高考总复习第12讲：直线与方程
§3.1直线的倾斜角与斜率
学习目标
1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；
2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；
3．能用公式和概念解决问题.
学习过程
一、课前准备
,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?
复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?
二、新课导学
※学习探究
新知1：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角 叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）.
关键：①直线向上方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角.
注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..
试试：请描出下列各直线的倾斜角.
反思：直线倾斜角的范围？
探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？
新知2：一条直线的倾斜角()2
π
αα≠的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为tan k α=. 试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为 ⑴当0o α=时，则k ； ⑵当090o o α<<时，则k ； ⑶当90o α=时，则k ； ⑷当090180o α<<时，则k .
新知3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12
()x x ≠的直线的斜率公式：21
21
y y k x x -=-. 探究任务三：
1.已知直线上两点1212(,),(,),A a a B b b 运用上述公式计算直线的斜率时，与,A B 两点坐标的顺序有关吗？
2．当直线平行于y 轴时，或与y 轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？
※ 典型例题
例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率： ⑴30οα=； ⑵135οα=； ⑶60οα=； ⑷90οα=
变式：已知直线的斜率，求其倾斜角. ⑴0k =； ⑵1k =；
⑶k =； ⑷k 不存在
例2 求经过两点(2,3),(4,7)A B 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.
※ 动手试试
练1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. ⑴(2,3),(1,4)A B -； ⑵(5,0),(4,2)A B -.
练2．画出斜率为0,1,1-且经过点(1,0)的直线.
练3．判断(2,12),(1,3),(4,6)A B C --三点的位置关系，并说明理由.
三、总结提升 ※ 学习小结
1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180)?.
2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的王新敞
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列叙述中不正确的是（ ）.
A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角
C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o 或90ο
D ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α 2. 经过(2,0),(5,3)A B --两点的直线的倾斜角（ ）.
A ．45ο
B ．135ο
C ．90ο
D ．60ο
3. 过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ). A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
4. 直线经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则α为 角；k 的取值范围 .
5． 已知直线l 1的倾斜角为α1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角2α为________.
1. 已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.
2. 已知直线l 过2211
(2,()),(2,())A t B t t t
-+-两点，求此直线的斜率和倾斜角.
§ 3.2两直线平行与垂直的判定
1. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；
2．通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力；
3．通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．
1．已知直线的倾斜角(90)οαα≠，则直线的斜率为 ；已知直线上两点1122(,),(,)A x y B x y 且12x x ≠，则直线的斜率为 .
2.若直线l 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l 的斜率为 ,倾斜角为 .
3．斜率为2的直线经过(3，5)、(a ,7)、(－1,b )三点，则a 、b 的值分别为 .
4．已知12,l l 的斜率都不存在且12,l l 不重合，则两直线的位置关系 .
5．已知一直线经过两点(,2),(,21)A m B m m --，且直线的倾斜角为60ο，则m = .
复习2：两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系?
二、新课导学： ※ 学习探究
问题1：特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：
(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为 ，两直线位置关系是 .
(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 ，两直线的位置关系是 .王新敞
问题2：斜率存在时两直线的平行与垂直．设直线1l 和2l 的斜率为1k 和2k .
⑴两条直线平行的情形．如果21//l l ，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？
新知1：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ?1k =2k 王新敞
注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．
⑵两条直线垂直的情形.如果12l l ⊥
，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立
吗？
新知2：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.
即
12
l l
⊥?1
2
1
k
k
=-?121
k k=-王新敞
※典型例题
例1 已知(2,3),(4,0),(3,1),(1,2)
A B P Q
---，试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.
例2 已知(1,1),(2,2),(3,0)
A B C
-三点，求点D的坐标，使直线CD AB
⊥，且//
CB AD.
变式：已知(5,1),(1,1),(2,3)
A B C
-，试判断三角形ABC的形状.
※动手试试
练1. 试确定m的值，使过点(,1),(1,)
A m
B m
-的直线与过点(1,2),(5,0)
P Q-的直线
⑴平行；⑵垂直
练2. 已知点(3,4)
A，在坐标轴上有一点B，若2
AB
k=，求B点的坐标.
三、总结提升：
※ 学习小结：
1．1212//l l k k ?=或12,l l 的斜率都不存在且不重合.
2．12121l l k k ⊥?=-g 或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（ ）. A ．若12l l ⊥，则121k k =-g
B ．若直线12//l l ，则两直线的斜率相等
C ．若直线1l 、2l 的斜率均不存在，则12l l ⊥
D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行
2. 过点(1,2)A 和点(3,2)B -的直线与直线1y =的位置关系是（ ）. A ．相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对
3. 经过(,3)m 与(2,)m 的直线l 与斜率为4-的直线互助垂直，则m 值为（ ）.
A ．75-
B ．75
C ．145-
D ．145
4. 已知三点(,2),(5,1),(4,2)A a B C a -在同一直线上，则a 的值为 .
5． 顺次连结(4,3),(2,5),(6,3),(3,0)A B C D --，所组成的图形是 .
1. 若已知直线1l 上的点满足260ax y ++=，直线2l 上的点满足2(1)10(1)x a y a a +-+-=≠，试求a 为何值时，⑴12//l l ；⑵12l l ⊥.
2． 已知定点(1,3),(4,2)A B -，以,A B 为直径的端点，作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标.
§ 3.2.1直线的点斜式方程
1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；
3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
12都有斜率，如果12//l l ，则
；如果12l l ⊥，则 .
2．若三点(3,1),(2,),(8,11)A B k C -在同一直线上，则k 的值为 .
3．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ，则第四个顶点D 的坐标
.
4．直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?
二、新课导学： ※ 学习探究
问题1：在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？
新知1：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程.
问题2：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
问题3：⑴x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 .
⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 .
⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 . 问题4：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0,)b ，求直线l 的方程.