第一章 图形与证明（二）复习教学案
【知识回顾】
【基础训练】
1.梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 。 2．若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为 度。 3.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为 A ．9cm B ．12cm C ．15cm D ．12cm 或15cm
4.已知梯形的上底长为3cm ，中位线长为5cm ，则此梯形下底长为__________cm ．
2.直角三角形全等的判定：HL 4.等腰梯形的性质和判定 5.中位线 三角形的中位线 梯形的中位线
注意：若等边三角形的边长为a ，则：其高为： ，面积为： 。 1.等腰三角形 等边三角形的性质和判定 等腰三角形的性质和判定 线段的垂直平分线的性质和判定 角的平分线的性质和判定
3.平行四边形
平行四边形的性质和判定：4个判定定理
矩形的性质和判定：3个判定定理 菱形的性质和判定：3个判定定理 正方形的性质和判定：2个判定定理 注注意：（1）中点四边形 ①顺次连接任意四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ②顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是 ；
④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 。 （2）菱形的面积公式：ab S 21= （b a ,是两条对角线的长） 注意：
（1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。 即需要掌握常作的辅助线。
（2）梯形的面积公式：()lh h b a S =+=21（l -中位线长）
5.如图，点P 到∠AOB 两边的距离相等，若∠POB =30°，则 ∠AOB =_____度．
6.如图，要测量A 、B 两点间距离，在O 点打桩，取OA 的中点 C ，OB 的中点D ，测得CD =30米，则AB =______米． 7．平行四边形ABCD 中，AC ，BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ）
A ．AB=BC
B ．AC=BD
C ．AC ⊥B
D D ．AB ⊥BD
8．(08，扬州)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A 、当AB=BC 时，它是菱形 B 、当AC ⊥BD 时，它是菱形 C 、当∠ABC=900时，它是矩形 D 、当AC=BD 时，它是正方形 9.下列条件中不能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）
A.AB=CD ，AD ∥BC
B.AB=CD ，AB ∥CD
C.AB ∥CD ，AD ∥BC
D.AB=CD ，AD=BC
10.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠=
③AB BC = ④AC BD = A ．①③
B ．②③
C ．③④
D ．①②③
11.如图，在四边形ABCD 中，A D ∥
BC ，∠D=90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD 是矩形，你所添加的条件是（ ）．（写出一种情况即可） 12.）如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点0，若再补充一个条件能使菱形ABCD 成为正方形，则这个条件是（ ）（只填一个条件即可）．
13.（08，临沂）如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为
A ． 32
B ． 33
C ． 34
D ． 3 14.顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（ ）.
A
B
C
D 第10题
D
C
第11题
A
D
B
O
第12题
第13题
A.菱形
B.正方形
C.矩形
D.等腰梯形
15．顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是 A ．平行四边形 B ．对角线相等的四边形 C ．矩形. D ．对角线互相垂直的四边形 16.如图所示，有一张一个角为60
拼成的四边形是 （
）
A ．邻边不等的矩形
B ．等腰梯形
C ．有一个角是锐角的菱形
D ．正方形
17.某花木场有一块如等腰梯形ABCD 的空地(如图)，各边的中点分别是E 、F 、G 、H ，
用篱笆围成的四边形EFGH 场地的周长为40cm ，则对角线AC= cm 18.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AC ⊥BD ，AD ＝6,BC ＝8,则梯形的高为 。
19.在梯形ABCD 中,AD ∥BC,对角线AC ⊥BD,且AC=12,BD=9,则此梯形的上下底之和是 （ ） A. 20 B. 21 C.15 D. 12
20. 若等腰梯形ABCD 的上、下底之和为4，且两条对角线所夹锐角为60
，则该等腰梯形的面积为 ．
21.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O E ，为AB 的中点，且
OE a ，则菱形ABCD 的周长为
A ．16a
B ．12a
C ．8a
D ．4a
22.如图，将左边的矩形绕点B 旋转一定角度后，位置如右边的矩形，则∠ABC=___ ___ ．
23.如图，ΔABC 为等腰三角形，把它沿底边BC 翻折后，得到ΔDBC ．
C
A
B
D
第17题
第18题 第21题
请你判断四边形ABDC 的形状，并说出你的理由．
24.如图,已知:在四边形ABFC 中，ACB ∠=90BC ,?的垂直平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且CF=AE
(1)试探究,四边形BECF 是什么特殊的四边形;
(2)当A ∠的大小满足什么条件时,四边形BECF 是正方形?请回答并证明你的结论.
25.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3
26.如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是（ ）
A . DE 是△ABC 的中位线
B . AA '是B
C 边上的中线 C . AA '是BC 边上的高
D . AA '是△ABC 的角平分线
27.如图，矩形ABCD 的两条线段交于点O ，过点O 作AC 的垂线EF,分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE ,已知△CDE 的周长为24cm ，则矩形ABCD 的周长是 cm 。
图，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，求证：ME=MD
28如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD是角平分线，点E、F分别在AC、AD上，且AE=AB，EF∥BC。求证：四边形CDEF是菱形。
29.两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1. 固定△ABC 不动，将△DEF进行如下操作：
(1) 如图11(1)，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积. (2) 如图11(2)，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.
30.将矩形ABCD沿某直线折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE.（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）若将“矩形ABCD”换成“梯形ABCD”上述结论是否仍然成立？若成立，请你归纳一下你的发现与思考。
A
（3）若 4 , 8 ,AB AD ==求BF 、EF 的长。
31.如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD 为菱形，且A （0,3）,B
（-4,0）.
（1）求经过点C 的反比例函数解析式；
（2）设P 是（1）中所求函数图象上的一点，以P 、O 、A 为顶点的三角形的面积与△COD 的面积相等，求点P 的坐标。
32.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DE ，AF ∥DC ，F E 、两点在边BC 上，且四边形AEFD 是平行四边形． （1）AD 与BC 有何等量关系？请说明理由； （2）当DC AB =时，求证：□AEFD 是矩形．
A
D
C
F
E
B
D C B A D 九年级数学 作业 姓名 1、如图，设M ，N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ，CB 的中点，DE 上AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，M 与N 恰好重合，则AE ：BE 等于（ ） A ．2:1 B ．1:2 C ．3:2 D ．2:3 2、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进 行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是（ ） A ．0.5cm B ．1cm C ． 1.5cm D ．2cm 3、如图，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面 积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 。 4、矩形ABCD 中，22 =AB ，将角D 与角C 分别沿过A 和B 的直线 AE 、BF 向内折叠，使点D 、C 重合于点G ，且AGB EGF ∠=∠，则 =AD ． 5、已知平行四边形A B C D ，AD a AB b ABC α===，，∠．点F 为线段B C 上一点（端点 B C ，除外），连结A F A C ，，连结D F ，并延长D F 交A B 的延长线于点E ，连结C E ． （1）当F 为B C 的中点时，求证E F C △与A B F △的面积相等； （2）当F 为B C 上任意一点时，E F C △与A B F △的面积还相等吗？说明理由． 左 右 左 右 第二次折叠 第一次折叠 图1 图2
6、在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等； （1） 根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有 组； （2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线； （3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？ 7、如图：把一个矩形如图折叠，使顶点B 和D 重合，折痕为EF 。（1）找出全等三角形；（2）△DEF 是什么三角形,并证明；（3）连接BE ，判断四边形BEDF 是什么特殊四边形，BD 与EF 有什么关系？并证明。 8、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）．（1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式；（2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由． A B C D A B C D D C B A P C Q B
北师大九年级（上）第一章证明（二）单元测试 必做题（24个题，共100分） 12、如图6,已知AABC 。（1）如图①若P 点是ZABC 和ZACB 的角平分线的交点，则ZP 二90° ZA ； （2）如 图②，若P 点是ZABC 和外角ZACE 的角平分线的交 点， 则ZP 二*ZA ； （3）如图③，若P 点是外角 ZCBF 和ZBCE 的和平分线的交点，贝IJ ZP=90° -|ZAo 上述说法正确的是（） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 二、填空（4'x8 = 32‘） 13、若AABC 为直角三角形，两条直角边BC 二7, AC 二24,在AABC 内有一点P,且点P 到各边的距离相等，贝0 —、精心选一选（3'xl2 = 36‘） 卜列命题中，正确的命题是（ ） A 、等腰三角形一定是锐角三角形 B 、等腰三角形的腰长总大于底边长 C 、等腰三角形底角的外角一?定是钝角 D 、顶角相等的两个等腰三角形是全等三角形 等腰三角形周长为13cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的底边长为（ A^ 7 cm B> 3cm C 、7cm 或 3cm 如图1,在Z\ABC 中，ZC=90°, ZB=30°, AB 的垂直平分线 DE 交BC 于点D,点E 为垂足，若BD=10cm,则AC 等于（ 1、 2、 D 、5cm A. 10cm B 、 8cm C 、5 V3 cm D 、 25cm 4、 在Z\ABC 中，AB=AC, ZA 二50° , ZPBC=ZPCA,那么ZBPC 等于（ A 、 100° 5、如图2,在正方形ABCD 中点E, B 、115° EF=3, AF 二5,那么正方形ABCD 的面积等于（ P 为ZXAB C 内任一点， ） C 、130° F 分别在边 BC 、CD±, H. D 、65° 如果 D 256 匕IT c 256 °、 6、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是 A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、肓角三角形 D 、不能确定 等腰三角形的底角为15°,腰长为a,则此三角形的面积为（ ） B 、-a 2 C 、-a 2 2 4 如图3, AB=AC=BD 那么Zl, Z2之间关系满足（ B 、2Z1 + Z2 = 18O° D 、3Z1-Z2=18O° 一腰上的屮线把夷周长分为两部分， 7、 8、 9、 a, A 、a 2 D 、非以上答案 A 、Z1 = 2Z2 C 、Zl + 3Z2=180° 等腰三用形底边长为5cm, 其差为3cm,则腰长为（） As 2cm 8cm C 、 2cm 或 8cm D^ 7cm 10、 如图4, E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD ±的点，且CD=DF, AE 、BF 相交于点0,下列结论①AE 二BF ；②AE 丄BF ；③A0二0E ； @S A AOB = S 四娠DEOF ， 错误的冇（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 11、 已知：如图5, AEBD 是以正方形ABCD 的对角线BD 为一边的止三角形, EF 丄DA 于F, ZAEF 的度数是（ ） A 、 15° B 、 30° C 、 45° D 、60° ) D F C 图4 图 C E
证明题： 1. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间()l l ,-上的，证明： 两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数； 证：设)()()(x g x f x F +=，如果)(x f 和)(x g 都是偶函数，则 )()()()()()(x F x g x f x g x f x F =+=-+-=-， 所以)(x F 为偶函数，即两个偶函数的和是偶函数； 如果)(x f 和)(x g 都是奇函数，则 )()()()()()(x F x g x f x g x f x F -=--=-+-=-， 所以)(x F 为奇函数，即两个奇函数的和是奇函数。 2. 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且a a f <)(，b b f >)(， 证明：存在),(b a ∈ξ，使得ξξ=)(f 。 证：构造辅助函数x x f x F -=)()(，易见)(x F 在],[b a 上连续，且 0)()(<-=a a f a F ，0)()(>-=b b f b F ， 由零点定理知，存在),(b a ∈ξ，使0)()(=-=ξξξf F ，即ξξ=)(f 。 3. 证明方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间。 证：令13)(5--=x x x f ，显然)(x f 在]2,1[上连续，又03)1(<-=f ，025)2(>=f ， 由零点定理知，至少存在一点)2,1(∈ξ，使得：0)(=ξf ， 即方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间。 4. 证明方程0sin 1=++x x 在区间??? ? ?-2,2ππ内至少有一个根。 证：设x x x f sin 1)(++=，则)(x f 在区间??? ??- 2,2ππ内连续， ∵ 01212<--=??? ??-ππf ，01212>++=?? ? ??ππf ，
第一讲：图形的旋转 一、旋转的有关概念： 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做__________，转动的角叫做__________，如果图形上的点P经过旋转变为点'P，那么这两个点叫做这个旋转的__________．(如图) 注意：⑴研究旋转问题应把握三个元素：__________与__________、__________． ⑵每一组对应点所构成的旋转角__________． 例1如图，把四边形AOBC绕点O旋转得到四边形DOEF. 在这个旋转过程中： （1）旋转中心是谁? （2）旋转方向如何? （3）经过旋转,点A、B的对应点分别是谁？ （4）图中哪个角是旋转角？ （5）四边形AOBC与四边形DOEF的形状、大小有何关系？ （6） AO与DO的长度有什么关系？ BO与EO呢？ （7）∠AOD与∠BOE的大小有什么关系？ 二、旋转的性质： ①旋转后的图形与原图形是__________的；(进而得到相等的线段、相等的角) ②旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离__________；(进而得到等腰三角形) ③对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于__________；(若特殊角则得
到等边三角形、等腰直角三角形) 例题2： (1)如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置． ①试说出旋转中心、旋转方向及旋转角度. ②∠DAE等于多少度？ ③△DAE是什么三角形？ ④如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ (2)如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转后到△ACP位置，已知AD=3,BD=4,CD=5,则∠ADB为多少度？ 例题3 如图，已知点O和点P ，请按要求作图： （1）画出点P绕点O顺时针旋转45°后的对应点P1；
27.1 图形的相似（第1课时）总 1 课时 一、教学目标：通过对事物的图形的观察、思考与分析，认识理解相似的图形。 二、重点难点：认识图形的相似、形成图形相似的概念。 三、学情分析：在现实世界中广泛存在着图形相似的现象，探究相似图形一些重要性质的过程，使学生更好的认识、描述形状相同的物体，体会相似图形在刻画现实世界中重要作用；在解决实际问题中，发展学生数学应用意识和合作交流能力。 四、自主探究 问题一： 1、相似图形的定义？ 2、请举例说明我们生活中相似图形的实例。 问题二： 1、两个相似图形之间有什么关系？ 2、思考 （1）放大镜下的图形和原来的图形相似吗？ （2）人站在平面镜前看到的镜像及哈哈镜里看到的镜像，它们相似吗？为什么？ 问题三：全等形与相似图形之间有什么关系？ 五、尝试应用 1、下图中的哪组图形是相似图形（） 2、观察图27-1-6中图形（a）—(g)，其中哪些是与图形（1）、（2）、（3）相似的。
3、如图，在4×4的正方形网格上，有一△ABC 。现要求再画一△A’B’C’，使这两个三角形相似(非全等)。 六、补偿提高 1、（教材P37练习第2题变式题）观察下列各个图形，找出其中相似的图形。 2、如图所示，左侧上海名牌大众汽车的标志图案，与右侧A 、B 、C 、D 四个图形中相似的是（ ） 3、下列是相似图形的有( ) A. 两个三角形 B. 两个正方形 C. 两个直角三角形 D. 两个矩形 4、如图，作出与方格纸中的图形相似的图形，使点A 与A ′对应，且所画的图形是原图形的2倍。 七、小结与作业 八、教学后记： 九、学生出勤： C B A
八年级下册数学第一章《证明二》章节复习 专题一、全等三角形 知识整理 1、全等三角形的判定 公理①：三边的两个三角形全等；公理②：两边及其夹角的两个三角形全等；公理③：的两个三角形全等；推论：的两个三角形全等。2、全等三角形的性质公理：全等三角形的对应边、对应角。 典例分析 例1、（2010年吉林）如图△1，在ABC中，∠ACB=90°，AC=ＢＣ，CE⊥BE，CE与AB 相交于点F，AD⊥CF，垂足为D，且AD平分∠FAC，请写出图中的两对全等三角形，并选择其中一对加以证明。 A C 例2、已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE.(两种方法)D F E B 专题二、等腰三角形 知识整理 1、等腰三角形的性质：（1）定理：等腰三角形的两个底角，简称“”；（2）推论：等腰三角形的顶角平分线、、互相重合，简称“”； 2、等腰三角形的判定：的三角形是等腰三角形，简称“”； 3、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角，且每个内角都等于。 4、等边三角形的判定：（1）有一个角为60°的是等边三角形； （2）三个角都的三角形是等边三角形。 典例分析 例1、已知：如图，AB=AC,D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的 延长线交CA的延长线于点△F.求证：ADF△是等腰三角形． 例△2、如图，在ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，求∠ABC 的度数
A 例 3、 如下图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是 AC 上任意一点（M 与 A 不重合）MD ⊥BC ， 交∠BAC 的平分线于点 D ，求证：MD =MA . 例 4、如图，在 △Rt ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点 D 是 AC 的中点，将一块锐角为 45° 的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与 A 、D 重合，连接 BE 、EC ．试猜 想线段 BE 和 EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想． 例 △5、如右图，已知 ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE =CD. 例 6、如图，以等腰直角三角形 A BC 的斜边 AB 为边作等边△ABD ， 连接 DC ，以 DC 为边作等边 △DCE ，B 、E 在 C 、D 的同侧， 若 AB= 2 ，求 BE 的长. 例 7、如图 1、图 △2， AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o， （1）在图 1 中，AC 与 BD 相等吗？请说明理由（4 分） （△2）若 COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达图 2 的位置，请问 AC 与 BD 还相 等吗？为什么？（8 分） B B D C D A C 图 1 O O 图 2 例 △8、如图，在 ABC 中，AB=AC 、D 是 AB 上一点，E 是 AC 延长线上一点，且 CE=BD ，连结 DE 交 BC 于 F 。（1）猜想 DF 与 EF 的大小关系；（2）请证明你的猜想。
第一部分：基础复习 九年级数学(上) 第一章：证明(二) 一、中考要求： 1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，发展学生初步的演绎推理能力． 2．进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义． 3．了解作为证明基础的几条公理的内容，能够证明与三角形、线段垂直平分线、角平分线等有关的性质、定理及判定定理． 4．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立．5．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线；已知底边及底边上的高，能用尺规作出等腰三角形 二、中考卷研究 (一)中考对知识点的考查： 2012、2013年部分省市课标中考涉及的知识点如下表: (二)中考热点： 新课标对本章的要求不高，但比较简单的几何证明题仍是2014年中考的热点题型 三、中考命题趋势及复习对策 本章主要考查对命题、定理等概念的理解及运用定义、定理证明问题的过程，在中考题中以证明题的形式出现，一般占5～7分，因此同学们在复习时应注意认真理解概念，分清题目的条件和结论，正确地写出证明过程。 ★★★(I)考点突破★★★ 考点1：利用定理证明 一、考点讲解： 公理1、一直线截两条平行线所得的同位角相等， 公理2．两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行． 公理3．若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹 边，或三边）分别相等，则这两个三角形全 等． 公理4．全等三角形的对应边相等，对应角相等．定理1.平行线的性质定理：两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补． 定理2．平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行． 定理3．三角形的内角和定理及推论：三角形的内角和等于180°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．定理4．直角三角形全等的判断定理：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等． 定理5．角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心） 定理6．垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心） 定理7．三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理8、等腰三角形，等边三角形，直角三角形的性质和判定定理． 二、经典考题剖析 ： 【考题1－1】（深圳南山）如图l－l－1，AB、CD交于点E，AD=AE，CB=CE，F、G、H分别是DE、BE、AC的中点． （1）求证：AF⊥DE； （2）求证：FH= GH． 证明：
P ′C D B A 《图形的旋转》导学案设计 23.1图形的旋转（一） 一、简介： 《图形的旋转》是人教版九年级上册第二十三章的内容。在教学设计的过程中，是以省级课题《构建初中数学高效课堂模式》的《五步教学》为蓝本来设计的。“五步教学法”以“导学——自学——助学——强化——评价”五步组成，就是将“先讲后练”的传统教学模式转换成"先学后讲"的教学模式。 二、教学过程 《一》导学 1、引入新课：运用课件欣赏日常生活中一些物体的旋转现象，如旋转的风车、旋转的钟面、飞驰的车轮等，然后让学生根据上述现象用一个动词进行概括引入新课。 （设计说明：借助课件，用生活中常见的事例引入新课，既可以激发学生的学习兴趣，把学生迅速的的引入课堂中，又能引导学生用数学的眼光看待生活中的事物，认识到生活中处处都有数学） 2、学习目标： （1）、了解生活中广泛存在的旋转现象； （2）、掌握旋转的有关概念，理解旋转变换也是图形的一种基本变换； （3）、知道旋转的性质，会运用旋转的性质解决实际问题。 （设计说明：学习目标的展示，是为了让学生对这节课所学的知识有个整体认识，知道这节课即将学习哪些内容，要掌握哪些知识，让学生做到心中有数，不至于无的放矢。学习目标是属于课前预设性目标，是学生对这堂课的一个浅性认识阶段。） 3、重点：旋转的有关概念 难点：理解并运用旋转的性质 （设计说明：这节内容是在学生学了平移、轴对称这两种图形的基本变换之后学习的，学生已经有一定的认知基础，所以确定旋转的概念是本节课的重点，难点是性质的运用。在“五步教学”中，明确学习的重难点，是为了让学生进一步明确学习目标，知道这些是我们学习的最终目标。在教学中，重难点的突破是随着教学活动的展开而逐步实现的，就这要求教师必须具备高度的应变能力。） 《二》分层学习 第一层次学习 1、自学指导： （1）、自学内容：预习p56——57页归纳之前的内容（2）、自学时间：约4分钟 （3）、自学方法：观察生活中物体的旋转现象，体会旋转过程，形成旋转概念的感性认识。 （4）、自学参考提纲： ①、旋转的概念____________________________。②、从课文中的思考实例可以看出：图形的旋转三要素是 ________,_________,______。③、如图，点P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 旋转到 △CBP ′的位置时，其旋转中心是______，旋转角为________，旋转方向为_______。
1等腰三角形 知识点1 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简述为等边对等角)． 用符号语言表示为:如图1-1所示，在△ABC 中,∵AB =AC ,∴∠B =∠Ｃ． 定理的证明: 取BC 的中点Ｄ,连接AD ． ∵(),()()AB AC BD CD AD AD =??=??=? 已知中点定义，公共边，∴△ABD ≌△ＡCD (ＳSS). ∴∠B =∠C （全等三角形的对应角相等）． 定理的作用:证明同一个三角形中的两个内角相等. 拓展 等腰三角形还具有其他性质. (1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°. (2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角. (3)等腰三角形的三边关系:设腰长为a ,底边长为b ,则2 b ＜a ． (4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A ，底角为∠B ，∠C ,则∠A =1８0°－∠B -∠C ＝１80°-2∠B ＝１8０°-２∠C . 知识点２ 等腰三角形的性质定理的推论 推论１:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”）. （１）用符号语言表示为:如图1－3所示, ①在△A ＢC 中，∵AB ＝AC ，∠1＝∠2,∴ＡD ⊥BC ．BD =DC ; ②在△ABC 中，∵A Ｂ＝AC ，A Ｄ⊥B Ｃ,∴∠1=∠２,BD =DC ； ③在△ＡB Ｃ中,∵ＡＢ=AC ,BD ＝DC ，∴∠1＝∠２,A Ｄ⊥ＢC ． （2)推论1的证明． ①在△A ＢC 中，∵AB ＝AC ,∠1=∠２,ＡD ＝AD ， ∴△ABD ≌△AC Ｄ(ＳＡS)． ∴BD =ＤC ，∠ＡＤB ＝∠ADC ＝90°.∴AD ⊥BC . ②在△ＡBC 中，∵A Ｄ⊥ＢC ，∴∠AD Ｂ＝∠ADC =9０°．
B C 九年级数学 作业 1、已知：菱形ABCD 中，对角线AC = 16 cm ，BE ⊥BC 于点E ，则BE 的长.为 。 2、直角梯形的一条对角线把梯形分成两个三角形， 其中一个是边长为4的等边三角形，那么梯形的中位 线长为 。 3、如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩 形的一个角沿折痕AE 翻折上去，使AB 和AD 边上的AF 重合， 则四边形ABEF 就是一个最大的正方形，他的判定方法是 。 4、下列图形：线段、正三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的共有 （ ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ） 6个 5、如图，△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形，且PA ⊥PD.有下列四个结论：①∠PBC ＝15°;②AD ∥BC ；③直线PC 与AB 垂直；④四边形ABCD 是轴对称图形.其中正确 的结论的个数为 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=12，BD=9， 则该梯形两腰中点的连线EF 长是（ ） A 、10 B 、2 21 C 、2 15 D 、12 7、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DBC=45o。翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E 。若AD=2，BC=8， 求：（1）BE 的长。（2）CD ：DE 的值。 C F B E A D C B A D P D B C A E F C D B A E F
石桥二中导学案（2015秋） 使用教师：学科：数学教学内容：第二十七章“相似”分析时间：2015.12.6 年级：九主备教师：备课组长签名：
使用教师 学科 数学 教学内容 27.1图形的相似（1） 时间 2015年12月7日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 维 目 标 1．知识与能力: 从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．了解成比例线段的概念，会确定线段的比． 2．过程与方法：经历探索、发现、创造、交流等丰富多彩的数学游戏活动，发展学生的数学能力和审美观. 3．情感态度与价值观: 使学生学会从数学的角度认识世界，解释生活、逐步形成“数学地思维”的习惯；以“生活中的数学”为载体，使学生体会相似图形的神奇，养成“学数学、用数学”的意识，培养学生的动手操作能力和创新精神. 重、难点： 重点：相似图形的概念与成比例线段的概念． 难点：成比例线段概念． 教法与学法指导 一、自主预习 1 、请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能 对观察到的图片特点进行归纳吗？ (课本图 27.1-1)( 课本图27.1-2) 2 、什么是相似图形? 3 、思考：如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗? 二、合作探究 1．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB 和CD ，那么这两条线段的比是多少？ 归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比． 2、成比例线段： 对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如d c b a =（即ad=b c ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d 成比例，记作d c b a =或a:b=c:d ；（4）若四条线段满足d c b a =，则有ad=b c ． 三、归纳反思 ⑴这节课我学会了： ⑵易错点： ⑶这节课还存在的疑问： 四、达标测评 1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？ 2、填空题 形状 的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的 或 而得到的。 3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽， （1）（小）长是_______cm ，宽是_______cm ； （大）长是_______cm ，宽是_______cm ； （2）（小）=长宽 ；（大）=长宽 ． （3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？ 4．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm ，那么福州与上海之间的实际距离是多少？ 5．AB 两地的实际距离为2500m ，在一张平面图上的距离是5cm ，那么这张平面地图的比例尺是多少？ 6.下列说法正确的是（ ） A ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似. B ．商店新买来的一副三角板是相似的. C ．所有的课本都是相似的. D ．国旗的五角星都是相似的. 7. 下列说法中，错误的是（ ） A.放大镜下看到的图象与原图象的形状相同 B.哈哈镜中人像与真人的形状是相同的 C.显微镜下看到的图象与原图象的形状相同 D.放大一万倍的物体与它本身的形状是相同的 教法与学法指导 观察图片，体会相似图形 小组讨论、交流．得到相似图形的概念 观察思考，小组讨论回答 教学反思：
本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 第一章 图形与证明（二） 【知识回顾】 【基础训练】 1.（08，盐城）梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 。 2．（08，南京）若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为 度。 3.（08，乌鲁木齐）某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为 A ．9cm B ．12cm C ．15cm D ．12cm 或15cm 4.已知梯形的上底长为3cm ，中位线长为5cm ，则此梯形下底长为__________cm ． 5.（08，梅州）如图，点P 到∠AOB 两边的距离相等，若∠POB =30°，则 ∠AOB =_____度． 2.直角三角形全等的判定：HL 4.等腰梯形的性质和判定 5.中位线 三角形的中位线 梯形的中位线 注意：若等边三角形的边长为a ，则：其高为： ，面积为： 。 1.等腰三角形 等边三角形的性质和判定 等腰三角形的性质和判定 线段的垂直平分线的性质和判定 角的平分线的性质和判定 3.平行四边形 平行四边形的性质和判定：4个判定定理 矩形的性质和判定：3个判定定理 菱形的性质和判定：3个判定定理 正方形的性质和判定：2个判定定理 注注意：（1）中点四边形 ①顺次连接任意四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ②顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 。 （2）菱形的面积公式：ab S 21= （b a ,是两条对角线的长） 注意： （1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。 即需要掌握常作的辅助线。 （2）梯形的面积公式： ()lh h b a S =+=21（l -中位线长）
. 第一章图形与证明复习题（1） 一、基础练习 1、若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是正方形，那么这个四边形的对角线 A 、互相垂直 B 、相等 C 、互相平分 D 、互相垂直且相等 ( ) 2、如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，下列结论不正确．．． 的是( ) A 、BF= 2 1 DF B 、S △FAD =2S △FBE C 、四边形AECD 是等腰梯形 D 、∠AEB=∠ADC ， 3、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ． B ． C ．3 D 4、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，中位线EF 与对角线AC 、BD 交于M 、N 两点，若EF=18㎝，MN=8㎝，则AB 的长等于 。 5、如图，直线L 过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线L 的距离分别是1和2，则正方形的边长是 。 二、例题精讲 例１、如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处， (1)求证：B ′E=BF ； (2)设AE=a ，AB=b, BF=c,试猜想a 、b 、c 之间有何数量关系，并给予证明. 例2、如图在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ＝10 3 ，AD 、BC 的长是x 2 -20x+75=0方程的两根，判断以点D 为圆心、AD 长为半径的圆与以C 圆心BC 为半径的圆的位置关系 。 例３、问题探究 21 L D C B A 第5题图 N M F E D C B A 第4题图 A D E P B C A C A B C D E F A ′ B ′
第一讲等腰与等边三角形 【优秀学生必知的数学那点事】 等腰三角形 1、定义：有两条边相等的三角形称为等腰三角形。 2、等腰三角形是三角形家族中最为匀称、俏丽的成员，等腰三角形的基本性质有： ①等腰三角形的底角相等且必为锐角。即为“等边对等角”。 ②等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的平分线重合。即有“三线合一”，且重心，外心，内心，垂心共线。 ③等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高所在的直线，这条直线把等腰三角形分成两部分，以这条直线为轴，把其中一部分翻转，能使两部分重合，两个底角也重合在一起。 等边三角形 1、等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°. 2、等边三角形每条边上的中线、高线和所对的角平分互相重合。（三线合一） 3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。 4、等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。 5、等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。（等于其高） 6、等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。（等边三角形是特殊的等腰三角形） 【精选精讲】 例题1.如图所示，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在三边上，且CE=BD，CD=BF,若∠A=40°，求∠EDF。
例题2、如图，△ABC 中，∠B=2∠C ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，求证：AB+BD=AC 例题3、如图，在△ABC 中，AB=3AC ，∠A 的平分线交BC 于点D ，过B 作BE ⊥AD ， 垂足为E ，求证：AD=DE 。 【基础达标】 1、等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ） A 、30° B 、30°或150° C 、120°或150° D 、30°或120°或150° 2、等腰三角形的周长为a cm,一腰的中线将周长分成5:3，则三角形的底边长为（ ） A 、6a B 、a 53 C 、a a 536或 D 、a 5 4 3、如图3，△ABC 中，AB=AC ，D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，若BD=CE ，CD=BF ，则∠EDF 等于（ ） A 、90°－2 1∠A B 、90°－∠A C 、180°－∠A D 、180°－2∠A
第二十三章旋转 单元要点分析 教学内容 1．主要内容： 图形的旋转及其有关概念：包括旋转、旋转中心、旋转角．图形旋转的有关性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．通过不同形式的旋转，设计图案．中心对称及其有关概念：中心对称、对称中心、关于中心的对称点；关于中心对称的两个图形．中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；关于中心对称的两个图形是全等图形．中心对称图形：概念及性质：包括中心对称图形、对称中心．关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号都相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）．课题学习．图案设计． 2．本单元在教材中的地位与作用： 学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步积累了一定的图形变换数学活动经验．本章在此基础上，让学生进行观察、分析、画图、简单图案的欣赏与设计等操作性活动形成图形旋转概念．它又对今后继续学习数学，尤其是几何，包括圆等内容的学习起着桥梁铺垫之作用． 教学目标 1．知识与技能 了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质． 了解中心对称的概念并理解它的基本性质． 了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法． 2．过程与方法 （1）让学生感受生活中的几何，?通过不同的情景设计归纳出图形旋转的有关概念，并用这些概念来解决一些问题． （2）?通过复习图形旋转的有关概念从中归纳出“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等”等重要性质，并运用它解决一些实际问题． （3）经历复习图形的旋转的有关概念和性质，分析不同的旋转中心，?不同的旋转角，出现不同的效果并对各种情况进行分类． （4）复习对称轴和轴对称图形的有关概念，?通过知识迁移讲授中心对称图形和对称中心的有关内容，并附加练习巩固这个内容．
图形相似全章总复习 夯实基础 1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段； 2、掌握黄金分割的定义、性质及应用； 3、理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念；熟练掌握三角形相似的判定方法以及 相似三角形的性质，并能够运用性质与判定解决有关问题； 4、了解位似的概念，做的位似是特殊的相似变换，会利用位似的方法，讲一个图形放大 或缩小； 5、了解平行投影和中心投影的基本概念与性质，能综合运用图形相似的知识解决一些简 单的实际问题. 要点一、比例线段及黄金分割 1.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 要点诠释： （1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项） （2）若a:b=b:c，则b2=ac（b称为a、c的比例中项）． 2.黄金分割的定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大 段的长度与全长之比，即 AB AP AP PB （此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割． 3. 黄金矩形与黄金三角形： 黄金矩形：若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形. 黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄 金三角形． 黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割． 要点二、相似图形 1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等. 2.相似多边形 各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比. 要点三、相似三角形 1.相似三角形的判定: 判定方法（一）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似. 判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 要点诠释： 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，
图形与证明二复习教学案 教案 Updated by Jack on December 25,2020 at 10:00 am
第一章图形与证明（二）复习教学案 一、知识回顾： [1]等腰三角形的性质和判定（1） 1、等腰三角形的性质定理。 定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）2 文学语言图形符号语言 等边对等角在∵＿＿＿＿＿＿＿＿； ∴＿＿＿＿＿＿＿＿。 三线合一（（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD ＿∴＿＿＿，＿＿＿＿＿。 （2）∵＿＿＿，＿＿＿＿＿ ∴＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。（（3）∵＿＿＿，＿＿＿＿ ∴∴＿＿＿＿＿，＿＿＿＿。 3 ∵_________________________ ∴_________________________ 4、三角形中位线： 图形：几何语言：∵__________________________________ ∴__________________________________ 三角形中位线性质：__________________________________________ [2] 直角三角形的全等判定 1、全等三角形判定定理： （1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（） （2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（） （3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（） （4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（） 2、角平分线性质：＿＿＿＿＿＿＿＿角平分线判定：＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿ ∵_________________________ ∵ _________________________ ∴_________________________ ∴_________________________ [3] 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定 1、平行四边形的三条性质：__________________________________________
九年级证明(二)测试题 (时间90分钟满分120分) 班级姓名学号成绩 一、选择题(每小题3分，共15分) 1、两个直角三角形全等的条件是（） A、一锐角对应相等 B、两锐角对应相等 C、一条边对应相等 D、两条边对应相等 2、如下图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（） A、SAS B、ASA C、AAS D、SSS 3、如下图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（） A.45° B.55° C.60° D.75° (第2题图) (第3题图) 4、如下图，△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交CB边于D，若AB=10，AC=5，则图 中等于30°的角的个数为（） A、2 B、3 C、4 D、5 5、如右下图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（） A、30° B、36° C、45° D、70° (第4题图) (第5题图) 二、填空题(每小题4分，共40分) 6、一辆汽车沿30°角的山坡从山底开到山顶，共走了4000米，则此山的高度为米． 7、“面积相等的两个三角形全等”的逆命题 是．逆命题是命题。（真或假） 8、如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是度.
9、如下图，点F 、C 在线段BE 上，且∠1=∠2，BC=EF ，若要使△ABC ≌△DEF ，则还须补充 一个条件 (第9题图) (第10题图) (第12题图) 10、如上图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，CD 与BE 相交于点O ，且AD=AE ，AB=AC 。若∠B=20°，则∠C= °. 11、在△ABC 中，AB=5cm ，BC=6cm ，BC 边上的中线AD=4cm ，则∠ADC 的度数是 度. 12、如上图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，AC 的垂直平分线MN 与AB 交于D 点，则∠BCD 的度数为 . 13、如下图，在△ABC 中，∠C=90o，∠B=30o，AD 是∠BAC 的平分线，已知AB=43，那么AD=______ 14、边长为4的等边三角形的内有一点0，那么0到三角形各边的距离之和为 15、如右下图，△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BD ∶DC=2∶1，BC=5.4cm ，则D 到AB 的距离为 cm 。 (第13题图) (第15题图) 三、解答题：（共65分） 16、.如右图所示，△ABC 中，∠ACB =90，CD ⊥AB ，垂足是D ，∠A =60°.求证： BD =3AD .（7分） D A B