2009年全国2统一考试试卷
文科数学
一．选择题
（1）已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则C u ( M N )=
(A) {5，7} （B ） {2，4} （C ）{2.4.8} （D ）{1，3，5，6，7}
（2）函数y=x -(x ≤0)的反函数是
（A ）2y x =（x ≥0） （B ）2y x =-（x ≥0） （B ）2y x =（x ≤0） （D ）2y x =-（x ≤0） （3） 函数y=2
2log 2x
y x
-=+的图像 （A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y x =-对称 （C ） 关于y 轴对称 （D ）关于直线y x =对称 （4）已知△ABC 中，12
cot 5
A =-
，则cos A = (A) 1213 (B) 513 (C) 513- (D) 1213
-
（5） 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为
（A ）
10
10
(B) 15 (C) 31010 (D)
35w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（6） 已知向量a = (2,1)， a ·b = 10，︱a + b ︱= 52，则︱b ︱= （A ）5 （B ）10 （C ）5 （D ）25 （7）设2lg ,(lg ),lg ,a e b e c e ===则
（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>
（8）双曲线13
62
2=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r= （A ）3 （B ）2 （C ）3 （D ）6 （9）若将函数)0)(4
tan(>+=ωπ
ωx y 的图像向右平移
6π个单位长度后，与函数)6
tan(π
ω+=x y 的图像重合，则ω的最小值为 (A)
61 (B)41 (C)31 (D)
2
1
w.w.w..s.5.u.c.o.m
（10）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 （A ）6种 （B ）12种 （C ）24种 （D ）30种
（11）已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82
=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。若FB FA 2=,则k=
(A)
31 (B)3
2 (C)32 (D)322 （12）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是 （A ）南 （B ）北 （C ）西 （D ）下 w.w.w..s.5.u.c.o.m
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡上相应位置的横线上. （13）设等比数列{n a }的前n 项和为n s 。若3614,1s s a ==，则4a = × （14）4)(x y y x -的展开式中3
3
y x 的系数为 ×
w.w.w..s.5.u.c.o.m
（15）已知圆O ：52
2
=+y x 和点A （1，2），则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 ×
（16）设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C 。若圆C 的面积等于
4
7π
，则球O 的表面积等于 × 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答过程写在答题卡的相应位置。 （17）（本小题满分10分） 已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s . w.w.w..s.5.u.c.o.m
（18）（本小题满分12分）
设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，2
3cos )cos(=+-B C A ,ac b =2
，求B.
（19）（本小题满分12分）
w.w.w.s.5.u.c.o.m
如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1 （Ⅰ）证明：AB=AC w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小
（20）（本小题满分12分）
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。
△ 上 东
A
C
B
A 1
B 1
C 1
D
E
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； （Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。w.w.w.s.5.u.c.o.m
（21）（本小题满分12分）
a ax x a x x f 24
4)1(31)(23
+++-= (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围。
w.w.w..s.5.u.c.o.m
（22）（本小题满分12分）
)0(122
22>>=+b a b y a x 33
22
（Ⅰ）求a,b 的值；
（Ⅱ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有→
→→
+=OB OA OP
成立？
若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。
2009年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案和评分参考
一．选择题
（1）C （2）B （3）A （4）D （5）C （6）C （7）B （8）A （9）D （10）C （11）D （12）B 二．填空题
（13）3 （14）6 （15）25
4
（16）8π 三．解答题 17． 解：
设{}n a 的公差为d ，则
w.w.w.s.5.u.c.o.m
()()11112616
350
a d a d a d a d ?++=-??
+++=?? 即
2211181216
4a da d a d
?++=-?
=-? 解得
设函数 ，其中常数a>1 已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B
2
2两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为
118,8
2,2
a a d d =-=???
?==-??或 因此()()()()819819n n S n n n n n S n n n n n =-+-=-=--=--，或 （18）解：
由 cos （A -C ）+cosB=
3
2
及B=π-（A+C ）得 cos （A -C ）-cos （A+C ）=3
2
，
cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=32
, sinAsinC=
34
. 又由2
b =a
c 及正弦定理得w.w.w..s.5.u.c.o.m
2
s i n s i n s i n ,
B A
C = 故 2
3
sin 4
B =
， 3s i n 2B =
或 3
s i n 2
B =-（舍去）， 于是 B=
3π 或 B=23
π
. 又由 2
b a
c =知a b ≤或c b ≤
所以 B =
3
π
。w.w.w..s.5.u.c.o.m
（19）解法一：（Ⅰ）取BC 中点F ，连接EF ，则EF
1
21
B B ，从而EF DA 。
连接AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF//DE 。又D E ⊥平面1BCC ，故AF ⊥平面1BCC ，从而AF ⊥BC ，即AF 为BC 的垂直平分线，所以AB=AC 。
（Ⅱ）作AG ⊥BD ，垂足为G ，连接CG 。由三垂线定理知CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面角A-BD-C 的平面角。由题设知，∠AGC=600.
.
设AC=2，则AG=
2
3
。又AB=2，BC=22，故AF=2。
由AB AD AG BD ?=?得2AD=
222
.23
AD +，解得AD=2。 故AD=AF 。又AD ⊥AF ，所以四边形ADEF 为正方形。
因为BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD=A ，故BC ⊥平面DEF ，因此平面BCD ⊥平面DEF 。 连接AE 、DF ，设AE ∩DF=H ，则EH ⊥DF ，EH ⊥平面BCD 。 连接CH ，则∠ECH 为1B C 与平面BCD 所成的角。w.w.w..s.5.u.c.o.m
因ADEF 为正方形，AD=2，故EH=1，又EC=
11
2
B C =2， 所以∠ECH=300
，即1B C 与平面BCD 所成的角为300
.
解法二：
（Ⅰ）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A —xyz 。
（
12，2
b
，c ）. 设B （1，0，0），C （0，b ，0），D （0，0，c ），则1B （1，0，2c ）,E
DE ⊥BC ， DE BC →→
?=0，求得b=1，所以
于是DE →
=（12，2
b
，0），BC →=（-1，b,0）.由D E ⊥平面1BCC 知
AB=AC 。
（Ⅱ）设平面BCD 的法向量(,,),AN x y z →
=则0,0.AN BC AN BD →
→
→
→
?=?=又BC →
=（-1，1， 0=+-y x 0），BD →
=（-1，0，c ）,故
0=+-cz x
令x=1, 则y=1, z=1c ,AN →=(1,1, 1c
).
又平面ABD 的法向量AC =（0，1，0）
由二面角C BD A --为60°知，AC AN ，
=60°， 故 60cos ??=?AC AN AC AN °，求得2
1c =
w.w.w..s.5.u.c.o.m
于是 ），，（211=AN ， ）
，，211(1-=CB 2
1
cos 1
11=??=
CB AN CB AN CB AN ，， 601=CB AN ，
° 所以C B 1与平面BCD 所成的角为30°
（20）解：
（I ）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人。
（II ）记A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则
158
)(2
10
1614==C C C A P w.w.w.s.5.u.c.o.m
（III ）i A 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，210，，
=i j B 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j 名男工人，210j ，，
= B 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。
i A 与j B 独立，210，，
，=j i ，且021120B A B A B A B ?+?+?= 故
)()(021120B A B A B A P B P ?+?+?=
)()()()()()(021120B P A P B P A P B P A P ?+?+?=
2
10
26210262814162
1016142102
4
21024C C C C C C C C C C C C C C ?+?+?=w.w.w..s.5.u.c.o.m
75
31= （21）解：
（I ）)2)(2(4)1(2)(2
a x x a x a x x f --=++-='
由1>a 知，当2
综上，当1>a 时，)(x f 在区间)2,(-∞和),2(+∞a 是增函数，在区间)2,2(a 是减函数。
（II ）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。
a a a a a a a f 2424)2)(1()2(31
)2(23+?++-= a a a 2443
42
3++-=
a f 24)0(= 由假设知
?????>>>,0)0(,0)2(1f a f a 即????
???>>-+->.024,0)6)(3(34,
1a a a a a 解得 1 故a 的取值范围是（1，6）w.w.w..s.5.u.c.o.m （22）解： （Ⅰ）设(),0,c F 当l 的斜率为1时，其方程为O c y x ,0=--到l 的距离为 2 200c c = -- 故 2 2 2= c ， 1=c 由 3 3 = = a c e 得 3= a ，22c a b -==2 （Ⅱ）C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OB OA OP +=成立。 由 （Ⅰ）知C 的方程为2 2x +2 3y =6. 设).,(),,(2211y x B y x A (ⅰ) )1(-=x k y l x l 的方程为轴时，设不垂直当 C OB OA OP P +=使上的点成立的充要条件是）点的坐标 为（2121,y y x x P ++， 且6)(3)(2221221=+++y y x x 整理得 664323221212 22 22 12 1=+++++y y x x y x y x 632,6322 2222 1 21=+=+y x y x C B A 上，即在、又 故 03322121=++y y x x ① 将 并化简得代入,632)1(2 2 =+-=y x x k y 0636)32(2222=-+-+k x k x k 于是 2221326k k x x +=+, 21x x =2 2326 3k k +-, 2 2 212 21324)2)(1(k k x x k y y +-=--= 代入①解得，22 =k ，此时2 321= +x x 于是)2(2121-+=+x x k y y =2k -， 即)2 ,23(k P -w.w.w.s.5.u.c.o.m 因此， 当2-=k 时，)2 2 , 23(P ， 022=-+y x l 的方程为； 当2= k 时，)2 2 ,23(-P ， 022=--y x l 的方程为。 （ⅱ）当l 垂直于x 轴时，由)0,2(=+OB OA 知，C 上不存在点P 使OB OA OP +=成立。 综上，C 上存在点)2 2 ,2 3(± P 使OB OA OP +=成立，此时l 的方程为 0 22=-±y x w.w.w..s.5.u.c.o.m 2010年全国2统一考试试卷 文科数学 一．选择题 1.设全集U ={x *N ∈|6}x <集合A={1，3}，B={3，5}，则C u (A B )= A. {1，4} B. {1，5} C.{ 2.4} D.{2，5} 2.不等式的 3 02 x x -<-解集为 A.{x|-23}x << B.{|2}x x <- C.{|2}x x <-或x>3 D.{|3}x x > 3.已知2 sin ,3 α=则cos(2)πα-= A.53- B.19- C. 19 D. 5 3 4.函数1(1)(1)y ln x x =+->的反函数是 A. 11(0)x y e x +=-> B. 11(0)x y e x -=+> C. 11()x y e x R +=-∈ D. 11()x y e x R -=+∈ 5.若变量,x y 满足约束条件 1. .32 5.x y x x y ≥-?? ≥??+≤? ,则2z x y =+的最大值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.如果等差数列{}n a 中,34512,a a a ++=那么127a a a ++= A. 14 B. 21 C. 28 D. 35 7.若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=,则 A. 1,1a b == B. 1,1a b =-= C. 1,1a b ==- D. 1,1a b =-=- 8.已知三棱锥S ABC -中,底面ABC 为边长等于2的等边三角形,SA 垂直于底面ABC ,3,SA =那么直线 AB 与平面SBC 所成角的正弦值是 A. 34 B. 54 C. 7 4 D. 34 9.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入个3不同的信封中，若每个信封放2张， 其中，标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同放法共有 A. 12种 B. 18种 C. 36种 D. 54种 10．ABC ?中，点D 的边AB 上，CD 平分ACB ∠，若,CB a = ,||1,||2,CA b a b === 则CD = A. 1233a b + B. 2133a b + C. 3455a b + D. 4355 a b + 11．与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、CC 1、11A D 所在直线的距离相等的点 A.有且只有1个 B. 有且只有2个 C. 有且只有3个 D. 有无数个 12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3 2 ，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于A 、 B 两点，若3AF FB = ，则k = A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上. 13.已知α是第二象限的角,1 tan ,2 α=-则cos α=__________. 14.91 ()x x +的展开式中3x 的系数是__________. 15.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为l ,过M(1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A,与C 的一个交 点为B,若AM MB = ,则p =_______. 16.已知球O 的半径为4,圆M 与圆N 为该球的两个小圆,AB 为圆M 与圆N 的公共弦,AB=4, 若OM=ON=3,则两圆圆心的距离MN=_______. 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答过程写在答题卡的相应位置。 17(本小题满分10分) ABC ?中，D 为BC 边上一点,BD=33,5sin ,13B = 3 cos ,5 ADC ∠=求AD. 18(本小题满分12分)已知{n a }是各项均为正数的等比数列， 且1212112( )a a a a +=+,345345 111 64()a a a a a a ++=++ (I)求{n a }的通项公式; (II)设2 1()n n n b a a =+ ,求数列{n b }的前n 项和n T . 19(本小题满分12分)如图，直棱柱111ABC A B C -中，AC=BC ，1A A AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =. (I)证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线； (II)设异面直线1AB 与CD 的夹角为45?,求二面角111A AC B --的大小. 20(本小题满分12分) 如图,由M 到N 的电路中有4个元件,分别标为1234,,,r r r r ,电流能通过123,,r r r 的概率都是p ,电流能通过4r 的概率是0.9, 电流能否通过各元件相互独立,已知123,,r r r 中至少有一个能通过电流的概率为0.999 (I)求p ； (II)求电流能在M 与N 之间通过的概率. A B C A B C D E 1 1 1 21(本小题满分12分) 已知函数32()33 1.f x x ax x =-++ (I)设2a =,求()f x 的单调区间； (II)设()f x 在区间(2,3)上有一个极值点,求a 的取值范围. 22.(本小题满分12分) 已知斜率为1的直线l 与双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>交于,B D 两点，BD 的中点为(1,3)M . (I)求C 的离心率； (II)设C 的右顶点为A ,右焦点为F ,||||17DF BF ?=,过,,A B D 的圆与x 轴相切. 参考答案 1、 【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ A={1,3}。B={3,5}，∴ {1,3,5}A B = ，∴(){2,4}U C A B = 故选 C 2、【解析】A ：本题考查了不等式的解法 ∵ 3 2x x -<+，∴ 23x -<<，故选A 3、【解析】B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3， ∴ 21 cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=- 4、【解析】D ：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN （X-1）(X>1)，∴ 11ln(1)1,1,1y x x y x e y e ---=--==+ 5、【解析】C ：本题考查了线性规划的知识。 ∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y x = 与325x y +=的交点为最优解点，∴即为（1，1），当1,1x y ==时 max 3z = r r r r M N 1 2 3 4 ∵ 34512a a a ++=，∴ 44 a =1271741 7()7282a a a a a a +++= ??+== 7、【解析】A ：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ∵ 2x y x a a ='=+=，∴ 1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴ 1b = 8、【解析】D ：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。 过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于SE 交SE 于F ，连BF ，∵正三 角形ABC ，∴ E 为BC 中点，∵ BC ⊥AE ，SA ⊥BC ，∴ BC ⊥面SAE ，∴ BC ⊥AF ，AF ⊥SE ，长3，∴ 3AE =， ∴ AF ⊥面SBC ，∵∠ABF 为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边 AS=3，∴ SE=23，AF=32，∴ 3 sin 4ABF ∠= 9、【解析】B ：本题考查了排列组合的知识 ∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有2 46C =，余下放入最 后一个信封，∴共有 24318C = 10、【解析】B ：本题考查了平面向量的基础知识 ∵ CD 为角平分线，∴ 12BD BC AD AC ==，∵ AB CB CA a b =-=- ，∴ 222333AD AB a b ==- ，∴ 22213333CD CA AD b a b a b =+=+-=+ 11、【解析】D ：本题考查了空间想象能力 ∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点， 12、【解析】B ： 1122(,),(,)A x y B x y ，∵ 3AF FB = ，∴ 123y y =-， ∵ 32e = ，设2,3a t c t ==，b t =，∴ 222440x y t +-=，直线AB 方程为3x sy t =+。代入消去x ，∴ 222(4)230s y sty t ++-=，∴ 2 121222 23,44st t y y y y s s +=-=-++， 22 2222 232,344st t y y s s -=--=-++，解得 212s =，2k = 13、【解析】 25 5- ：本题考查了同角三角函数的基础知识 ∵ 1tan 2α=- ，∴25 cos 5α=- 14、【解析】84：本题考查了二项展开式定理的基础知识 ∵ 9191 ()r r r r T C x x -+=，∴ 923,3r r -==，∴ 3 984C = A B C S E F 设直线AB ：33y x =-，代入2 2y px =得2 3(62)30x p x +--+=，又∵ AM MB = ，∴ 1 2 2x p =+，解得 24120p P +-=，解得2,6p p ==-（舍去） 16、【解析】3：本题考查球、直线与圆的基础知识 ∵ ON=3，球半径为4，∴小圆N 的半径为7，∵小圆N 中弦长AB=4，作NE 垂直于AB ，∴ NE=3，同理可得3ME =， 在直角三角形ONE 中，∵ NE=3，ON=3，∴ 6EON π ∠= ，∴ 3MON π ∠= ，∴ MN=3 2011年全国2统一考试试卷 文科数学 一、选择题 （1）设集合}4,3,2,1{=U ，}3,2,1{=M ，}4,3,2{=N ，则=)(N M C u （A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4[来 （2）函数2(0)y x x =≥的反函数为 O M N E A B （A ）2()4x y x R =∈ （B ）2 (0)4 x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ （3）权向量b a ,满足2 1 ,1- =?==b a b a 则2a b += （A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）7 （4）若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +?? -≤??≥? ，则y x z 32+=的最小值为 （A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3 （5）下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是 （A ）a >b +1 （B ）a >b -1 （C ）2 a >2 b （D ）3 a >3 b （6）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11a =,公差d = 2,224k k S S +-=,则k = （A ） 8 （B ） 7 （C ） 6 （D ） 5 （7）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移 3 π 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ） 1 3 （B ）3 （C ）6 （D ）9 （8）已知直二面角βα--l , 点,α∈A ,l AC ⊥ C 为垂足，,β∈B l BD ⊥，D 为垂足，若2=AB ， 1==BD AC ，则CD=（ ） （A ）2 （B ）3 （C ） 2 （D ） 1 （9）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 （A ）12种 （B ）24种 （C ）30种 （D ）36种 （10）设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2 f -= （A ） - 12 （B ）1 4- （C ）14 （D ）12[ （11）设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C = （A ）4 （B ）42 （C ）8 （D ）82 （12）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成0 60，二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径 为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 （A ）7π （B ）9π （C ）11π （D ）13π 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 (注意：在试卷上作答无效．．．．．．．． ) (13) (1- x )10的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为_________________. （14）已知a ∈(π， 2 3π )，sin α=2，则=αcos （15）已知正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 （16）已知F 1、F 2分别为双曲线C: 22 1927 x y -=的左、右焦点，点A C ∈ ，点M 的坐标为（2,0） ，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则2AF ______________ 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17) (本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．． ) 设数列{}n a 的前N 项和为n S ,已知26,a =30631=+a a 求n a 和n S （18）(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．． ) ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin 2sin sin ,a A C a C b B +-= (Ⅰ)求B ； （Ⅱ）若0 75,2,A b a c ==求与 （19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．． ） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立. （Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种概率； （Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. （20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．． ） 如图，四棱锥S ABCD -中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，AB =BC =2，CD =SD =1。 （I ）证明：SD ⊥平面SAB ； （II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。 （21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．． ） 已知函数 {}32()3(36)124f x x ax a x a a R =++---∈ （Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在的切线过点（2，2）； （Ⅱ）若00()f x x x x =∈在处取得最小值，（1，3），求a 的取值范围。[来源:学,科,网Z,X,X,K] （22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．． ） 已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2 2 12 y x +=在y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点， 点P 满足0=++OP OB OA . （Ⅰ）证明：点P 在C 上； （Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。 2012年全国2统一考试试卷 文科数学 一、选择题 （1）已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则 （A ）A B ? （B ）C B ? （C ）D C ? （D ）A D ? （2）函数1(1)y x x = +≥-的反函数为 （A ）)0(12 ≥-=x x y （B ）)1(12 ≥-=x x y （C ）)0(12 ≥+=x x y （D ）)1(12 ≥+=x x y （3）若函数()sin ([0,2])3 x f x ? ?π+=∈是偶函数，则=? （A ）2π （B ）32π （C ）23π （D ）3 5π （4）已知α为第二象限角，3 sin 5 α=，则sin 2α= （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）25 24 （5）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）22 1128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += （6）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S = （A ）1 2 -n （B ）1 ) 2 3 (-n （C ）1 ) 3 2(-n （D ） 1 21-n （7）6位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同的演讲次序共有 （A ）240种 （B ）360种 （C ）480种 （D ）720种 （8）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，122CC =，E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为 （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）1 （9）ABC ?中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ?= ，||1a = ，||2b = ，则AD = （A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455 a b - （10）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （A ） 14 （B ）35 （C ）34 （D ）45 （11）已知ln x π=，5log 2y =，1 2 z e -=，则 （A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << （12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，1 3 AE BF == 。动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）3 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上 （13）8 )21(x x + 的展开式中2x 的系数为____________. （14）若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥?? +-≤??+-≥? ，则3z x y =-的最小值为____________. （15）当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时，x =___________. （16）已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11BB CC 、的中点，那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为____________. 三． 解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）(本小题满分10分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．． ） ABC ?中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a 、b 、c 满足223b ac =，求A 。 （18）(本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．． ） 已知数列{}n a 中， 11a =，前n 项和2 3 n n n S a +=。 （Ⅰ）求2a ，3a ； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式。 （19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．． ） 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面 ABCD ， 22AC =，2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =。 （Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ； （Ⅱ）设二面角A PB C --为90 ，求PD 与平面PBC 所成角的 大小。 （20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．． ） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。 （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （Ⅱ）求开始第5次发球时，甲得分领先的概率。 （21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数ax x x x f ++= 23 3 1)( （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设()f x 有两个极值点21,x x ，若过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线)(x f y =上，求 a 的值。 （22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） E C B D A P 已知抛物线2:(1)C y x =+与圆2 22 1:(1)()(0)2 M x y r r -+-=>有一个公共点A ，且在点A 处两曲线的切线为同一直线l . （Ⅰ）求r ； （Ⅱ）设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l 的距离。
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