数学（理工农医类） Ⅰ卷
（满分：150分 考试时间:120分钟 ）
一、选择题（请把选项代号填入．．．．．．．．Ⅱ．卷相应位置上．．．．．．，每题5分。本题满分50分） 1. i 是虚数单位，集合3
5
{,3,
}12A i i i
=--中的元素之和为（ ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．3
2．）
（0
360sin 2log 的值是（ ） A ．
2
1
B ．
23 C ．2
1
- D ．23- 3. 在等差数列}{n a 中,=+++=10752111111a a a a S ，则项和若前( )
A. 5 B ．6 C ．4 D ．84．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱1111AA A B C ⊥面，正视图是边
长为2的正方形，该三棱柱的侧视图面积为（ ）.
B. 4
C. 22
D. 3
5．已知随机变量X 服从正态分布N (3，
4
1)，且P （X >27）=0.1587，则P (25≤X ≤27
)=
（ ）
A ．0.6588
B ．0.6883
C ．0.6826
D ．0.6586
6．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ?是一个向量，它的模
sin a b a b θ?=??，若)3
sin 2,(tan ),23sin ,32(tan π
πππ==b a ,则a b ?=（ ）
A B. 2 C ． 23 D ．4
7．设B A ,为x 轴上两点,点M 的横坐标为2,且()MA MB AB +⊥,若直线MA 的方程为
01=+-y x ,则直线MB 的方程为( )
A.072=-+y x
B.012=--y x C .042=+-y x D.05=-+y x
8．在5
31???? ?
?+x x 的展开式中的常数项为p ，则=+?
dx p x )3(102
（ ）
A ．1
B ．3
C ．7
D ．11
1
1 _ B
_
A _ _ _正视图
俯视图
B 1
A 1
9. 椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b y a x 的焦点为1F 和2F ，过点1F 的直线l 交椭圆于Q P ,两点，
22,0PQ PF PQ PF =?=且，则椭圆的离心率为（ ）
A ．12-
B ．36-
C ．
236- D ．2
6
3- 10．如图，三行三列的方阵中，从中任取三个数，则至少有两个数最大公约数大于1 的概
率是 （ ）
A
84
13
B 72
?
???
? ??55331135217532
C
8471 D 7
5
二、填空题：(本大题共5小题，每小题4分，共20分，请把答案填入．．．．．．Ⅱ．卷相应位置上．．．．．．
)。 11．向量a = (1,2)，b = (x ,1)，c = a + b ，d = a - b ，若c //d ，则实数x 的值等于 12．若21,x x 分别为三次函数5323
1)(23
-+-=
x x x x f 的极大值点和极小值点，则以)0,(1x 为顶点，)0,(2x 为焦点的双曲线的离心率e 等于
13. 已知平面α、β、γ及直线l ，m ，m l ⊥，γα⊥，m =?αγ，
l =?βγ，以此作为条件得出下面三个结论：①γβ⊥ ②α⊥l
③β⊥m ，其中正确结论是
14．若函数x x a x x f ln )(+-=（a 为常数）在定义域上是增函数，
则实数a 的取值范围是 15. 在可行域内任取一点，规则如右图所示，则能输出数对（x ，y ）的概率为
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤
16．（本小题满分13分）设函数)(cos sin 32sin cos )(2
2R x x x x x x f ∈+-=的最大值
为M ,最小正周期为T . （1）求M 、T ；
（2）若有10个互不相等的正数i x 满足),10,,2,1(10,)( =<=i x M x f i i π且
求1210x x x +++的值.
17．（本小题满分13分）
某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分
别为
2
3
和
1
2
，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
（1）两种大树各成活1株的概率；
（2）成活的株数 的分布列与期望．
18.(本小题满分13分)
如图，某旅游区拟在公路l（南北向）旁开发一个抛物线形的人工湖，湖沿岸上每一点
到公路l的距离与到A处的距离相等，并在湖中建造一个三角形的游乐区MNC，三个顶点C
N
M,
,都在湖沿岸上，直线通道MN经过A处。经测算，A在公路l正东方向200米处，
C在A的正西方向100米处，现以点C为坐标原点，以线段CA所在直线为x轴建立平面
直角坐标系，
（1）求抛物线的方程
（2）试确定直线通道MN的位置，使得三角形游乐区MNC的面积最小，并求出最小值
19．（本小题满分13分）
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B= 900，D为棱BB1
上一点，且面DA1 C⊥面AA1C1C.。
(1)求证：D为棱BB1中点；
（2）
AB
AA1
为何值时，二面角A －A1D － C的平面角为600。
A1 C1
B1
B
D
20．( 本小题满分14分) 已知函数()2ln f x x =与2
2
()1(0)g x a x ax a =++>
（1）设直线)()(1x g y x f y x ===和与曲线分别相交于点Q P ,，且曲线)(x f y =和
)(x g y =在点Q P ,处的切线平行，求实数a 的值；
（2）)(x f '为)(x f 的导函数,若对于任意的(0,)x ∈+∞，0)
(1≥-'mx e x f 恒成立，求实数
m 的最大值；
（3）在（2）的条件下且当a 取m 最大值的
e
2
倍时，当],1[e x ∈时，若函数)()()(x f k x f x h '-=的最小值恰为)(x g 的最小值，求实数k 的值
21.本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中， （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
若点(,)()A a b a b ≠其中在矩阵=M ??αα
sin cos ???
?-ααcos sin 对应变换的作用下得到的点为B (,)b a -，（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵;
（Ⅱ）求曲线C ：x 2
+y 2=1在矩阵N=???
? ??
01
210
所对应变换的作用下得到的新的曲线C'的方程。
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
（Ⅰ） 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长 度单位已知直线的极坐标方程为()4R π
θρ=∈，它与曲线θθ
θ
(sin 51cos 52????
?+=+=y x 为参数）相交于两点A 和B ， 求|AB |; （Ⅱ）已知极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，若直线C 1
的极坐标方程为：
cos 4πρθ?
?
-
= ??
?C 2的参数方程为：1cos 3sin x y θ
θ
=+??=+?（θ为参数），试求曲线C 2关于直线C 1对称的曲线的直角坐标方程
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知函数()3+=x x f ,()112--=x m x g , 若()≥x f 2()4+x g 恒成立，求实数m 的
取值范围。
（Ⅱ）已知实数x y z 、、满足2
2
2
236(0),x y z a a ++=>且x y z ++的最大值是1，求a
的值．
泉州一中2012届5月份月考试卷参考答案
数学（理工农医）
一、选择题
二、填空题 11.
2
1
12. 3 13. ② 14. ]4,(-∞∈a 15.16
π 三、解答题
16.解：依题意：x x x x x f cos sin 32sin cos )(2
2+-= ……………2分
)6
2sin(22cos 2sin 3π
+
=+=x x x ……………4分
（1）R x ∈ ，故2)(max ==M x f ，最小正周期ππ
==2
2T ……………6分 （2）由2)(==M x f i 得：2
26
2π
ππ
+
=+k x i ；……………8分
即)(6
Z k k x i ∈+
=π
π ……………9分
又9,,1,0,100 =∴< x x x π π∴++ +=++ ++? = 140 3 π ……………13分 17．解：设k A 表示甲种大树成活k 株，k ＝0，1，2 …………………… 1 分 l B 表示乙种大树成活l 株，l ＝0，1，2 …………………… 2分 则k A ，l B 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 2221()()()3 3 k k k k P A C -= , 2211()()() 2 2 l l l l P B C -= . 据此算得 01 ()9P A = , 14()9P A = , 24 ()9P A = .…………………… 3 分 01 ()4 P B = , 11()2P B = , 21()4 P B = . (Ⅰ) 所求概率为2111412 ()()()929 P A B P A P B ?=?=?= (6) 分 (Ⅱ) 解法一： ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且 0000111(0)()()()9436 P P A B P A P B ξ==?=?=?= ,…………………… 7 分 011011411 (1)()()92946 P P A B P A B ξ==?+?=?+?= ,…………………8 分 021*********(2)()()()949294P P A B P A B P A B ξ==?+?+?=?+?+?=13 36 , (9) 分 122141411 (3)()()94923 P P A B P A B ξ==?+?=?+?= .…………………… 10 分 22411 (4)()949 P P A B ξ==?=?= .…………………… 11 分 综上知ξ有分布列 111311012343663639 E ξ=? +?+?+?+? 7 3 = （株）…………………… 13 分 解法二：分布列的求法同上 令12ξξ，分别表示甲乙两种树成活的株数，则 1 2 ξξ2 1 B(2,)，B(2,)32 …………………… 10分 故有121E E ξξ?=?=241 =2=，2332 从而知1273E E E ξξξ=+= (13) 分 18. 解：（1）依题意，设所求的抛物线方程为：)0(22 >=p px y ………1分 抛物线的焦点)0,100(A ，1002 =∴ p ，故所求的方程为：x y 4002=…4分 （2）设点),(11y x M ，),(22y x N ，直线MN 的方程为：100+=ny x 联立???=+=x y ny x 4001002消去x ，得;0400004002 =--ny y …6分 n y y 40021=+∴,4000021-=y y …7分 14004)(22122121+=-+=-∴n y y y y y y …9分 12000014001002 1 212221+=+??=-?= ∴?n n y y CA S CMN …11分 ∴当0=n 时，即AC MN ⊥时，CMN S ?取得最小值20000…12分 答：直线通道MN 与AC 垂直时，游乐区的面积最小，最小面积为20000平方米…13分 19．解：（1）过点D 作DE ⊥ A 1 C 于E 点，取AC 的中点F ，连BF ﹑EF 。 ∵面DA 1 C ⊥面AA 1C 1C 且相交于A 1 C ，面DA 1 C 内的直线DE ⊥ A 1 C ∴直线DE ⊥面AA 1C 1C ………3分 又∵面BA C ⊥面AA 1C 1C 且相交于AC ，易知BF ⊥AC ， ∴BF ⊥面AA 1C 1C 由此知：DE∥BF ，从而有D ，E ，F ，B 共面， 又易知BB 1∥面AA 1C 1C ，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA 1， 又点F 是AC 的中点，所以DB ＝ EF ＝ 21 AA 1 ＝ 21 BB 1， 所以D 点为棱BB 1的中点； …………6分 （2）解法1：延长A 1 D 与直线AB 相交于G ，易知CB ⊥面AA 1B 1B ， 过B 作BH ⊥A 1 G 于点H ，连CH ，由三垂线定理知：A 1 G ⊥CH ， 由此知∠CHB 为二面角A －A 1D － C 的平面角； ………9分 设AA 1 ＝ 2b ，AB ＝BC ＝a ； 在直角三角形A 1A G 中，易知 AB ＝ BG 。 在?Rt DBG 中，BH ＝ DG BG BD ? ＝ 2 2 b a a b +?， 在?Rt CHB 中，tan ∠CHB ＝ BH BC ＝ b b a 2 2+， 据题意有：b b a 22+ ＝ tan 600 ＝ 3 ， 解得：22=a b ， 所 以 AB AA 1＝ 2 。 ………………13分 (2)解法2：建立如图所示的直角坐标系，设AA 1 ＝ 2b ，AB ＝BC ＝a ， 则D （0,0,b ）, A 1 (a ,0,2b ), C (0,a ,0) 所以， ,,0(),,0,(1a b a DA ==分 设面DA 1C 的法向量为),,(z y x = 则 0, 00=-+?=+?+bz ay x bz y ax 可取),,(a b b --= 又可取平面AA 1DB 的法向量 )0,,0(a == A 1 C 1 B 1 A C B D H E F G cos 〈, 〉2 2 2 2 2 2200a b b a a b a ba b +- =?+?--?= = (10) 分 据题意有： 2 1 22 2= +a b b ，……………………………………12分 解得： AB AA 1＝22=a b ………………………………13分 20.解：（1）由已知x x f 2)(' = ，a x a x g +=2 '2)(，曲线)(x f y =和)(x g y =在点Q P ,处的切线平行，故)1()1(''g f =可得：a a +=2 22且0>a 解得：4 117-=a ---3 分 （2）,0>?x 0) (1 ' ≥-mx e x f 恒成立，即2 x e mx ≤，即min 2 )( x e m x ≤，---4分 记x e x F x 2 )(=，2 2222' ) 2(2121)(x x e x e x e x F x x x -?=-?=，---5分 当)2,0(∈x 时，0)(' 当),2(+∞∈x 时，0)(' >x F ，)(x F ∴在),2(+∞上单调递增 ---7分 2 )2()(min e F x F ==∴，故m 的最大值为2e ---8分 （3）由（2）可知1=a ，故1)(2 ++=x x x g 在],1[e x ∈时，3)1()(min ==g x g x k x x kf x f x h 2ln 2)()()(' -=-=∴在],1[e x ∈的最小值为3， 令0)(222)(2 2' =+=+=x k x x k x x h ，解得：k x -= ---10分 （Ⅰ）当1≤-k 即1-≥k 时，0)(' ≥x h ，此时)(x h 在],1[e 上单调递增 32)1()(min =-==∴k h x h ，解得：2 3 -=k （不合前提） ---11分 （Ⅱ）当e k ≥-即e k -≤时，0)(' ≤x h ，此时)(x h 在],1[e 上单调递减 322)()(min =- ==∴e k e h x h ，解得：2e k -=（不合前提）---12分 （Ⅲ）当e k <-<1即1-<<-k e 时， 当),1(k x -∈时，0)(' 当),(e k x -∈时，0)(' >x h ，)(x h ∴在),(e k -单调递增 此时32)ln(2)()(min =+-=-=∴k k h x h ，解得：e k -=满足前提 综上可得：e k -= ---14分 21.（1）本题主要考查矩阵乘法、逆矩阵与变换等基本知识，考查运算求解能力， 满分7 分. 解：（Ι）法一：???? ??-=???? ??a b b a M ，即??? ? ??-=???? ??+-a b b a b a ααααcos sin sin cos ，……………………1分 所以cos sin sin cos ,a b b a b a αααα-=-??+=? 得cos 0, sin 1.αα=??=? ……………………3分 即M=01? ? 10-??? ，由1 1001M M -??= ???得1 01M -?= -? 10??? . ………………4分 法二：同法一可求得M=01? ? 10-???因为0det 1M = 10-=10≠ , 1 01 M -?∴= -? 10? ?? . ………4分 （Ⅱ）分 得代入分分 对应的线性变换为矩阵71416,'2' 5,'21'2222??????=+=+????????????? ??==???????????????? ==y x y x x y y x x y y x N (2)解：（Ι）直线和圆的直角坐标方程分别为 5 )2()1(22=-+-=y x x y 和…………1分 则圆心为C （1，2），半径R= 5，…………………………………………………2分 从而C 到直线y=x 的距离d = 2 2 11212 2= +- ………………………………………3分 由垂径定理得，|AB |=232 1 52222=- =-d R ………………………………4分 （Ⅱ）解：曲线C 1 cos sin 2x y ρθθ=+=即………5分 曲线C 2是以（1,3）为圆心，1为半径的圆………………………6分 （1,3）关于直线2x y +=的对称点（-1，1）故所求曲线为圆 ()() 22 111x y ++-=……………7分 (3)解：（Ι）函数()x f 的图象恒在函数()x g 图象的上方， 即()≥+=∈?322,x x f R x ()7211424--=-+-=+x m x m x g , …………1分 从而有+-≤7(2x m 3+x ） ……………………………2分 由绝对值不等式的性质知 2（+-7x ≥+)3x 2)3(7+--x x =20 因此，实数m 的取值范围为]20,(-∞ ……………………………3分 （Ⅱ）解：由柯西不等式： ) 22 22 222))) ????++++≥+????? ????? ………（5分） 因为2 2 2 236(0),x y z a a ++=> 所以2 ()a x y z ≥++， 因为x y z ++的最大值是1,所以1a =， 当236x y z ==时，x y z ++取最大值，………………………………6分 所以1a =. ……………………………………7分 ……7分
相关主题
文本预览