高等数学极限与导数测试题
（时间：120分钟）
1.
求极限1
32lim e 2x x x x x →∞???-+- ?????． 2.
求极限lim 2n
n →∞??． 3. 求极限()201cos sin ln 1lim sin x x x x x x
→--++． 4. 设2()cos2f x x x =，求高阶导数(10)()f x ．
5. 求由参数方程222,3x t t y t t
?=-??=+??所确定的函数在1t =时相应的点处的导数d d y x 和二阶导数22d d y x
． 6. 设()3
2()21x f x x =-，求出该函数的定义域、单调区间、凹凸区间、拐点、渐近线和极值，并画出它的图像．
7. 设函数()f x 在区间[],a b 上是可微的，0ab >，证明：存在a c b <<，满足等式[]()()()()()af b bf a f c cf c a b '-=--．
8. 设π02x <<，证明：tan sin x x x x
<． 9. 设0k >，求当k 为何值时，方程arctan 0x kx -=有正实根．
10. 设函数()f x 在区间(),a +∞上二次可导，且()0f x ''≥，证明：若()lim 1x f x x →+∞=，则lim ()1x f x →+∞'=．
参考答案：
1.
16． 2.
ln10． 3. 12
． 4.
()8224cos240sin 290cos2x x x x x -++． 5. 2d 31d 21y t x t
+=-，()2232d 321d 41y t t x t --=-． 6. 定义域为{},1x x x ∈≠且R ；单调区间和凸性区间如下表
拐点为()0,0；渐近线为112y x =+和1x =；极小值为27(3)8
f =；图像略． 7. 提示：构造函数1()()F t tf t =，运用Cauchy 中值定理．
8. 提示：构造函数22()cos sin f x x x x =-．
9. ()0,1k ∈．
10. 提示：证明极限lim ()x f x →+∞'存在，即可运用L'Hospital 法则．
专题八 极限与函数的导数的题型与方法 【考点审视】 极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变： （1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限： 1)c c c n (lim =∞ →是常数）,2)01 lim =∞→n n ,3)∞→n lim )1|(|0<=q q n . (2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。 （3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。 （4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。 （5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。 （6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。 【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。对 00、∞ ∞ 、∞-∞、∞?0型的函数或数列的极限，一般要先变形或化简再运用法则求极限。例如（2004年辽宁，14）π ππ --→x x x x cos )(lim = 【分析】这是 00 型，需因式分解将分母中的零因子消去，故π ππ--→x x x x cos )(lim =x x x cos )(lim ππ +→=π2-。 2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的和或积必须 先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如： （2004年广东,4）-+++-+∞→131211( lim n n n n …+1 2112+-++n n n n )的值为…（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 1 （D ）1 【分析】这是求无穷项的和，应先求前n 2项的和再求极限
【090101】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z y x y x y =++arctan 122 ，求该函数的定义域。 【试题答案及评分标准】x ≠0为该函数的定义域。 10分 【090102】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】求函数u x y z =+?? ? ? ??arcsin 22的定义域。 【试题答案及评分标准】-≤+≤1122 x y z 10分 【090103】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z xf y x =()，其中x ≠0，如果当 x =1时，z y =+12，试确定f x ()及z 。 【试题答案及评分标准】 x =1时，z f y y ==+()12，所以f x x ()=+12 5分 z x y x x x x y =+?? ???= +12 22 10分 【090104】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z x y f x y =++-()，已知y =0时， z x =2，求f x ()和z 。 【试题答案及评分标准】y =0时，z x =2，得x f x x +=()2 所以f x x x ()=-2 5分
所以z x y x y x y x y y =++---=-+()()()222 10分 【090105】【计算题】【中等0.5】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z y f x =+-()1，其中x y ≥≥00,，如果y =1时z x =，试确定函数f x ()和z 。 【试题答案及评分标准】 y =1时，z f x x =+-=11() 所以f x x ()-=-11 3 分 令x t x t -==+112,()所以 f t t t t f x x x ()(),()=+-=+=+1122222 7分 所以()z y x x y x x y =+-+-=+-≥≥()(),1211002 10分 【090106】【计算题】【较易0.3】【多元函数的极限】【极限的计算】 【试题内容】求极限lim sin x y y x xy →→+-0 211 。 【试题答案及评分标准】 解：lim sin x y y x xy →→+-0 211 =?++→→lim sin () x y y x xy xy 00 211 6分 = 4 10分 【090107】【计算题】【较易0.3】【多元函数的极限】【极限的计算】
导数和导数的极限 函数 )(x f 在 0x 点的左导数定义为 )(0x f -'x x f x x f x ?-?+=-→?)()(lim 000 。 函数 )(x f 在 0x 点的右导数定义为 )(0x f +'x x f x x f x ?-?+=+→?)()(lim 000 。 函数 )(x f 在 0x 点导数的左极限定义为 )0(0-'x f )(lim 0 0x f x x '=-→ 。 函数 )(x f 在 0x 点导数的右极限定义为 )0(0+'x f )(lim 0 0x f x x '=+→ 。 在很多情况下，导数的左极限 )(lim 0 0x f x x '-→ 往往就是左导数 )(0x f -' ，导数的右极限 )(lim 00x f x x '+→ 往往就是右导数 )(0x f +' 。 例如，函数 ?????≥<=1 11)(2x x x x x f 。 在 1=x 点的左导数为 )1(-'f 1111lim )1()1(lim 00-=?-?+=?-?+=-→?-→?x x x f x f x x ；导数的左极限为 )(lim 01x f x '-→1)1(lim )1(lim 20101-=-='=-→-→x x x x ，两者是一样的。 在 1=x 点的右导数为 21)1(lim )1()1(lim )1(200=?-?+=?-?+='+→?+→?+x x x f x f f x x ；导数的右极限为 )(lim 01x f x '+→2)2(lim )(lim 0 1201=='=+→+→x x x x ，两者也是一样的。 但有时候，导数的左极限 )(lim 0 0x f x x '-→ 并不等于左导数 )(0x f -' ，导数的右极限 )(lim 00x f x x '+→ 并不等于右导数 )(0x f +' 。
1. 偏导数求解方法： 例题：求22z=3x xy y ++在(1,2)处的偏导数. 解：把y 看作常量，得 23z x y x ?=+? 把x 看作常量，得 32z x y y ?=+? 将（1,2）带入上述结果，就得 1 2|21328x y z x ==?=?+?=? 1 2|31227x y z y ==?=?+?=? 2. 高阶偏导数求解方法. 设函数z (x,y)f =在区域D 内具有偏导数 (x,y)x z f x ?=? (x,y)y z f y ?=? 按照对变量求导次序不同有下列四个二阶偏导数： 22()(x,y)xx z z f x x x ???==???, 2()(x,y)xy z z f y x x y ???==???? 2()(x,y)yx z z f x y y x ???==????, 22()(x,y)yy z z f y y y ???==???
3. 全微分.(求偏导数后加上,dx dy ) 函数(x,y)z f =的全微分： z z dz dx dy x y ??= +??. 例题：计算函数xy z e =在点(2,1)处的全微分. 解： ,x y x y z z ye xe x y ??==?? 222211 |,|2x x y y z z e e x y ====??==?? 所以 222dz e dx e dy =+ 4. 多元复合函数求导法则(先求偏导数，再对复合函数求偏导数). 例题1：设z uv sin t =+，而t u e =，cos v t =，求全导数dy dt 。 解：sin cos t dz z du z dv z ve u t t dt u dt v dt t ???=++=-+??? cos sin cos (cos sin )cos t t t e t e t t e t t t =-+=-+ 例题2：求2 2 (xy ,x y)z f =的22z x ??（其中f 具有二阶连续偏导数）. 解： 22'' 122'2'1 222'''''2''2''1112221224''3''22''111222 ()(2)2() (y 2)2(2) y 44z z y f f yx x x x x f y y f x x x y f xyf y f xy f x yf f xy f x y f ????==+??????=+??=++++=++ 5. 隐函数求导公式.
第十四章 极限与导数 一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为 )(lim ),(lim x f x f x x -∞ →+∞ →，另外)(lim 0 x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右 极限。类似地)(lim 0 x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。 2．极限的四则运算：如果0 lim x x →f(x)=a, 0 lim x x →g(x)=b ，那么0 lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, lim x x →[f(x)?g(x)]=ab, 0 lim x x →).0()()(≠=b b a x g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0 lim x x →f(x)存在，并且0 lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。 4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若x y x ??→?0lim 存在，则称f(x)在x 0 处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或 x dx dy ， 即0 00) ()(lim )('0 x x x f x f x f x x --=→。由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。 若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。 6．几个常用函数的导数：（1）)'(c =0（c 为常数）；（2）1 )'(-=a a ax x （a 为任意常数）；（3） ;cos )'(sin x x =(4)x x sin )'(cos -=;(5)a a a x x ln )'(=;(6)x x e e =)'(;（7）)'(log x a x x a log 1= ；（8）.1 )'(ln x x = 7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x 处可导，且u(x)≠0,则 （1）)(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±；（2）)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=；（3） )(')]'([x u c x cu ?=（c 为常数）；（4） )()(']')(1[2x u x u x u -=；（5）) () ()(')(')(]')()([2x u x v x u x v x u x u x u -=。
第一单元 极限的概念及其运算 第一节 极限的概念 一、学习目标 极限是微积分学中的重要概念，微积分中的许多重要概念都是由极限定义的.学习了这一节课，要使我们了解极限、左、右极限和无穷小量的概念. 并且能够利用函数图形和极限定义去求简单函数的极限. 二、内容讲解 1.极限的概念1 数列的极限： ①数列：一般地，按一定规律排列的一串数1x ，2x ，…，n x ，…称为数列，简记为{}n x 。其中的第n 项n x 称为该数列的通项。 ②数列的极限：给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，n x 无限地趋近某个固定的常数A ，则称当n 趋于无穷时，数列{}n x 以A 为极限。记为A x n n =∞ →lim 2.极限的概念2 研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势。 例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长. 例2 讨论当+∞→x 时，x 1 的变化趋势. 例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势.“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子?天下 定义2.1——函数的极限
设函数)(x f 在点0x 的邻域（点0x 可以除外）内有定义，如果当x 无限趋于0x （但0x x ≠） 时，)(x f 无限趋近于某个常数A ，则称x 趋于0x 时，)(x f 以A 为极限，记为A x f x x =→)(lim 0或 A x f →)()(0x x →；若自变量x 趋于0x 时，函数)(x f 没有一个固定的变化趋势，则称函数) (x f 在 x 处没有极限. 在理解极限定义时要注意两个细节： 1.0x x →时（0x x ≠）， 2. ?? ?→<→>→000 00)()(x x x x x x x x （包括这两种情况） 考虑函数x y =，依照极限的定义，不能考虑0→x 的极限.因为x y =在0
知识网 数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法： (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =（ , k N k n + ∈≥）时,结论() P k成立，证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时，() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时， n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==， 那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±；lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地，如果C是常数，那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =（C 为常数）②lim0 n a n →∞ = k （,a k 均为常数且N* ∈ k） ③ （1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a，公比为q（1 q<）的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 数 学 归 纳 法 、数 列 的 极 限 与 运 算 例 1. 某个命题与正整数有关，若当) (* N k k n∈ =时该命题成立，那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立，现已知当5 = n时该命题不成立，那么可推得（） (A)当6 = n时，该命题不成立(B)当6 = n时，该命题成立 (C)当4 = n时，该命题成立(D)当4 = n时，该命题不成立 例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时，左端 计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－ 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中，若 n n S Lim ∞ → 存在，则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在 例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在 例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++， 12 n n A a a a =+++，则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中，各项系数之和记为,, n n a b n是正整 数，则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ，公比为q，且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1， 且3 lim= ∞ → n n S，则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数，且0 ＜b＜1，若lim n n S →∞ =存在，则lim n n S →∞ =________． 例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-，设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+，又记 n T是数 列{ n b}的前n项的积． （Ⅰ）求 1 T， 2 T， 3 T的值；（Ⅱ）试比较 n T与 1+ n a的大小，并证明你的结论． 例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面)
考研数学极限与导数复习方法 我们在进行考研数学的备考复习时，需要掌握好极限与导数的复习方法。小编为大家精心准备了考研数学极限与导数复习秘诀，欢迎大家前来阅读。 考研数学极限与导数复习技巧 极限 极限是考研数学每年必考的内容，在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极 限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练
的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效;夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行 计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则 凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来 证明数列极限存在，并求递归数列的极限。 与极限计算相关知识点包括：1、连续、间断点以及 间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左、右极限，分段函数的连续性问题关键是分界点处的连续性，或按定义考察，或分别考察左、右连续性;2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数的定义直接计算或检验，存在的定义是极限存在，求极限时往往会用到推广之后的导数定义式;3、渐近线(水平、垂直、斜渐近线);4、多元函数微分学，二重极限的讨论计算难度较大，多考察证明极限不存在。 导数 求导与求微分每年直接考查的知识所占分值平均在 10分到13分左右。常考题型：(1)利用定义计算导数或讨论 函数可导性;(2)导数与微分的计算(包括高阶导数);(3)切线与法线;(4)对单调性与凹凸性的考查;(5)求函数极值与拐点;(6)对函数及其导数相关性质的考查。
授课单元7教案 课题1 偏导数 一、复习 x处的导数，y=f(x)的导数 一元函数y=f(x)在 二、偏导数的概念、 我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率。
例如，一定量的理想气体P ，体积V ，热力学温度T 的关系式为常数）R V RT P (,= （1）当温度不变时（等温过程），压强P 关于体积V 的变化率为2T V RT )(-=为常数dV dP （2）当体积V 不变时（等容过程），压强P 关于温度T 的变化率为 V R dT dP V = =常数)( . 这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。 1、z=f(x,y)在),(00y x 处的偏导数 （1） z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时, 相应地函数有增量 f (x 0+?x , y 0)-f (x 0, y 0). 如果极限 x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000 存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作 ),(00y x x z ??, ) ,(00y x x f ??, ) ,(00y x x z ' , 或),(00y x f x '. 即 x y x f y x x f y x f x x ?-?+=' →?) ,(),(lim ),(00000 00 （2）z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数 ) ,(00y x y z ??= ) ,(00y x y f ??=) ,(00y x y z ' =),(00y x f y '=y y x f y y x f y ?-?+→?) ,(),(lim 00000 2、偏导函数（简称偏导数） (1)z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作 x z ??= x f ??= 'x z =),(y x f x 'x y x f y x x f x ?-?+=→?),(),(lim 0. (2) z =f (x , y )对y 的偏导函数 y z ??=y f ??= 'y z =),(y x f y '=y y x f y y x f y ?-?+→?),(),(lim 0 说明 （1）由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法求 x z ??时，把y 视为常数
函数极限的运算法则（4月30日） 教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞→lim ,01lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二 、新课讲授 限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→= n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 2 2x x x +→
例2 求1 12lim 231++-→x x x x 例3 求4 16lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数 4 162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限. 例4 求1 33lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2 x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim *N k x C C k x x ∈==∞→∞→
1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→
专题九：数列的极限与函数的导数 【考点审视】 极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变： （1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限： 1)c c c n (lim =∞ →是常数）,2)01 lim =∞→n n ,3)∞→n lim )1|(|0<=q q n . (2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。 （3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。 （4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。 （5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。 （6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。 【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自 都有极限时才能适用。对00、∞ ∞ 、∞-∞、∞?0型的函数或数列的极限， 一般要先变形或化简再运用法则求极限。例如（2004年辽宁，14） π ππ --→x x x x cos )(lim = 【分析】这是00 型，需因式分解将分母中的零因子消去，故π ππ--→x x x x cos )(lim =x x x cos )(lim ππ +→=π2-。 2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的 和或积必须先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。例如：
§8.2 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数z =f (x ,y ),如果只有自变量x 变化,而自变量y 固定,这时它就是x 的一元函数,这函数对x 的导数,就称为二元函数z =f (x ,y )对于x 的偏导数. 定义 设函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)的某一邻域内有定义,当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时,相应地函数有增量 f (x 0+?x ,y 0)-f (x 0,y 0). 如果极限 x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000 存在,则称此极限为函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处对x 的偏导数,记作 00y y x x x z ==??,00 y y x x x f ==??,00y y x x x z ==,或),(00y x f x . 例如： x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(00000 00. 类似地,函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处对y 的偏导数定义为 y y x f y y x f y ?-?+→?),(),(lim 00000, 记作 00y y x x y z ==??,00y y x x y f ==??,00y y x x y z ==,或f y (x 0,y 0). 偏导函数:如果函数z =f (x ,y )在区域D 内每一点(x ,y )处对x 的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x 、y 的函数,它就称为函数z =f (x ,y )对自变量x 的偏导函数,记作 x z ??,x f ??,x z ,或),(y x f x . 偏导函数的定义式:x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(0 . 类似地,可定义函数z =f (x ,y )对y 的偏导函数, 记为 y z ??,y f ??,z y ,或),(y x f y .
总结求极限的常用方法，详细列举，至少4种 极限定义法 泰勒展开法。 洛必达法则。 等价无穷小和等价无穷大。 极限的求法 1. 直接代入法 适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为 例 1. 求 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是X趋近而不是N趋近！！！！！ 必须是函数的导数要存在！！！！！！！！ 必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0
落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！） E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开 对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！ 看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！ 5无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。 面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！
第二部分工质的热力性质 六热力学函数的一般关系式 由热力学基本定律引出的一些基本热力学状态函数（如内能U、熵S ）及其为某一研究方便而设的组合函数（如焓H、自由能F、自由焓G等）许多都是不可测量，必须将它们与可测量（如压力p、体积V、温度T等）联系起来，否则我们将得不到实际的结果，解决不了诸如上一章讲的最大功计算等一些具体的问题。 这就需要发展热力学的数学理论以将热力学基本定律应用到各种具体问题中去。 热力学函数一般关系式全微分性质+基本热力学关系式 6.1 状态函数的数学特性 对于状态参数，当我们强调它们与独立变量的函数关系时，常称它们为状态函数。从数学上说，状态函数必定具有全微分性质。这一数学特性十分重要，利用它可导出一系列很有实用价值的热力学关系式。下面我们扼要介绍全微分的 一些基本定理。
设函数z f(x,y)具有全微分性质 则必然有 (1)互易关系 N(x,y) N (6-2) x y 而且是充分条件。因此，可反过来检验某一物理量是否具有 全微分。 (2)循环关系 ，亠 z y x “ 故有 1 (6-3) dz — dx — dy x y y x (6-1) 令式 (6-1 )中 M(x,y), 互易关系与门dz 0等价 它不仅是全微分的必要条件， 当保持 z 不变，即 dz 0时，由式(6-1)，得
y x x z z y 此式的功能是：若能直接求得两个偏导数，便可确定第三个偏导数。结果也很容易记忆，只需将三个变量依上、下、外次序，即(zyx)(yxz)(xzy)循环就行了。 (3)变换关系 将式(6-1)用于某第四个变量不变的情况，可有 dz z dx z dy X y y x 两边同除以dx，得 z z z y x x y y x x (6-4) 式中：z x 是函数z(x,y)对x的偏导数；疋以(x, x 独立变量时，函数z(x,)对x的偏导数。上面的关系可用于它们之间的变换。这一关系式对于热力学公式的推导十分重
lim q =④首项为1a 1 (D)
] g x ab = () ＜a＜1） +∞例 [1,)
例21. f (x )=ax 3+3x 2+2,若(1)4f '-=,则a 的值等于( ) (A )319 (B )316 (C)313 (D)3 10 例22. f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则 ( ) (A )f (x )=g (x ) (B )f (x )－g (x )为常数函数 (C)f (x )=g (x )=0 (D)f (x )+g (x )为常数函数 例23. 设函数f (x )在定义域内可导，y=f (x )的图象如右图所示，则导函数y=f (x )的图象可能为( ) 例24. 已知曲线S :y =3x －x 3 及点(2,2)P -,则过点P 可向S 引切线的条数为( ) (A )0 (B )1 (C)2 (D)3 例25. 函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ） 3()(,)22A ππ ()(,2)B ππ 35()( ,)22 C ππ ()(2,3)D ππ 例26. y =2x 3 －3x 2 +a 的极大值为6，那么a 等于( ) (A )6 (B )0 (C)5 (D)1 例27. 函数f (x )＝x 3 －3x +1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( ) (A )1，－1 (B )3，-17 (C)1，－17 (D)9，－19 例28.设l 1为曲线y 1=si nx 在点(0，0)处的切线，l 2为曲线y 2=cos x 在点(2 π ,0)处的切线， 则l 1与l 2的夹角为___________. 例29. 设函数f (x )=x 3+ax 2+bx －1，若当x =1时，有极值为1，则函数g(x )=x 3+ax 2+bx 的单调递减区间为 . 例30. 已知函数3 2 ()(,)f x x ax b a b R =-++∈ （Ⅰ）若函数)(x f 图像上任意一点处的切线的斜率小于1 ，求证：33a -<<； （Ⅱ）若[]0,1x ∈，函数()y f x =图像上任意一点处的切线的斜率为k ，试讨论1k ≤的充要条件。 数学基础知识与典型例题(第十一章函数极限与导数)答案 例10. [解]（1） 21n a n =-,∴11111112211 T b a ==+ =+=?- 21221182(1)2(1)2213T b b a =?=?+ =+=?-,31233818116(1)(1)332315 T b b b a =??=+=+=?- （2）由（1）中可猜想得T n ＞1+n a ； 只须证明对于*n N ∈111 (11)(1)(1) (1)35 21 n ++++ - 设n =1时，左=1+1=2，右=3，∵2＞3，故原不等式成立； 假设n =k （k ≥1）时，原不等式成立，即12)121 1()511)(3 11)(1 1(+>-++++k k ， 当n =k +1时，不等式左边为11111(11)(1)(1) (1)[1])3 5 212(1)121 k k k ++++++-+-+ 1)2)21k k + =++,不等式的右边为32+k ， 只须得出)22(1212+++k k k ＞32+k ，事实上2 2)k ?+??? ? －2 =22 484(483)21 k k k k k ++-+++= 1 21 k +＞0，故)22(121 2+++k k k ＞32+k 成立， 从而1111 (11)(1)(1) (1)[1]3 5 212(1)1 k k ++++ +-+-＞32+k 。 即n =k +1时不等式也成立,∴对于n ∈N ,则有111 (11)(1)(1) (1)3 5 21 n ++++ -. 例20. 解：x ＝0是此分段函数的分界点， 而0 lim ()x f x →存在的充要条件是0 lim ()x f x -→与0 lim ()x f x + →都存在且相等。 ∴0 lim ()x f x -→＝0 lim(cos 1)x x -→+＝2，0 lim ()x f x +→＝0 lim(sin )x a x b b + →+=， ∴当b ＝2，a 取任意实数时，0 lim ()x f x →存在，其值为2. 例21.D 例22.B 例23.D 例24. C 设S 上的切点00(,)x y 求导数得斜率，过点P 可求得:2 00(1)(2)0x x +-=.例25.B 例26.A 例27.B 例28. 90°例29. [ 1，3 5](写开区间也可以) 例30. 本题考查（1）导数的几何意义（2）恒成立问题中参数取值范围的求法. （3）分析问题解决问题的能力.需要学生熟练掌握求最值的方法. 解：（1）依题意，由3 2 ()f x x ax b =-++，则2 ()32f x x ax '=-+. 又函数)(x f 图像上任意一点切线的斜率小于1，即2 ()321f x x ax '=-+< 亦即23210x ax -+>对任意的x R ∈恒成立. 故2 4120a ?=-<，即a <<（2）由题可知，原问题等价于2()321f x x ax '=-+≤对[]0,1x ∈恒成立. 当0x =时，显然有(0)01f '=≤，故当(0,1]x ∈时 21321x ax --+≤≤,从而11323x a x x x -+≤≤（※） 对(0,1]x ∈恒成立. 令11()3,()3u x x v x x x x =-=+.则可知1()3u x x x =-在(0,1]上递增，故 max ()(1)2u x u ==1()3v x x x =+≥(0,1]x =，故min ()v x =要使（※）恒成立只须max min ()2()u x a v x ≤≤，即1a ≤1k ≤在[]0,1x ∈的充要条件.