第三节
大小油炸馒头
小明每天的早餐都要吃油炸馒头.妈妈买回来的油炸馒头的规格有两种：一种较大，另一种较小.大馒头的重量是小馒头的2倍，而价格也是2倍.一天，他望着金灿灿、香喷喷的大馒头与小馒头，忽然想到了这样一个问题：究竟是买大馒头合算还是买小馒头合算？
妈妈知道小明的心思后嗔怪道：“傻孩子，这有什么区别，大馒头的重量是小馒头的两倍，价格也刚好是两倍关系，这样岂不是买大的和买小的都一样吗？”
“可是油与面粉的价钱总不一样吧？”小明说，“油的价格比面粉贵吧.” “那还用说，油的价格比面粉贵好几倍呢！”妈妈答道，“哦，我明白了，你是想说哪一种馒头油炸时耗油多些？”
“对，在同等价格的情况下，买耗油多些的就是比较合算的.”小明说明后进行了以下的思考：
球形的馒头油炸时所耗油量的多少应该说只与馒头的表面积大小有关，而表面积的大小只与球的半径有关.因此应先弄清楚两种馒头的半径关系.
假设大馒头的半径为R cm ，小馒头的半径为r cm ，则大馒头的体积为3
4
πR 3，小馒头的体积为34πr 3,由于大馒头的重量是小馒头的2倍，所以体积也是2倍，故3
4
πR 3=2
×3
4
πr 3, 从而R =32r .
由于两种馒头的形状是相似的，故表面积之比等于半径比（相似比）的平方.设大馒头的表面积为S ，小馒头的表面积为s ，则
s S =（r
R
）2=（32）2=34≈1.587. 所以S ≈1.587s .即s ≈0.630 S .
这说明小馒头的体积虽然是大馒头的一半，但表面积却是一半多，因此两个小馒头的表面积比一个大馒头的表面积大，从而可知油炸2个小馒头的耗油量比一个大馒头多.
至此，小明终于发现：在同等价格的情况下，对商家而言，用大馒头替换小馒头省油，对顾客来说，购买小馒头合算.
二、黑洞数——153
之所以说153是黑洞数，这是因为只要通过一种运算，所有是3的倍数的数无一能逃脱它的魔力，都会被吸进去.也就是说任意找一个是3的倍数的自然数，先把这个数的每一个数字都立方，然后相加，得到一个数；然后再将所得数的各位数字立方求和，并将此运算一直重复下去，就会得到153.
比如369这个数.先把3、6、9立方，然后相加，得到33+63+93=27+216+729=972；再把972中的9、7、2立方，然后相加，又得到：93+73+23=729+343+8=1080；再把1080中的1、0、8、0立方求和，得：13+83=1+512=513；再把513中的5、1、3立方求和，得：
53+13+33=125+1+27=153.这样，经过了4次运算，369就变成了153.
按照上述运算规律和法则，8523这个数经过7次运算，最终也同样掉进黑洞153.变化的结果可直观地表示成如下形式：
8523→672→567→684→792→1080→513→153.
分析一下153这个数，不难发现153有它的特别之处：153是3的倍数，且它的各位数字的立方和仍然是153，即13+33+53=153.在所有3的倍数的自然数里，153是唯一一个具备这一特性的数.值得注意的是它的魔力不能吸进那些不是3的倍数的数.
第四课时
●课题
§3.3.1 分式的加减法（一）
●教学目标
（一）教学知识点
1.同分母的分式的加减法的运算法则及其应用.
2.简单的异分母的分式相加减的运算.
（二）能力训练要求
1.经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感.
2.会进行同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算，并能类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则，发展有条理的思考及其语言表达能力.
（三）情感与价值观要求
1.从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识.
2.结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气.
●教学重点
1.同分母的分式加减法.
2.简单的异分母的分式加减法.
●教学难点
当分式的分子是多项式时的分式的减法.
●教学方法
启发与探究相结合
●教具准备
投影片四张：
第一张：提出问题，（记作§3.3.1 A）;
第二张：想一想，做一做，（记作§3.3.1 B）；
第三张：想一想，（记作§3.3.1 C）;
第四张：议一议，（记作§3.3.1 D）;
第五张：例1，记作（§3.3.1 E）；
第六张：补充练习，（记作§3.3.1 F）.
●教学过程
Ⅰ.创设现实情境，提出问题
［师］上一节我们学习了分式的乘除法运算法则，学会了分式乘除法的运算，这节课
我们先来看下面的问题：（出示投影片 §3.3.1 A ）
问题一：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km ，其中第一条是平路，第二条有1 km 的上坡路、2 km 的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为v km/h,在平路上的骑车速度为2 v km/h,在下坡路上的骑车速度为3v km/h,那么
（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间? （2）她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？
问题二：某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a 字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间？
［生］问题一，根据题意可得下列线段图：
（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（v 1+v
32）h . （2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为v
23
h .但要求出小丽走哪条路花费的时间少.就需要比较（
v 1+v 32）与v 23的大小，少用多少时间，就需要用它们中的较大者减去较小者，便可求出.
［生］如果要比较（
v 1+v 32）与v
23的大小，就比较难了，因为它们的分母中都含有字母.
［生］比较两个数的大小，我们可以用作差法.例如有两个数a ,b . 如果a －b ＞0，则a ＞b ; 如果a －b =0,则a =b ； 如果a －b ＜0,则a ＜b .
［师］这位同学想得方法很好，显然（
v 1+v 32）和v
23中含有字母，但它们也是用来表示数的，所以我认为可以用实数比较大小的方法来做.
［生］如果用作差的方法，例如（v 1+v 32）－v
23，如何判断它大于零，等于零，小于零呢？
［师］我们不妨观察（
v 1+v 32）－v
23
中的每一项都是分式，这是什么样的运算呢？
［生］分式的加减法.
［师］很好！这正是我们这节课要学习的内容——分式的加减法（板书课题） 我们再来看一下问题二.
［生］问题二中这个人用电脑录入3000字的文稿需
a
33000
小时，利用分式的基本性质化简，即为a 1000小时；用手抄3000字文稿则需用a
3000
小时，因此这个人录入3000字
的文稿比手抄少用（a 3000－a
1000
）小时.
［生］a 3000, a 1000是分式，a 3000－a
1000是分式的加减法.
［师］但和问题一中加减法比较一下，你会发现什么？
［生］问题一中的是异分母的分式相加减，而问题二是同分母的加减法.
［师］很好！我们按研究问题的一般思路，从简单的学起即先学习同分母的加减法. Ⅱ.讲授新课
1.同分母的加减法
［师］我们接着看下面的问题（出示投影片§3.3.1 B ）
［生］同分母的分数的加减是分母不变，把分子相加减，例如
13+13
－1317=131734-+=－13
10. 我认为分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样，应该是分母不变，把分子相加减.
［师］谁能试着到黑板上板演“做一做”中的三个小题.
［生1］解：（1）
a 1+a 2=a 21+=a
3
; ［生2］解：（2）22-x x －24
-x =2
42--x x ;
［生3］解：
12++x x －11+-x x +1
3
+-x x =1312+-+--+x x x x
=1
2+-x x . ［师］我们一块来讲评一下上面三位同学的运算过程.
［生］第（1）小题是正确的.第（2）小题没有把结果化简.应该为原式
=242--x x =2
)2)(2(--+x x x =x +2. ［师］这位同学很仔细.我们学习分式乘除法时就强调运算结果必须是最简的，如果分子、分母中有公因式，一定要把它约去，使分式最简.
［生］第（3）小题，我认为也有错误.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，我觉得（x +1）分母不变，做得对，但三个分式的分子x +2、x －1、x －3相加减应为（x +2）－（x －1）+（x －3）.
［师］的确如此，我们知道列代数式时，（x －1）÷（x +1）要写成分式的形式即1
1
+-x x ，因此分数线既有除号的作用，还有括号的作用，即分子、分母应该是一个整体. ［生］老师，是我做错了.第（3）题应为：
（3）
12++x x －11+-x x +13
+-x x =1
)3()1()2(+++--+x x x x
=1312+-++-+x x x x
=1
+x x ［师］发现问题，及时改正是一种很好的学习习惯，努力发扬，你一定会取得更大进步.
通过前面做一做，想一想，我们可以得出同分母的分式相加减的法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，用式子表示是：
c a ±c b =c
b a ±（其中a 、b 既可以是数，也可以是整式，
c 是含有字母的非零的整式）. 前面问题二现在可以完成了吧！大胆地试一试. ［生］a 3000－a 1000=a 10003000-=a
2000
，所以这个人录入3000字文稿比手抄少用
a
2000
个小时. 2.简单的异分母的分式相加减
［生］问题一还没有解决呢？
［师］是的，如果分式的分母不同，那么该如何加减呢？同学们不妨凭借自己的数学经验，合作交流，找到一个可行的方法.
出示投影片（§3.3.1 C ）
［生 ］异分母的分数加减时，可利用分数的基本性质通分，把异分母的分数加减法化成同分母的分数加减法
［生 ］我认为分式有很多地方和分数相类似，异分母的分式加减是否也可以通过像分数那样通分，将异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法.
［师 ］同学们的想法很好！我这儿就有两位同学将异分母的分式加减化成同分母的分式加减.（出示投影片 §3.3.1 D ）
［生 ］我觉得这两种做法都有一个共同的目标：把异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法.但我觉得小亮的方法更简单.就像分数运算：
61+4
1.如果61+41=464?+646?=244+246=2410=12
5，这样计算就比较麻烦；如果找6和4的最小公倍数12，算起来就很方便，即61+41=262?+343?=122+123=12
5
.
［生 ］我认为也是这样，根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.但通分时为了简便，也应该像分数的通分一样，找各个分母的最小公倍数.
［师］同学们分析得很有道理，为了计算简便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的公分母.例如a 3+a
41，a 和4a 的最简公分母是4a .下面我们再来看几个例子.
出示投影片（§3.3.1 E ）
转化成同分母的就可以完成.
［生］我们组也是用了将异分母的分式相加减转化成同分母相加减的分式运算.
［例1］中的第（1）题，一个分母是a ,另一个分母是5a ，利用分式的基本性质，只需将第一个分式
a 3化成a 553?=a 515即可. 解：（1）a 3+a a 515-=a 515+a
a 515
-
=a a 5)15(15-+=a a 5=5
1;
［生］我们组也已完成了第（2）题.两个分式相加，一个分式的分母是x －1,另一个分
式的分母是1－x ，我们注意到了1－x =－（x －1），所以要把
x
x --11
化成分母为x －1的分式，利用分式的基本性质，得
x x --11=)1()1()1()1(-?--?-x x =1
1--x x
.所以第（2）题的解法如下： （2）
12-x +x x --11=12-x +11--x x
=1)1(2--+x x =1
3--x x
［师］同学们能凭借自己的数学经验，将新出现的数学难题处理的有条有理，很了不起.
［生］问题一可以出来结果啦.
（1）小丽当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为
v 1+v 32=v 33+v 32=v 323+=v
35h. （2）小丽走第一条路所用的时间为v
23
h. 作差可知
v 35－v 23=v 610－v 69=v 61＞0.所以小丽走第一条路花费的时间少，少用v
61h. Ⅲ.应用、升华
1.随堂练习第1题 计算： （1）
x b 3－x
b ;
（2）
a 1+a 21; （3）
b a a -－a
b a
-
解：（1）x b 3－x b =x b b -3=x b
2;
（2）a 1+a 21=a 22+a 21=a 212+=a 23;
（3）b a a -－a b a -=b a a -－b a a
--
=b a a a ---)(=b
a a -2.
Ⅵ.课时小结
［师］这节课我们学习了分式的加减法，同学们课堂上思维非常活跃，想必收获一定很大. ［生］我觉得我这节课最大的收获是：“做一做”中犯的错误，在今后做此类题的过程中，一定不会犯同样的错误.
［生］我的收获是学会用转化的思想将异分母的分式的加减法转化成同分母分式的加减法.
……
Ⅴ.课后作业
习题3.4第1、2、3题. Ⅵ.活动与探究
已知x +
y 1=z +x 1=1,求y +z
1
的值. ［过程］已知条件实际上是一个方程组，我们可以取其中两个方程x +y 1=1,z +x
1
=1，由这两个方程把y 、z 都用x 表示后，再求代数式的值.
［结果］由x +
y 1=1,得y =x
-11, 由z +x 1=1,得z =x x 1-. 所以y +z 1=x -11+1-x x =11--x +1-x x =1
1
--x x =1.
●板书设计
第五课时
●课 题
§3.3.2 分式的加减法（二） ●教学目标
（一）教学知识点
1.异分母的分式加减法的法则.
2.分式的通分.
（二）能力训练要求
1.经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养数学学习中转化未知问题为已知问题的能力.
2.进一步通过实例发展学生的符号感.
（三）情感与价值观要求
1.在学生已有数学经验的基础上，探求新知，从而获得成功的快乐.
2.提高学生“用数学”意识.
●教学重点
1.掌握异分母的分式加减运算.
2.理解通分的意义.
●教学难点
1.化异分母分式为同分母分式的过程.
2.符号法则、去括号法则的应用.
●教学方法
启发、探索相结合
●教具准备
投影片五张
第一张：做一做，（记作§3.3.2 A）
第二张：例1,（记作§3.3.2 B）
第三张：例2，（记作§3.3.2 C）
第四张：例3，（记作§3.3.2 D）
第五张：补充练习，（记作§3.3.2 E）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，类比异分母分数的加减法引入新课
［师］大家知道，对于异分母的分数相加减必须利用分数的基本性质，化成同分母的分数相加减，然后才能运算.
上一节课，我们讨论较简单的异分母的分式加减法.下面我们再来看几个异分母的加减法.（出示投影片§3.3.2 A）
［生］我们已学过分式的一些知识，如分式的概念，分式的约分以及分式的乘除法等.这些知识，都是在与分数类比中得到的.我想异分母的分式的加减法也可类比分数的加减法，应先把异分母的分式加减法转化为同分母的分式的加减法.
［师］你的想法很好.在分数的加减法中，我们把异分母的分数化成同分母分数的过程
叫做通分.
［生］老师，我知道啦，在分式的加减法中，把异分母的分式化成同分母分式的过程也叫做通分.
“做一做”中的几个异分母的分式加减法就需要先通分. Ⅱ.讲授新课
［师］下面可尝试用分式的基本性质，将“做一做”中的异分母分式的加减法通分化成同分母的分式加减法，计算并化简.
［生］解：（1）24a －a 1=24a －a a a ??1=24a －2
a a
=
2
4a a
-; （2）a 1+b 1=b a b ??1+b a a ??1=ab b +ab a
=ab
b a +; （3）ab b a +－b
c c b +=c ab c b a ?+)(－bc a c b a ?+)(
=abc bc ac +－abc ac ab +
=abc
ac ab bc ac )()(+-+
=abc ac ab bc ac --+
=abc a c b )(-
=ac a c - （4）a b 3+b a 2=b a b b 232??+b a a a 233??=ab b 622+ab a 632
=ab
a b 63222+
（让同学们分组讨论交流完成，教师可巡视发现问题并解决问题）.
［师］把异分母的分式加减法，通过通分，每个分式都化成同分母的加减法.你是怎样通分，把异分母的分式化成同分母的？
同学们可根据“做一做”的每个步骤，总结你是怎样通分的？（小组讨论完成） ［生］我认为通分的关键是几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母同乘以什么样的“适当整式”，才能化成同分母.
［生］确定公分母的方法：系数取每个分式的分母的系数的最小公倍数，再取各分母
所有因式的最高次幂的积，一起作为几个分式的公分母.
［师］同学们概括得很好.下面我们来看一个例题（出示投影片§3.3.2 B）
［师］我们再来看一个例题（出示投影片 §3.3.2 C ）
（可由学生板演，学生之间互查互纠）. 解：（1）
31-x －31
+x =)3)(3(3+-+x x x －)
3)(3(3+--x x x =9)3()3(2---+x x x =96
2-x
（2）412-a －2
1
-a
=
)2)(2()
2(1+-+-a a a
=
)2)(2(1
+---a a a
=－
)
2)(2(1
+-+a a a
（3）方法一：（按运算顺序，先计算括号里的算式）
（23-x x －2
+x x ）·x x 42-
=（)2)(2()2(3-++x x x x －)2)(2()
2(-+-x x x x ）·x
x 42-
=)2)(2()2()63(22-+--+x x x x x x ·x
x x )2)(2(-+
=x
x x 822+=2x +8.
方法二：（利用乘法分配律）.
（23-x x －2
+x x ）·x x 42-
=
x x x x x ?--+?)2()2)(2(3－x
x x x x ?+-+?)2()2)(2(
=3（x +2）－（x －2） =3x +6－x +2=2x +8.
出示投影片（§3.3.2 D ）
［师生共析］由于两次购买饲料的单价有所变化，可设第一次购买的饲料的单价为m 元/千克，第二次购买的饲料的单价为n 元/千克，甲、乙所购买饲料的平均单价应为两次饲料的总价除以两次所买饲料的总质量.在第（2）题中，比较甲、乙所购饲料的平均单价，谁的平均单价低谁的购货方式就更合算，可以用作差法比较平均单价.
解：（1）设两次购买的饲料单价分别为m 元/千克和n 元/千克（m ,n 是正数，且m ≠n ） 甲两次购买饲料的平均单价为
2100010001000?+n m =2
n
m +（元/千克）
乙两次购买饲料的平均单价为
n
m 8008002800+?=n
m mn
+2（元/千克）
（2）甲、乙两种饲料的平均单价的差是
2n m +－n m mn
+2 =)(2)(2n m m m ++－)
(24n m mn +
=)(24222n m mn n mn m +-++
=)
(2)(2n m n m +- 由于m 、n 是正数，因为m ≠n 时，)(2)(2n m n m +-也是正数，即2n m +－n
m mn
+2＞0，因
此乙的购买方式更合算.
Ⅲ.课堂练习
1.随堂练习第1题第（2）小题：
（2）11-a －2
12a
- 解：原式=11-a －1
2
2--a
=
)1)(1(1+-+a a a －1
2
2--a
=
112-+a a －12
2
--a =1)2(12---+a a =1
32-+a a
Ⅳ.课时小结
这节课我们学习了异分母的分式加减法，使我们提高了分式运算的能力. Ⅴ.课后作业
习题3.5第1、2、3、4题 Ⅵ.活动与探究 若
)1)(1(3-+-x x x =1+x A +1
-x B
，求A 、B 的值.
［过程］本题把一个真分式化成两个部分分式之和的形式，这里A 和B 都是待定系数，待定系数可根据对应项的系数来求解.
［结果］右式通分，得
)1)(1(3-+-x x x =)
1)(1()
1()1(-+++-x x x B x A .
因为左右恒等且分母相同，故分子应恒等，即x －3≡A （x －1）+B （x +1） 所以x －3=（A +B ）x +（－A +B ） 对应系数比较，得??
?-=+-=+3
1
B A B A
解得?
??-==12B A
所以A =2，B =－1 ●板书设计
3.分式的加减法
作业导航
理解并掌握分式的加减运算法则，会运用法则进行分式加减运算. 一、选择题
1.下列各式计算正确的是( )
A.
b a b a +=
+1
11 B.
ab m
b m a m 2=
+ C.a
a b a b 11=+-
D.011=-+-a
b b a 2.化简1
1
1322-+--+a a a a +1等于( ) A.
11
+-a B.
1+a a C.1
1+-a a
D.1
1-+a a 3.若a －b =2ab ，则
b
a 1
1-的值为( )
A.
2
1 B.－
2
1 C.2
D.－2
4.若
1
11312
-++=--x N
x M x x ，则M 、N 的值分别为( ) A.M =－1，N =－2 B.M =－2，N =－1 C.M =1，N =2
D.M =2，N =1
5.若x 2+x －2=0，则x 2+x －x
x +21
的值为( ) A.
2
3 B.
21 C.2
D.－2
3
二、填空题
6.计算：
3
236++
+x x
x =________. 7.已知x ≠0，x
x x 31
211++=________.
8.化简：x +x
x -12
=________.
9.如果m +n =2，mn =－4，那么
n
m
m n +的值为________. 10.甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地到乙地按每小时v 千米的速度行驶，可按时到达；若每小时多行驶a 千米，则可提前________小时到达(保留最简结果).
三、解答题 11.计算：
(1)a +b +b
a b -2
2
(2)
x
y y
x y x y x y y x ----+-+2 (3)
2
32
323194322---+--+x x x x x
(4)(x +1－13-x )÷2
22
-+x x
12.化简求值：
(2+
1111+-
-a a )÷(a －2
1a a
-)其中a =2. 13.已知b a b a +-=+411，求b
a
a b +的值.
14.一项工程，甲工程队单独完成需要m 天，乙工程队单独完成比甲队单独完成多需
要n 天时间，那么甲、乙工程队合做需要多少天能够完成此项工程？
参考答案
一、1.D 2.C 3.D 4.B 5.A 二、6.2 7.
x 611 8.x
x -1 9.－3 10.
)
(a V V Sa +
三、11.(1)b
a b a -+2
2 (2)1 (3)1 (4)2x －4
12.1 13.－6
14.n
m mn m ++22
●备课资料 参考练习
1.已知2
2y x M
-=2222y x y xy --+y
x y x +-,则M =____________. 2.若（3－a ）2与|b －1|互为相反数，则
b
a -2
的值为____________. 3.如果x ＜y ＜0，那么
x
x ||+xy xy ||化简结果为____________. 4.化简y
x y x --2
2的结果为____________.
5.计算
22+-x x －2
2
-+x x =____________. 6.已知ab ≠0,a +b ≠0，则（a －
1+b －
1）－1
应等于 A.a +b
B.
ab
1
C.
b
a ab
+ D.
ab
b
a + 7.化简：12--x x ÷（x +1－1
3
-x ）
8.计算：x x x x 3922+++9
69
22++-x x x
242422++-=+--=a a a a a a 3 1))1)(1()1()1)(1(3222--???????-++--+--x x x x x x x x x 3431)1)(1(44--=--?-+--x x x x x x 311131)1)(1()1)(3(--?-+---?-++-x x x x x x x x x x 343)1(33133--=-+--=-+---x x x x x x x x 1．分式加减法法则 （1）通分：把异分母的分式化为同分母分式的过程，叫做通分 （2）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变．分子相加减．用字母表示为： b c a b c b a ±=± （3）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分．变为同分母的分式后再加减．用字母表示为：b d bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 问题：通分有哪些应注意的问题，通分与约分之间又有哪些区别与联系呢? 探究：通分的关键是确定几个分式的最简公分母，其步骤如下：①将各个分式的分母分解因式；②取各分母系数的最小公倍数；③凡出现的字母或含有字母的因式为底的幂的因式都要取；④相同字母或含字母的因式的幂的因式取指数最大的；⑤将上述取得的式子都乘起来，就得到了最简公分母。如分式223c a b ，c b a 35的最简公分母为15a 2b 3c 2，通分的结果为23242215a 53c b b c a b = 老师：学习了通分和约分后，你能总结出通分和约分的区别和共同点吗? 小明：通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形． 小勇：约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，把各分式的分母统一起来． 小刚：通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，在变形中都保持分式的值不变． 老师：一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式．分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备． y x y x y x x y x y x y x y x x y x y x y x y x y x y x y x x y x y x +=-+++--=-++-++--+-=-+--+2))((2)()() )((2))(())((2112 2 例题2 2)44(42)2(42)2(241224224222+++-=++-=++-+=+-+=--+a a a a a a a a a a a a 名师点金：（1）异分母分式相加减步骤如下：分母能分解因式的分解因式；确定最简公分母；通分；同分母分式加减；化成最简形式．（2）分式与整式进行加减，要把整式当成分母为“1”的式子．与分式进行通分，再计算．（3）分式中的分数线有括号的作用，单个的分式分子、分母不用加括号，只要几个分式统一成一个分式时，原来隐藏的话号主写出来。 解法一：13)11132(22--÷-+----x x x x x x x ＝ ＝3 1)1)(1()12(3222--?-+++---x x x x x x x x ＝。 解法二：13)111 32(22--÷-+----x x x x x x x ＝ ＝ 当x=2时，原式＝一3 24-＝4。 名师点金：分式混合运算法则口诀：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）：乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同．分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处．结果要求最简． 例题1
§ 分式的加减法(2) 教学目标 1．进一步掌握异分母的分式的加减； 2．积累通分的经验； 3．能解决一些简单的实际问题， 进一步体会分式的模型作用。 教学重点:通分、化简. 教学难点:通分、化简. 教学过程 一、创设问题情境，引入新课 对于异分母的分数相加减必须利用分数的基本性质，化成同分母的分数相加减，然后才能运算.下面我们再来看几个异分母的加减法. 做一做：在分数的加减法中，我们把异分母的分数化成同分母分数的过程叫做通分. 二、讲授新课 下面可尝试用分式的基本性质，将“做一做”中的异分母分式的加减法通分化成同分母的分式加减法，计算并化简. （让同学们分组讨论交流完成，教师可巡视发现问题并解决问题）. 把异分母的分式加减法，通过通分，每个分式都化成同分母的加减法.你是怎样通分，把异分母的分式化成同分母的？ 同学们可根据“做一做”的每个步骤，总结你是怎样通分的？（小组讨论完成） 我认为通分的关键是几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母同乘以什么样的“适当整式”，才能化成同分母. 确定公分母的方法：系数取每个分式的分母的系数的最小公倍数，再取各分母所有因式的最高次幂的积，一起作为几个分式的公分母. 同学们概括得很好.下面我们来看一个例题 ［例1］通分： （1） x y 2,23y x ,xy 41；（2）y x -5,2)(3x y -; （3）31+x ,31-x ; （4）412-a ,2 1-a 分析: 通分时，应先确定各个分式的分母的公分母：先确定公分母的系数，取各个分母系数的最小公倍数；再取各分母所有因式的最高次幂的积. 解：（1）三个分母的公分母为12 xy 2，则 x y 2=22626y x y ??=2 3126xy y ; 23y x =x y x x 4342??=22124xy x ;
分式的加减法练习题一 主备人：陆相慧 审核人： 创作时间：2011年6月 课前自主练 分式的加减法： （1）23+34=34?+ 34 ?= （2）ab ab 610-= （3）1a +1b =ab +ab = （4）b a 21+21ab = 因为最简公分母是___________，所以 b a 21+21ab = ＝_____________________ ＝_____________________ ＝_____________________-. 提示：通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）.例如第（1）小题中的两个分式b a 21和21ab ，它们的最简公分母是 （5）y x -1+y x +1 因为最简公分母是___________，所以 y x -1+y x +1 = （6）1()x x y -+y x +1 因为最简公分母是___________，所以 1()x x y -+y x +1 =
课中合作练 练习A ： （1） a a 21+= （2） b c a c -= （3）a c b a c b ++- （4）b a b b a a +++= （5）a b b b a a －+-= （6）x x -++1111 = （7）231x ＋x 43； 因为最简公分母是_____，所以 231x ＋x 43 ＝2134x ? ＋34x ＝ + ＝ （8）221y x -+xy x +21 因为 x 2－y 2＝（x+y ）( ), x 2＋xy ＝x( ), 所以221y x -与xy x +21的最简公分母为＿＿＿＿＿，因此221y x -+xy x +21 ＝1()x y + ＋1x ＝+
时间年 级 八年级教师 教学课题分式加减法（2）课时安排 学情分析 学生在上节课已经学习过同分母的分式相加减及简单异分母分式相加减。在本章的前面几节课中，又学习了分式的约分及分式的乘除等。这节课只是在简单异分母分式相加减的基础上进一步，转化为复杂的异分母分式相加减。 知识与技 能（1）异分母分式加减法的法则 （2）分式的通分 （3）经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养教学学习中转化未知问题为已知问题的能力。 （4）进一步通过实例发展学生的符号感。 教学目 标过程与方 法与上节课类似，通过一些问题的引入与提出，启发学生在已有的知识经验基础上，通过合作交流找到合适的途径，采用的是启发，探索相结合办法。
情感、态度、价值观（1）在学生已有数学经验的基础上，探求新知，从而获得成功的快乐。（2）提高学生“用数学”意识。 教学重点分式的加减法法则 教学难点如果分母是多项式的异分母分式的加减教具准备小黑板 学具准备书，笔，草稿本 教学过程 教学步骤教师活 动 学生活动教学意图
一、提出问题做一做 1、 2、 =-a a 1 42=+b a 11 3、 4、 =+-+bc c b ab b a =+b a a b 23教师提出 问题学生独立回 答 这是几个简单异分母的加减 例子。也是对上节课所学知识的回顾，同时把本章前面几节所讲述分式概念，分式的约分以及分式乘除都有一定的复习，都可以通过这几个例子得到很好的诠释。 二、通分练习例题 通分 （1） （2） ;41,3,22xy y x x y ,5y x -；2 ) (3 x y - （3） （4） ;3 1 ,31-+x x 教师提出 问题 让学生观察运算，通 过小组讨论 交流在做习 题之前，由 同学们合作交流，总结 很多同学对最简公分母还不是很熟悉，或者用起来还没到得心应手的地步。安排此内容，就是进一步强化和巩固。在通分时，一定先找最简公分母，要达到准确无误的水平，为后面解复杂异分母加减打下扎实的基础。
分式加减法练习题 1.下列各式计算正确的是( ) 2222xxyy，，2aabb,，2A.,，xy,,ab; B. 3()xy，ba, 235,,xx11C.,,,; D. 46,,yy,，,xyxy,, 11,,,,2.计算11，,，的结果为( ) ,,,,2xx,,11,,,, x，11A.1 B.x+1 C. D. xx,13.下列分式中,最简分式是( ) 222xy，x,42，aab,A. B. C. D. 2xy，x,2aa，,2ba, 22x，4.已知x为整数,且分式的值为整数,则x可取的值有( ) 2x,1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ,,11,,5.化简的结果是( ) xy,,,,,,,yx,,,, xyA.1 B. C. D.-1 yx : 213,x 6.计算, 的结果是____________. xx,,122 11127.计算a?b??c×?d×的结果是__________. bcd xx，，138.若代数式有意义,则x的取值范围是__________. ,xx，，24 13,a,,9.化简1,, 的结果是___________. ,,aa,,224,, 2Mxyyxy2,,10.若,， ,则M=___________. 2222xyxyxy,,， 11.公路全长s千米,骑车t小时可到达,要提前40分钟到达,每小时应多走____千米. 22xxx，,9923,x,,，,，,x1; 13. : 22,,xxxx，，，369xx,,11,, 12. : 14.阅读下列题目的计算过程:
xxx,,,3232(1),,, ? 2xxxxxx,，，,，,11(1)(1)(1)(1) =x-3-2(x-1) ? =x-3-2x+2 ? =-x-1 ? (1)上述计算过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:______. (2)错误的原因是__________. (3)本题目的正确结论是__________. 15.已知x为整数,且22218x，，，为整数,求所有符合条件的x值的和. 2xxx，,,339
《分式加减法（1）》的教学设计 门古中学潘必 娟教学内容：义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级（下册）第十六章第二节第2课时 课时安排： 1课时 学情分析： 学生认知基础：学生在小学时已经学习过同分母分数加减及异分母分数加减的运算法则，并且经历过用字母表示现实情境中数量关系的过程。由此类比分式的加减法，可以猜想分式的加减运算法则。 活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生经历过一些从实际问题建模的思想，因此本节课从实际问题入手，能够引起学生的有意记忆；同时，还与整式运算、分解因式等有密切联系，因此可以加强知识之间的纵向联系。 学习内容分析 分式加减法的教学在教材中安排了两课时。第一课时讲述同分母分式加减法的运算法则及其应用以及简单异分母分式相加减的运算。第二节课则讲述异分母分式加减法的运算法则及分式的通分。在此，我做了部分调整：讲授完同分母分式加减法的运算法则及其应用以后，把第二课时的异分母分式相加减的运算法则也放到本课时，让学生形成
连贯的知识，且形成知识的对比记忆，并体会数学中的化归思想， 教学目标： 1、探究同分母分式加减法的运算法则及简单的异分母分式加减法的运算法则。 2、通过实际问题的提出，引导学生自己解决问题，采用类比的方法，帮助学生自己总结知识点。 3结合已有的学习经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气。 教学重点：同分母分式及简单的异分母分式加减法的运算法则。 教学难点：运用运算法则正确求解分式计算问题。 课堂教学结构： 创设情境 引出课题——类比思想 总结法则 ——质疑讨论 归纳法则——课堂小结 布置作业 教学过程： 活动一 创设情境 引出课题 1.P15问题3是一个工程问题，题意比较简单，只是用字母n 天来表示甲工程队完成一项工程的时间，乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天，两队共同工作一天完成这项工程的3 11++n n .这样引出分式的加减法的实际背景，问题4的目的与问题3一样，从上面两个问题可知，
第五章分式与分式方程 3．分式的加减法（二） 一、学生起点分析 学生知识技能基础：学生在上节课已经学习过同分母的分式相加减及分母互为相反式分式的加减运算。在第四章又学习了因式分解，在本章的前面几节课中，回忆了分数的基本性质，学习了分式的基本性质、分式的约分及分式的乘除等。对这节课异分母分式相加减内容的学习都有了充分的铺垫。 学生活动经验基础：从学习字母表示数开始，学生就经历过许多从实际问题建模的思想，用代数式去解决实际问题的经验。同时在以前的学习中，学生也经历了很多合作交流的学习过程，具有了一定的活动的经验和合作与交流的能力。 二、教学任务分析 分式的加减法是代数变形的基础之一，在学习完同分母分式的加减法法则后必将谈到异分母分式的加减法，教科书安排了两节课的教学，就是不让难度突然加大，而是循序渐进的去接受，允许学生经过一定时间的学习达到《标准》要求的目标，应把教学重点放在落实和理解上。本节内容不多，教学时对异分母分式加减法法则的探索过程上，要使学生充分活动起来，在观察、类比、猜想、尝试等一系列思维活动中，发现法则、理解法则、应用法则。本节课的教学目标为： 1、会找最简公分母，能进行分式的通分； 2、理解并掌握异分母分式加减法的法则； 3、经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，训练学生的分式运算能力。 4、培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识；进一步通过实例发展 学生的符号感和用数学的意识。 三、教学过程设计 本节课设计了7个教学环节：问题引入——学习新知——运用新知——小试牛刀——分式加减应用——拓展提高——课堂小结。 第一环节问题引入 活动内容 问题1：同分母分式是怎样进行加减运算的？ 问题2：异分母分数又是如何进行加减？
第五章分式与分式方程 3．分式的加减法（一） ----同分母分式加减法 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在小学时已经学习过同分母分数的加减，异分母分数的加减运算法则，在初一学习了整式的加减，在上一章学习了因式分解，本章又学习了分式及其乘除，都为这一节课的学习做好了铺垫。由分数加减运算类比分式的加减是这节内容的突破点。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生经历过许多类比和猜测的活动，如分式的乘除法运算，这些活动经验都为本节学习有很好的启迪。 二、教学任务分析 同分母分式的加减法是最简单的，也是学习异分母的分式加减的基础，所以作为起始节也是工具节内容，它就要求教学时务必使学生理解它并且能够灵活运用，对分母互为相反式的分式加减，能明白改变运算符号的实质。 教学目标： 1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则，理解其算理。 2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相 反式的分式加减法运算，具有一定的代数化归能力。 3、通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思 想。 4 、通过小组合作，课堂展示，培养学生的语言表达能力和自信心，从而提升学习 兴趣。 学习重点：同分母分式的加减运算；分母互为相反式的分式加减法运算 学习难点：解决一些简单的实际问题，进一步体会分式的模型思想。 三、教学过程 第一环节：提前一天布置，完成导学案中的预习案，对问题进行充分思考
预习案： 1．同分母的分数如何加减？举例说明 2.类似分数运算法则，你认为应等于什么？ 3.猜一猜，同分母的分式应该如何加减？ 同分母的分式相加减，分母______，分子_ 用式子表示则为a c ±b c =______． 第二环节 情景引入 小组活动：针对已完成的预习案，小组内部合作交流，并根据得到的结论回答下列问题（时间3分钟） 做一做：=+3231 =-7271 =+8381 =-12 5127 猜一猜 =+a a 21 =-x x 12 =+b b 2523 =-y y 3437 活动目的：通过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性。从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容。 活动的注意事项：通过人人都可以入手的做一做，让学生回答，可以使学生很快进入状态又不觉得困难。而后两个运算后要约分，学生极有可能报出没有约分的答案。因此，类比时注意引导学生，正确猜想，约分是分数的必要步骤哦，使法则的提出顺理成章，也为后面的学习做好铺垫。 运算法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为： a c b a c a b ±=± 第三环节 法则应用，例题展示 1、学习了同分母分式加减法的法则，结合已有知识，动手练习： 例1（1）ab b a ab b a -++； （2）2422---x x x ； （3）n m n m n m n m ++-+-42； （4）1 11213+--++++-x x x x x x .
分式的加减法 分式的加减法： （1）23+34=34?+ 34 ?= （2）ab ab 610-= （3）1a +1b =ab +ab = （4）b a 21+21ab = 因为最简公分母是___________，所以 b a 21+2 1ab = ＝_____________________ ＝_____________________ ＝_____________________-. 提示：通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂 的积作为公分母（叫做最简公分母）.例如第（1）小题中的两个分式b a 21和21ab ，它们的最简公分母是 （5）y x -1+y x +1 因为最简公分母是___________，所以 y x -1+y x +1 = （6）1()x x y -+y x +1 因为最简公分母是___________，所以 1()x x y -+y x +1 = 练习A ： （1） a a 21+= （2） b c a c -= （3）a c b a c b ++- （4）b a b b a a +++=
（5）a b b b a a －+-= （6）x x -++1111 =
（7）231x ＋x 43； 因为最简公分母是_____，所以 231x ＋x 43 ＝2134x ?＋34 x ＝ + ＝ （8）221y x -+xy x +21 因为 x 2－y 2＝（x+y ）( ), x 2＋xy ＝x( ), 所以221y x -与xy x +21的最简公分母为＿＿＿＿＿，因此221y x -+xy x +21 ＝1()x y +＋1 x ＝+ （9）231x +xy 125； 因为最简公分母是___________ = （10） 24a b a b -；
分式加减法教学设计教 案 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
§ 分式的加减法(2) 教学目标 1．进一步掌握异分母的分式的加减； 2．积累通分的经验； 3．能解决一些简单的实际问题， 进一步体会分式的模型作用。 教学重点:通分、化简. 教学难点:通分、化简. 教学过程 一、创设问题情境，引入新课 对于异分母的分数相加减必须利用分数的基本性质，化成同分母的分数相加减，然后才能运算.下面我们再来看几个异分母的加减法. 做一做：在分数的加减法中，我们把异分母的分数化成同分母分数的过程叫做通分. 二、讲授新课 下面可尝试用分式的基本性质，将“做一做”中的异分母分式的加减法通分化成同分母的分式加减法，计算并化简. （让同学们分组讨论交流完成，教师可巡视发现问题并解决问题）. 把异分母的分式加减法，通过通分，每个分式都化成同分母的加减法.你是怎样通分，把异分母的分式化成同分母的 同学们可根据“做一做”的每个步骤，总结你是怎样通分的（小组讨论完成） 我认为通分的关键是几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母同乘以什么样的“适当整式”，才能化成同分母. 确定公分母的方法：系数取每个分式的分母的系数的最小公倍数，再取各分母所有因式的最高次幂的积，一起作为几个分式的公分母. 同学们概括得很好.下面我们来看一个例题 ［例1］通分： （1）x y 2,23y x ,xy 41；（2）y x -5,2)(3x y -; （3）31+x ,31-x ; （4）412-a ,2 1-a 分析: 通分时，应先确定各个分式的分母的公分母：先确定公分母的系数，取各个分母系数的最小公倍数；再取各分母所有因式的最高次幂的积. 解：（1）三个分母的公分母为12 xy 2，则 x y 2=22626y x y ??=2 3126xy y ; 23y x =x y x x 4342??=2 2124xy x ; xy 41=y xy y 3431??=2 123xy y
17.2分式的运算 17.2.2 分式的加减法（1） 同步练习 一、请你填一填(每小题4分,共36分) 1. 异分母分式相加减，先________变为________分式，然后再加减. 2. 分式xy 2,y x +3,y x -4的最简公分母是________. 3. 计算：2223 2 1xyz z xy yz x +-=_____________. 4. 计算：)11(1x x x x -+-=_____________. 5. 已知22y x M -=2222y x y xy --+y x y x +-,则M=____________. 6. 若（3－a ）2与|b －1|互为相反数，则b a -2的值为____________. 7. 如果x ＜y ＜0，那么x x ||+xy xy ||化简结果为____________. 8. 化简y x y x --2 2的结果为____________. 9. 计算22+-x x －2 2-+x x =____________. 二、判断正误并改正: (每小题4分,共16分) 1. a b a b a a b a a b a --+=--+=0（ ） 2. 1 1)1(1 )1(1 )1()1(1 )1(22222-=--=---=-+-x x x x x x x x x （ ） 3. )(21 21 21 2222y x y x +=+（ ） 4.2 22b a c b a c b a c +=-++（ ） 三、认真选一选:(每小题4分,共8分) 1. 如果x ＞y ＞0,那么x y x y -++11的值是（ ）
《分式加减法（1）》的教学设计 教学内容：义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级（下册）第十六章第二节第2课时 课时安排： 1课时 学情分析： 学生认知基础：学生在小学时已经学习过同分母分数加减及异分母分数加减的运算法则，并且经历过用字母表示现实情境中数量关系的过程。由此类比分式的加减法，可以猜想分式的加减运算法则。 活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生经历过一些从实际问题建模的思想，因此本节课从实际问题入手，能够引起学生的有意记忆；同时，还与整式运算、分解因式等有密切联系，因此可以加强知识之间的纵向联系。 学习内容分析 分式加减法的教学在教材中安排了两课时。第一课时讲述同分母分式加减法的运算法则及其应用以及简单异分母分式相加减的运算。第二节课则讲述异分母分式加减法的运算法则及分式的通分。在此，我做了部分调整：讲授完同分母分式加减法的运算法则及其应用以后，把第二课时的异分母分式相加减的运算法则也放到本课时，让学生形成连贯的知识，且形成知识的对比记忆，并体会数学中的化归思想， 教学目标： 1、探究同分母分式加减法的运算法则及简单的异分母分式加减法的运算法则。 2、通过实际问题的提出，引导学生自己解决问题，采用类比的方法，帮助学生自己总结知识点。 3结合已有的学习经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气。 教学重点：同分母分式及简单的异分母分式加减法的运算法则。 教学难点：运用运算法则正确求解分式计算问题。 课堂教学结构： 创设情境 引出课题——类比思想 总结法则 ——质疑讨论 归纳法则——课堂小结 布置作业 教学过程： 活动一 创设情境 引出课题 1.P15问题3是一个工程问题，题意比较简单，只是用字母n 天来表示甲工程队完成一项工程的时间，乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天，两队共同工作一天完成这项工程的3 11++n n .这样引出分式的加减法的实际背景，问题4的目的与问题3一样，从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算. 2． P115[观察]是为了让学生回忆分数的加减法法则，类比分数的加减法，分式的加减法的实质与分数的加减法相同，让学生自己说出分式的加减法法则. ⒊师归纳：有关分式的加减运算，引出课题。 【设计意图】通过行程问题引入分式的加减运算，既体现了加减运算的意义，又让学生经历了从实际问题建立分式模型的过程，发展学生有条理的思考及代数表达能力。同时在解决实际问题时，教学生用画图的方法理解题意，从而解决问题。 活动二 类比思想 总结法则 ㈠探究同分母分式加减运算法则
分式的加减 同分母分式加减法 1） a a a 5123-+ （同分母分式相加减） 2)y x y y x x +++ （同分母分式相加减） = a （分母不变，分子______） = y x + （分母不变，分子______） = （化最简分式） = （化最简分式） 3) 2 222223223y x y x y x y x y x y x --+-+--+ （同分母分式相加减） = 2 2y x - （分母不变，分子______） = 2 2y x - （合并同类项） = 2 2y x - (提公因式) = （化最简分式） 注意：1°分数线的括号作用，突出分子是整体. 2°计算结果要化成最简形式 一、基础训练（A 层） 计算下列各式： 1、 m m 155- 2、y x a y x a --- 3、b a b b a a ---22 4、xy xy x xy xy x --+22 5、 22322212252+-++--++x x x x x x 6、()()() 123 21211252+-++--++a a a a a a 7、x x x -++-2224 8、2 23 22232a b c b b a c a --+-- 三、提高训练（B 层）计算下列各式： 11、 m n m n m n m n n m ---+-+22 12、2 2222222y x x x y y y x y x ---+-+
13、()()()()z y x y z x z y y x y x --++--+ 14、()()()()()()() b c b a b a c b a b ab c b b a b a --+- --+--+2 22 6 二、计算下列各式：（C 层） 15、()()() 222222 22222y xy x xy y x y x y y x x y x +-÷---+-?+ 16、 xy y x 65 43322- + 17、225122--+-m m m m 分式的通分(重难) 定义: 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式的过程 依据：分式的基本性质 关键：确定几个分式的公分母． 求最简公分母为： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）把相同的字母（因式分解后得到的相同因式）的最高次幂作为最简公分母的一个因式； （3）把只在一个分式的分母中出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。 例1 通分： 解：∵ 最简公分母是12xy 2， 注：各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数． 例2 通分 解(1)：∵ 最简公分母是2x(x+1)(x-1)，
授课内容: 分式的加减法 教学目标： 1、掌握同分母分式的加减运算法则，会进行同分母分式的加减运算. 2、理解通分的概念，能对异分母的分式进行通分. 3、掌握异分母分式的加减运算法则，会进行异分母分式的加减运算. 4、会进行分式的混合运算. 教学重难点：通分 授课内容: 1、同分母分式的加减（这是重点） 法则： 同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减. 用式子可以表示为： c b a c b c a ±=± 注意：同分母分式的加减运算法则和分数的加减运算法则在实质上是相同的，但分式的分子常常是一个多项式，“把分子相加减”就是把各个分式的“分子整体”相加减，各分子都应加括号，尤其是相减时，要注意避免符号错误，分子相加减的实质就是整式的加减.最后结果要求是最简分式. 2、通分（这是重点、难点） 根据分式的基本性质，异分母的分式可化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母. 确定最简公分母的方法： 先对分式的分母进行分解因式，如果分母中含有相同字母，则取相同字母的最高次幂作为最简公分母的一个因式，如果只在一个分母中出现的字母，则连同它的指数作为最简公分母的一个因式. 举例说明： ab a 3,22 最简公分母：b a 2. 16 24,432--x x 最简公分母： （x+4）（x －4） 3、异分母分式的加减（这是重点、难点） 法则： 异分母分式相加减，先通分化为同分母的分式，然后再加减. 注意：异分母分式的加减必须转化为同分母分式的加减，然后按照同分母分式加减法的法则进行计算，转化的关键是通分.异分母分式的加减运算综合性较强，运算时要用到前面的一系列知识，如整式的四则运算、因式分解、约分、通分等. 其一般步骤为： ①通分：将异分母的分式化成同分母的分式； ②写成“分母不变，分子相加减”的形式； ③分子去括号，合并同类项； ④分子、分母约分，将结果化成最简分式的形式.
3.3分式的加减法（第一课时）教案 一、.教学目标 知识目标： 利用分式的加减运算法则，会进行同分母及简单异分母的分式加减运 算 能力目标： 使学生经历探索分式的加减运算法则的过程，理解其算理；体会类比、转化的思想 情感目标： 激发学生学习数学的兴趣，重视学习过程中对学生的 归纳、概括、交流 等能力的培养。 二、教学重点 （1）同分母分式的加减运算法则中，“把分子相加减”的理解与应用 （2）对异分母分式准确的通分（单项式） （3）准确计算出分式的最简结果。 三、教学难点 （1）同分母分式的加减运算法则中，“把分子相加减”的理解与应用。 （2）当分式的分母是互为相反数时，符号的处理方法。 四、教学过程 1、复习回顾，感悟知识 问题1：会计算下列算式吗？ （1） 2377+ （2）1566 - 2、类比探索，掌握分母是单项式的同分母分式加减法则. 问题2：若把上述两个算式中的分母用不能表示零的字母来代替，你还会运算吗？ 23(1)?a a += 15(2)?b b -= 猜一猜：同分母的分式应该如何加减？ 在学生自主探究、合作交流中得出： 同分母的分式相加减，分母不变,分子相加减
巩固练习（以下练习分母均不为0） （1）25x x += （2）a b m n m n -=++ （3）4133n n - （4）2422 x x x --- 3、灵活变通，掌握分母是多项式的同分母分式的加减法则 例1.计算（本环节是这节课的重点，突破办法：由浅入深，层层推进） 24(1)22x x x --- （2）213111 x x x x x x +---++++ 巩固练习： （1）2222a b a b a b --- （2）b c b c a a +-- （3）22 2x xy y x y x y y x +++++ 4、类比探索，掌握分母是单项式的异分母分式加减法则 问题3：异分母的分数如何加减呢？ 例如：3?4112 += 问题4：若把分母中的4用字母a 来代替该如何进行加减呢？ 例如：331?a a += 【异分母分数加减法的法则】：先通分，把异分母的分数化为同分母的分数。然后按照同分母分数的加减法则来计算 议一议： 小明认为, 只要把异分母的分式化成同分母的分式, 异分母的分式的问题就变成了同分母分式的加减问题. 小亮同意小明的这种看法, 但他俩的具体做法不同
分式加减法一教学设计 教案 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
§3.3分式的加减法(一) 教学目标 (一)知识与技能目标 1、会进行简单分式的加减运算，具有一定的代数化归能力． 2、引导学生不断小结运算方法和技巧，提高运算能力． （二）过程与方法目标 探索分式加减运算法则的过程，理解其算理 （三）情感与价值目标 在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生“用数学”的意识和能力 教学重点：分式的加减运算． 教学难点：异分母的分式加减法运算． 教学过程 一、情境引入： 从甲地到乙地有两条路，每条路都是3km ，其中第一条是平路，第二条有1km 的上坡路，2km 的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为vkm/h ,在平路上的骑车速度为2vkm/h ，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h ，那么当走第二条路 时，她从甲地到乙地需要多长时间？12()3h v v + 她走哪条路花费时间少？少用多长时间？123()32h v v v +- 想一想 2、解读探究 同分母分数如何加减？（学生举例）你认为12a a +应该等于什么？ 二、讲授新课 1.猜一猜，同分母的分式应该如何加减？ 同分母的分式相加减，分母不变把分式相加减 做一做（1）24( )22x x x +=--_____________ （2）213()111 x x x x x x +---+=+++__________
想一想：异分母分数如何加减？（学生举例） 你认为异分母的分式应该如何加减？比如314a a +应该怎样计算？ 2.议一议：小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同。 小明： 22231341213134444444a a a a a a a a a a a a a a a +=+=+==小亮：3134112113444444a a a a a a a ?+=+=+= 3.你对这两种做法有何评论？与同伴交流。 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母。 4.例1 计算 （1）3155a a a -+；（2）2111x x x -+-- 三、随堂练习P77 四、课堂小结： 通过本节课的学习，你学到了哪些知识和方法？ 五、作业 P77 习题3.5 教学反思： 本节课本内容太乱了.没有学通分,就让学生去进行异分母分式的加减运算(异分母特简单),跳跃太快.学生接受有难度..
当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 分式的加减---同分母、异分母分式加减
本课教学反思 英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。写作是综合性较强的语言运用形式, 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进。因此, 写作教案具有重要地位。然而, 当前的写作教案存在“ 重结果轻过程”的问题, 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上，忽视了语言的输入。这个话题很容易引起学生的共鸣，比较贴近生活，能激发学生的兴趣, 在教授知识的同时，应注意将本单元情感目标融入其中，即保持乐观积极的生活态度，同时要珍惜生活的点点滴滴。在教授语法时，应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心，因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句，一个清晰的脉络能为后续学习打下基础。此教案设计为一个课时，主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括，下一个课时则对语法知识进行讲解。 在此教案过程中，应注重培养学生的自学能力，通过辅导学生掌握一套科学的学习方法，才能使学生的学习积极性进一步提高。再者，培养学生的学习兴趣，增强教案效果，才能避免在以后的学习中产生两极分化。 在教案中任然存在的问题是，学生在“说”英语这个环节还有待提高，大部分学生都不愿意开口朗读课文，所以复述课文便尚有难度，对于这一部分学生的学习成绩的提高还有待研究。
驿 马 中 学 “2 7 1” 导 学 案 15.2.2 分式的加减（一） 课型：新课 主备教师：禹晓霞 邹彦萍 审核： 班级： 学生 座号 时间：2014年 月 日 三维目标： 知识与技能目标： 1、 经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理 2、 会进行简单分式的加减运算，具有一定的代数化归 能力过程与方法目标：不断与分数情形类比以加深对新知识的理解 情感与态度目标: 通过思考、探讨等活动，发展学生实践能力和合作意识。 学习重点：同分母分数的加减法 学习难点：通分后对分式的化简 学习过程： 一、温故知新：阅读课本P 139—141 1.计算并回答下列问题 ①1234 5555+++ = ②=--3 13234 2、同分母分数如何加减？ 3、猜一猜，同分母的分式应该如何加减？(与同分母分数加减进行类比) 4、把你猜想的结论用数学符号表示出来 二、学教互动：（自学课本P140页例6，在完成下列题目） 1.计算： （1）b a a +2+b a ab b ++22 （2）y x x -23－y x y x -+2 2. 计算：（1）．21y x --311y x +-－1y x - (2)6386 577575x x x x x x --+-+--- 三、拓宽延伸：（选做） 1、填空题 (1) 374x x x -+= ； (2) 542332a b a b b a ++--= ； 2、在下面的计算中，正确的是（ ） A. a 21+ b 21 =)(21b a + B.a b ＋ c b =ac b 2 C. a c －a c 1+=a 1 D. b a -1＋a b -1=0 3、 计算： （1）2 52x x - （2）12-x ＋x x --11 4．.老师出了一道题“化简： 2 3224 x x x x +-++-” 小明的做法是：原式22222 2(3)(2)2628 4444 x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-= +-+-=-； 小芳的做法是：原式323131 12(2)(2)222 x x x x x x x x x x +-++-= -=-==++-+++． 其中正确的是（ ） A ．小明 B ．小亮 C ．小芳 D ．没有正确的 四、反馈检测： 1、化简 x y y x y x ---2 2的结果是( ) (A) y x -- (B) x y - (C) y x - (D) y x + 2、课本P146页习题4题 3、（选做） 计算： （1) 2 2233343365cba b a c ba a b bc a b a +--++ （2）112 3----x x x x 4、（选做）甲、乙2港分别位于长江的上、下游，相距s km ，一艘游轮往返其间，如果游轮在静水中的速度是a km/h ，水流速度是b km/h ，那么该游轮往返2港的时间差是多少？ ()b a b a a +-+2 .3
回忆：如何计算、， 从中可以得到什么启示？ §17.2.2 分式的加减法 教学目标： 1、使学生掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同分母，异分母 分式的加减运算。 2、通过同分母、异分母分式的加减运算，复习整式的加减运算、多项式去 括号法则以及分式通分，培养学生分式运算的能力。 3、渗透类比、化归数学思想方法，培养学生的能力。 教学重点： 让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法。 教学过程： 一、实践与探索 1、回忆：同分母的分数的加减法法则： 同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减。 2、试一试： 计算：（1）a a b 2+；（2）ab a 322- 3、总结一下怎样进行分式的加减法？ 概括 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 二、例题 1、例3计算：xy y x xy y x 2 2)()(--+ 2、例4 计算： 16 24432---x x . 分析．． 这里两个加项的分母不同，要先通分.为此，先找出它们的最简公分母. 注意到162-x =)4)(4(-+x x ,所以最简公分母是)4)(4(-+x x 解 16 24432---x x ＝)4)(4(2443-+--x x x ＝)4)(4(24)4)(4()4(3-+--++x x x x x ＝) 4)(4(24)4(3-+-+x x x ＝ )4)(4(123-+-x x x ＝)4)(4()4(3-+-x x x ＝43+x 三、练习： 四、小结： 1、同分母分式的加减法：类似于同分母的分数的加减法； 2、异分母分式的加减法步骤： ①. 正确地找出各分式的最简公分母。 求最简公分母概括为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出