诗词三首知识整理
一、《行路难》
1、常识：
【李白】（701年—762年），字太白，号青莲居士，又号“谪仙人”。是唐代伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”。与杜甫并称为“李杜”，又合称“大李杜”。
2、原文：
金樽zūn清酒/斗十千，玉盘珍羞/直万钱。
停杯投箸/不能食，拔剑四顾/心茫然。
欲渡黄河/冰塞sè川，将登太行/雪满山。
闲来垂钓/碧溪上，忽复乘舟/梦日边。
行路难，行路难！多歧路，今安在？
长风破浪/会有时，直挂云帆/济沧海。
3、注释：
金樽（zūn）：古代盛酒的器具，以金为饰。
清酒：清醇的美酒。
斗十千：一斗值十千钱（即万钱），形容酒美价高。
玉盘：精美的食具。珍羞：珍贵的菜肴。
羞：同“馐”，美味的食物。
直：通“值”，价值。
投箸：丢下筷子。箸（zhù）：筷子。
茫然：无所适从。
闲来：空闲的时候。
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安：哪里。
长风破浪：比喻实现政治理想。
会：终将。云帆：高高的船帆。
济：渡。
4、译文：
金杯里装的名酒，每斗要价十千；玉盘中盛的精美肴菜，收费值万钱。胸中郁闷呵，我停杯投箸吃不下；拔剑环顾四周，我心里委实茫然。想渡黄河，冰雪堵塞了这条大川；要登太行，莽莽的风雪早已封山。像吕尚垂钓磻溪，闲待东山再起；又像伊尹做梦，他乘船经过日边。世上行路呵多么艰难，多么艰难；眼前歧路这么多，我该向北向南？相信总有一天，能乘长风破万里浪；高高挂起云帆，在沧海中勇往直前。
5、赏析：
（1）金樽清酒斗十千，玉盘珍馐直万钱
运用对偶，夸张的修辞，极言朋友为李白所设宴席的丰盛华美，营造出欢乐的气氛，以乐景写哀情，为下文写诗人苦闷茫然的情绪做铺垫。
（2）停杯投箸不能食，拔剑四顾心茫然。
“停”、“投”、“拔”、“顾”四个连续的动作与“金’”、“清”、“玉”、“珍”形成鲜明的对比，表现了诗人极度苦闷、抑郁不舒的心情。
（3）欲渡黄河冰塞川，将登太行雪满山。
运用比喻的修辞手法，诗人用“欲渡黄河”、“将登太行”比喻想要实现人生理想和抱负，用“冰塞川”、“雪满山”比喻人生道路上的艰难险阻，仕途的艰难。写出仕途的艰难，蕴含着无限的悲伤感慨。
（4）闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边。
引典，引用“姜尚垂钓”、“伊尹梦日”的典故，以|“垂钓”自比姜尚，以“梦日”自比伊尹，表达了诗人希望有朝一日能够得到明主
5
赏识，施展才能的愿望。
（5）行路难，行路难，多歧路，今安在？
运用反复的修辞，以四句节奏短促的感叹，反映了诗人想继续追求进取，又恐世路艰难的矛盾心理。
（6）长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。
尽管前路障碍重重，但诗人相信自己总会有一天高挂云帆，乘风破浪，横渡沧海，到达理想的彼岸，引用典故，表达自己有宏大的理想抱负和实现理想抱负的坚定的信念。
6、思想情感。
这首诗借行路难来描写人生道路的坎坷，既反映了诗人仕途失意的抑郁苦闷，又表现了诗人乐观、自信的人生态度及执着追求理想的坚定信念。
二、《酬乐天扬州初逢席上见赠》
1、常识:刘禹锡，字梦得，唐朝文学家。
2、原文：
巴山／楚水／凄凉地，二十三年／弃置身。
怀旧／空吟/闻笛赋，到乡／翻似／烂柯(kē)人。
沉舟／侧畔(pàn)/千帆过，病树／前头／万木春。
今日／听君／歌一曲，暂凭／杯酒／长精神。
3、注释：
（1）酬：答谢，酬答，这里是指以诗相答的意思。用诗歌赠答。乐天：指白居易，字乐天。见赠：送给（我）。
（2）弃置身：指遭受贬谪的诗人自己。置：放置。弃置：贬谪。
（3）怀旧：怀念故友。吟：吟唱。
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（4）到：到达。翻似：倒好像。翻：副词，反而。
（5）侧畔：旁边。
（6）沉舟、病树：这是诗人以沉舟、病树自比。
（7）歌一曲：指白居易的《醉赠刘二十八使君》。
（8）长（zhǎng）精神：振作精神。长：增长，振作。
4、译文：
在巴山楚水这些凄凉的地方，度过了二十三年沦落的光阴。
怀念故友徒然吟诵闻笛小赋，久谪归来感到已非旧时光景。
沉船的旁边正有千艘船驶过，病树的前头却也是万木争春。
今天听了你为我吟诵的诗篇，暂且借这一杯美酒振奋精神。
5、诗句赏析：
（1）巴山楚水凄凉地，二十三年/弃置身。
“巴山楚水凄凉地，二十三年弃置身”通过“凄凉地”和“弃置身”这些富有色彩的字句的渲染，表达出诗人抑制已久的愤激之情。
（2）怀旧空吟闻笛赋，到乡翻似烂柯人。
一个“空”字，隐含了诗人内心的无奈和对统治者迫害旧友的不满。
一个“翻” 写出了自己到家乡恍如隔世的感觉，暗示自己被贬时间之长，这其中同样满含着的是酸楚与痛苦。
引典，引用“向秀作赋”和“王质烂柯”的典故，表达了诗人怀念故友以及对岁月流逝、人事变迁的感叹。
（3）沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春
哲理：新事物必将代替旧事物社会在前进，前景是美好的。
5
运用比喻的修辞，诗人用“沉舟”“病树”比喻久遭贬谪的自己，用“千帆”“万木”比喻在诗人贬谪之后那些仕途得意的新贵们，意思是自己虽屡遭贬低，新人辈出，却也令人欣慰，表达出诗人豁达的心胸。
（4）今日听君歌一曲，暂凭杯酒长精神。
尾联点明酬赠题意，既是对友人关怀的感谢，又是和友人共勉，表现了诗人坚定的意志和乐观的精神。
7、思想感情：
既表诗人被贬的辛酸愤懑、又体现了诗人坚定乐观精神。
三、《水调歌头明月几时有》
1、常识：
苏轼（1036－1101），字子瞻，自号东坡居士。北宋文学家。谥文忠。为“唐宋八大家”之一。与其父苏洵，其弟苏辙并称“三苏”。
2、原文：
丙辰中秋，欢饮达旦，大醉，作此篇，兼怀子由。
明月几时有？把酒问青天。不知天上宫阙（què），今夕是何年？我欲乘风归去，又恐琼（qióng）楼玉宇，高处不胜（shēng）寒。起舞弄清影，何似在人间？
转朱阁，低绮（qǐ）户，照无眠。不应有恨，何事长向别时圆？人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全。但愿人长久，千里共婵娟（chán juān）。
3、注释：
把酒：端起酒杯。把，执、持。
天上宫阙（què）：指月中宫殿。阙，古代城墙后的石台。
乘风：驾着风；凭借风力。归去：回到天上去
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琼（qióng）楼玉宇：美玉砌成的楼宇，指想象中的月宫。
不胜（shēng）：经不住，承受不了。胜：承担、承受。
弄清影：意思是诗人在月光下起舞，影子也随着舞动。弄，玩弄，欣赏。
何似：何如，哪里比得上。一说何时。
转朱阁，低绮（qǐ）户，照无眠：月儿移动，转过了朱红色的楼阁，低低地挂在雕花的窗户上，照着没有睡意的人（指诗人自己）。朱阁，朱红的华丽楼阁。绮户，雕饰华丽的门窗。
不应有恨，何事长（cháng）向别时圆：（月儿）不该（对人们）有什么怨恨吧，为什么偏在人们分离时圆呢？何事：为什么。
此事：指人的“欢”“合” 和月的“晴”“圆”。
但：只。
千里共婵娟：只希望两人年年平安﹐虽然相隔千里，也能一起欣赏这美好的月光。共，一起欣赏。婵娟，本意指妇女姿态美好的样子，这里形容月亮。
4、译文：
明月从什么时候才开始出现？我端起酒杯遥问苍天。不知道在天上的宫殿，今天晚上是何年何月。我想要乘御清风回到天上，又恐怕在美玉砌成的楼宇，受不住高耸九天的寒冷。翩翩起舞玩赏着月下清影，哪里比得上在人世间？
月儿转过朱红色的楼阁，低低地挂在雕花的窗户上，照着没有睡意的自己。明月不该对人们有什么怨恨吧，为什么偏在人们离别时才圆呢？人有悲欢离合的变迁，月有阴晴圆缺的转换，这种事自古来难以周全。只希望这世上所有人的亲人能平安健康，即便相隔千里，也能共享这美好的月光。
5、诗句赏析：
5
1、“丙辰中秋，欢饮达旦，大醉，作此篇，兼怀子由
”词前小序，交代写词的时间及缘由。
2、“明月几时有？把酒问青天”上片一开始，词人就提出一个问题，以无陡起的形式突兀发问，笔法奇特。词人把青天当成自己的朋友，把酒相问，显示了他
豪放的性格和不凡的气魄。
3、“不知天上宫阙，今夕是何年”这一句化用《诗经》“今夕何夕，见此良人” ，显露出词人对明月的赞美和向往。
4、“我欲乘风归去，又恐琼楼玉宇，高处不胜寒”这几句表现了词人既向往天上又留恋人间的矛盾心理。也隐约透露出词人在现实中苦闷难解，欲求解脱的情
绪。
5、“起舞弄清影，何似在人间”词人通过一番比较，觉得还是人间好，表现了词人对人间生活的热爱。
6、“转朱阁，低绮户，照无眠”句中“转”“低”都指月亮的移动，暗示夜已深；“无眠”泛指因遭受分离之苦而难以入眠的人，暗示词人对亲人的思念之深。
7、“不应有恨，何事长向别时圆？”这一句运用了拟人、反问的修辞手法。似乎是埋怨月亮故意捉弄人，其实是写亲人不能团聚的惆怅。抒发了词人怀念亲人的感情。
8、“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全”词人宕开一笔，写人世的聚合离散犹如这明月的阴晴圆缺，非人力所能左右。既然如此，就不必再慨叹悲伤了。表现了词人由心中有所结到心胸开阔，做达观之想的心理。
9、“但愿人长久，千里共婵娟”词人把对亲人的思念化作真诚的祝福：只要人平安幸福，纵然千里阻隔，也能同赏轮明月，犹如咫尺相依。难遣之情至此释怀，
5
这是自我安慰，是对亲人的劝慰，同时也是对自己政治遭遇的宽慰，表现了词人豁达的胸襟和豪迈的情怀。
6、思想感情：
《水调歌头》这首词通过对中秋醉酒赏月的描写，抒发了词人政治失意的苦闷和对弟弟子由的怀念之情。表达了词人由心有所郁结到心胸开阔的乐观旷达的
情怀。
附理解性默写
《行路难》（其一）
4、《行路难》(其一)中,表现作者对理想执著追求
,对未来充满希望的句子是：
5、《行路难》(
5
8、面对人生中的困难和挫折,我们要像李白《行路难》里说的那样,对未来充满信心和希望：
《酬乐天扬州初逢席上见赠》
1、怀旧空吟闻笛赋，。
，病树前头万木春。
3、今日听君歌一曲，。
4、《酬乐天扬州初逢席上见赠》一诗中蕴含新事物必将取代旧事物这一哲理的句子是，。
5、《酬乐天扬州初逢席上见赠》中用典故表达了作者怀念故友的感情，暗示了自己因世事变迁而怅惘的心情的诗句
是：，。
6、《酬乐天扬州初逢席上见赠》中摆脱现实处境，展望未来风光，借景物变化暗示社会的发展的诗句是：，。
7、既是对友人关怀的感谢，也是和友人共勉，表现了诗人坚定的意志和乐观的精神的是：
，。
8、《酬乐天扬州初逢席上见赠》一诗中，饱含诗人无限辛酸，流露出内心的愤懑不平的诗句是：，。
5
《水调歌头》
1、我欲乘风归去，，。
2、，何似在人间？
3、，，此事古难全。
4、但愿人长久，。
5、《水调歌头·明月几时有》借明月来表达对人生美好祝愿的句子是：，。
6、《调歌头·明月几时有》直接寄语远方弟弟唤起人类普遍情感体验的名句是：，。
7、《水调歌头·明月几时有》中写作者矛盾心情的句是：
，，。
8、《水调歌头·明月几时有》中从“隔千里兮并明月”演化而来的句子是：，。
《无题》
1、相见时难别亦难，。
2、，蜡炬成灰泪始干。
3、，夜吟应觉月光寒。
4、蓬山此去无多路，。
5
5、李商隐的《无题》这首诗中寓情于景，以春光易逝，人力对此无可奈何，渲染离清，极写伤别沉痛心情和缠绵的相思之苦的诗句
是：，。
6、李商隐的《无题》中常用来比喻教师的工作，被人们用来赞美无私奉献的精神的诗句是：
，。
7、李商隐《无题》中赞美献身事业，奉献不止的精神的诗句
是：，。
答案
《行路难》（其一）
1、将登太行雪满山。
2、闲来垂钓碧溪上
3、长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。
4、长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。
5、欲渡黄河冰塞川，将登太行雪满山。
6、停杯投箸不能食，拔剑四顾心茫然。
7、闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边。
8、长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。
《酬乐天扬州初逢席上见赠》
5
1、到乡翻似烂柯人。
2、沉舟侧畔千帆过
3、暂凭杯酒长精神
4、沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春
5、怀旧空吟闻笛赋，到乡翻似烂柯人
6、沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春
7、:今日听君歌一曲,，暂凭杯酒长精神。
8、巴山楚水凄凉地，二十三年弃置身
《水调歌头》
1、又恐琼楼玉宇，高处不胜寒
2、起舞弄清影
3、人有悲欢离合，月有阴晴圆缺
4、千里共婵娟
5、但愿人长久，千里共婵娟
6、但愿人长久，千里共婵娟
7、我欲乘风归去，又恐琼楼玉宇，高处不胜寒
8、但愿人长久，千里共婵娟
《无题》
1、东风无力百花残
2、春蚕到死丝方尽
3、晓镜但愁云鬓改
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4、青鸟殷勤为探看
5、相见时难别亦难，东风无力百花残
6、春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干
7、春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干
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人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含 答案 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
圆 24.1.1圆 知识点一圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD，AB是弦，且CD⊥AB， A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M， CD⊥ABAM=BMAC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。
24.1.1 圆 知识点一圆的定义 o叫作圆圆的定义：第一种：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点 心，线段0A叫作半径。第二种：圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长， 也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（ 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD, AB是弦，且CDLAE， C ~|M A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M CDLABAM=BMAC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心 圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。 24.1.4圆周角 知识点一圆周角定理
新人教版九年级上册数学知识点归纳 第二十一章一元二次方程 2１．1 一元二次方程 在一个等式中，只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四个特点：(１)只含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是，再对它进行整理.如果能整理为 ax２＋bx+c=0(a≠０）的形式,则这个方程就为一元二次方程． (4）将方程化为一般形式：ax2+bx＋c=0时,应满足（ａ≠0) 21.2 降次——解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法: 1、直接开平方法： 用直接开平方法解形如(ｘ-m)2=n (ｎ≥０)的方程,其解为ｘ=± m. 直接开平方法就是平方的逆运算．通常用根号表示其运算结果． 2、配方法 通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。 １.转化: 将此一元二次方程化为aｘ＾2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式） ２.系数化1: 将二次项系数化为1 3.移项: 将常数项移到等号右侧 4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式 6．开方: 左右同时开平方 7.求解：整理即可得到原方程的根 ３、公式法 公式法：把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=ｂ２-４ac的值，当b2－4ac≥0时,把各项系数a, b， c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。 因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 21.3 实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展 从列方程解应用题的方法来讲,列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次,因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了,正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题,经过两次增长的平均增长率问题，
1．圆的有关概念： (1)圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。 ①表示方法：⊙O ，读作“圆O ” ②确定一个圆的条件：???半径—定长圆心 —定点 （2）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆（两个全等的圆） （3）圆心角：顶点在圆心的角叫做 圆心角 ． （4）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做 圆周角 ． （5）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为 优弧 ，小于半圆的弧称为 劣弧 ． （6）等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧。 （7）弦：连接圆上任意两点的线段叫做 弦 ，经过圆心的弦叫做直径． （8）等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧。 ( 9 ) 圆是 轴 对称图形，任何一条 直径所在的直线都是它的 对称轴 ；圆又是 中心 对称图形， 圆心 是它的对称中心。 知识点2 垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分 弦 ，并且平分 弦所对的两条弧 ； 要点：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弧（优弧、劣弧）；⑤平分圆心角 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 知识点3 圆周角定理 圆周角定理: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并且等于所对圆心角的一半 推论1:直径（或半圆）所对的圆周角为90°，90°圆周角所对的弦是直径。 总结：同圆或等圆中，① 弧相等——弦相等，圆心角相等，所对圆周角相等; ② 圆心角相等——弧相等，弦相等，所对圆周角相等； ③ 弦相等——弧相等，圆心角相等，同弧或等弧所对的圆周角相等; （注意：弦所对的圆周角有两种） 知识点4 外接圆与内切圆相关概念 （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （5）圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角 知识点5 点与圆的位置 点与圆的位置关系共有三种：
学生姓名： 就读年级： 九年级 任课教师： 教导处签名： 日期： 2017 年 10月 21 日 圆的有关性质
课题圆的有关性质 教学目标1、在探索的过程中，能从两种不同的角度理解圆的概念 2、了解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等于圆有关的概念，理解概念之间的区别与联系。 3、能够通过图形直观地认识弦、弧等概念，能够从具体图形中识别出与圆有关的一些元素。 知识要点及重难点重点：圆的概念的解析与应用难点：圆的有关概念的解析 作业评价 ○好○很好○一般○差备注： 作业布置 学生课后评价（学生填 写）学生对本次课的评价： 1、学习心情：□愉悦□紧张□沉闷 2、学习收获：□很大□一般□没有 3、教学流程：□清晰□一般□混乱 4、其它： 。 家长反馈 签名：日期：年月日一、课前复习
1、旋转 2、中心对称 3、中心对称图形 4、求关于原点对称的点的坐标 二、新课导入 初中阶段我们有几种几何是必须掌握的：三角形，四边形，圆。关于前两个已经在前期的学习中接触过了，那么本章我们将重点学习圆的相关性质以及相关的知识点，本章也是中考内容中的重点部分，所以需要打起精神，认真将知识点掌握并灵活应用起来。 三、新课讲授 圆的有关性质 知识点1圆的定义以及表示方法（重点；理解） 1、描述性定义 在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中固定的端点O 叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、集合性定义 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 3、圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O” 命题1圆的定义的理解 例1：下列条件中，能确定圆的是（） A. 以已知点O为圆心 B. 以1cm长为半径 C. 经过已知点A，且半径为2cm D. 以点O为圆心，1cm为半径 针对练习： 1、与已知点A的距离为3cm的点所组成的平面图形是______. 命题点2判断四点共圆的问题 例2：矩形的四个顶点能否在同一个圆上?如果不在,说明理由;如果在,指出这个圆的圆心和半径.
圆 24.1.1 圆 知识点一圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA 叫作半径。第二种：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知 识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为 CD，AB 是弦，且CD⊥AB， C M A B AM=BM 垂足为 M AC =BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M， CD⊥AB AM=BM AC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。
九年级上册知识点 二次根式知识点 考点1、无理数 无限不循环的小数，叫做无理数。 常见的无理数： 1、π以及π的有理数倍数。 2、、、； 3、2．01001000100001………… 考点2、二次根式的概念 形如（a≥0）的式子叫做二次根式。 1、被开放数a是一个非负数； 2、二次根式是一个非负数，即≥0； 3、有限个二次根式的和等于0，则每个二次根式的被开方数必须是0. 考点3、移因式于根号内、外的方法 移因式于根号外 1、当根号外的数是一个负数时，把负号留在根号外，然后把这个数平方后移到根号内 2、当根号内的数是一个正数时，直接把这个数平方后移到根号内 移因式于根号内 1、当根号内的数是正数时直接开方移到根号外 2、当根号内的数是负数时开方移到根号外后要添上负号 考点4、最简二次根式 知识回顾： 满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式： (1) 被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 知识特点： 1、最简二次根式中一定不含有分母； 2、对于数或者代数式，它们不能在写成a n×m的形式。 考点5、二次根式的化简与计算 二次根式的化简，实际上就是把二次根式化成最简二次根式，然后，通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。 二次根式的加减运算：a+b=（a+b），（m≥0）； 二次根式的乘法运算：.=，( a≥0, b≥0)； 二次根式的除法运算：÷=，( a≥0, b＞0)；
二次根式的乘方运算：=a，( a≥0)； 二次根式的开方运算：= 考点6、与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根； 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时， 无意义，而 一元二次方程 考点一、一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边 十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接 开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知， 是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看 做未知数x，并用x代替，则有。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法
圆的知识点归纳 圆的半径相等，所以两条半径与圆心构成的三角形是等腰三角形 直径d与半径r的关系：d=2r 直径所对圆周角等于90°；90°的圆周角所对的弦是直径 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等 圆周角定理：1、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等 2、同弧所对圆周角是圆心角的一半 垂径定理：一条直线，只要具备下列5条中的2条作为条件，就可以推出其他三条结论。称为：知二推三 1、平分弦所对的优弧 2、平分弦所对的劣弧 3、平分弦（这条弦不是直径） 4、垂直于弦 5、过圆心 圆内接四边形对角互补 切线的判定：①作半径，证垂直；②作垂直，证半径 切线定理：圆的切线垂直于过其切点的半径 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 三角形的内接圆圆心，是这个三角形三条角平分线的交点 三角形的外接圆圆心，是这个三角形三条垂直平分线的交点 圆的周长：C圆=2πr 圆的面积：S圆=πr2 弧长公式：l=nπr 180扇形面积：S 扇 =nπr2 360 圆柱侧面积：S 圆柱侧面=πdh圆锥侧面积：S 圆锥侧面 =πrl（其中l是母线） 圆柱体积：V 圆柱=S 底 h圆锥体积：V 圆锥 =1 3 S 底 h 圆的常见辅助线：1、作垂线 2、连半径 3、构造直径三角形 点与圆的位置关系（以下d代表点到圆心距离，r代表圆的半径）： 1、点在圆外 d>r 2、点在圆上 d=r 3、点在圆内 d 直线与圆的位置关系（以下d代表直线到圆心距离，r代表圆的半径）： 1、相离 d>r 2、相切 d=r 3、相交 d 人教版数学九年级上册圆知识点总结 人教版数学九年级上册圆知识点总结 24.1 圆 定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 （2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。 圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心 （2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。 （3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。 （4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。 注：圆心一般用字母O表示 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。 圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。 圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。 圆的周长与直径的比值叫做圆周率。 圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。 直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr，用字母S表示。 一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。 周长计算公式 1.、已知直径：C=πd 2、已知半径：C=2πr 3、已知周长：D=cπ 圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 （1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三 个点的距离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。 d = r 点P 在⊙O 上 d < r （r > d ） 点P 在⊙O 内 d > r （r 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。注意一下几点：1.只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c 是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 (1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -. (2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 (3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 (4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1； ③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 (1)把常数项移到等号的右边；(2)方程两边都除以二次项系数； (3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； (4)若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 22.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 (1)一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 (2)一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 (3)公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值； ②确定公式中a,b,c的值，注意符号；③求出b2-4ac的值； ④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。 知识点二一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac. △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 一元二次方程△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 根的判别式 △＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根 22.2．3 因式分解法 知识点一因式分解法解一元二次方程 (1)把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 (2)因式分解法的详细步骤： 1．圆的有关概念： (1)圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。 ①表示方法：⊙O ，读作“圆O ” ②确定一个圆的条件：???半径—定长圆心 —定点 （2）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆（两个全等的圆） （3）圆心角：顶点在圆心的角叫做 圆心角 ． （4）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做 圆周角 ． （5）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为 优弧 ，小于半圆的弧称为 劣弧 ． （6）等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧。 （7）弦：连接圆上任意两点的线段叫做 弦 ，经过圆心的弦叫做直径． （8）等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧。 ( 9 ) 圆是 轴 对称图形，任何一条 直径所在的直线都是它的 对称轴 ；圆又是 中心 对称图形， 圆心 是它的对称中心。 知识点2 垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分 弦 ，并且平分 弦所对的两条弧 ； 要点：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弧（优弧、劣弧）；⑤平分圆心角 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 知识点3 圆周角定理 圆周角定理: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并且等于所对圆心角的一半 推论1:直径（或半圆）所对的圆周角为90°，90°圆周角所对的弦是直径。 总结：同圆或等圆中，① 弧相等——弦相等，圆心角相等，所对圆周角相等; ② 圆心角相等——弧相等，弦相等，所对圆周角相等； ③ 弦相等——弧相等，圆心角相等，同弧或等弧所对的圆周角相等; （注意：弦所对的圆周角有两种） 知识点4 外接圆与内切圆相关概念 （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （5）圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角 九年级上册知识点 第一单元 二次根式 1、二次根式 式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“ ”；被开 方数a 必须是非负数。 2、最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。 （2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 4、二次根式的性质 （1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2 )0(<-a a （3）)0,0(≥≥?=b a b a ab （4）)0,0(≥≥=b a b a b a 5、二次根式混合运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 第二单元 一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式 )0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知， a x +是 b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式 222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 人教版九年级圆知识点 【篇一：人教版九年级圆知识点】 圆知识点归纳一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。 半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。（2）推论： ?? 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所 对的两条弧。 ?? 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。 圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 （1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙o 的半径为 r， op=d。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。）8、直线与圆的位置关系。 d 表示圆心到直线的距离， r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直 线与圆相切；直线与圆没有交点，直线与圆相离。 d= r 点 p 在⊙o 上 d r（r d）点 p 在⊙o 外 d r（r d）点 p 在⊙o 内 2 9、平面直角坐标系中， a（x1， y1）、 b（x2， y2）。 则 ab=221221)()(yyxx?????? 10、圆的切线判定。 （1） d=r 时，直线是圆的切线。 切点不明确：画垂直，证半径。 （2）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。 切点明确：连半径，证垂直。 11、圆的切线的性质（补充）。 （1）经过切点的直径一定垂直于切线。 （2）经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。 12、切线长定理。 （1）切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线 段的长叫这个点到圆的切线长。 （2）切线长定理。 ∵ pa、 pb 切⊙o 于点 a、 b pa=pb， 1= 2。 13、内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的 距离相等。 （2）如图，△abc 中， ab=5， bc=6， ac=7，⊙o 切△abc 三边于点 d、 e、 f。 求： ad、 be、 cf 的长。 分析：设 ad=x，则 ad=af=x， bd=be=5－x， ce=cf=7－x. 可得 方程： 5－x＋7－x=6，解得 x=3 （3）△abc 中， c=90 ， ac=b，bc=a， ab=c。 求内切圆的半径 r。 分析：先证得正方形 odce，得 cd=ce=r ad=af=b－r， be=bf=a－ r b－r＋a－r=c cba???? 得 r=2（4） s△abc=)(21cbar???? 14、 新人教版九年级上册初中数学 重难点有效突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 正多边形和圆—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性； 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正 多边形； 3.会进行正多边形的有关计算. 【要点梳理】 要点一、正多边形的概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 要点二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 (1)正ｎ边形每一个内角的度数是； (2)正ｎ边形每个中心角的度数是； (3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 要点三、正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 要点四、正多边形的画法 1.用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. ①正四、八边形. 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多 边形. ②正六、三、十二边形的作法. 人教版【九年级】圆的性质知识点 2020-12-12 【关键字】情况、方法、条件、问题、难点、尽快、掌握、了解、位置、关键、精神、需要、重点、水平、速度、关系、形成、解决、方向、中心 一、课前复习 1、旋转 2、中心对称 3、中心对称图形 4、求关于原点对称的点的坐标 二、新课导入 初中阶段我们有几种几何是必须掌握的：三角形，四边形，圆。关于前两个已经在前期的学习中接触过了，那么本章我们将重点学习圆的相关性质以及相关的知识点，本章也是中考内容中的重点部分，所以需要打起精神，认真将知识点掌握并灵活应用起来。 三、新课讲授 圆的有关性质 知识点1圆的定义以及表示方法（重点；理解） 1、描述性定义 在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中固定的端点O 叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、集合性定义 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 3、圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O” 命题1圆的定义的理解 例1：下列条件中，能确定圆的是（） A. 以已知点O为圆心 B. 以1cm长为半径 C. 经过已知点A，且半径为2cm D. 以点O为圆心，1cm为半径 针对练习： 1、与已知点A的距离为3cm的点所组成的平面图形是______. 命题点2判断四点共圆的问题 例2：矩形的四个顶点能否在同一个圆上?如果不在,说明理由;如果在,指出这个圆的圆心和半径. 已知,四边形ABCD是矩形,判断A、B、C、D这四个点能否在同一个圆上?如果不在,说明理由;如果在,指出这个圆的圆心和半径。 证明：连接AC,BD ∵四边形ABCD是矩形对角线AC与BD交于点O ∴ AO=CO=12×ACBO=DO=12×BD ∵四边形ABCD是矩形 ∴ AC=BD (矩形的对角线相等) ∵ AO=CO=12×ACBO=DO=12×BD AC=BD ∴ AO=BO=CO=DO ∵ AO=BO=CO=DO ∴ A、B、C、D这四个点在以点O为圆心,OA为半径的同一个圆上 针对练习： 1、如图，四边形ABCD的一组对角∠ABC、∠ADC都是直角。 求证：A. B. C. D四点在同一个圆上。 知识点2圆的有关概念（重点；理解） （1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦 （2）直径：经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 精心整理 圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 （1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一 对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2 9、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。 则AB=221221)()(y y x x -+- d =r 直线与圆相切。 d 圆 圆 知识点一圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA 叫作半径。第二种：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知 识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为 CD，AB 是弦，且CD⊥AB， C M A B AM=BM 垂足为 M AC =BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M， CD⊥AB AM=BM AC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。人教版数学九年级上册圆知识点总结
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