第二讲 数列、数列极限与数学归纳法
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数列是高中阶段重点内容之一，是高考的重点。试题着重考查数列、等差数列和等比数列、数列极限的基础知识、基本技能、基本思想和方法（含数学归纳法）。鉴于数列特有的地位、特点，可有效的测试逻辑推理能力、运算能力，以及运用有关的知识和方法分析问题和解决问题的能力。客观题主要考查数列的概念、性质、通项、前n 项和、极限等内容，对基本运算技能要求较高、数列是特殊的函数，而不等式则是深刻理解数列和函数的重要工具，三者的综合是对基础和能力的双重检验。数列推理题（开放性、探索性试题）、新定义题，对考查学生的后继学习能力方法都有无可替代的作用。数列与不等式既是高中数学的主干知识，也是数学高考的重点内容之一。各地高考题既注重数列、极限等自身内容的综合，也注重数列、函数、不等式、导数与解析几何内容的交叉。
方法指要
（1）递推数更解答题多处于压轴题的位置。可见递推数列问题的重要性。特别是给出a n 与s n 的关系或a n+1与a n 的递推关系，求数列的通项公式。这类试题以考查归纳、递推思想为主。递推数更问题解决的基础是：熟练掌握等差数列、等比数列的概念、判别方法、通项公式和前n 项和公式；解决这类问题的关键是迅速将条件中的隐性递推关系转换为显性递推关系；递推数列求通项常用的方法是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、迭代法、对数变换法、数学归纳法等方法。
（2）递推与不等式事例在一起。这里要注意放缩法的运用；还要注意含绝对值不等式的运用。
（3）在函数、数列、不等式、导数（利用导数研究函数单调性，进一步研究数列的单调性）递推数列与导数的交汇处是：最值问题、曲线切线递推不等式问题。
典例精析
例1 各项均为正数的数列b a a a a n ==21,},{且对满足q p n m +=+的正整数q p n m ,,,都有
)
1)(1()1)(1(q p q p n m n
m a a a a a a a a +++=
+++。 （1）当5
4
,21==
b a 时，求通项a n ； （2）证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对每一个正整数n ，都有λλ
≤≤n a 1
。
思路点拨
由条件得到a n+1与a n 之间的递推关系，再求a n 。
解:（1）如何由)
1)(1()1)(1(q p q p n m n
m a a a a a a a a +++=
+++得到1+n a 与n a 之间的递推关系？ 由q p n m +=+，有
)
1)(1()1)(1(121
211--+++=+++n n n n a a a a a a a a
将54,2121==
a a 代入上式化简得2
1211++=--n n n a a a ，这种递推关系如何求通项？可用特征根法，也可用待定系数法。
令212++=
x x x ，得1±=x 。2)1(31,2111111++=++-=-----n n n n n n a a a a a a 。两式相除有1
1
113111--+-?=+-n n n n a a a a ，
故数列}11{n n a a +-为等比数列，从而n
n n a a 31
11=+-，即1313+-=n
n n a ，可验证1313+-=n n n a 满足条件。（这叫特征根法） （2）由题设
)1)(1(n m n m a a a a +++值仅与m+n 有关，记为b m+n ，则)1)(1(111n n
n a a a a b +++=+)
1)(1(n n a a a a +++=
。因为n a 变量，所以构造函数。考察函数)0()
1)(1()(>+++=
x x a x
a x f 是在定义域上有
????
?????<<+=>+≥)10(1)1(21
)1(11
)()(a a a
a a a a g x f
故对n ∈N *，)(1a g b n ≥+恒成立。又)
()1(22
2a g a a b n n
n ≥+=
，注意到21)(0≤ (21)(1) (a g a g a g a g a g a g ---= -+-)()(21)(1a g a g a g a n -+-≤≤，取) ()(21)(1a g a g a g -+-= λ，即有λλ≤≤n a 1 。 解题反思 对b aa d ca a n n n ++=--11型数列通项求法可以采用待定系数法转化为等比数列求通项，此法在高考中较常见。 触类旁通 1．在数列{a n }中，n n n n a n a a 2 1 )11(,111+++==+ （1）设n a b n n = ，求数列{b n }的通项公式； （2）求数列{a n }的前n 项和S n 。 解：将a n 递推关系转化为b n+1与b n 的递推关系求解，实质就是通过一种构造法，转化为能求通项的数列来求。 由已知得111==a b ，且 n n n n a n a 2111+=++，所以n n n b b 211+=+可求得n n n a b ,21 21--=,2 21--=n n n 422 )1(1 -++ +=-n n n n n S 。 2．设数列{a n }的各项都是正数，n n n n n n n a a b a a a a a +==++=++2 111,211, 1。 （1）求数列{b n }的通项公式； （2）求数列{a n }的通项公式； （3）求证： 1)1(1 )1(1)1(11 3221<+++++++n n a a a a a a 。 解：（1）由条件得：n n n n n n b b a a a a 2),(212 121=∴+=++++。∵21211=+=a a b ，又21 =+n n b b ∴{b n }为等比数列，则b n =2n 。 （2）由n n n a a 22 =+，得22112++±-=n n a ,又2 121,02-+=∴>+n n n a a . （3）∵02 1212221)2121(2123232 31>+++-?=+-+=-+++++++n n n n n n n n a a . [或由n n n n n n a a a a 22 )(1 2121-=+-++++，即n n n n n a a a a 2)1)((11=++-++]。∴{a n }为递增数列。 ∴12)1()1(++<+=+n n n n n n a a a a a a 。从而 n n n a a 2 1 )1(11<++。 ∴ n n n a a a a a a 212121)1(1 )1(1)1(121 3221+++<++ +++++ 1)21(12 11] )21 (1[2 1<-=--=n n 例2 已知数列{a n }的首项 ,3,2,1,1 23,53 11=+== +n a a a a n n n （1）求{a n }的通项公式； （2）证明对任意的1),32 ()1(111,02>-+-+≥ >n x x x a x n n ； （3）证明1 2 21+>+++n n a a a n 。 思路点拨 构造新的等比数列，求通项，构造函数证明不等式。 解:（1）用构造法即可，由1 231+= +n n n a a a , ① 有n n a a 31 3211+=+, ② 变形)11 (31111-=-+n n a a ，得233+=n n n a . （2）由（1）知，02 33>+=n n n a ，则1321+=n n a , 又 )113 2 ()1(111)32()1(11122x x x x x x n n --++-+=-+-+（通过加1减1构造出a n 的形式） 22 111112[(1)]1(1)(1)1n n x x x a a x x = --+=-?+++++n n n n a a a x a ≤+-+-=2 )11(1（配方再放缩，巧妙！） 故原不等式成立。 证法二：求函数的最大值，最大值小于a n 即可。设)32 ()1(111)(2x x x x f n -+-+= ，则 3422 )1()32(2)1()1(2)32( )1()1(1 )(x x x x x x x x f n n +-=++?--+-- +- =',因为x>0，所以当n x 32<时，0)(>'x f ；当n x 32> 时，0)(<'x f ，当n x 32=时，)(x f 取得最大值n n n a f =+=3 211 )32(。 （3）由（2）知，对任意的x>0，有a 1+a 2+…+a n )32()1(111)32()1(111)32()1(111222x x x x x x x x x n -+-+++-+-++-+-+≥ ) 32 3232()1(1122nx x x n n -++++-+= 。取)311(1)323232(12n n n n x -=+++= ， 13 11)311(112 2 21+>-+=-+≥+++n n n n n n a a a n n n . 解题反思 （1）用构造法求递推数列的通项公式，是高考常考内容之一。 （2）证明一个通项不等式。 （3）把这个通项不等式加起来得出部分和不等式。三问之间有明显的递进关系。特别地，第（2）问直接为第（3）问的铺垫。 1．首项为正数的数列{a n }满足*2 1),3(4 1N n a a n n ∈+= +。 （1）证明：若a 1为奇数，则对一切n≥2，a n 都是奇数； （2）若对一切* N n ∈，都有a n+1>a n ，求a 1的取值范围。 解：已知a 1是奇数，假设a k =2m-1是奇数，其中m 为正整数，则由递推关系得 1)1(4 321+-=+=+m m a a k k 是奇数。根据数学归纳法，所以任何*N n ∈，a n 都是奇数。 由)3)(1(4 1 1--= -+n n n n a a a a 知，当且仅当a n <1或a n >3时，a n+1>a n 。 另一方面，若10< 3 321=+>+k a 。根据数学归纳法，+∈?>?>< 综上：03。 2．设数列{a n }的各项都是正数，记S n 为数列{a n }的前n 项和，且对任意* N n ∈都有 23333231)(n n S a a a a =++++ （1）求证：n n n a S a -=22 . （2）求数列{a n }的通项公式； （3）若n a n n n b 2)1(31?-+=-λ（λ为非零常数，*N n ∈），问是否存在整数λ，使得对任意* N n ∈，都有n n b b >+1。 解：（1）在已知式中，当n=1时，1,0,112131=∴>=a a a a 。 当n≥2时，23313231)(n n n S a a a a =++++- , ① 21313231)(--=+++n n S a a a , ② 由①-②，得)2(13n n n n a S a a +=-,∵0>n a ，∴n n n a S a +=-122，即n n n a S a -=22。又11=a 适合此式，故)(22+∈-=N n a S a n n n 。 （2）由（1）知，n n n a S a -=22)(+∈N n , ③ 当n≥2时，112 12----=n n n a S a , ④ 由③-④，得1111122)(22-----+=+-=+--=-n n n n n n n n n n n a a a a a a a S S a a ,∵01>+-n n a a ， ∴11=--n n a a 。数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为1，可得a n =n 。 （3）∵a n =n ，∴n n n a n n n n b 2)1(32 )1(311?-+=?-+=--λλ 02)1(332]2)1(3[2)1(311111>?--?=?-+-?-+=---+++n n n n n n n n n n n b b λλλ,∴11)2 3 ()1(-- 当n=2k-1，k=1，2，3，…时，⑤式即为2 2)23(- 当n=2k ，k=1，2，3…时，⑤式即为1 2)2 3(-->k λ, ⑦ 依题意，⑦式对k=1，2，3，…都成立。 ∴23->λ，∴12 3 <<-λ，又0≠λ，∴存在整数1-=λ，使得对任意+∈N n ，都有n n b b >+1。 例3 一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上n （n≥4）个数，在上一行的每相邻两数的中 间正下方写上这两数之和，得到下一行，依此类推。记数表中第i 行的第j 个数为f (i ，j )。 ),1()3,1()2,1()1,1(n f f f f )1,2()2,2() 1,2(-n f f f )2,3()1,3(-n f f …… )1,(n f （1）若数表中第i (1≤i ≤n -3)行的数依次成等差数列，求证：第i +1行的数也依次成等差数列； （2）已知f(1，j)=4j ，求f (i ，1)关于i 的表达式； （3）在（2）的条件下，若1 1 ),1)(1()1,(+= -+=i i i i a a b a i i f ，试求一个函数g(x)，使得31)()2()1(21<+++=n g b g b g b S n n ，且对于任意的)3 1 ,41(∈m ，均存在实数λ，使得当λ>n 时，都 有m S n >。 思路点拨 （1）用定义来证明等差数列。 （2）运用递推迭代的方法即可得到。 （3）关键在先猜想，再求和（分式形式，裂项求和），最后证明。 解:（1）数表中第i+1行数依次所组成数列的通项为f(i+1，j)，则由题意可得),1()1,1(j i f j i f +-++ [(,1)(,2)][(,)(,1)](,2)(,)f i j f i j f i j f i j f i j f i j =+++-++=+-.又数表中第i(1≤i≤n -3)行的数依次 成等差数列，设其公差为d ，故d j i f j i f j i f j i f 2),()2,(),1()1,1(=-+=+-++是与j 无关的常数。 故第i+1行数依次所组成数列为等差数列，且其公差为2d 。 （2）∵f(1，j)=4j ，∴第1行的数依次成等差数列，公新式记为d 1=4，由（1）可得第二行的数也依次成等差数列，依次类推，可知数表中任一行的数（不少于3个）也依次成等差数列。 设第i 行的公差为d ，则i i d d 21=+，故11122+-=?=i i i d d 。易知n n f n f 2)1,1()2,1(=---。 ∴)2,1()1,1()1,(-+-=i f i f i f 121 12(1,1)22[2(2,1)2]22(2,1)222 (1,1)(1)224(1)2(1) 2. i i i i i i i i i f i f i f i f i i i ---=-+=-++=-+?==+-?=?+-?=+? [另法：由i i f i f 2)1,1(2)1,(+-=，得 ,12)1,1(2)1,(1 +-=-i i i f i f 则12) 1,(+=i i f 。故i i i f 2)1()1,(?+=] （3）由)1)(1()1,(-+=i a i i f ，可得1211 ) 1,(+=++= i i i i f a ， )1 21121(21)12)(12(111 11+-+=++== +++i i i i i i i i a a b ,令i i g 2)(=， 则1211212)121121(21)(11+-+=?+-+= ++i i i i i i i i g b )121121()121121()121121(1322+-++++-+++-+=+n n n S 3 1 121311<+-=+n ,所以适合题设的一个 函数为x x g 2)(=. 要使m S n >，即 m n >+-+121311，只要331311211m m n -=-<++,41 310),31,41(<-<∴∈m m 。 ∴只要m n 313121-> ++。即只要)6232(log 1)1313(log 22m m m n -+=--->,∴令)6232(log 2m m -+=λ，则当 λ>n 时，都有m S n > 解题反思 最终还是回归到等差、等比数列上来，求和是用裂项的方法，求和后，再放缩。 触类旁通 1．对于数列{u n }，若存在常数M>0，对任意的* N n ∈，恒有||||11-+-+-n n n n u u u u M u u ≤-++||12 ，则称数列{u n }为B 数列。 （1）首项为1，公比为1|)(| （2）设S n 是数更{x n }的前n 项和，给出下列两组论断： A 组：①数列{x n }是 B 数列 ②数列{x n }不是B 数列 B 组：③数列{S n }是B 数列 ④数列{S n }不是B 数列 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题，判断所给命题真假，并证明你的结论。 （3）若数列{a n }、{b n }都是B 数列，证明：数列{a n b n }也是B 数列。 解：先归纳再证明，先放缩通项再求和。 （1）由一个具体的数列来认识什么是B 数列。设满足题设的等比数列为{a n }，则1-=n n q a 。 于是2|,1|||||||2211≥-=-=-----n q q q q a a n n n n n , 因此)||||||1(|1|||||||121211--+++++-=-++-+-n n n n n q q q q a a a a a a ,因为1|| | |11 ||1||1||||||11 2 q q q q q q n n -< --=++++- ,即M q q a a a a a a n n n n =--<-++-+--+||1|1|||||||1211 故{a n }是B 数列。 （2）命题1：若数列{x n }是B 数列，则数列{S n }是B 数列，此命题为假命题，要否定一个命题，只需举反例。事实上，设*,1N n x n ∈=，易知数列{x n }是B 数列。但S n =n 。 则n S S S S S S n n n n =-++-+--+||||||1211 。由n 的任意性可知数列{S n }不是B 数列。 命题2：数列{S n }是B 数列，则数列{x n }是B 数列，此命题为真命题。要将||1n n S S -+转化到||1n n x x -+上。事实上，因为数列{S n }是B 数列，所以存在正数M ，对任意* N n ∈，有 M S S S S S S n n n n ≤-++-+--+||||||1211 ，即M x x x n n ≤++++||||||21 。 于是||||||1211x x x x x x n n n n -++-+--+ 11211||2||2||2||||2||n n n x x x x x M x +-≤+++++≤+ . 所以数列{x n }是B 数列。 （3）若数列{a n }、{b n }都是B 数列，则存在正数M 1、M 2对任意的* N n ∈，有 1121111212||||||,||||||n n n n n n n n a a a a a a M b b b b b b M +-+--+-++-≤-+-++-≤ 注意到||||1122211a a a a a a a a a n n n n n n +-+++-+-=---- 11221111||||||||||.n n n n a a a a a a a M a ---≤-+-++-+≤+ 同理，||||12b M b n +≤ 记|||,|122111b M K a M K +=+=则有||||111111n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a -+-=-++++++ 1112111||||||||||||n n n n n n n n n n b a a a b b K a a K b b +++++≤-+-≤-+-. 因此211211221111||||||M K M K b a b a b a b a b a b a n n n n n n n n +≤-++-+---++ ,故数更{a n b n }是B 数列。 点评：与数列有关的不等式证明，常常是放缩法，即先放缩通项，再求和。对含绝对值不等式的运用要求比较高。 2．已知数集)2,1}(,,,{2121≥<<≤=n a a a a a a A n n 具有性质P ：对任意的)1(,n j i j i ≤≤≤，j i a a 与 i j a a 两数中至少有一个属于A 。 （1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P ，并且说明理由； （2）证明：11=a ，且 n n n a a a a a a a =++++++---1 121121 ； （3）证明：当n=5时，54321,,,,a a a a a 成等比数列。 解：先由具体，A ??43， A ?3 4 ，所以{1，3，4}不具有性质P 。{1，2，3，6}具有性质P 。再到一般，因为},,,{21n a a a A =具有性质P ，所以n n a a 与 n n a a 中至少有一个属于A 。由于n a a a <<<≤ 211，若n n n a a a >，则A a a n n ?，从而A a a n n ∈= 1（k=1，2，3，…，n ） 又因为 121a a a a a a a a n n n n n n <<<<- ，所以n n n n n n a a a a a a a a a ===-1 211,,, 。 从而 n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++=++++--121121 ,故n n n a a a a a a a =++++++---1121121 。 当n=5时，有 33 5245,a a a a a a ==，即2 3425a a a a ==,因为5211a a a <<<= ，所以54243a a a a a =>。故A a a ?43。由A 具有性质P 可知 A a a ∈34。由32 334232 3421,,a a a A a a a a a a a <<∈==有。 故 21 2 233445a a a a a a a a a ====，所以54321,,,,a a a a a 成等比数列。 点评：本题主要是对规则的认识要深入。题目的设置也是由特殊到一般，引导我们逐步深入认识规则，并综合运用数列、不等式的知识。