第十三章压杆稳定
一、教学目标和教学内容
1．教学目标
深入理解弹性平衡稳定性的概念
熟练应用压杆的临界力公式，掌握杆端约束对临界力的影响
压杆的分类与临界应力曲线
掌握压杆稳定性校核的方法
2．教学内容
稳定的概念
两端铰支细长压杆的欧拉临界力
杆端约束的影响
临界应力曲线
压杆稳定性的校核
二、重点难点
重点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性的校核
难点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性的校核
三、教学方式
采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
四、建议学时
6学时
五、讲课提纲
1、稳定的概念
1.1分叉点失稳
1.1.1三种平衡状态
(1）刚球的稳定性
如物体因受了干扰稍为偏离它原来的平衡位置，而在干扰消除后它能够回到原来位置的平衡状态，就说它原来位置的平衡状态是稳定的。若干扰消除后它不回到原来位置的平衡状态，就说原来位置的平衡状态不稳定。所以一个刚体的稳定性是指它维持其原有位置的平衡状态的能力。
图 13.1
在图13.l a中，刚体小球A、和C各在重力W与反力R作用下处于平衡状态。但是，A的平衡状态是稳定的，B和C的平衡状态却不稳定。因为若分别以微干扰力使三球稍微移动到其邻近位置又撤去干扰力之后，原在谷底A的球到了A'，因反力不能平衡重力，必滚回谷底A，最终在A静平衡。原在峰顶B的球到了B'，反力和重力的不平衡使它往低处滚，非滚到某一谷底不会停止．绝不可能回到原位置峰顶B去静平衡。原在C的球则在干扰力让它到达之处就地静止并平衡。因
R和W始终在一直线上．
图13.lb中几条线分别表示山谷、平原、和山峰。谷坡越陡，坡上的球越易回谷底平衡，
因而球在谷底的平衡越稳定．谷坡越平，稳定性越小，谷变为平地，球的平衡的稳定性降为
零。平地若变为峰，球在峰顶，其平衡就不稳定了。所以，球在平地的平衡，是稳定平衡与不稳定平衡的分界，并称为临界平衡或中性平衡。
(2）弹性压杆的稳定性
所谓弹性压杆的稳定性是指弹性压杆在中心压力作用下的直线位形的平衡状态的稳定性；又因弹性体受力后的任一平衡状态都对应着某个唯一的变形状态，所以也是指弹性压杆受压后的轴向缩短的变形状态的稳定性。
设有一两端球铰支座的弹性均质等直杆受毫无偏心的轴向压力作用(这就是所谓的理想压杆)，杆呈轴向缩短变形状态，如图13.2a。现在要判断这种变形状态(或直线位置的平衡状态)是否稳定。要作这种判断，可加一微小干扰力Ｑ，使杆轴到达一个微弯曲线位置，
（a ）
（b ）
图13.2
如图13.2b ，然后撤销干扰力，如果杆轴能回到直线位置，则称初始直线位置的平衡状态是稳定的；如果它继续弯曲到一个挠度更大的曲线位置去平衡，则初始直线位置的平衡状态是不稳定的；这就是判别弹性稳定性的静力学准则。如果它停留在干扰力撤销瞬时的微弯曲线的位置不动，则初始直线位置的平衡是临界平衡或中性平衡。事实上，同一杆件其直线位置的平衡状态是否稳定，视所受轴向压力P F 的大小是否超过一个仅与杆的材料、尺寸、和支承方式有关的临界值Pcr F 而定。这个取决于杆件本身的定值Pcr F ，称为压杆的临界力或临界荷载。设轴向压力P F 从零逐渐增大，则杆件在直线位置的平衡状态表现为： (1)当Pcr P F F <，是稳定的平衡状态； (2)当Pcr P F F =，是临界的平衡状态； (3)当Pcr P F F >，是不稳定的平衡状态；
当Pcr P F F =时，压杆可在直线位置平衡(当它不受干扰时)，又可在干扰给予的微弯曲线位置平衡，这种两可性是弹性体系的临界平衡的重要特点。
1.1.2荷载－挠度曲线，分叉点
以图13.2b 的两端铰支的理想弹性压杆所受轴向压力P F 为纵轴，以干扰力Ｑ撤销后杆的中点挠度0w 为横轴，如图13.3a ，表示荷载P F 之值由零逐渐增大的过程中的荷载－挠度关系的曲线是该图中的OAB 折线。图中OA 段与纵轴重合，表示在Pcr P F F <整个阶段内的任何时刻，干扰力撤销后杆中点挠度均为零，即杆件能由微弯位形弹回其直线位形而平衡，即当Pcr P F F <时杆件在初始直线位置的平衡是稳定的。AB 段为水平，表明当Pcr P F F =时，中点挠度0w 可以是AB 范围内的任意值，随干扰大小而定，但整个AB 之长是微量。若干扰力反向，则AB 被AB ′取代，AB ′的长度也是微量。
当Pcr P F F >时，荷载－挠度曲线为OABD ′L 中AL 曲线段，和AB 直线段，图13.3b 表示。其中一个分支AB 对应着直线的平衡位形(无丝毫干扰)；ＡＬ曲线
是根据大挠度理论算出来的，对应着屈曲的平衡位形，不能停留在微弯位形。因此当Pcr P F F =时，杆在直线
图 13.3
位置的平衡是不稳定的。人们把（0p w F -）关系的发展曲线称为平衡途径。
当Pcr P F F <时，平衡途径为OA ，这段途径是唯一的。
当Pcr P F F ≥时；平衡途径有两条：若无干扰它将沿ＡＤ途径发展，这一途径上各点对应的平衡状态不稳定。若有干扰，它将沿曲线ＡＬ途径发展，其各点对应着稳定的平衡状态。点Ａ称为(两条途径的)分叉点。OAL 曲线所描写的失稳现象称为分叉点失稳。临界荷载pcr F 又称为分叉点荷载。
显然折线OAB 所代表的小挠度理论只是OAL 曲线所代表的大挠度理论的一部分，其贡献在于能确定至关重要的临界力，在13.2节我们将详细介绍小挠度理论－欧拉理论。 1.2极值点失稳
图13.3b 的曲线GJK 描写的失稳现象称为极值点失稳。上面说的分叉点失稳是理想压杆(无任何缺陷的弹性压杆)的失稳现象。实际压杆总是有缺隐的(杆内存在残余应力、初弯曲、荷载有初偏心，截面上有塑性区，等等)。图13.3b 的GJK 曲线是有初挠度'w 的实际压杆的0p w F -关系曲线，其特点是无直线段，曲线分上升的GJ 和下降的JK 两段，J 点的切线水平，所以J 是极值点，其纵坐标所表示的荷载J P F 称为极值点荷载。当J P P F F =后，将出现JK 段曲线所反映的实际压杆的崩溃现象—在荷载值不断降低的情况下杆件急剧弯曲，不再能维持其原来的缩短加弯曲的变形形式。这种现象叫做极值点失稳。J P F 总是小于临界荷载
pcr F 。
对于理想压杆，稳定性意味着压杆维持其直线压缩的变形形式的能力。对于有缺陷的压杆，稳定性意味着它维持其缩短加弯曲的变形形式的能力。总之，稳
定性意味着杆件维持其原有变形形式或平衡形式的能力。再则，稳定阶段总是一个比较长而缓的渐变过程，失稳却是一个短促而急剧的突变过程。 2、两端铰支细长压杆的欧拉临界力
理想弹性压杆的临界力是在干扰力撤销后维持压杆在微弯位形平衡的最小轴向压力。求临界力必须从微弯的压杆中取分离体。图13.4b 就是从图13.4a 所示轴向受压的理想压杆的变形后的微弯弹性杆件中取出来的。在其x 截面上取截面形心为矩心建立力矩平衡方程，当干扰力撤消前两端有竖向反力2/Q ，得到任意截面x 上的弯矩。
图 13.4
Qx w F M 2
1
P += （a ）
由小挠度微分方程
''EIw M -= （ｂ）
当Pcr P F F <时，就（a ）式而言，w F P 一旦失去2/Qx 的帮助就不能抗衡内力弯矩M 而让杆弹回直线位置。
到P F 增大到Pcr P F F =时，w F P 无需2/Qx 的帮助也能平衡，而2/Qx 就变得可有可无，可以忽略它的影响。这时令0=Q ，于是就有
Pw M =
注意，这就是临界平衡方程式。结合式（b ），得
0"P =+w F EIw （ｃ）
这就是微弯弹性曲线的微分方程式，是用平衡方程确定分叉点荷载的主要依据。
令 EI
F k P
2=
（d ） 于是，式(ｃ)可写为
0"2=+w k w
其通解为
kx C kx C w sin cos 21+= （ｅ）
为了确定积分常数1C 和2C ，考虑边界条件
1) 当x ＝０时，w （０）＝０ 2) 当x ＝l 时，w （l ）＝０ 3) 代入式(ｅ)分别得
?
??
=+=?+?0sin cos 0
012121kl C kl C C C （f ）
式(f )是以1C 和2C 为未知数的二元联立方程，而且是齐次方程。它显然有零解，即1C =0，
2C =0，此时，由式（ｅ）可得w ≡0，这表示未加干扰时杆可在直线位置平衡，
但这对求解Pcr F 毫无意义。要使式(f )有非零解，必须1C 和2C 的系数行列式等于零，即
0sin cos 0
1
=kl
kl
由此解答，稳定方程
0sin =kl （g ）
这要求
πn kl ±=（n ＝0，1，2，3，…） （h ） 于是有所要求的分叉荷载的表达式
2222
Pcr l
n k EI F π==（n ＝0，1，2，3，…） 或
2
22Pcr
l EI n F π=（n ＝0，1，2，3，…） （i ）
首先，n 有一系列的值，因而Pcr F 也是一系列的值，我们要求的是其中的最小
值，但n
＝０时，Pcr F ＝０，显然无意义，所以n 的合理的最小值是１，于是得
2
2Pcr l EI
F π=
（13.1）
其次，截面的惯性矩I 也是多值的，当端部各个方向的约束相同时，上式中
的I 为杆横 截面的最小形心惯性矩。式(f ）的第一个式给出1C ＝０，由式(h ）得l
k π
±=，
这里n ＝１，于是由式(e ）得弹性曲线方程
l
x
C w πsin
2±=
当2l x =时，0)2
(w l
w =，于是上式得2C ＝±0w ，所以弹性曲线方程的最后形式为
l
x
w w πsin
0= （j ）
0w 的值视干扰大小而定，但是0w 是微量。两端铰支压杆失稳时的弹性曲线是半波正弦曲线。 本节求Pcr F 的方法叫做微分方程法或临界平衡法，其思路是：
从临界平衡状态的微弯曲
线取分离体，建立临界平衡方程，再转换为弹性曲线的微分方程式，在不能让
通解的全部
积分常数都等于零的条件下得到稳定方程式，从而得出临界力。
除临界平衡法外还有能量法确定临界力。
式(13.1)是端士科学家L ·欧拉(L.Euler ）在1744年提出的，所以叫做欧拉公式。人们把两端铰支的理想压杆称为欧拉压杆，称为2
2l
EI
π为欧拉荷载。
3、
杆端约束的影响
对于各种杆端约束情况的弹性压杆，由静力学平衡方法得到的压杆的平衡微分方程和边界条件都可能各不相同，临界荷载的表达式也因此不同。现以图13.5的一端固定一端铰支压杆为例。当固端力矩为0M ，根据杆件的整体平衡条件，两端有水平反力l M /0。取x 截面以下部分为分离体如图ｂ，以x 截面的形心为矩心建立力矩平衡方程得
l x M w F M /0P -=
再由"EIw M -=得微分方程
l x M w F EIw /"0P =+
或
EIl
x
M w k w 02"=
+ 式中)/(P 2EI F k =，微分方程的解是
l
x
F M kx C kx C w ?+
+=P 021sin cos
图13.5
由边界条件
（1）当x ＝０时，w （０）＝０
（2）当x ＝l 时，dx dw
＝０
得 1C ＝０，2C ＝kl
kl F M cos 1
P 0?-
于是 =w kl
kl kx
l x F M cos sin (P 0-） 再由边界条件 当x ＝l 时，w ＝０
得稳定方程 kl kl =tan 此方程的最小非零解为
kl ＝4.493
由此得 2
22Pcr
)
7.0(2.20l EI
l EI F π== 和 =
w )]49.4sin(02.1[P 0l
x l x F M +
图13.6
图13.6所示几种常见的杆端约束情况的临界力和弹性曲线形式，都是由微分方程法推导而得。它们的临界力表达式可统一写成
2
2Pcr l EI
F π=
或2
2Pcr
)
(l EI
F μπ= （13.3） 其中：
0l ＝l μ （13.4）
0l 称为压杆的计算长度或有效长度。l 是实际长度，μ叫做长度系数。
(ａ）一端自由一端固定压杆 l l 2,
20==μ
(ｂ）两端铰支压杆 ,1=μ l l =0 (ｃ）一端固定一端铰支压杆 ,7.0=μ l l 7.00=
(ｄ）一端固定一端夹支压杆 l l 5.0,
5.00==μ 实际支承应简化成什么样的计算简图，它的计算长度如何确定，设计时都必须遵循设计规范。
4、 临界应力曲线
当中心压杆所受压力等于临界力而仍旧直立时，其横截面上的压应力称为临界应力，以记号cr σ表示，设横截面面积为A ，则
A I
l E A F ?==20
2Pcr cr
πσ （13.5） 但
2i A
I
=，i 是截面的回转半径，于是得
2
2
2cr l Ei πσ=
令
λ=i l /0 （13.6）
λ，称为压杆的长细比或柔度，于是有
22cr λπσE
= （13.7）
对同一材料而言，E 2
π是一常数，因此λ值决定着cr σ的大小，长细比λ越
大，临界
应力Pcr σ越小。式（13.7）是欧拉公式的另一形式。 欧拉公式适用范围：
若压杆的临界力已超过比例极限P σ，胡克定律不成立，这时式（13.2）中的式
（ｂ）
)(x M =ρEI /不能成立，从而式（ｃ）也不能成立。所以欧拉公式的适用范围是
临界应力 不超过比例极限，即
cr σ≤P σ （13.8）
对于某一压杆，当临界力未算出时，不能判断式（13.8）是否满足；能否在计算临界力之前，预先判断哪一类压杆的临界应力不超过比例极限，哪一类压杆的临界点应力将超过临界应力，哪一类压杆不发生失稳而只有强度问题？回答是肯定的。
若用λ的最小值P λ表示欧拉公式的适用范围，则
λ≥
P
2σπE
=P λ （13.9） 以λ为横坐标轴，cr σ为纵坐标轴，则欧拉公式（13.7）的图象是一条双曲线，如图13.7ａ所示，其中只有实线部分适用，虚线部分表示中柔度压杆，这类压杆横截面上的应力已经超过比例极限，故称为非弹性屈曲。
P λ与压杆的材料有关，对于
3号钢：
E ≈210GPa ，P σ≈200MPa ，
P λ＝102200
)10210(32P 2=?=πσπE
镍钢(含镍3.5％)
E ≈2.15×510 MPa ，P σ≈490 MPa ，
P λ＝
8
.65490
)
1015.2(52=?π
松木：
E ≈0.11×510 MPa ，P σ≈20 MPa ，
P λ＝
7.7320
)
1011.0(52=?π
图13.7
在使用欧拉公式前须算一下λ是否大于P λ。
对于中长杆与粗短压杆，目前在设计中多采用经验公式计算其临界应力。下面介绍几种常用工程材料压杆的设计公式。 （1）结构钢
①、对于细长杆，用由欧拉公式得到的结果：
22cr λ
πσE
=（λ≥P λ） （13.10）
②、对于中长杆与粗短杆，用抛物线公式得到的结果
20cr λσσk -=（λ≤P λ） （13.11）
根据图13.7ｂ所示的λσ-cr 曲线得到：λ＝０时s σσ=cr ，，所以式(13.11）中的s σσ=0。在欧拉双曲线与抛物线连接点处一般取2/c s r σσ=，于是式（13.11）中的k 为
2P
2λσs
k =
（13.12） 由P λλ=时2/s cr σσ=，求得
P λ＝
s
E
σπ22 （13.13）
将式（13.13）代入式（13.12）得
E
k s
24πσ=
（13.13） （2）铸铁、铝合金与木材
①、对于细长压杆，临界应力仍然采用由欧拉公式得到的结果，即
22cr λ
πσE
=（λ≥P λ） （13.15）
②、对于粗短压杆，临界应力为
s σσ=cr 或b cr σσ=（λ≤P λ） （13.16）
③、对于中长杆，采用直线经验公式
λσb a -=cr （≤s λλ≤P λ） （13.17）
由上述三式所确定的λσ-cr 曲线如图13.7ｃ所示。与P λ、s λ对应的临界应力值分别为比例极限和屈服极限(或强度极限b σ）。据此，不难确定不同材料的
P λ、s λ值。
此外，式（13.17）中常数a 和b 均与材料有关。表13.1中所列为三种材料的a 和b 值。 材料ａ,ｂ值。
材料
a/MPa b/MPa 铸铁 332.3 1.454 铝合金
373
2.15
5 、 压杆稳定性的校核
各种金属结构的压杆，其稳定性校核的思路大体相同，不过λσ-cr 曲线各不相同。我们以钢压杆的稳定校核作为典型示例。进行较详细的介绍。木压杆的稳定校核因近年来就国产木材作了大量研究，因而也特加介绍。 （一）钢压杆的稳定性的校核
实际压杆的缺陷一般归纳为三种：残余应力、 初弯曲和荷载偏心。但从概率观点看，三者同时达到其对杆件最不利的情况的机会很小，所以人们只考虑前两者，即以有残余应力和初弯曲的压杆作为实际压杆的模型。
对于实际压杆显然不能用分叉点失稳模式，因为它一开始就有弯曲。也不能用佩里公式即边缘纤维屈服的模式。因该模式没有考虑到残余应力带来的塑性区。因此对实际压杆是考虑的极值点失稳的模式，即以图13.3b 所示极植点的应力作为临界应力cr σ。
计算这样的弹-塑性失稳的临界应力，不但理论上比较复杂，而且不可能推导出适用于一切截面的统一的临界应力公式，也推导不出适用于一切压杆的
λσ-cr 曲线（即临界应力总图，工程界称为柱子曲线）。实际上，在计算中只能采用数值法，幸亏有电子计算机可用，使得计算能得以实现，但一次也只能就一种截面计算出一条属于它的柱子曲线。我国钢结构规范组根据自己算出的96根钢柱子曲线，经分析研究，最后归纳为图13.8所示a 、b 和c
图12.8
三根曲线，其中：
a 曲线：主要用于轧制工字形截面的强轴（弱轴用
b 曲线）、热轧圆管和方管；
c 曲线：用于焊接工字形截面的弱轴、槽形的对称主轴。 b 曲线：除a 、c 曲线以外的情况。
中心压杆的临界应力(极值点应力)cr σ与屈服极限s σ之比称为压杆的稳定系数，以?表示。
1≤=
s
cr
σσ? （13.18） 相应于每一条柱子曲线有一系列稳定系数，因此钢给构规范中有a 类截面，b 类截面和c 类
截面三种稳定系数表。各种钢的稳定系数表也互不相同（本章附录所示3号钢的稳定系数表）
稳定校核按下述稳定条件进行：
Af F N ?≤ （13.19） 式中N F —压杆所受轴向压力的设计值； A —压杆截面的毛截面面积；
f 一钢材抗压强度的设计值，随钢材种类而异。见表13.2；
?—稳定系数，见附录。
关于f 值与钢材尺寸有关，3号钢按尺寸分三组，见表13.2。表13.3表示钢材的f 值。 组 别 圆钢、方钢和扁钢的直径或厚度 角钢、工字钢和槽钢的
厚度 钢板的厚度
第1组 第2组 第3组
40≤ >40~100 15≤ >15~20
>20
20≤ >20~40 >40~50
表13.3 钢材的抗压强度设计值/(N ·mm 2-)
钢号 组别 厚度或直径
f 3号钢 第1组 － 215 第2组 － 200 第3组 － 100 16Mn 钢 16Mnq 钢 － 16≤ 315 － 17~25 300 － 26~36 290 15 MnV 钢 15 MnVq 钢
－ 16≤ 350 －
17~25
335
，算得的A N ?将大于190MPa ）。 (二)木压杆的稳定性的校核
根据实验，实际的木压杆的0w F P -曲线如图13.9，此曲线的Ot 段完全重合于纵坐标轴，Pt F 是切线模量理论的临界荷载，这就是说木压杆的工作方式是中心受压。
木压杆的稳定性校核按下述计算准则进行
c N f A F 0?≤ （13.20）
式中N F —压杆所受轴向压力的设计值； c f —木材顺纹抗压强度的设计值； 0A —压杆截面的计算面积； ?—轴心受压杆件的稳定系数。
图
13.9
树种不同，c f 和?之值也不同，表13.4所示各种树种木材的c f 值和E (弹性模量)值。
关于?值，规范规定：
1) 树种强度等级为17TC 、15TC 及20TB ： 当λ≤75时
2
)80
(
11λ
?+=
（13.21）
当λ＞75时
2
3000
λ?=
（13.22）
2）树种强度等级为13TC 、11TC 、17TB 及15TB 当λ≤91时
2
)65
(
11λ
?+=
（13.23）
当λ＞91时
22800
λ
?= （13.24）
第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。其柔度为 ( C ) A.60； B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ P E πσ B 、λ≤s E πσ C 、λ≥ P E π σ D 、λ≥s E π σ
第十二章 压杆的稳定性 12-1 图示细长压杆，两端为球形铰支，弹性模量200E GPa =，对下面三种截面用欧拉公式计算其临界压力。（1）圆截面，25, 1.0d mm l m ==；（2）矩形截面，240h b mm ==， 1.0;l m =（3）16号工字钢， 2.0l m =。 解：结构为两端铰支，则有22 1,0,lj EI P l πμ== (1)圆截面杆，4 34 932(0.025),2001037.61037.664 (1.0)64 lj d I P kN ππ?== ??=?=? (2)矩形截面杆， 323123493 2 2020401040,20010531053121212(1.0) lj bh I mm P N kN π-???==?=??=?=? (3)16号工字查型钢表知 284 932 113010200 1130,1046110461(2.0) lj I cm P N kN π-???== ?=?= 题12-1图 题12-2图 12-2 图示为下端固定，上端自由并在自由端受轴向力作用的等直压杆。杆长为l ，在临界力lj p 作用下杆失稳时有可能在xy 平面内维持微弯曲状态下的平衡。杆横截面积对z 轴的惯性矩为I ，试推导其临界压力lj p 的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。
解：()()M x v ρδ=-，结合 ()EIv M x ''=设2 k EI ρ = ，则有微分方程： 2 2 V k v k δ''+= 通解为sin cos v A kx B kx δ=++ 边界条件：0,0,x v ==则0B δ+=，解出B δ=- 0,0x v '==（转角为零），0A k ?=，解出0A = 解得挠曲线方程为：(1cos )v kx δ=- 因为v 在x l =处为δ，则cos 0kl δ?=，由于0δ≠，可得：cos 0,2 kl kl π == （最小值） 而2 k EI ρ = ，得22 (2)lj EI P l π= 注：由cos 0kl =，本有02 kl n π π=+ >，计算可见0n =（2 kl π = 时），对应的P 值 是最小的，这一点与临界力的力学背景是相符的。 12-3 某钢材，230,274p s MPa MPa σσ==，200E GPa =，338 1.22lj σλ=-，试计算p λ和s λ值，并绘制临界应力总图（0150λ≤≤）。 解：92.6,52.5,s P s a b σλλ-=== =式中338, 1.22a b == s σσs p 50 题12-3图 12-4图示压杆的横截面为矩形，80,40,h mm b mm ==杆长2l m =，材料为优质碳钢， 210E GPa =。两端约束示意图为：在正视图（a ）的平面内相当于铰支；在俯视图（b ） 的平面内为弹性固定，并采用0.6μ=。试求此杆的临界应力lj P 。
11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。（1）圆形截面，25,1 d l == mm m；（2）矩形截面2400,1 h b l === m m；（3）16号工字钢，2 l=m l 解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力： （1）圆形截面，25,1 d l == mm m： 2 29 2 22 0.025 20010 6437.8 1 cr EI P l π π π ? ??? === N kN （2）矩形截面2400,1 h b l === m m 当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳 2 0.040.02 min(,) 12 y z y I I I I ? ===，故： 2 29 2 22 0.040.02 20010 1252.7 1 cr EI P l π π ? ??? === N kN （3）16号工字钢，2 l=m 查表知：44 93.1,1130 y z I I == cm cm，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时 4 min(,)93.1 y z y I I I I ===cm，故： 2298 22 2001093.110 459.4 2 cr EI P l ππ- ???? === N kN 11-3 有一根30mm×50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载？已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σP=200MPa。 解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的 P λ 2 2 99.35 P P P E π σλ λ =→=== （2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于 P λ可采用欧拉公式计算临界力。故 0.7 80.83 1.229 0.03 99.35 x P y z l l l l i μ λλ ? ===>> =→mm，
第16章压杆稳定 16.1 压杆稳定性的概念 在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时(图16-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的同样粗细而比较长的杆件(图16-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s(或F b)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。 图16－1 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图16-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图16-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图16-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。
图16-3 所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图16-5a所示。先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。 第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图16-5c所示。当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。 第三种状态，小球在平面上的O点处于平衡状态，如图16-5b所示，当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置O1再次处于平衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。因此。我们称小球原有的平衡状态为随遇平衡。 图16-5 图16-6 通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对象偏离其原有的平衡位置。因此。在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰力使处于
第十一章 压杆稳定 是非判断题 1 压杆失稳的主要原因是由于外界干扰力的影响。（ ） 2 同种材料制成的压杆，其柔度愈大愈容易失稳。（ ） 3 细长压杆受轴向压力作用，当轴向压力大于临界压力时，细长压杆不可能保持平衡。（ ） 4 若压杆的实际应力小于欧拉公式计算的临界应力，则压杆不失稳（ ） 5 压杆的临界应力值与材料的弹性模量成正比。（ ） 6 两根材料、长度、截面面积和约束条件都相同的压杆，则其临界力也必定相同。（ ） 7 若细长杆的横截面面积减小，则临界压力的值必然随之增大。（ ） 8 压杆的临界应力必然随柔度系数值的增大而减小。（ ） 9 对于轴向受压杆来说，由于横截面上的正应力均匀分布，因此不必考虑横截面的合理形状问题。 （ ） 填空题 10 在一般情况下，稳定安全系数比强度安全系数要大，这是因为实际压杆总是不可避免地存在 以及 等不利因素的影响。 11 按临界应力总图，1λλ≥的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；1 2λλλ≤≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；2λλ≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 。 12 理想压杆的条件是① ；② ；③ 。 13 压杆有局部削弱时，因局部削弱对杆件整体变形的影响 ；所以在计算临界压力时，都采 用 的横截面面积A 和惯性矩I 。 14 图示两端铰支压杆的截面为矩形，当其失稳时临界压力F cr = ，挠曲线位于 平 面内。 z C 题15图 15 图示桁架，AB 和BC 为两根细长杆，若EI 1＞EI 2，则结构的临界载荷F cr = 。 16 对于不同柔度的塑性材料压杆，其最大临界应力将不超过材料的 。 17 提高压杆稳定性的措施有 ， ，以及 和 。 18 细长杆的临界力与材料的 有关，为提高低碳钢压杆的稳定性，改用高强度钢不经济， 原因时 。 19 b 为细长杆，结构承载能力将 。 B P
第10章 压杆稳定 10.1【学习基本要求】 1、理解压杆稳定的稳定平衡、不稳定平衡、临界力的概念。 2、掌握不同杆端约束下细长杆的临界力的计算公式。 3、理解长度系数的意义，掌握与常见的几种约束形式对应的长度系数。 4、掌握临界力与压杆长度、横截面形状、杆端约束的关系。 5、理解压杆的柔度的概念，掌握柔度的计算方法。 6、明确欧拉公式的适用范围和临界应力计算。 7、熟练掌握大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆的判别方法及临界应力总图。 8、掌握压杆的稳定条件。 9、能熟练运用安全系数法对不同柔度压杆的稳定性进行分析计算。 10、掌握提高压杆稳定性的措施。 10.2【要点分析】 1、压杆稳定的概念 稳定性：压杆能保持稳定的平衡性能称为压杆具有稳定性。 失稳：压杆不能保持稳定的平衡叫压杆失稳。 稳定平衡：细长杆在轴向压力下保持直线平衡状态，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆产生微小的弯曲，在撤去干扰力后，杆能够恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，这种原有的．．．直线平衡状态称为稳定平衡。 不稳定平衡：撤去干扰力后，杆不会回到原来的平衡，而是保持微弯或力F 继续增大，杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破坏，则称原有的．．．平衡为不稳定平衡。 失稳：轴向压力F 由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或压杆失稳。 临界平衡状态：压杆在稳定平衡和不稳定平衡之间的状态称为临界平衡状态。 临界压力或临界力：压杆由直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力。（即能使压杆保持微弯状态下的平衡的力） 【注意】①临界状态也是一种不稳定平衡状态。②临界状态下压杆即能在直线状态下也能在微弯状态下保持平衡。③临界力使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力。 2、理想压杆 理想压杆是指不存在初弯曲、初偏心、初应力的承受轴向压力的均匀连续、各向同性的直杆。 工程中实际压杆与理想压杆有很大的区别，因为实际压杆常常带有初始缺陷，如：①初弯曲的存在使压杆截面形心轴线不是理想直线；②初偏心的存在造成压力作用线与杆件轴线不重合；③残余应力造成材料内部留有初应力；④材质不可能是完全均匀连续的。这些缺陷不同程度的降低了压杆的稳定承载能力。 3、细长压杆的临界力 细长压杆的临界力与杆件的长度、材料的力学性能、截面的几何性质和杆件两端的约束形式有关。临界力计算公式称为欧拉公式，其统一形式为 ()2 0222c l EI l EI F r πμπ== (10.1) 【说明】①EI 为杆件的抗弯刚度；②l 0=μl 称为相当长度或计算长度，其物理意义为 各种支承条件下，细长压杆失稳时挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度，也就是挠曲线上两拐点间的长度，即各种支承情况下弹性曲线上相当于铰链的两点之间的距离；③μ称为长度系数，它反映了约束情况对临界力的影响，具体情况见表10-1。
第十四章轴向压杆的稳定计算 【教学要求】 了解压杆稳定与失稳的概念； 理解压杆的临界力和临界应力的概念； 能采用合适的公式计算各类压杆的临界力和临界应力； 熟悉压杆的稳定条件及其应用； 了解提高压杆稳定性的措施。 【重点】 1、计算临界力。 2、掌握折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法【难点】 折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法。 【授课方式】课堂讲解 【教学时数】共计4学时 【教学过程】 ?14.1 压杆稳定的基本概念0.5学时?14.2 压杆的临界力和临界应力 1.5学时★14.3 压杆的稳定条件及其应用 1.5学时?14.4 提高压杆稳定性的措施0.5学时【小结】 【课后作业】 ?14.1 压杆稳定的基本概念 ?
? 有实例提出问题，总结引申新的课题。 1、概念 压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态的能力。 压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，简称为压杆失稳。 研究压杆稳定性的意义： 压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大的破坏性。 在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等设计中都必须考虑其稳定性要求。 2、平衡状态的稳定性 当P ＜cr P ，时，是稳定平衡状态 当P ＝cr P 时，是随遇平衡状态，这种状态称为临界平衡状态 当P ＞cr P 时，是不稳定平衡状态 当P ＝cr P 时，压杆的平衡状态是介于稳定和不稳定之间的临界平衡状态，因此定值cr P 。 3、压杆临界力F cr 14.2 压杆的临界力和临界应力 临界力的影响因素 临界力F cr 的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响直杆弯曲变形的因素有关： 杆的长度l 、抗弯刚度EI 、杆端支承。 14.2.1临界力的欧拉公式 22()cr EI P l πμ= 适用条件：弹性范围内。 式中，EI 称为压杆的抗弯刚度， I 是截面对形心轴最小的惯性矩。
第十四章 压 杆 稳 定 14.1某型柴油机的挺杆长度l =25.7cm,圆形横截面的直径d =8mm,钢材的E=210Gpa,MPa p 240=σ。挺杆所受最大压力kN P 76.1=。规定的稳定安全系数 5~2=st n 。试校核挺杆的稳定性。 解：计算柔度，挺杆两端可认为较支，μ=1, 1294 /008.0257.01== =?i l μλ 而 9.926 9 22102401021014.31== = ???p E σπλ 1λλ 用欧拉公式计算临界压力，校核稳定性。 kN P L EI lj 30.62 644 )5108(14.3922 2 ) 257.01(1021014.3)(== = ?? ??-??μπ 58 .376.130 .6=== P P lj n 在2~5之间，安全。 14.4图中所示为某型飞机起落架中承受压力的斜撑杆。杆为空心圆管，外径D=52mm ，内径d =44mm,l =950mm.材料为30CrMnS i N i 2A, 试求斜撑杆的临界压力lj P 和临界应力 lj σ。（原图见教材P173.）(GPa E MPa MPa p b 210,1200,1600===σσ) 解：斜撑两端按铰支座处理， 5 .419 .55017.0044.0052.06 921012001021014.31017.095.01224 1224 1 == = ====+= += ????p E i l m d D i σπμλλ 1λλ ，可用拉欧公式计算 2 )044.0052.0(1040164 ) 044.0052.0(14.3) 95.01(1021014.3)(/665401224 3 4 49 222m MN kN P A P lj l EI lj lj == = =?= = -?-???π σμπ 14.5三根圆截面压杆，直径均为d=160mm,材料为A3钢，E=200Gpa,MPa s 240=σ.两端均为铰支，长度分别为l 1l 2和l 3，且m l l l 532321===。试求各杆的临界压力lj P 。 解：对于A3钢 1.57,10012 .1240 3042===≈--b a s σλλ 分别计算三杆的柔度 3 .31)3(5.62)2(125)1(4 /16.025.114/16.05.214/16.05 13 32 21 1== = ======???i l i l i l μμμλλλ
第11章压杆稳定 [内容提要]稳定问题是结构设计中的重要问题之一。本章介绍了压杆稳定的概念、压杆的临界力-欧拉公式，重点讨论了压杆临界应力计算和压杆稳定的实用计算，并介绍了提高压杆稳定性的措施。 11.1 压杆稳定的概念 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。前面各章中我们从强度的观点出发，认为轴向受压杆，只要其横截面上的正应力不超过材料的极限应力，就不会因其强度不足而失去承载能力。但实践告诉我们，对于细长的杆件，在轴向压力的作用下，杆内应力并没有达到材料的极限应力，甚至还远低于材料的比例极限σP时，就会引起侧向屈曲而破坏。杆的破坏，并非抗压强度不足，而是杆件的突然弯曲，改变了它原来的变形性质，即由压缩变形转化为压弯变形（图11-1所示），杆件此时的荷载远小于按抗压强度所确定的荷载。我们将细长压杆所发生的这种情形称为“丧失稳定”，简称“失稳”，而把这一类性质的问题称为“稳定问题”。所谓压杆的稳定，就是指受压杆件其平衡状态的稳定性。 为了说明平衡状态的稳定性，我们取细长的受压杆来进行研究。图11-2(a)为一细长的理想轴心受压杆件，两端铰支且作用压力P，并使杆在微小横向干扰力作用下弯曲。当P较小时，撤去横向干扰力以后，杆件便来回摆动最后仍恢复到原来的直线位置上保持平衡（图11-2(b)）。因此，我们可以说杆件在轴向压力P的作用下处于稳定平衡状态。 P，杆件受到干扰后，总能回复到它原来的直线增大压力P，只要P小于某个临界值 cr P时，杆件虽位置上保持平衡。但如果继续增加荷载，当轴向压力等于某个临界值，即P= cr 然暂时还能在原来的位置上维持直线平衡状态，但只要给一轻微干扰，就会立即发生弯曲并停留在某一新的位置上，变成曲线形状的平衡（图11-2(c)）。因此，我们可以认为杆件在P的作用下处在临界平衡状态，这时的压杆实质上是处于不稳定平衡状态。 P= cr
第十三章 压杆稳定 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 理想受压直杆、理想受压直杆稳定性 、屈曲、 临界压力。 1.2 临界压力 细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。 1.3 稳定计算 为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算： st cr n F F n ≥= －稳定条件 2 重点与难点及解析方法 2.1临界压力 临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。因此，计算临界压力之前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。 2.2稳定计算 压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容，是本课程学习的重点。 利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。 稳定计算要求掌握安全系数法。 解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据 柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。 3典型问题解析 3.1 临界压力
mm .h A I i min 55113 2===mm .a A I i 31632===例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm 2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm 、(2)、a=56.5mm 、(3)、d=63.8mm 、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm 。若已知材料的E =200GPa ，σs =235MPa ，σcr =304－1.12λ，λp =100，λs =61.4，试计算各杆的临界荷载。 [解] 压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。 (1)、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mm 时 λ＞ λP 此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力 (2)、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm 时 所以 9.12910 55.113 5.031=??==-i l μλkN 37521 21=?=?=A E A F cr cr λπ σ 0.7d 图13－1
12-4 图示边长为a 的正方形铰接结构，各杆的E 、I 、A 均相同，且为细长杆。试求达到临界状态时相应的力P 等于多少？若力改为相反方向，其值又应为多少？ N B B C N B A B C C D 解：（1）各杆的临界力 2 2 2 ..2 2 2cr BD cr EI EI P P a a ππ= = = 外 （2）求各杆的轴力与P 的关系。 由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，AB BC CD DA N N N N ===。研究C 、B 结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C 、B 结点受力如图所示。 第一种情况： C:)02450CB CB X P N cos N =→ --=→=- ∑ 压杆 B:()02450BD BC BD BC Y N N cos N P = →--=→==∑ 拉杆 令2 ,.2 = C B cr C B cr EI N P P P a a π=- == ?外第二种情况： )C B P N = 拉杆 ()-BD BC N P ==压杆 2 2 .2 2 -== 22BD BC cr BD EI EI N P P P a a ππ=== ? 12-6 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。试求该木柱的临界力.
解：（1）计算柔度： ①当压杆在在平面内xoz 内失稳，y 为中性轴。 0.57101.04xz xz y l i μλ??= = = ②当压杆在出平面内xoy 内失稳，z 为中性轴。 27242.490.200xy xy z l i μλ??= = = ③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。 m ax(.)242.49xz xy λλλ== （2）松木75242.49P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr 2 2 2 11 2(0.110) (0.1200.200)40.28242.49 cr cr E P A A πσλ π=?= ???= ??=N kN 12-7铰接结构ABC 由具有相同截面和材料的细长杆组成。若由于杆件在ABC 平面内失稳而引起破坏。试确定荷载P 为最大时的θ角。（2 0π θ< <） 解：（1）研究B 结点求两杆轴力与P 的关系：
第九章 压杆稳定 习题解 [习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式2 2l EI P cr π= 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。 解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 )("x M EIw -=。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：2 2l EI P cr π=。
[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动） 解：压杆能承受的临界压力为：2 2).(l EI P cr μπ=。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆， 它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长 度系数。 （a ）m l 551=?=μ （b ）m l 9.477.0=?=μ （c ）m l 5.495.0=?=μ （d ）m l 422=?=μ （e ）m l 881=?=μ （f ）m l 5.357.0=?=μ（下段）；m l 5.255.0=?=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。 [习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2 min 2) .2(l EI P cr π= 为什么并由此判断压杆长因数μ是否可能大于2。
第10章压杆稳定 10.1 压杆稳定的概念 在前面讨论压杆的强度问题时，认为只要满足直杆受压时的强度条件，就能保证压杆的正常工作。这个结论只适用于短粗压杆。而细长压杆在轴向压力作用下，其破坏的形式与强度问题截然不同。例如，一根长300mm的钢制直杆(锯条)，其横截面的宽度11mm和厚度0.6mm，材料的抗压许用应力等于170MPa，如果按照其抗压强度计算，其抗压承载力应为1122N。但是实际上，约承受4N 的轴向压力时，直杆就发生了明显的弯曲变形，丧失了其在直线形状下保持平衡的能力从而导致破坏。它明确反映了压杆失稳与强度失效不同。 1907年8月9日，在加拿大离魁北克城14.4Km横跨圣劳伦斯河的大铁桥在施工中倒塌。灾变发生在当日收工前15分钟，桥上74人坠河遇难。原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失稳所致。 杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构，屋面采用预应力密肋网架结构，密肋大梁横截面(600mm×1400mm)，屋面采用现浇板，板厚120mm 。2003年2月18日晚19时，当施工到26～28轴时，支模架失稳坍塌，造成重大伤亡事故。 为了说明问题，取如图10.1a所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力F，使杆在直线形状下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰力，则当杆承受的轴向压力数值不同时，其结果也截然不同。当杆承受的轴向压力数值F小于某一数值F cr时，在撤去干扰力以后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，如图10.1a、b所示，这种能保持原有的直线平衡状态的平衡称为稳定的平衡；当杆承受的轴向压力数值F逐渐增大到（甚至超过）某一数值F cr时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图10.1c、d所示，则不能保持原有的直线平衡状态的平衡称为不稳定的平衡。如果力F继续增大，则杆继续弯曲，产生显著的变形，发生突然破坏。 图10.1 上述现象表明，在轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或者压杆失稳。显然压杆是否失稳取决于轴向压力的数值，压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡
第十三章 压杆稳定 §13.1 压杆稳定的概念 构件受外力作用而处于平衡状态时，它的平衡可能是稳定的，也可能是不稳定的。 一、压杆稳定 直杆在压力作用下，保持原直线状态的性质。 二、失稳（屈曲） 压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡。 三、临界压力 压杆保持其直线状态的最小压力，cr F 。 §13.2 两端铰支细长压杆的临界压力 在压杆稳定性问题中，若杆内的应力不超过材料的比例极限，称为线弹性稳定问题。 图示坐标系中，距原点为x 的任一截面的挠度为y ， 则该截面得弯矩为：y F M(x)cr = 代入挠曲线近似微分方程，即EI M(x) -y d 2 2=dx 得： EI F k k dx cr y ,0y y d 2 22 2==+ 方程通解为：0cos Asin y =+=kx B kx 由杆端的边界条件：0y 0===时，和l x x 求得 ： 0A s i n ,0==kx B 解得： ),2,1,0(????==n l n k π2 22F l EI n cr π= 除n=0外，无论n 取何值，都有对应的cr F ，1n =压杆失稳时的最小荷载是临界载荷 2 2F l EI cr π= 上式称为两端铰支细长压杆的临界荷载的欧拉公式。杆越细长，其临界载荷越小，即杆越容易失稳。对两端铰支细长压杆，欧拉公式中的惯性矩I 应是横截面最小的惯性矩，即形心主惯性矩中的做小值min I
§13.3其他支座条件下细长压杆的临界压力 几种常见约束方式的细长压杆的长度因数与临界载荷 例题：两端铰支压杆如图11-8所示，杆的直径20mm d =，长度800mm l =，材料为Q235钢，200GPa E =，200MPa p σ=。求压杆的临界载荷cr F 。 解：根据欧拉公式 239412 22 20010201024.2kN ()64(10.8)cr EI F l ππμ-????===?? 此时横截面上的正应力 3 cr P 26 424.21077MPa 2010 F A σσπ-??===≤?? 图 11-8
09工程力学答案第11章压杆稳定
11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。（1）圆形截面，25,1 d l == mm m；（2）矩形截面2400,1 h b l === m m；（3）16号工字钢，2 l=m l 解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力： （1）圆形截面，25,1 d l == mm m： 2 29 2 22 0.025 20010 6437.8 1 cr EI P l π π π ? ??? === N kN （2）矩形截面2400,1 h b l === m m 当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳 2 0.040.02 min(,) 12 y z y I I I I ? ===，故： 2 29 2 22 0.040.02 20010 1252.7 1 cr EI P l π π ? ??? === N kN （3）16号工字钢，2 l=m 查表知：44 93.1,1130 y z I I == cm cm，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时4 min(,)93.1 y z y I I I I ===cm，故： 2298 22 2001093.110 459.4 2 cr EI P l ππ- ???? === N kN 11-3 有一根30mm×50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载？已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σP=200MPa。 解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的 P λ 2 2 99.35 P P P E π σλ λ =→=== （2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于 P λ可采用欧拉公式计算临界力。故
第12章压杆稳定 一、选择题 1、一理想均匀直杆等轴向压力P=P Q；时处于直线平衡状态。与其受到一微小横向干扰力后发生微小 弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（）。 A、弯曲变形消失，恢复直线形状； B、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C、微弯充到状态不变； D、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q，时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P，则压杆的微弯 变形（） A、完全消失 B、有所缓和 C、保持不变 D、继续增大 3、两根细长压杆a,b的长度，横截面面积，约束状态及材料均相同，若a,b杆的横截面形状分别为正 方形和圆形，则二压杆的临界压力P a e和P b e;的关系为（） A、P a e〈P b e B、P a e＝P b e C、P a e〉P b e D、不可确定 4、细长杆承受轴向压力P的作用，其临界压力与（）无关。 A、杆的材质 B、杆的长度 C、杆承受压力的大小 D、杆的横截面形状和尺寸 5、压杆的柔度集中地反映了压杆的（）对临界应力的影响。 A、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B、材料，长度和约束条件； A、A、 B、材料，约束条件，截面尺寸和形状；D、材料，长度，截面尺寸和形状； 6、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（）来到断的。 A、长度 B、横截面尺寸 C、临界应力 D、柔度 7、细长压杆的（），则其临界应力σ越大。
A、弹性模量E越大或柔度λ越小； B、弹性模量E越大或柔度λ越大； B、B、 C、弹性模量E越小或柔度λ越大； D、弹性模量E越小或柔度λ越小； 8、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（）。 A、λ≤π√E/σp B、λ≤π√E/σs C、λ≥π√E/σp D、λ≥π√E/σs 9、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（） A、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是； B、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是； C、细雨长杆和中长杆的临界应力均是减小的； D、细长杆种中长杆的临界应力均不是减小的； 10、两根材料和柔度都相同的压杆（） A.界应力一定相等，临界压力不不一定相等； B.临界应力不一定相等，临界压力一定相等； C.临临界应力和临界压力一定相等； D.临界应力和临界压力不一定相等； 11、在下列有关压杆临界应力σe的结论中，（）是正确的。 A、细长杆的σe值与杆的材料无关； B、中长杆的σe值与杆的柔度无关； C、中长杆的σe值与杆的材料无关； D、粗短杆的σe值与杆的柔度无关；
一、是非题 14.1 由于失稳或由于强度不足而使构件不能正常工作，两者之间的本质区别在于：前者构件的平衡是不稳定的，而后者构件的平衡是稳定的。（） 14.2 压杆失稳的主要原因是临界压力或临界应力，而不是外界干扰力。（） 14.3 压杆的临界压力（或临界应力）与作用载荷大小有关。（） 14.4 两根材料、长度、截面面积和约束条件都相同的压杆，其临界压力也一定相同。（） 14.5 压杆的临界应力值与材料的弹性模量成正比。（） 二、选择题 14.6 在杆件长度、材料、约束条件和横截面面积等条件均相同的情况下，压杆采用图（）所示的截面形状，其稳定性最好；而采用图（）所示的截面形状，其稳定性最差。 14.7一方形横截面的压杆，若在其上钻一横向小孔（如图所示），则该杆与原来相比（）。 A. 稳定性降低，强度不变 B. 稳定性不变，强度降低 C. 稳定性和强度都降低 D. 稳定性和强度都不变 14.8 若在强度计算和稳定性计算中取相同的安全系数，则在下列说法中，（）是正确的。
A. 满足强度条件的压杆一定满足稳定性条件 B. 满足稳定性条件的压杆一定满足强度条件 C. 满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件 D. 不满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件 三计算题 14.9无缝钢管厂的穿孔顶针如图所示。杆端承受压力。杆长l =4.5m ，横截面直径d =15cm ，材料为低合金钢，E =210 Gpa 。两端可简化为铰支座，规定的稳定安全系数为=3.3 。试求顶杆的许可载荷。 14.10某厂自制的简易起重机如图所示，其压杆BD 为20号槽钢，材料为A3 钢。起重机的最大起重量是P = 40 kN 。若规定的稳定安全系数为=5 ，试校核BD 杆的稳定性。 14.11 10 号工字梁的C 端固定，A 端铰支于空心钢管AB 上。钢管的内径和外径分别为30mm 和40mm ，B 端亦为铰支。梁及钢管同为A3 钢。当重为300N 的重物落于梁的 A 端时，试校核A B 杆的稳定性。规定稳定安全系数=2.5 。
第10章压杆稳定 教学目的：深入理解弹性平衡稳定性的概念；熟练应用压杆的临界压力公式，掌握杆端约束对临界力的影响；压杆的分类与临界应力曲线；掌握压杆 稳定性计算的方法。 教学重点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性计算。 教学难点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性计算。 教具：多媒体。 教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 教学内容：稳定的概念；两端铰支细长压杆的欧拉临界力；杆端约束的影响；临界应力总图；压杆稳定性计算。 教学学时：4学时。 教学提纲： 10.1 压杆稳定的概念 在第2章中，曾讨论过受压杆件的强 度问题，并且认为只要压杆满足了强度条 件，就能保证其正常工作。但是，实践与 理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是 正确的，对细长压杆不能应用上述结论， 因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是 因为强度不够，而是由于出现了与强度问 题截然不同的另一种破坏形式，这就是本图10－1 章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时(图10-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图10-1a所示的
同样粗细而比较长的杆件(图10-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s(或F b)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图10-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图10-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图10-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。 所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图10-5a所示。先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。 第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图10-5c所示。当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。 第三种状态，小球在平面上的O点处于平衡状态，如图10-5b所示，当用外
09 工程力学答案第11 章压杆稳定
11-1两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量 E=200GPa 试计算其临界荷载。 (1) 圆形截面，d 25mml 1m ； ( 2)矩形截面h 2b 400ml 1m ；( 3) 16号工字钢，I 2m 故采用欧拉公式计算其临界力: (2) 矩形截面 h 2b 400ml 1m 界力。故 (1)圆形截面，d 25mml 1m : F C r 2 EI 2 2 9 0.025 200 10 64 ——N 37.8kN 12 当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为 1时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先 失稳 I min(l y , l z ) I y 2 0.04 0.02 故： 12 P cr 卡 2 200 109 °.。4 °.°2 2 12 N 52.7kN 12 (3) 16号工字钢，I 2m 查表知：l y 93.1cm 4 4 ,l z 1130cm ， 当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为 min(l y ,l z ) I y 93.1cm ，故:P 軍 2 200 10 ： 93. 1 10 8 N 459.4kN I 2 22 11-3有一根30mn￥50mm 的矩形截面压杆，一端固定, 另一端铰支，试问压杆多长时可以用 欧拉公式计算临界荷载？已知材料的弹性模量 E=200GPa 比例极限oP=200MPa 。 解: (1)计算压杆能采用欧拉公式所对应的 P 2 9 200 10 ----------- 6 99.35 200 106 (2) 矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于 P 可米用欧拉公式计算临 解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆, P 2 E 2 E T P P