；
(2) (2) 若已知板上的自由电荷总量为Q ，求此时极板间电压和束缚电荷； (3) (3) 求电容器的电容量。
解 （1） 设介质中的电场为z E =E e ，空气中的电场为0=E 0z E e 。由=D 0D ，有
00E E εε= 又由于 002
2U d
E d E -=+
由以上两式解得 0002()U E d εεε=-
+ ，0
002()U E d
εεε=-+
故下极板的自由电荷面密度为 00
02()U E d εεσεεε==-
+下 上极板的自由电荷面密度为 00
00
02()U E d
εεσεεε=-=+上 电介质中的极化强度 000
002()()()z
U d εεεεεεε-=-=-+P E e 故下表面上的束缚电荷面密度为 000
02()()p z U d
εεεσεε-=-=
+e P 下 题 图
2
ε
2d
z
上表面上的束缚电荷面密度为 000
02()()p z U d
εεεσεε-==-
+e P 上
（2）由
002()U Q
ab d εεσεε==+ 得到
00()2dQ U ab εεεε+= 故 0()p Q
ab εεσε-=
下 0()p Q ab
εεσε-=-
上 （3）电容器的电容为 002()ab Q C U d
εεεε==+ 厚度为t 、介电常数为04εε=的无限大介质板，放置于均匀电场0E 中，板与0E 成角1θ，如题图所示。求：（1）使24θπ=的
1θ值；
（2）介质板两表面的极化电荷密度。 解 （1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有 0
12tan tan εθθε
= 由此得到
1
110201tan 1
tan tan tan 144
εθεθεε---==== （2）设介质板中的电场为E ，根据分界面上的边界条件，有00n n E E εε=，即
001cos n E E εθε=
所以 00101
cos cos144
n E E E εθε==
介质板左表面的束缚电荷面密度 000003()cos140.7284
p n E E E σεεεε=--=-=-
介质板右表面的束缚电荷面密度
000003
()cos140.7284
p n E E E σεεεε=-==
在介电常数为ε的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各腔中的0E 和0D ： （1）平行于E 的针形空腔；
（2）底面垂直于E 的薄盘形空腔； （3）小球形空腔（见第四章题）。 解 （1）对于平行于E 的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有0=E E 。故在针形空腔中
0=E E ，0000εε==D E E （2）对于底面垂直于E 的薄盘形空腔，根据边界条件，在空腔的底面上，有0=D D 。故在薄盘形空腔中 题图
E
E 1θ 1
θ0ε E ε
2θ
0ε==D D E ，0
00
εεε=
=
D E E
在面积为S 的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质，从一极板(0)y =处的1
ε一直变化到另一极板()y d =处的2ε，试求电容量。
解 由题意可知，介质的介电常数为 121()y d εεεε=+- 设平行板电容器的极板上带电量分别为q ±，由高斯定理可得
y q
D S
σ==
121[()]y
y D q
E y d S
ε
εεε=
=
+-
所以，两极板的电位差 21212110
d d ln [()]()d
d
y q qd
U E y y y d S S εεεεεεε==
=+--?
? 故电容量为 2121()ln()
S q
C U d εεεε-=
= 一体密度为732.3210C m ρ-=?的质子束，束内的电荷均匀分布，束直径为2mm ，束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部的径向电场强度。
解 在质子束内部，由高斯定理可得 20
1
2r rE r ππρε=
故 74120 2.3210 1.3110V m 228.85410
r r r E r ρε--?===??? 3(10m)r -< 在质子束外部，有 20
1
2r rE a ππρε=
故 2762120 2.32101011.3110V m 228.85410r a E r r r
ρε----??===??? 3(10m)r -> 考虑一块电导率不为零的电介质(,)γε，设其介质特性和导电特性都是不均匀的。证明当介质中有恒定电流J 时，体积内将出现自由电荷，体密度为()ρεγ=?J 。试问有没有束缚体电荷P ρ？若有则进一步求出P ρ。
解 ()()()εεε
ρεγγγ
=?=?=?=?+?D E J J J
对于恒定电流，有0?=J ，故得到 ()ρεγ=?J 介质中有束缚体电荷P ρ，且
00()()P ερεεγγ=-?=-?+?=-?+?=J P D E J 00()()()εεεε
γγγ
--?+?=-?J J J
填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a ，外导体内半径为c ，介质的分界面半径为
b 。两层介质的介电常数为1ε和2ε，电导率为1γ和2γ。设内导体的电压为0U ，外导体接地。求：
（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度；（3）同轴
线单位长度的电容及漏电阻。
解 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I ，则由d S
I =?
J S ，可得电流密度
2r
I r π=J e
()a r c <<
介质中的电场 1112r I
r γπγ=
=J E e ()a r b << 222
2r
I
r γπγ==J E e ()b r c << 由于 012d d b
c
a
b
U =+=
??
E r E r 1
2ln
ln 22I b I c
a b
πγπγ+ 于是得到 120
212ln()ln()U I b a c πγγγγ=
+
故两种介质中的电流密度和电场强度分别为
120
21[ln()ln()]
r
U r b a c b γγγγ=+J e ()a r c <<
20
121[ln()ln()]
r
U r b a c b γγγ=+E e ()a r b << 10
221[ln()ln()]
r
U r b a c b γγγ=+E e ()b r c << （2）由σ=n D 可得，介质1内表面的电荷面密度为
120
111
21[ln()ln()]
r r a
U a b a c εγσεγγ===
+e E
介质2外表面的电荷面密度为
210
222
21[ln()ln()]
r r c
U c b a c b εγσεγγ==-=-
+e E
两种介质分界面上的电荷面密度为
121122()
r r r b
σεε==--=e E e E 12210
21()[ln()ln()]
U b b a c b εγεγγγ--
+ （3）同轴线单位长度的漏电阻为 02112
ln()ln()
2U b a c b R I γγπγγ+==
由静电比拟，可得同轴线单位长度的电容为 12
212ln()ln()
C b a c b πεεεε=
+ 半径为1R 和2R )(21R R <的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为ε、电导率为0(1)K r γγ=+的导电媒质(K 为常数)。若内导体球面的电位为0U ，外导体球面接地。试求：（1）媒质中的电荷分布；（2）两个理想导体球面间的电阻。
解 设由内导体流向外导体的电流为I ，由于电流密度成球对称分布，所以
122
()4r
I
R r R r
π=< 电场强度 120()4()r I R r R r K r γπγ==<<+J E e 由两导体间的电压 2 2 1 1 00d d 4()R R R R I U r r K r πγ= = =+??E r 21012()ln 4()R R K I K R R K πγ??+??+?? 可得到 00 21124()ln ()KU I R R K R R K πγ= ??+??+?? 所以 00 2 2112()ln ()r KU R R K r R R K γ=??+?? +?? J e 媒质中的电荷体密度为 20 2221121 ()()()ln ()K U r K r R R K R R K εε ργ =?= +??+??+?? J 媒质内、外表面上的电荷面密度分别为 1 11121121 ()()ln ()r r R KU R K R R R K R R K εε σγ === +??+??+?? e J 2 022221121 ()()ln ()r r R KU R K R R R K R R K εεσγ ==-=- +??+??+?? e J （2）两理想导体球面间的电阻 021 012()1 ln 4() U R R K R I K R R K πγ+= =+ 电导率为γ的无界均匀电介质内，有两个半径分别为1R 和2R 的理想导体小球，两球之间 的距离为),(21R d R d d >>>>，试求两小导体球面间的电阻。 解 此题可采用静电比拟的方法求解。假设两小球分别带电荷q 和q -，由于两球间的距离1R d >>、2R d >>，可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。由电荷q 和q -的电位叠加求出两小球表面的电位差，即可求得两小导体球面间的电容，再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。 设两小球分别带电荷q 和q -，由于1R d >>、2R d >>，可得到两小球表面的电位为 112 11( )4q R d R ?πε= -- 221 11 ()4q R d R ?πε=--- 所以两小导体球面间的电容为 121212 41111 q C R R d R d R πε ??= = -+---- 由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为 121212 41111 I G R R d R d R πγ??== -+---- 故两个小导体球面间的电阻为 1212 111111()4R G R R d R d R πγ= =+---- 在一块厚度d 的导电板上， 由两个半径为1r 和2r 的圆弧和夹角为α的两半径割出的一块扇形体，如题图所示。求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；沿α方向的两 电极的电阻。设导电板的电导率为γ。 解 （1）设沿厚度方向的两电极的电压为1U ，则有 d U E 11= 111U J E d γγ== 22111121()2 U I J S r r d γα ==?- 故得到沿厚度方向的电阻为 11221212() U d R I r r αγ= = - （2）设内外两圆弧面电极之间的电流为2I ，则 rd I S I J α2222== rd I J E γα=γ= 222 2 1 22221 d ln r r I r U E r d r γα== ? 故得到两圆弧面之间的电阻为 22221 1 ln U r R I d r γα= = （3）设沿α方向的两电极的电压为3U ，则有 330 d U E r α φ=? 由于3E 与φ无关，所以得到 33U r φ α=E e 333U r φ γγα==J E e 题图 α 1r 2r d γ J 2 3 1 332 331 d d ln r S r dU dU r I S r r r φγγαα===?? J e 故得到沿α方向的电阻为 33321ln() U R I d r r α γ== 圆柱形电容器外导体内半径为b ，内导体半径为a 。当外加电压U 固定时，在b 一定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值min E 的内导体半径a 的值和这个min E 的值。 解 设内导体单位长度带电荷为l ρ，由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为 0()2l E r r ρπε= 由内外导体间的电压 00d d ln 22b b l l a a b U E r r r a ρρπεπε===?? 得到 02ln() l U b a περ= 由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式 ) ln()(a b r U r E = 在圆柱形电容器中，a r =处的电场强度最大 ) ln()(a b a U a E = 令)(a E 对a 的导数为零，即 0) (ln 1 )ln(1)(2 2=--=??a b a b a a a E 由此得到 1)/ln(=a b 故有 718.2b e b a ≈= b U U b e E 718.2min == 证明：同轴线单位长度的静电储能e W 等于2 2l q C 。l q 为单位长度上的电荷量，C 为单位长 度上的电容。 解 由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为 ()2l q E r r πε= 内外导体间的电压为 d d ln 22b b l l a a b U E r r r a ρρπεπε===?? 则同轴线单位长度的电容为 2ln() l q C U b a πε = = 同轴线单位长度的静电储能为 2211d ()2d 222b l e a q W E r r r τετεππε===??22 11ln()222l l q q b a C πε= 如题图所示，一半径为a 、带电量q 的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种 介质的电容率分别为1ε和2ε，分界面为无限大平面。求：（1）导体球的电容；（2） 总的静电能量。 解 （1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上12t t E E =，故有 12E E E ==。由于111D E ε=、222D E ε=，所以12D D ≠。由高斯定理，得到 1122D S D S q += 即 2 21222r E r E q πεπε+= 所以 2122() q E r πεε= + 导体球的电位 2121 ()d d 2()a a q a E r r r ?πεε∞ ∞ ===+??122()q a πεε+ 故导体球的电容 122()() q C a a πεε?==+ （2） 总的静电能量为 2 121()24()e q W q a a ?πεε==+ 把一带电量q 、半径为a 的导体球切成两半，求两半球之间 的电场力。 解 先利用虚位移法求出导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力f ，然后在半球面上对f 积分，求出两半球之间的电场力。 导体球的电容为 04C a πε= 故静电能量为 22 028e q q W C a πε= = 根据虚位移法，导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力 22 2224 0011()44832e W q q f a a a a a a πππεπε??=-=-=?? 方向沿导体球表面的外法向，即 2 2 4 032r r q f a πε== f e e 这里 sin cos sin sin cos r x y z θφθφθ=++e e e e 在半球面上对f 积分，即得到两半球之间的静电力为 2 22 2 24000 d sin d d 32r q S a a ππθθφπε===???F f e 2 2224002cos sin d 32z a q a ππθθθπε=?e 2 2032z q a πεe 如题图所示，两平行的金属板，板间距离为d ，竖直地插入在电容率为ε的液体中，两板间加电压U ，证明液面升高 a 2ε 1ε o q 题 图 201 ()()2U h g d εερ= - 其中ρ为液体的质量密度。 解 设金属板的宽度为a 、高度为L 。当金属板间的液面升高为h 时，其电容为 0() a L h ah C d d εε-= + 金属板间的静电能量为 22 01[()]22e aU W CU h L h d εε==+- 液体受到竖直向上的静电力为 2 0()2e e W aU F h d εε?==-? 而液体所受重力 g F mg ahd g ρ== e F 与g F 相平衡，即 20()2aU ahdg d εε-= 故得到液面上升的高度 22 002 ()1()()22U U h d g g d εεεερρ-==- 可变空气电容器，当动片由0至180电容量由25至350F p 直线地变化，当动片为θ角时，求作用于动片上的力矩。设动片与定片间的电压为=0U 400V 。 解 当动片为θ角时，电容器的电容为 1235025 2525 1.81F (25 1.81)10F 180 C P θθθθ--=+ =+=+? 此时电容器中的静电能量为 2122 0011(25 1.81)1022e W C U U θθ-==+? 作用于动片上的力矩为 122701 1.8110 1.45102 e W T U Nm θ--?= =??=?? 平行板电容器的电容是0S d ε，其中S 是板的面积，d 为间距，忽略边缘效应。 （1）如果把一块厚度为d ?的不带电金属插入两极板之间，但不与两极接触，如题()a 图所示。则在原电容器电压0U 一定的条件下，电容器的能量如何变化？电容量如何变化？ （2）如果在电荷q 一定的条件下，将一块横截面为 S ?、介电常数为ε的电介质片插入电容器(与电容器极 板面积基本上垂直地插入，如题()b 图所示，则电容器 的能量如何变化？电容量又如何变化？ 解 （1）在电压0U 一定的条件下，未插入金属板前，极板间的电场为 题图 d U L h ε S d ? d d U E 0 0= 电容为 00S C d ε= 静电能量为 22 00000122e SU W C U d ε== 当插入金属板后，电容器中的电场为 0 U E d d = -? 此时静电能量和电容分别为 2 200001()22()e U SU W S d d d d d d εε?? =-?= ?-?-??? 0202e W S C U d d ε==-? 故电容器的电容及能量的改变量分别为 0000() S S S d C C C d d d d d d εεε??=-= - = -?-? 20002() e e e SU d W W W d d d ε??=-= -? （2）在电荷q 一定的条件下，未插入电介质板前，极板间的电场为 000q E S σεε= = 静电能量为 22 00022e q dq W C S ε= = 当插入电介质板后，由介质分界面上的边界条件t t E E 21=，有 E E E ==21 再由高斯定理可得 0()E S E S S q εε?+-?= 于是得到极板间的电场为 0() q E S S S εε= ?+-? 两极板间的电位差位 0() qd U Ed S S S εε==?+-? 此时的静电能量为 201122() e q d W qU S S S εε== ?+-? 其电容为 0() S S S C d εε?+-?= 故电容器的电容及能量的改变量分别为 0()S C d εε-??= 2000()1 2[()] e q d W S S S S εεεεε-?=-?+-? 如果不引入电位函数，静电问题也可以通过直接求解法求解E 的微分方程而得解决。 题图()b 0ε q - q d S S ? ε 一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ； （4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由 cos AB θ ===A B A B g ，得 1cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ ==A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 电磁场与电磁波实验报告 班级： 学号： 姓名： 同组人： 实验一电磁波的反射实验 1.实验目的： 任何波动现象（无论是机械波、光波、无线电波），在波前进的过程中如遇到障碍物，波就要发生反射。本实验就是要研究微波在金属平板上发生反射时所遵守的波的反射定律。 2.实验原理： 电磁波从某一入射角i射到两种不同介质的分界面上时，其反射波总是按照反射角等于入射角的规律反射回来。 如图（1-2）所示，微波由发射喇叭发出，以入射角i设到金属板M M',在反射方向的位置上，置一接收喇叭B，只有当B处在反射角i'约等于入射角i时，接收到的微波功率最大，这就证明了反射定律的正确性。 3.实验仪器： 本实验仪器包括三厘米固态信号发生器，微波分度计，反射金属铝制平板，微安表头。 4.实验步骤： 1）将发射喇叭的衰减器沿顺时针方向旋转，使它处于最大衰减位置； 2）打开信号源的开关，工作状态置于“等幅”旋转衰减器看微安表是否有显示，若有显示，则有微波发射； 3）将金属反射板置于分度计的水平台上，开始它的平面是与两喇叭的平面平行。 4）旋转分度计上的小平台，使金属反射板的法线方向与发射喇叭成任意角度i，然后将接收喇叭转到反射角等于入射角的位置，缓慢的调节衰减器，使微 μ）。 安表显示有足够大的示数（50A 5）熟悉入射角与反射角的读取方法，然后分别以入射角等于30、40、50、60、70度，测得相应的反射角的大小。 6）在反射板的另一侧，测出相应的反射角。 5.数据的记录预处理 记下相应的反射角，并取平均值，平均值为最后的结果。 5.实验结论：?的平均值与入射角0?大致相等，入射角等于反射角，验证了波的反射定律的成立。 6.问题讨论： 1.为什么要在反射板的左右两侧进行测量然后用其相应的反射角来求平均值？ 答：主要是为了消除离轴误差，圆盘上有360°的刻度，且外部包围圆盘的基座上相隔180°的两处有两个游标。，不可能使圆盘和基座严格同轴。 在两者略有不同轴的情况下，只读取一个游标的读数，应该引入离轴误差加以考虑——不同轴的时候，读取的角度差不完全等于实际角度差，圆盘半径偏小 一、名词解释 1.通量、散度、高斯散度定理 通量：矢量穿过曲面的矢量线总数。（矢量线也叫通量线，穿出的为正，穿入的为负） 散度：矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 高斯散度定理：任意矢量函数A的散度在场中任意一个体积内的体积分，等于该矢量函在限定该体积的闭合面的法线分量沿闭合面的面积分。 2.环量、旋度、斯托克斯定理 环量：矢量A沿空间有向闭合曲线C的线积分称为矢量A沿闭合曲线l的环量。其物理意义随A 所代表的场而定，当A为电场强度时，其环量是围绕闭合路径的电动势；在重力场中，环量是重力所做的功。 旋度：面元与所指矢量场f之矢量积对一个闭合面S的积分除以该闭合面所包容的体积之商，当该体积所有尺寸趋于无穷小时极限的一个矢量。 斯托克斯定理:一个矢量函数的环量等于该矢量函数的旋度对该闭合曲线所包围的任意曲面的积分。 3.亥姆霍兹定理 在有限区域V内的任一矢量场，由他的散度，旋度和边界条件（即限定区域V的闭合 面S上矢量场的分布）唯一的确定。 说明的问题是要确定一个矢量或一个矢量描述的场，须同时确定其散度和旋度 4.电场力、磁场力、洛仑兹力电场力：电场 力：电场对电荷的作用称为电力。 磁场力：运动的电荷，即电流之间的作用力，称为磁场力。 洛伦兹力：电场力与磁场力的合力称为洛伦兹力。 5.电偶极子、磁偶极子 电偶极子：一对极性相反但非常靠近的等量电荷称为电偶极子。 磁偶极子：尺寸远远小于回路与场点之间距离的小电流回路（电流环）称为磁偶极子。 6.传导电流、位移电流 传导电流：自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成的电流。 位移电流：电场的变化引起电介质内部的电量变化而产生的电流。 7.全电流定律、电流连续性方程 全电流定律（电流连续性原理）：任意一个闭合回线上的总磁压等于被这个闭合回线所包围的面内穿过的全部电流的代数和。 电流连续性方程： 8.电介质的极化、极化矢量 电介质的极化：把一块电介质放入电场中，它会受到电场的作用，其分子或原子内的正，负电荷将在电场力的作用下产生微小的弹性位移或偏转，形成一个个小电偶极子， 这种现象称为电介质的极化。 极化矢量P：单位体积内的电偶极矩矢量和。 9.磁介质的磁化、磁化矢量 磁介质的磁化：当把一块介质放入磁场中时，它也会受到磁场的作用，其中也会形成一个个 小的磁偶极子，这种现象称为介质的磁化。 . 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?u v u u v u v ,B E t ???=-?u v u v ,0B ?=u v g ,D ρ?=u v g 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? u v u u v g ? S D ds ρ =?u v u u v g ? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H r r r r r r r r r 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=u v u v ,B H μ=u v u u v ,J E σ=u v u v 5电流连续性方程的微分形式为： 5. J t ρ??=- ?r g 6电位满足的泊松方程为 2ρ?ε?=- ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。 12??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理 论依据是: 唯一性定理。 8.电场强度E ?的单位是V/m ，电位移D ? 的单位是C/m2 。 9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ??= ρ?=g D ； 10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A u v ，并令 B A =??u v u v 的依据是（ 0B ?=u v g ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ? ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln( 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω=r r 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-?r r r 其振幅值为：3 04510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S u u v u u v g ?S d q =?得2 4q D r π= 24D e e u u v v v r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e u u v u u v v r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r u u v u u v v u u v g g g r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε== 第六章 时变电磁场 6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i. 解 穿过导体回路abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7) cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==?=?-=--=+? B S e e 故感应电流为 11 0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ = =-=-+-+E 6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。设棒以角 速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=?=?=E v B e e B e 故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X 极化电荷体密度为 200 00 11()()2()P rP r B r r r r B ρεεωεεω?? =-??=- =--??=--P 极化电荷面密度为 0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==?=-?=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=??=--=??=- 6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设0.2a m =、0.1m b c d ===、7 1.0cos(210)A i t π=?，求回路中的感应电动势。 本科实验报告 课程名称：电磁场与微波实验 姓名：wzh 学院：信息与电子工程学院 专业：信息工程 学号：xxxxxxxx 指导教师：王子立 选课时间：星期二9-10节 2017年 6月 17日 Copyright As one member of Information Science and Electronic Engineering Institute of Zhejiang University, I sincerely hope this will enable you to acquire more time to do whatever you like instead of struggling on useless homework. All the content you can use as you like. I wish you will have a meaningful journey on your college life. ——W z h 实验报告 课程名称：电磁场与微波实验指导老师：王子立成绩：__________________ 实验名称： CST仿真、喇叭天线辐射特性测量实验类型：仿真和测量 同组学生姓名： 矩形波导馈电角锥喇叭天线CST仿真 一、实验目的和要求 1. 了解矩形波导馈电角锥喇叭天线理论分析与增益理论值基本原理。 2．熟悉 CST 软件的基本使用方法。 3．利用 CST 软件进行矩形波导馈电角锥喇叭天线设计和仿真。 二、实验内容和原理 1. 喇叭天线概述 喇叭天线是一种应用广泛的微波天线,其优点是结构简单、频带宽、功率容量大、调整与使用方便。合理的选择喇叭尺寸,可以取得良好的辐射特性：相当尖锐的主瓣,较小副瓣和较高的增益。因此喇叭天线在军事和民用上应用都非常广泛,是一种常见的测试用天线。喇叭天线的基本形式是把矩形波导和圆波导的开口面逐渐扩展而形成的,由于是波导开口面的逐渐扩大,改善了波导与自由空间的匹配,使得波导中的反射系数小,即波导中传输的绝大部分能量由喇叭辐射出去,反 电磁场与电磁波例题详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第1章 矢量分析 例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。 解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为 0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为 ： 0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z += 例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x ++=的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为 ： z y dz y x dy xy dx 222== 从而有 ???????==z y dz xy dx y x dy xy dx 2222 解之即得矢量方程???=-=2 2 21c y x x c z ，c 1和c 2是积分常数。 例1.3 求函数xyz z xy -+=22?在点（1，1，2）处沿方向角 3 ,4 ,3 π γπ βπ α= = = 的方向导数。 解：由于 1) 2,1,1(2) 2,1,1(-=-=??==M M yz y x ?, 02) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xz xy y ?, 32) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xy z z ?, 2 1cos ,22cos ,21cos === γβα 所以 1cos cos cos =??+??+??= ??γ?β?α??z y x l M 例1.4 求函数xyz =?在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。 解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为 1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l ++=-+-+-= 其单位矢量 3147 31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5, 10, 2) 2,1,5()2,1,5()2,1,5() 2,1,5() 2,1,5() 2,1,5(==??==??==??xy z xz y yz x ? ?? 所求方向导数 314 123 cos cos cos = ??=??+??+??=?? l z y x l M ?γ?β?α?? 例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=?，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。 解：由于)66()24()32(-+-++++=?z a x y a y x a z y x ? 所以 623) 0,0,0(z y x a a a ---=?? ，36) 1,1,1(y x a a +=?? 例1.6 运用散度定理计算下列积分： ??++-+=S z y x S d z y xy a z y x a xz a I )]2()([2322 S 是0=z 和2 2 22y x a z --=所围成的半球区域的外表面。 解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+= 则由散度定理???=??τ τs S d A d A 可得 电磁场与电磁波复习材料 简答 1． 简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。 2． 试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。 3． 试简述静电平衡状态下带电导体的性质。 答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分） 导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分） 4． 什么是色散？色散将对信号产生什么影响？ 答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 （3分） 色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 （2分） 5．已知麦克斯韦第二方程为t B E ??- =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 6．试简述唯一性定理，并说明其意义。 7．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 8．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 9．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 （3分） 亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究 10．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分） 方程的微分形式： 11．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分） 极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。 12．已知麦克斯韦第一方程为 t D J H ??+ =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 重庆大学 电磁场与电磁波课程实践报告 题目：点电荷电场模拟实验 日期：2013 年12 月7 日 N=28 《电磁场与电磁波》课程实践 点电荷电场模拟实验 1.实验背景 电磁场与电磁波课程内容理论性强，概念抽象，较难理解。在电磁场教学中，各种点电荷的电场线成平面分布，等势面通常用等势线来表示。MATLAB 是一种广泛应用于工程、科研等计算和数值分析领域的高级计算机语言，以矩阵作为数据操作的基本单位，提供十分丰富的数值计算函数、符号计算功能和强大的绘图能力。为了更好地理解电场强度的概念，更直观更形象地理解电力线和等势线的物理意义，本实验将应用MATLAB 对点电荷的电场线和等势线进行模拟实验。 2.实验目的 应用MATLAB 模拟点电荷的电场线和等势线 3.实验原理 根据电磁场理论，若电荷在空间激发的电势分布为V ，则电场强度等于电势梯度的负值，即： E V =-? 真空中若以无穷远为电势零点，则在两个点电荷的电场中，空间的电势分布为： 1 212010244q q V V V R R πεπε=+=+ 本实验中，为便于数值计算，电势可取为 1212 q q V R R =+ 4.实验内容 应用MATLAB 计算并绘出以下电场线和等势线，其中q 1位于(-1,0,0)，q 2位于(1,0,0)，n 为个人在班级里的序号： (1) 电偶极子的电场线和等势线（等量异号点电荷对q 2:q 1 = 1，q 2为负电荷）； (2) 两个不等量异号电荷的电场线和等势线（q 2:q 1 = 1 + n /2，q 2为负电荷）； (3) 两个等量同号电荷的电场线和等势线； (4) 两个不等量同号电荷的电场线和等势线（q 2:q 1 = 1 + n /2）； (5) 三个电荷，q 1、q 2为(1)中的电偶极子，q 3为位于(0,0,0)的单位正电荷。、 n=28 （1） 电偶极子的电场线和等势线（等量异号点电荷对q 2:q 1 = 1，q 2为负电荷）； 程序1： clear all q=1; xm=2.5; ym=2; x=linspace(-xm,xm); y=linspace(-ym,ym); [X,Y]=meshgrid(x,y); R1=sqrt((X+1).^2+Y.^2); R2=sqrt((X-1).^2+Y.^2); U=1./R1-q./R2; u=-4:0.5:4; figure contour(X,Y,U,u,'--'); hold on plot(-1,0,'o','MarkerSize',12); plot(1,0,'o','MarkerSize',12); [Ex,Ey]=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1)); 电磁场与电磁波复习 第一部分 知识点归纳 第一章 矢量分析 1、三种常用的坐标系 （1）直角坐标系 微分线元：dz a dy a dx a R d z y x → → → → ++= 面积元：?????===dxdy dS dxdz dS dydz dS z y x ，体积元：dxdydz d =τ （2）柱坐标系 长度元：?????===dz dl rd dl dr dl z r ??，面积元??? ??======rdrdz dl dl dS drdz dl dl dS dz rd dl dl dS z z z r z r ????，体积元：dz rdrd d ?τ= （3）球坐标系 长度元：??? ??===?θθ? θd r dl rd dl dr dl r sin ，面积元： ?? ? ??======θ ?θ? θθθ??θθ?rdrd dl dl dS drd r dl dl dS d d r dl dl dS r r r sin sin 2，体积元：?θθτd drd r d sin 2= 2、三种坐标系的坐标变量之间的关系 （1）直角坐标系与柱坐标系的关系 ?? ?? ??? ==+=?????===z z x y y x r z z r y r x arctan ,sin cos 22??? （2）直角坐标系与球坐标系的关系 ? ?? ? ?? ??? =++=++=?????===z y z y x z z y x r r z r y r x arctan arccos ,cos sin sin cos sin 2 222 22?θθ?θ?θ （3）柱坐标系与球坐标系的关系 ?? ? ? ???=+=+=?????===??θθ??θ2 2'2 2''arccos ,cos sin z r z z r r r z r r 3、梯度 （1）直角坐标系中： z a y a x a grad z y x ??+??+??=?=→→→ μ μμμμ （2）柱坐标系中： z a r a r a grad z r ??+??+??=?=→→→ μ ?μμμμ?1 （3）球坐标系中： 一、选择题 1、以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是（ ） A 、电场是无旋场 B 、电场和磁场相互激发 C 、电场与磁场无关 2、区域V 全部用非导电媒质填充，当此区域中的电磁场能量减少时，一定是（ ） A 、能量流出了区域 B 、能量在区域中被消耗 C 、电磁场做了功 D 、同时选择A 、C 3、两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的的是（ ） A 、线圈的尺寸 B 、两个线圈的相对位置 C 、线圈上的电流 D 、空间介质 4、导电介质中的恒定电场E 满足（ ） A 、0??=E B 、0??=E C 、??=E J 5、用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ） A 、镜像电荷是否对称 B 、电位方程和边界条件不改变 C 、同时选择A 和B 6、在静电场中，电场强度表达式为3(32)()y x z cy ε=+--+x y z E e e e ，试确定常数 ε的值是（ ） A 、ε=2 B 、ε=3 C 、ε=4 7、若矢量A 为磁感应强度B 的磁矢位，则下列表达式正确的是（ ） A 、=?B A B 、=??B A C 、=??B A D 、2=?B A 8、空气（介电常数10εε=）与电介质（介电常数204εε=）的分界面是0z =平面， 若已知空气中的电场强度124= +x z E e e 。则电介质中的电场强度应为（ ） A 、1216=+x z E e e B 、184=+x z E e e C 、12=+x z E e e 9、理想介质中的均匀平面波解是（ ） A 、TM 波 B 、TEM 波 C 、TE 波 10、以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是（ ） A 、不再是平面波 B 、电场和磁场不同相 C 、振幅不变 D 、以T E 波的形式传播 二、填空 1、一个半径为α的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率为 σ，略去地面的影响，则电极的接地电阻R = 2、 内外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀的分布着轴向电流I ，设空间离轴距离为()r r a <的某点处，B= 3、 自由空间中，某移动天线发射的电磁波的磁场强度 第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）A B θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= = =e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （ 4 ） 由 c o s AB θ =1 1 2 3 8 = A B A B ， 得 1 c o s A B θ- =(135.5- = （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ = =- A B B （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 1 230 4 1 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123P P P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 邮电大学 电磁场与微波测量实验报告 实验六布拉格衍射实验 一、实验目的 1、观察微波通过晶体模型的衍射现象。 2、验证电磁波的布拉格方程。 二、实验设备与仪器 DH926B型微波分光仪，喇叭天线，DH1121B型三厘米固态信号源，计算机 三、实验原理 1、晶体结构与密勒指数 固体物质可分成晶体和非晶体两类。任何的真实晶体，都具有自然外形和各向异性的性质，这和晶体的离子、原子或分子在空间按一定的几何规律排列密切相关。 晶体的离子、原子或分子占据着点阵的结构，两相邻结点的距离叫晶体的晶 10ｍ，与X射线的波长数量级相当。因此，格常数。晶体格点距离的数量级是-8 对X射线来说，晶体实际上是起着衍射光栅的作用，因此可以利用X射线在晶体点阵上的衍射现象来研究晶体点阵的间距和相互位置的排列，以达到对晶体结构的了解。 图4.1 立方晶格最简单的晶格是立方体结构。 如图6.1这种晶格只要用一个边长为ａ的正立方体沿3个直角坐标轴方向重复即可得到整个空间点阵，ａ就称做点阵常数。通过任一格点，可以画出全同的晶面和某一晶面平行，构成一组晶面，所有的格点都在一族平行的晶面上而无遗漏。这样一族晶面不仅平行，而且等距，各晶面上格点分布情况相同。 为了区分晶体中无限多族的平行晶面的方位，人们采用密勒指数标记法。先找出晶面在ｘ、ｙ、ｚ3个坐标轴上以点阵常量为单位的截距值，再取3截距值的倒数比化为最小整数比（ｈ∶ｋ∶ｌ），这个晶面的密勒指数就是（ｈｋｌ）。当然与该面平行的平面密勒指数也是（ｈｋｌ）。利用密勒指数可以很方便地求出一族平行晶面的间距。对于立方晶格，密勒指数为（ｈｋｌ）的晶面族，其面 间距 hkl d可按下式计算：2 2 2l k h a d hkl + + = 图6.2立方晶格在ｘ—ｙ平面上的投影 如图6.2，实线表示（100）面与ｘ—ｙ平面的交线，虚线与点画线分别表示（110）面和（120）面与ｘ—ｙ平面的交线。由图不难看出 2、微波布拉格衍射 根据用X射线在晶体原子平面族的反射来解释X射线衍射效应的理论，如有一单色平行于X射线束以掠射角θ入射于晶格点阵中的某平面族，例如图4.2所示之（100）晶面族产生反射，相邻平面间的波程差为 θ sin 2 100 d QR PQ= +（6.1） 式（6.1）中 100 d是（100）平面族的面间距。若程差是波长的整数倍，则二反射波有相长干涉，即因满足 《电磁场与电磁波》知识点及参考答案 第1章 矢量分析 1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所 产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无旋场，由散度源所 产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。 3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是： 散度（高斯）定理：S V FdV F dS ??=?? ?和 斯托克斯定理： s C F dS F dl ???=??? 。 4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ） 9、习题, 。 第2章 电磁场的基本规律 （电场部分） 1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D dS dV Q ρ?==? ?和 0l E dl ?=?。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ??=和0E ??=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为 的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522 x y z ?= +-,则电场强度E =5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体 B.固体 C.液体 D.电介质 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε0εr C. εr D. 1/εr 11、导体电容的大小( C )。 A.与导体的电势有关 B.与导体所带电荷有关 C.与导体的电势无关 D.与导体间电位差有关 12、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。 电磁场与微波测量实验报告 学院： 班级： 组员： 撰写人： 学号： 序号： 实验一电磁波反射和折射实验 一、实验目的 1、熟悉S426型分光仪的使用方法 2、掌握分光仪验证电磁波反射定律的方法 3、掌握分光仪验证电磁波折射定律的方法 二、实验设备与仪器 S426型分光仪 三、实验原理 电磁波在传播过程中如遇到障碍物，必定要发生反射，本处以一块大的金属板作为障碍物来研究当电磁波以某一入射角投射到此金属板上所遵循的反射定律，即反射线在入射线和通过入射点的法线所决定的平面上，反射线和入射线分居在法线两侧，反射角等于入射角。 四、实验内容与步骤 1、熟悉分光仪的结构和调整方法。 2、连接仪器，调整系统。 仪器连接时，两喇叭口面应相互正对，它们各自的轴线应在一条直线上，指示 两喇叭的位置的指针分别指于工作平台的90刻度处，将支座放在工作平台上， 并利用平台上的定位销和刻线对正支座，拉起平台上的四个压紧螺钉旋转一个 角度后放下，即可压紧支座。 3、测量入射角和反射角 反射金属板放到支座上时，应使金属板平面与支座下面的小圆盘上的某一对刻 线一致。而把带支座的金属反射板放到小平台上时，应使圆盘上的这对与金属 板平面一致的刻线与小平台上相应90度的一对刻线一致。这是小平台上的0刻 度就与金属板的法线方向一致。 转动小平台，使固定臂指针指在某一角度处，这角度读书就是入射角， 五、实验结果及分析 记录实验测得数据，验证电磁波的反射定律 表格分析： （1）、从总体上看，入射角与反射角相差较小，可以近似认为相等，验证了电磁波的反射定律。 （2）、由于仪器产生的系统误差无法避免，并且在测量的时候产生的随机误差，所以入射角 电磁场与电磁波复习题 一、填空题 1、矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线总数，散度的物理意义矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。散度与通量的关系是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 2、 散度 在直角坐标系的表达式 z A y A x A z y x A A ?? ????++=??= div ； 散度在圆柱坐 标系下的表达 ； 3、矢量函数的环量定义矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分， 旋度的定义 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S 点P 时,存在极限环量密度。 二者的关系 n dS dC e A ?=rot ； 旋度的物理意义点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值；点P 的旋度的方向是该点最 大环量密度的方向。 4.矢量的旋度在直角坐标系下的表达式 。 5、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。 梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向等值面、方向导数与梯度的关系是梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.； 6、用方向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直角坐标系中单位矢量l e 的表达 式 ； 7、直角坐标系下方向导数 u l ??的数学表达式是cos cos cos l αβγ????????ｕｕｕｕ＝＋＋ｘｙｚ ，梯度的表达式x y z G e e e grad x y z φφφφφ???=++=?=???； 8、亥姆霍兹定理的表述在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定，说明的问题是矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。 《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度和磁场满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中，称为方程。 3．时变电磁场中，数学表达式称为。 4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。 5．矢量场穿过闭合曲面S的通量的表达式为：。 6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。 二、简述题（每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题（每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量，，求 （1） （2） 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1）试写出其时间表达式； （2）说明电磁波的传播方向； 四、应用题（每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为，带电量为。试求 （1）球内任一点的电场强度 （2）球外任一点的电位移矢量。 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示）， （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为，其余两面电位为零，（1）写出电位满足的方程； （2）求槽内的电位分布 《电磁场与电磁波》仿真实验 2016年11月 《电磁场与电磁波》仿真实验介绍 《电磁场与电磁波》课程属于电子信息工程专业基础课之一，仿真实验主要目的在于使学生更加深刻的理解电磁场理论的基本数学分析过程，通过仿真环节将课程中所学习到的理论加以应用。受目前实验室设备条件的限制，目前主要利用 MATLAB 仿真软件进行，通过仿真将理论分析与实际编程仿真相结合，以理论指导实践，提高学生的分析问题、解决问题等能力以及通过有目的的选择完成实验或示教项目，使学生进一步巩固理论基本知识，建立电磁场与电磁波理论完整的概念。 本课程仿真实验包含五个内容： 一、电磁场仿真软件——Matlab的使用入门 二、单电荷的场分布 三、点电荷电场线的图像 四、线电荷产生的电位 五、有限差分法处理电磁场问题 目录 一、电磁场仿真软件——Matlab的使用入门……………............................................... .4 二、单电荷的场分 布 (10) 三、点电荷电场线的图像 (12) 四、线电荷产生的电位 (14) 五、有限差分法处理电磁场问题 (17) 实验一电磁场仿真软件——Matlab的使用入门 一、实验目的 1. 掌握Matlab仿真的基本流程与步骤； 2. 掌握Matlab中帮助命令的使用。 二、实验原理 （一）MATLAB运算 1.算术运算 (1)．基本算术运算 MATLAB的基本算术运算有：＋(加)、－(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、 ^(乘方)。 注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是 一种特例。 (2)．点运算 在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.\和.^。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。 例1：用简短命令计算并绘制在0≤x≦6范围内的sin(2x)、sinx2、sin2x。 程序：x=linspace(0,6) y1=sin(2*x),y2=sin(x.^2),y3=(sin(x)).^2; plot(x,y1,x, y2,x, y3) （二）几个绘图命令 1. doc命令：显示在线帮助主题 调用格式：doc 函数名 例如：doc plot，则调用在线帮助，显示plot函数的使用方法。 2. plot函数：用来绘制线形图形 plot(y),当y是实向量时，以该向量元素的下标为横坐标，元素值为纵坐标画出一条连续曲线，这实际上是绘制折线图。 plot(x,y),其中x和y为长度相同的向量，分别用于存储x坐标和y 坐标数据。 plot(x,y,s) 电磁场与电磁波 补充习题 1 若z y x a a a A -+=23，z y x a a a B 32+-=,求： 1 B A +；2 B A ?；3 B A ?；4 A 和B 所构成平面的单位法线；5 A 和B 之间较 小的夹角；6 B 在A 上的标投影和矢投影 2 证明矢量场z y x a xy a xz a yz E ++=是无散的，也是无旋的。 3 若z y x f 23=，求f ?，求在)5,3,2(P 的f 2?。 5 假设0(完整版)电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方
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