2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
（4月24日上午 8:30—11:00）
第一试
一、选择题（每小题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合={1,2,310}M L ，
，，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，则满足条件的子集A 共有（ ）
A. 8个
B. 7个
C. 6个
D. 5个
2
、在平面直角坐标系中，不等式组0200y x y ?-≤??
+≥??≥??
表示的平面区域的面积是（ ）
C. 2
D. 3、设,,a b c r r r 是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥r r ，则()()c a c b -?-r
r r r 的最大值是（ ）
A. 1
1
1 D. 1
4、从1,2,,20L 这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（ ）
A.
15 B. 110 C. 319 D. 3
38
5、,A B 是抛物线2
3y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点，则||AB 等于（ ）
A. 3
B. 4
C.
6、如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ?的重心，M 是线段AG 的中点，
则三棱锥M BCD -的外接球的表面积为（ ） A. π B.
32
π
7、设函数3
2
()f x x ax bx c =+++（,,a b c 均为非零整数）.
若3
()f a a =，3
()f b b =，则c 的值是（ ）
A. 16-
B. 4-
C. 4
D. 16
8、设非负实数,,a b c 满足0ab bc ca a b c ++=++>
的最小值为（ ）
A. 2
B. 3
D. A
C
D
B
G M
二、填空题（每小题8分，共32分）
9、在数列{}n a 中，4111,9a a ==，且任意连续三项的和都是15，则2016a =_______________.
10、设,m n 均为正整数，且满足4
24m n =，则m 的最小值是_______________. 11、设()()f x g x 、分别是定义在
R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x =+，若对
[1,2]x ∈，不等式()(2)0af x g x ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是___________.
12、设x R ∈，则函数()|21||32||43||54|f x x x x x =-+-+-+-的最小值为_________.
第二试
一、（本题满分20分）设,x y 均为非零实数，且满足
sin
cos
95
5tan 20cos sin 55
x y x y π
π
πππ+=-．
（1）求
y x 的值；（2）在ABC ?中，若tan y
C x
=，求sin 22cos A B +的最大值． 二、（本题满分20分）
已知直线:4l y =+，动圆222
:(12)O x y r r +=<<，菱形ABCD
的一个内角为060，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上，当r 变化时，求菱形ABCD 的面积S 的取值范围．
三、（本题满分20分）如图，圆1O 与圆2O 相交于,P Q 两点，圆1O 的弦PA 与圆2O 相切，圆2O 的弦PB 与圆1O 相切，直线PQ 与PAB ?的外接圆O 交于另一点R ．求证：
PQ QR =．
四、（本题满分30分）设函数1
()ln (1),f x x a a R x
=+-∈，且()f x 的最小值为0， （1）求a 的值； （2）已知数列{}n a 满足11a =，1()2(N )n n a f a n ++=+∈，设
[][][][]123n n S a a a a =++++L ，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求n S ．
五、（本题满分30分）设,,a b c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ≥
，证明：
≥．
高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。
二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. . A A 1 1 1 图1 2019全国高中数学联赛模拟试题（二） 第一试 一、选择题（每小题6分，共36分） 1、已知集合()??????+=--=123,a x y y x A ，()()(){} 1511,2=-+-=y a x a y x B ．若?=B A ，则a 的所有取值是 （A ）－1，1 （B ）－1，21 （C ）±1，2 （D ）±1，－4， 25 2、如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 、N 在AB 1、BC 1上，且AM ＝BN ．那么， ①AA 1⊥MN ； ②A 1C 1∥MN ； ③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1； ④MN 与A 1C 1异面． 以上4个结论中，不正确的结论的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3、用S n 与a n 分别表示区间[)1,0内不含数字9的n 位小数的和与个数．则n n n S a ∞→lim 的值为 （A ） 43 （B ）45 （C ）47 （D ）4 9 4、首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有 （A ）216个 （B ）252个 （C ）324个 （D ）432个 5、对一切实数x ，所有的二次函数()c bx ax x f ++=2（a ＜b ）的值均为非负 实数．则c b a a b ++-的最大值是 （A ）31 （B ）21 （C ）3 （D ）2 6、双曲线122 22=-b y a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定 （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）以上情况均有可能 高二数学竞赛模拟试题 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器； ⒊考试用时120分钟，全卷满分150分． 一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =， N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ） (A)．9 ( B)．6 (C)．18 (D)．16 2．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ） (A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．3 3、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6 (π 平移后，它的一条对称轴是4 π = x ，则θ的一个 可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6 π (D)12π 4.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有 ()200823f x f x x ?? ? ?? +=，则()2f 等于（ ） ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012. 5.已知,αβ分别满足100411004,10g βαα β=?=?，则αβ?等于( ) ﹙A ﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C ﹚ ﹙D ﹚2008. 6.直线20ax y a -+=与圆22 9x y +=的位置关系是（ ） （A ）相离 （B ）相交 （C ）相切 （D ）不确定 7.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ） (A)．100 (B). 101 (C).200 (D).201 8．()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（ ） 2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试 一、选择题： 1．已知x ，y 为整数，且满足(1x ＋1y ) (1x 2＋1y 2)＝－23(1x 4－1y 4)，则x ＋y 的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．已知非负实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则t ＝2xy ＋yz ＋2xz 的最大值为（ ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225 3．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，BE ⊥AC 于E ，交AD 于P ，已知BP ＝3，PE ＝1，则AE ＝（ ） A ．62 B ．2 C ．3 D ．6 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（ ） A ．12 B ．25 C ．23 D ．34 5．设[t ]表示不超过实数t 的最大整数，令{t }＝t －[t ].已知实数x 满足x 3＋1x 3＝18，则 {x }＋{1x }＝（ ） A ．12 B ．3－5 C ．12 (3－5) D ．1 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝1，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, ∠ADE ＝90° ,则BE 的长为（ ） A ．4－23 B ．2－3 C ．12 (3－1) D ．3－1 二、填空题： 1．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1， 1 a ＋b －c ＋ 1 a ＋c －b ＋ 1 b ＋c －a ＝1，则abc ＝__ 2．使得不等式917＜n n ＋k ＜815 对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为________． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB ＝BC ，∠BPC ＝108°，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则∠P AC ＝________． 2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α 2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题 （4月24日上午8:30—11:00） 第一试 一、选择题（每小题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合={1,2,310}M ，， ，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，则满足条件的子集A 共有（） A.8个 B.7个 C.6个 D.5个 2 、在平面直角坐标系中，不等式组0200y x y ?-≤??-+≥??≥?? 表示的平面区域的面积是（） A.2 2 D.3、设,,a b c 是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥，则()()c a c b -?-的最大值是（） A.1 1 1D.1 4、从1,2,,20这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（） A.15B.110C.319D.338 5、,A B 是抛物线23y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点，则||AB 等于（） A.3 B.4 C. 6、如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ?的重心，M 是线段AG 的中点，则三棱锥M BCD -的外接球的表面积为（） A.πB.32π C.4 D.8 7、设函数32 ()f x x ax bx c =+++（,,a b c 均为非零整数）. 若3()f a a =，3()f b b =，则c 的值是（） A.16- B.4- C.4 D.16 8、设非负实数,,a b c 满足0ab bc ca a b c ++=++> A.2 B.3 D. A C D B G M 二、填空题（每小题8分，共32分） 9、在数列{}n a 中，4111,9a a ==，且任意连续三项的和都是15，则2016a =_______________. 10、设,m n 均为正整数，且满足424m n =，则m 的最小值是_______________. 11、设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x =+，若对[1,2]x ∈，不等式()(2)0af x g x ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 12、设x R ∈，则函数()|21||32||43||54|f x x x x x =-+-+-+-的最小值为_________. 第二试 一、（本题满分20分）设,x y 均为非零实数，且满足sin cos 955tan 20cos sin 55x y x y ππ πππ+=-． （1）求y x 的值；（2）在ABC ?中，若tan y C x =，求sin 22cos A B +的最大值． 二、（本题满分20 分）已知直线:4l y =+，动圆222:(12)O x y r r +=<<，菱形ABCD 的一个内角为060，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上，当r 变化时，求菱形ABCD 的面积S 的取值范围． 三、（本题满分20分）如图，圆1O 与圆2O 相交于,P Q 两点，圆1O 的弦PA 与圆2O 相切，圆2O 的弦PB 与圆1O 相切，直线PQ 与PAB ?的外接圆O 交于另一点R ．求证：PQ QR =． 四、（本题满分30分）设函数1()ln (1),f x x a a R x =+-∈，且()f x 的最小值为0， （1）求a 的值；（2）已知数列{}n a 满足11a =，1()2(N )n n a f a n ++=+∈，设[][][][]123n n S a a a a =++++，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求n S ． 五、（本题满分30分）设,,a b c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ≥ ，证明：≥ 2019-2020年初中数学竞赛模拟试题 一、选择题（每小题6分，共30分） 1．方程1) 1(3 2=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且3 1 =AB AD ．若在边AC 上取一点E ， 使四边形DECB 的面积为 43，则EA CE 的值为（ ） （A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）5 1 3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定 4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个 5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 二、填空题（每小题6分，共30分） 6．当x 分别等于 20051，20041，20031，20021，20011，2000 1 ，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式2 2 1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于 ． 7．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜2 5 ，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为 ． 8．方程02 =++q px x 的两根都是非零整数，且 198=+q p ，则p ＝ ． 9．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于 ． A B F C E D · D C O B A 最新全国2010高中数学精选联赛模拟试题一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 1、函数的最大值是（） A、2 B、 C、 D、3 2. 已知，定义，则 （） A． B．C． D． 3. 已知正三棱锥P－ABC的外接球O的半径为1，且满足＋＋＝，则正三棱锥P－ABC的体积为（） A．B．C．D． 4. 已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上任意一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为（） A、B、3 C、D、2 5. 已知（R），且 则a的值有（） （A）个（B）个（C）个（D）无数个 6.平面上有两个定点A、B，另有4个与A、B不重合的的动点。 若使则称（）为一个好点对。那么这样的好点对（） A．不存在B．至少有一个C．至多有一个D．恰有一个 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 不等式的解集为，那么的值等于__________. 8. 定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，则的值为_________. 9. 等差数列有如下性质：若是等差数列，则通项为的数列也是等 差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则通项为 _______________的数列也是等比数列． 10. 在正三棱锥S—ABC中M、N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是 11. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）． 12.已知点A(0，2)和抛物线y2＝x＋4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围 三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分） 13. 在外接圆直径为1的△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量 (1) 求的取值范围; （2）若试确定实数的取值范围. 14. 已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC 把几何体分成的两部分；（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM 【最新整理，下载后即可编辑】 第二十届高等数学竞赛试卷 一、填空题（每小题5分，本题共50分）： 1. 若0→x 时，1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小，则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续，则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为： 满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面， 而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算 所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数 (,)f x y 具有连续偏导 数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题（每小题6分，本题共42分）： . ,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是： 全国初中数学竞赛初赛模拟试卷 （本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月22日8:30——10:30） 一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内 1. 方程 020091 1=-x 的根是 A. 20091 - B. 20091 C. -2009 D. 2009 2. 如果0<+b a ，且0>b ，那么2a 与2b 的关系是 A ．2a ≥2b B ．2a ＞2b C ．2a ≤2b D ．2a ＜2b 3. 如图所示，图1是图2中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的），那么，图1中的线段AB 在图2中的对应线段是 A ．k B ．h C ．e D ．d 4. 如图，A 、B 、C 是☉O 上的三点，OC 是☉O 的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA 的度数是 A ．75° B ．72° C ．70° D ．65° 图2 （第3题图） （第4题图） 5. 已知a 2=3，b 2=6，c 2=12，则下列关系正确的是 A ．c b a +=2 B ．c a b +=2 C ．b a c +=2 D. b a c +=2 6. 若实数n 满足 (n-2009 )2 + ( 2008-n )2=1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是 A ．1 B ．21 C ．0 D. -1 7. 已知△ABC 是锐角三角形，且∠A ＞∠B ＞∠C ，则下列结论中错误的是 A ．∠A ＞ 60° B ．∠C ＜60° C ．∠B ＞45° D ．∠B ＋∠C ＜90° 8. 有2009个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第一个数是1，第二个数是-1，则这2009个数的和是 A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2 9. ⊙0的半径为15，在⊙0内有一点 P 到圆心0的距离为9，则通过P 点且长度是整数值的弦的条数是 A ．5 B ．7 C ．10 D ．12 10. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象 如图所示，记b a p +=2，a b q -=，则下列 结论正确的是 A ．p ＞q ＞0 B ．q ＞p ＞0 C ．p ＞0＞q D ．q ＞0＞p 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分） 11. 已知 |x |=3，2y =2，且y x +＜0，则y x = . 12. 如果实数b a ,互为倒数，那么=+++221111 b a . 13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球4个， 绿球6个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为52 ，那么，随机从中摸出一个黄球的概 率为 . 14. 如图，在直线3+-=x y 上取一点P ，作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ， 若矩形OAPB 的面积为4，则这样的点P 的坐标是 . 15. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°, E, F 分别在AC 、AB 上，且AE=AF ，∠CDE= ∠BAC ，那么，图中长度一定与DE 相等的线段共有 条. （第10题图） D F B A E C C 2017年全国高中数学联赛A 卷 一试 一、填空题 1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数 x 有1)4()3(x f x f .又当70x 时，)9 (log )(2x x f ，则)100(f 的值为__________. 2.若实数y x,满足 1cos 22y x ，则y x cos 的取值范围是__________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:2 2y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的 右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点， 则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过 1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P 中，1AB ，2AP ，过AB 的平面将其体积平分，则棱PC 与平面所成角的余弦值为__________. 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集1,0,1,),(y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为 5的概率为__________. 7.在ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3A ，ABC 的面积为3，则AN AM 的最小值为__________. 8.设两个严格递增的正整数数列n n b a ,满足：20171010b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a 12，n n b b 21，则11b a 的所有可能值为__________. 二、解答题 9.设m k,为实数，不等式12m kx x 对所有b a x ,成立.证明：22a b . 10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321x x x ，求)53)(53(3 21321x x x x x x 的最 小值和最大值. 一．选择题（8小题，每小题4分，共32 分） 2 250 1410 00sin d 2(1)(A )2sin lim lim lim 6(A) 解：由 知，当且仅当时， 此极限为非零的有限实数，故选 . x n n n x x x t t x x nx x x n nx --→→→===? (2)(B ). (C)(D)()0(A),(B)(B)()()(B). 解： ，中在处不连续， 中只有符合 ，故选F x x F x f x ='= 1212(3)(B ). 11()1 2.(B).. 解：由解的形式及方程的右端项，知对应齐次微分方程的 特征方程有二重根，，其通解为 又方 程有特解，于是得 ， 故选 x x y xe x r r a C C x e x b c =+===+==- 22 0(4)(C ). 21()2(0)lim 2(C) 解：由的连续性得，从而 ，选x x e x f x a f x →--'===. 222 2 1 (5)(D ) 1(1)(1)(D) 解：对 ，其一般项满足 ，此级数绝对 收敛，故选. n n n n n n a a a n ∞ =--=<∑ () 21(6)(A ). ,0cos sin 1ln(cos )ln(sin )043 0(A) 解：由可知 ，故， 因此 ，选 . x x x x x I I ππ∈<<<<<<< 2222(7)(C ). 315236302()3(1)48 (C). x x y y x y -+-=---=- 解：积分得 ，即 ，故为双曲 柱面，选 (8)(D ). ,, 解： 由隐函数求偏导数的公式 , F F F y y z x x z x F y F z F z x y ?????????=-=-=-????????? 2018年初中数学竞赛模拟试题 一、选择题（每小题5分，共30分） 1．方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且 3 1 =AB AD ．若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为43，则EA CE 的值为（ ） （A ） 21 （B ）31 （C ）4 1 （D ）51 3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定 4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个 5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 6．从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p 和q(p ≠q)，构成函数y=px-2和y=x+q ，若两个函数图象的交点在直线x=2的左侧，则这样的有序数组(p ，q)共有( ) (A)12组 (B)10组 (C)6组 (D)15组 二、填空题（每小题5分，共30分） 7．当x 分别等于 20051，20041，20031，20021，20011，2000 1 ，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式2 2 1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于 ． 8．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜ 2 5 ，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为 ． 9．方程02 =++q px x 的两根都是非零整数，且198=+q p ，则p ＝ ． 10．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于 ． · D C O B A 数学奥林匹克高中训练题 第一试 一、填空题（每小题8份，共64分） 1.函数3 ()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____. 2.在数列{}n a 中,11 3 a = ,且12[]n n n a a a +=-,则20092010a a +=_____. 3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____. 4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π< 全国高中数学联赛模拟试题(十) 姓名______ 学校______ 得分_______ 第一试 一、选择题：（每小题6分，共36分） 1、 设集合M ={-2,0,1}，N ={1,2,3,4,5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有 x +f (x )+xf (x )是奇数，则这样的映射f 的个数是 （A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）11 2、 已知sin2=a ，cos2=b ，0＜＜ 4π，给出??? ? ? +4tan πθ值的五个答案： ① a b -1； ② b a -1； ③ a b +1； ④ b a +1； ⑤1 1 -++-b a b a ． 其中正确的是： （A ）①②⑤ （B ）②③④ （C ）①④⑤ （D ）③④⑤ 3、 若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体 的一条对角线贯穿的小长方体的个数是 （A ）64 （B ）66 （C ）68 （D ）70 4、 递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是 若干个3的幂之和，则此数列的第100项为 （A ）729 （B ）972 （C ）243 （D ）981 5、 1 4951C C C C +++++m n n n n Λ（其中?? ? ???-=41n m ，[x ]表示不超过x 的最大整数）的值为 （A ）4 cos 2π n n （B ）4 sin 2πn n （C ） ?? ? ??+-4cos 22211πn n n （D ） ?? ? ??+-4sin 22211πn n n 6、 一个五位的自然数abcde 称为“凸”数，当且仅当它满足a ＜b ＜c ，c ＞d ＞e （如 12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是 （A ）8568 （B ）2142 （C ）2139 （D ）1134 二、填空题：（每小题9分，共54分） 1、 过椭圆12 32 2=+y x 上任意一点P ，作椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =PH （≥1）．当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的 取值范围是 ． 2019-2020年六年级数学竞赛模拟试题 一、填空题。（每题4分，共64分） 1、1×2×3×4×5×…×998×999×1000的积，末尾有（）个连续的零。 2、用n去除13511、13903和14589时所得的余数相同，n最大是（）。 3、如果一个小正方体木块的表面积是60平方厘米，那么由1000个同样的小正方体堆成的大正方体的表面积是（）。 4、把红、黄、绿三面旗子挂在旗杆上可以挂一面，二面，三面，不同顺序，排法不同，问有（）种不同挂法。 5、从1、2、3、4、5、 6、 7、…、1994这些自然数中，最多可以取（ 999）个数能使这些数中任意两个数的差都不等于。 6、把38个梨分给7个小朋友，如果每个小朋友分得的个数都不一样，那么，最多能分得的个数是（）个。 7、3点过（）分时，时针和分针离“2”的距离相等，并且在“2”的两边. 8、一把钥匙开一把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，问最多试（）次能用9把钥匙把9把锁打开。最少（）次。 9、把一个时钟改装成一个玩具钟，使得时针每转一圈，分针转16圈，秒针转36圈，开始时三针重合，问在时针旋转一周的过程中，三针重合了（）次。（不计起始和终点的位置） 10、一个自行车选手在相距950千米的甲、乙两地之间训练。从甲地出发，去时每90千米休息一次，到达乙地并休息一天后再沿原路返回，每100千米休息一次，他发现恰好有一个休息地点与去时的一个休息地点相同。问这个休息地点距甲地（）千米。 11、某个阶梯教室，有20排座位，第一排有10个座位，以后每一排比前一排多一个座位，如果考试时每一排的考生都不许相邻而坐，那么这阶梯教室最多能坐（）个考生。 12、一辆汽车从A城市开往B城市，如果把车速提高20%，则可比原定时间提前1小时到达B城市，如果按原来的速度先行驶100千米后，再将速度提高30%，恰巧也能比原定时间提前1小时到达B城市。问A、B两城市之间的路程为（）千米。 13、育才小学一至六年级学生人数比为30:29:28:27:26:25,应届六年级学生毕业后，新招入一年级新生372人，其余学生全部升级，这样使得新学期开学后低年级（一、二、三年级）与高年级（四、五、六年级）学生人数之比为10:9，则这时育才小学学生总数为（）人。 14、把一个时钟改装成一个玩具钟，使得时针每转一圈，分针转16圈，秒针转36圈，开始时三针重合，问在时针旋转一周的过程中，三针重合了（）次。（不计起始和终点的位置） 15、一个自行车选手在相距950千米的甲、乙两地之间训练。从甲地出发，去时每90千米休息一次，到达乙地并休息一天后再沿原路返回，每100千米休息一次，他发现恰好有一个休息地点与去时的一个休息地点相同。问这个休息地点距甲地（）千米。 16、如果用四种颜色对下面图形的A，B，C，D，E五个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，那么，这幅图一共有（）种染法。 17、小朋和小亮在一起玩猜数字的游戏，小明在1-2001这2001个连续的自然数中随意抽取一个数让小亮猜，小亮每猜一次，小明告诉小亮是猜大还是猜小了，直到猜中为止。请你帮助小亮设计一个方法，使小亮最多猜（）次，一定能猜中。 18、六名男生A，B，C，D，E和F，参加数学竞赛的选拔考试。其结果如下：①A和B至少一人被选上；②A和D不能被同时选上；③A、E 和F只有2人被选上；④B和C一起被选上或不被选上；⑤C和D中有一人被选上；⑥如果D不被选上，则E也不被选上。问：哪几位男生被选上参加数学竞赛？（） 二、解答题（写出主要解题过程，每题9分，共36分） 1、计算： ? ? ? ? ? ? - + ? ? ? ? ? ? - + ? ? ? ? ? ? - + ? ? ? ? ? ? - + ? ? ? ? ? ? - + ? ? ? ? ? -11 36 11 7 7 36 11 3 9 36 11 5 3 36 11 1 5 36 11 9 36 11 11 2000年全国高中数学联合竞赛试卷 （10月15日上午8:00?9:40） 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩?R B是() (A){2}(B){?1}(C){x|x≤2}(D)? 2．设sin?＞0，cos?＜0，且sin＞cos，则的取值范围是() (A)(2k?+，2k?+)，k?Z(B)(+，+)，k?Z (C)(2k?+，2k?+?)，k?Z(D)(2k?+，2k?+)∪(2k?+，2k?+?)，k?Z 3．已知点A为双曲线x2?y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是() (A)(B)(C)3(D)6 4．给定正数p，q，a，b，c，其中p?q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2?2ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是() (A)(B)(C)(D) 6．设ω=cos+i sin，则以?，?3，?7，?9为根的方程是() (A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4?x3+x2?x+1=0 (C)x4?x3?x2+x+1=0(D)x4+x3+x2?x?1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．arcsin(sin2000?)=__________． 2．设a n是(3?)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…+))=________. 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________. 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)a?b，b?c，c?d，d?a； (3)a是a，b，c，d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 1．设S n=1+2+3+…+n，n?N*，求f(n)=的最大值．2019全国高中数学联赛模拟试题(二
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