第十章
10-1 试证式（10-1-8）。 证明 电流元向外的辐射功率为
()??=s c r s S d Re P ??=s r r
r r
l ZI θφθλθ
d d sin 4sin 222222
e e θθλφπ
π
d sin 4d 30
2
2220?
?=l ZI 2
232??
? ??=λπl I Z 已知真空的波阻抗π1200=Z ，则辐射功率为
2
2280??
? ??=λπP l I r
10-2 直接根据电流元的电流及电荷)j (q I ω=计算电流元的电场强度及磁场强度。
解 建立球面坐标，将电流元置于坐标原点，且沿z 轴放置，即电流元为Il e z ，如习题图10-2所示。
已知电场强度与标 量位及矢量位的关系为
Φω?--=A E j
式中
kr
z
e r
Il j 04-=πμe A -
-+--+-
=r qe r qe kr kr 0j 0j 44πεπεΦ 由于l << r ，距离r +和r -可取下列近似值:
θcos 2
l
r r -≈+;
θcos 2
l
r r +≈-
那么
?
???
??????+--=--θθπεΦθθcos 21cos 214cos 2j cos 2j 0j r l e
r l e r qe l k l k kr
再考虑到l << r 及l << λ，利用泰勒展开式：
习题图10-2解
r
l I ⊕ x
y
z
q + q -
r + r -
θ
P
()() +-''+-'+=00000)(!
21
)()()(x x x f x x x f x f x f 将上式中各项在零点展开，且仅取前两项，即
θθcos 2
j 1cos 2
j l
k e
l
k +≈；
θθcos 2
j 1cos 2
j -l
k
e
l
k -≈ θθcos 21cos 211
r
l
r
l
+
≈-
； θθcos 21cos 211r
l
r
l
-
≈+ 那么，得
?
????
???? ??-??? ??--??? ??+??? ??+=-θθθθπεΦcos 21cos 2j 1cos 21cos 2j 140j r l l k r l l k r qe kr 整理后，得
??
????+=
-r l kl r
qe kr j 4cos 0j πεθ
Φ 则在球坐标系中，标量位的梯度为
θπεθ
πεθΦe e ?????
?
+-???? ??--=?----r l kl r qe r le r e kl l k r e q kr r kr kr kr j 4sin 22j 4cos 2
0j 3j 2j 2j 0 矢量位各个分量为
θπμcos 4j 0kr r e r Il A -=；θπμθsin 4j 0kr e r
Il
A --=；0=?A
将上述结果代入前式，最后求得电场强度为
??
????+-???
? ??---+-=------r l kl r qe r le r e kl l k r e q e r Il
e r Il kr kr kr kr r kr kr r j 4sin 22j 4cos sin 4j cos 4j 2
0j 3j 2j 2j 0j 0j 0πεθ
πεθθπμωθπμωθ
θe e e e E
再将电荷ω
j I q =代入，得电场强度的各个分量为
kr r e r k r k Il k E j 332203112cos j
-??
????+-=ω
πεθ kr
e r k r k kr Il k E j 3322031114sin j -??
? ??++--=ωπεθθ
利用麦克斯韦方程，H E ωμj -=??，即可求出对应的磁场分量为
1j
4sin j 222==??
? ??+=
-r kr H H e
r k kr Il k H θφπ
θ 由上可见，直接根据电流和电荷也可求出电流元的电场强度和磁场强度。但是，显然与教材中先根据电流利用矢量位计算磁场强度的方法比较，该习题采用的方法较繁。
10-3 计算电流元的方向性系数及辐射电阻。
解 已知电流元的归一化方向性因子为()θφθsin ,=F ，则其方向系数为
()?
?=
π
π
θ
θφθφπ
20
2d sin ,d 4F D 5.1d sin 2
3
==
?
π
θ
θ
由题10-1知，电流元的辐射功率为2
2280???
??=P λπl I r ，
那么，电流元的辐射电阻为
2I R r
r P =2
2
80??
?
??=λπl
10-4 已知电流元l I I y e l =，试求其远区电场强度及磁场强度。
解 由于电流元为Il I y e l =，则产生的矢量磁位为
kr
y
y y r
Il A j e 4-==πμe e A 相应的各球面坐标分量为
φφθφθφθcos ,
sin cos ,
sin sin y y y r A A A A A A ===
则磁场强度为
()()()???
?????-??+????????-??+??
??????-??
=
??=
θμφθμφθθθ
μμ
θφφθθφr r r
A rA r
r rA r A r A A r e e e A H sin 1sin sin 1
()φθφπφθsin cos cos j 1e 4j e e -??
?
??+=
-k r r Il kr 对于远区场仅需考虑与r 一次方成反比的分量，则远区磁场强度为
()kr r
Il
j e sin cos cos j
--=φθφλφθe e H 又知远区场是沿正r e 方向传播的TEM 波，则远区电场强度为
r Z e H E ?=()kr r
ZIl
j e sin cos cos j
-+-=φθφλθφe e 10-5 试证对于远区，矢量位A 及F 可以表示为
???
???
?
==--L
r F N r A kr kr r r
j j e 4)(e 4)(πεπμ 式中N 及L 称为辐射矢量，它们与电流密度J 及磁流密度J m 的关系分别为
??
?
??''='
'=''??V V r k r k d e )( d e )( cos j cos j θ
θr J L r J N V m V 解 已知电流J (r )产生的矢量磁位为
()()V v k ''
-'=?'
--d e 4j r r r J r A r
r πμ 对于远区，因r r '>>，可以近似认为r r '-与r 平行，那么
θcos r r '-≈'-r r ，
r
1
1≈'-r r 其中θ为r 与z 轴之间的夹角，则
()()?''='-v
r k kr
V r d e 4e cos j j θπμr J r A 令
()?''='v
r k V d e cos j θr J N
得
()N r A r
kr
πμ4e j -=
已知磁流J m
(r )产生的矢量电位为
()()()?'''=v
m V G d ,0r r r J r F ε
同理，对于远区矢量电位可以近似表示为
()()?''=
'-v r k m kr V r
d e e 4cos j j θ
πεr J r F 令
()?''='v
r k m V d e cos j θr J L
得
()L r F kr
r
j e 4-=
πε
10-6 试证式（10-3-4）。
证明 若周围媒质为真空，波阻抗π1200=Z ，则对称天线的远区电场强度为
?-'-'=L
L z k kr z r
I E d e e 2sin 120j
cos j j θ
θλθπ
式中()[]z L k I I m '-=s in ，则
()[]?-'-''-=L
L z k kr m z r
z L k I E d e e 2sin sin 120j
cos j j θθλθ
π
()[]()[]z z l k z z l k r
I r k L
z k L kr m ''++''-='-'-??d e sin d e sin e sin 60j
cos j 0cos j 0j θ
θλθπ()[]()
z z l k r
I z k z k L kr m '+'-='-'-?d e e sin e sin 60j cos j cos j 0j θ
θλθπ ()[]()z z k z l k r
I L
kr m '''-=?-d cos cos sin 2e sin 60j
0j θλθπ 令()()z z k z l k I L '''-=?d cos cos sin 0
θ，由分部积分法可得
()()θ
θsin cos cos cos k kL kL I -=
则
()()kr
m kL kL r I j e sin cos cos cos 60j
--=θ
θθE
10-7 若长度为2l 的短对称天线的电流分布可以近似地
表示为???
?
?-=l z I z I ||1)(0，λ< 阻及方向性系数。 解 对称天线的远区电场为 ?-' -'' =l l r k z r ZI E d e 2sin j j λθθ 对于远区，因l r >>'，可以认为 r r 1 1≈'， θcos z r r '-=' 将()??? ? ??-=l z I z I 10代入，得 ?-'-???? ??-=l l z k kr z r l z ZI E d e e 2sin 1j cos j j 0θθλθ ()kr lk kl r ZI j 220e cos cos cos 1sin j --=θ θλθ 由于l >>λ，则()()2 cos 2 11cos cos θθkl kl -≈。已知真空波 阻抗π1200=Z ，则该天线远区电场强度为 kr r l I E j 0e sin 60j -=λθπθ 远区磁场磁场为 == 0Z E H θφkr r l I j 0e 2sin j -λθ 可见，这种短对称天线的场强与电流元完全相同。因此辐射功率，辐射电阻以及方向性系数也一样。即 2 2 02280λπI l P r = ； 2 2 280λπl R r = ； 5.1=D 10-8 已知对称天线的有效长度定义为 ?---=l l k e z e z l k l cos j d |)|(sin sin 2θθ 试求半波天线的有效长度及其最大值。 解 对于半波天线，2 π =kl ，即 4 λ = l ，则其有效长度 ()?---=l l k e z z l k l d e sin sin 2cos j θθ ???? ??-=-l k z kz 0cos j d 2sin e sin 2πθθ θθc o s j e s i n 2k k -= 则 θsin 2 2k l e = 令 02=θ d l d e ，则0c o s =θ，2 π πθ+ =n ， ,2,1,0±±=n 取1sin max =θ，因此有效长度的最大值为 k l e 2 2max = 10-9 已知天线远区中的矢量磁位为 kr z e kr I j 2sin cos 2cos 2-??? ??=θ θππμe A 试求该天线的远区场强、方向性因子及方向性系数。 解 已知矢量磁位A 在球坐标系中的分量为 θcos z r A A =， θθsin z A A -=， 0=φA 则磁场强度为 ()()()??? ?????-??+????????-??+?? ??????-?? = ??= θμφθμφθθθ μμ θφφθθφr r r A rA r r rA r A r A A r e e e A H sin 1sin sin 1 θθ θθθππθθθπππθθππφφφ432 j 2 j j sin 2sin cos sin cos 2cos 2e sin cos cos 2sin 22e e sin cos 2cos j 2+??? ??+??? ??-??? ??=---kr I kr I k kr I kr kr kr e e e 已知远区场强与距离r 一次方成反比，故可忽略上式中的高次项，即远区磁场强度为 kr r I j e sin cos 2cos 2j -??? ??=θ θππφe H 那么真空中的远区电场强度为 r Z e H E ?=kr r I j e sin cos 2cos 60j -??? ??=θ θπθe 可见，该天线是半波天线，其方向性因子为 ()θθπθsin cos 2cos ??? ??= f 其最大值为 8106.0=m f 则方向系数为 ()64.1d sin d 420 2 ≈??? ? ??= ? ? π π θθθφπ m f f D 10-10 已知长度为L 的行波天线电流分布 L z I I kz ≤≤=-0 ,e j 0。利用电流元的远区场公式，试求该行 波天线的远区场，并简绘出2 λ = L 时的方向图。 解 根据电流元远区场公式，可以推出行波天线的远区电场强度为 ? -'-'-'' =22 j 0d e 2sin j L L r k z jk z r e ZI E λθθ 对于远区，r L '<<，则可认为 r r 1 1≈'， θcos z r r '-≈' 因此 () ?--'--'=22 cos 1j j 0d e e 2sin j L L z k kr z r ZI E θθλθ ()kr kL r ZI j 0e cos 1cos 121sin sin 2j --??? ???-=θ θθπ 由于2 λ = L ，即 2 21π =kL ，得 kr r ZI E j 0e cos 1cos 2cos sin 2j --??? ??=θ θπθπθ 远区磁场强度为 kr r I Z E H j 0e cos 1cos 2cos sin 2j --? ?? ??==θ θπθπθφ 编程绘出其方向图为 10-11 通过远区中矢量磁位A ，再求解上题。 解 行波天线产生的矢量磁位为 z I L L r k z k z '' -=? -' --'-d e e 422 j j 0 r r e A r π μ 对于远区，因r L <<，可取 r 1 1≈'-r r ， θc o s z r '-='-r r 因此远区中的矢量磁位为 ()z r I L L kz kr z d e e 422 cos 1j j 0?----=θπμe A kr z kr I j 0e cos 1cos 2cos 2--??? ??=θθππμe 球坐标系中矢量磁位A 的各分量为 θcos z r A A =， θ θs i n z A A -=， 0=φA 那么，远区磁场强度为 ()?? ? ?????-??= ??= θμμ θφr A rA r r e A H 1 kr r I e j 0e cos 1cos 2cos sin 2j --??? ??=θ θπθπφ 远区电场强度为 r Z e H E ?=kr r ZI j 0e cos 1cos 2cos sin 2j --??? ??=θ θπθπθe 10-12 若二元天线阵的间距4 λ = d ，分别编程绘出相位 差2 ,4 ,0π πα=时阵因子的方向图。 解 令二元阵位于坐标原点，天线阵的轴线沿z 轴放置，如习题图10-12所示。若下单元天线的相位为零，而上单元天线的相位为α，那么阵因子在任一个通过z 轴的平面内方向图如下： 4 π α= α = 0 2 πα= x y z φ θ d o r 习题图10-12 10-13 若二元阵的间距2 λ = d ，分别编程绘出相位差 2 ,0π α=时阵因子的方向图。 解 令二元阵位于坐标原点，天线阵的轴线沿z 轴放置，如习题图10-12所示。若下单元天线的相位为零，而上单元天线的相位为α，那么阵因子在任一个通过z 轴的平面内方向图如下： 10-14 已知二元阵由两个x e 方向的电流元组成，天线阵的轴线沿Z 轴放置，间距2 λ = d 。若要求?=60θ，?=90φ方 向上获得最强辐射，确定两个电流元的电流相位差。 解 由于电流元沿x 轴放置，在yz 平面内电流元无方向性，天线阵的方向性仅由阵因子决定。因2 λ = d ，即π=kd 。 若要求在o 60=θ方向上辐射最强，两个电流元的相位差必须满足2 cos π θα= =kd ，即，两个电流元的电流相位差为 2 π 。 10-15 已知非均匀的同相五元直线阵的电流振幅比为1:2:2:2:1，单元天线之间的间距为半波长，试求该天线阵的阵因子。 0=α 2πα= 解 第2，3，4单元天线分别看成两个电流等幅同相的单元天线并列合成，则五元天线阵可看成两个均匀直线式四元阵；两个四元阵又构成一个均匀直线式二元阵，且间距也为半波长，则阵因子为 ()()()φθφθφθ,,,24f f f =()()()()?? ??????????= θθθθcos 21sin cos sin cos 21sin cos 2sin kd kd kd kd 由于2 λ = d ，则π=kd ，因此 ()() ??? ????? ??=θπθπθπφθcos 2sin cos 2sin cos 2cos 2 ,f ()θπθπcos cos cos 2cos 82??? ??= 10-16 已知底端馈电的垂直接地线天线的高度为h ，其电流分布为正弦函数。若地面当作无限大的理想导电平面，试求该天线的远区场。 解 根据镜像原理，对于无限大的理想导电平面，垂直天线的镜像为正像。因此，上半空间的场强等于长度为h 2的中心馈电的对称天线产生的辐射场，则远区场为 ?-' -'' =h h r k z r I Z E d e 2sin j j 0λθθ 对于远区，因l r >>，可取 r r 1 1≈'， θcos z r r '-≈' 又知电流分布()[] z h k I I '-=sin 0，则 ()[]?-'--''-=h h z k kr z r z h k I E d e e 2sin sin 120j cos j j 0θθλθ π ()[]()z z k z h k r I h kr '''-=?-d cos cos sin 2e sin 60j 0j 0θλθπ =()()kr kh kh r I j 0e sin cos cos cos 60j --θ θ 10-17 已知水平放置的行波天线的长度为L ，电流分布 函数为kz e I I j 0-=，L z ≤≤0，架空高度为h ，地面当作无限大的理想导电平面，试求平行于天线轴线的平面内的远区场。 解 根据镜像原理，平行于天线轴的远区场可看作为相位相差π，间距为h 2的二元天线阵。根据习题10-10的结果，单元行波天线的远区电场强度为 kr r I Z E j 00e cos 1cos 2cos sin 2j --??? ??=θ θπθπθ 阵因子为 ()()()?? ????--= αθαθφθcos 21sin cos sin ,2kd kd f ()θcos sin 2kh = 因此，平行于单元天线轴线的平面内的远区场为 ()kr kh r I Z E j 00e cos sin cos 1cos 2cos sin j --??? ??=θθ θπθπθ ()kr kh r I Z E H j 00e cos sin cos 1cos 2cos sin j --? ?? ??==θθθπθπθφ 10-18 已知水平放置的半波天线的架空高度为h ，地面当作无限大的理想导电平面，为了使电磁波射向电离层，要求在与天线轴线垂直的平面内，30?仰角方向上形成主射方向，试确定其架空高度。 解 根据镜像原理，为了考虑地面的影响，对于水平放置的半波天线，可看作为一个相位差为π，间距为h 2的二元天线阵。那么，在与半波天线轴线垂直的平面内，天线阵的方向性仅由阵因子决定。为了在o 60=θ处形成最强的辐射，即要求阵因子达到最大值。因此，必须满足ππ =3 cos 2hk ，由此求得离地高度为 2 λ = h 10-19 设同相二元阵由两个位于铅垂面内水平电流元构成，间距为一个波长，放在地面上空。下方电流元离地面的高度为半波长，地面当作无限大的理想导电平面。试求：① 水平面内及与电流元轴线垂直面内的方向性因子；② 与电流元轴线垂直的平面内，主射方向远区电场表达式和极化特性。 解 根据镜像原理，为了考虑地面的影响，对于水平放置的两个同相半波天线，可看作为一个四元天线阵。其中上半空间两个二元阵和下半空间两个二元阵又组成一个间距为h 2的反相二元阵，如图习题图10-19所示。 令电流元为Il y e ，天线阵 轴线为z 轴。由习题10-4获知， y 方向电流元的方向性因子为 ()φφθφθ2221c o s s i n c o s ,+=f 天线阵的阵因子为 ()()() φθφθφθ,,,224f f f =()()()()??????-??????-??????-??????-= πθλπθλθλθλcos 221sin cos 222sin 0cos 21sin 0cos 22sin k k k k 因此，天线阵的方向性因子为 ()()()φθφθφθ,,,41f f f = 那么，在2 π θ=的水平面内，方向性因子为 φφπcos ,2=?? ? ??h f 与电流元垂直的平面内，即xz 平面内（φ = 0，π），方向性因子为 x y z λ λ/2 习题图10-19 ()0,θv f ()()()() θπθπθπθπcos 2cos cos 4sin cos sin cos 2sin - =()()θπθπcos 2sin cos cos 4-= 其最大值为 ()08.30,max =m v f θ 因此，主射方向远区电场强度为 kr r Il j e 6.369j -=λπφe E 由此可见，与电流元垂直面内远区场为水平线极化。 10-20 试证当S →S ∞ 时式（10-8-6）亦成立。 证明 由于位于有限区域内的一切源，其远区场为TEM 波，即r Z e H E ?=，并且s d 的方向为闭合面S 的外法线方向，即s r d d e s =，则当闭合面趋向无限远处，闭合面积分为 ()???-?s a b b a s H E H E d ()s Z Z r s a r b b r a d e H e H H e H ???-??=?∞ 利用矢量恒等式B A C A C B C B A ??=??=??，上式变为 ()()()()[]s Z s a r b r b r a r d ?∞ ???-???H e H e H e H e 0= 因此，只要闭合面S 包围了全部源，面积分为零，即式（10-8-6）成立。 10-21 若Z 向电流元l I I z e l =及Z 向磁流元l I I m z m e l =均位于坐标原点，试求其远区合成场强及其极化特性。 解 已知电流元产生的远区场强为 kr r ZIl j 1e 2sin j -=λθθe E kr r Il j 1e 2sin j -=λθφe H 那么，根据对偶原理可以推知同向的磁流元产生的远区场强为 kr m r l ZI j 2e 2sin j -=λθθe H kr m r l I j 2e 2sin j --=λθφe E 因此，合成场强为 () kr m I ZI r l j e 2sin j --=φθλθ e e E () kr m ZI I r l j e 2sin j -+=θφλθe e H 由此可见，若I 与m I 同相，合成场为线极化；若I 与m I 不同相，合成场为椭圆极化。 10-22 利用互易定理，试证：① 位于理想导电体表面附近的垂直磁流元没有辐射效应；② 位于理想导磁体表面附近的垂直电流元及水平磁流元均无辐射作用。 证明 ①设垂直磁流元a m I l 在导体外空间某处产生的磁场强度为a H ，令该处放置一个磁流元b m I l ，且使b l 与a H 方向一致，它在磁流元a m I l 处产生的磁场强度为b H ，则由卡森互易定理得 ? ??=?a b l l m a m b I I l H l H d d 即 b m a a m b l I H I =?l H 由于任何理想导电体表面上不可能存在法向磁场，即b H 必须平行于表面，得 b m a l I H =0 因为0≠b m I l ，故只有0=a H 。因此，垂直理想导体表面的磁流元a m I l 不可能产生任何电磁场。 ②利用理想导磁体的边界条件和互易定理，同理可证位于理想导磁体表面附近的垂直电流元及水平磁流元均无辐射作用。 10-23 已知位于坐标原点0=z 平面内的矩形口径尺寸为b a ?，口径场为同相场，极化方向为y e 方向。若口径场的振幅分布函数为 22 ,cos )(a x a a x x f ≤≤-?? ? ??=π 试求0=y 平面内方向性因子、主叶半功率角、主叶零功率角及第一副叶相对于主叶的电平。 解 由题可知，口径的位置 如习题图10-23所示，口径 场的表示式为 kz s y s x a E j 0e cos -?? ? ??=πe E 式中0s E 与坐标无关，则 P 点的远区电场为 ()?''+??? ??'=-s kr s P s r x a E E d cos 1e cos 2j j 0θπλ 其中θ'为面元s d '的外法线与观察方向之间的夹角。 设观察点P 的坐标为()z y x ,,，面元s 'd 的坐标为 ()0,,y x ''，则 ()()22 2z y y x x r +'-+'-=()2 02 020021???? ??'+???? ??'+'+'-=r y r x r y y x x r 式中0r 为口径中心至观察点的距离，2220z y x r ++= 对于远区，y r x r '>>'>>00,，则 0 0r y y x x r r ' +'- ≈ 而且P 点对于各面元s 'd 处于同一方向，即θθ='；且可 y z x s E o P (x ,y ,z ) 习题图10-23 r 0 取r r 1 10≈，又因 φθφθsin sin ,cos sin r y r x == 则 ()??-'-'-'??? ??''+=22 cos sin j 22sin sin j 0j 0d e cos d e cos 12e j 0a a x k b b y k kr s P x x a y r E E φθφ θπθλ ()φ θπφθφθφθθλπ222220 j 0cos sin cos sin 21cos sin sin sin sin 2 1sin cos 1e j k a ka kb r k E a kr s -? ?? ????? ??+=- 在0=y 平面内，0=φ,π,方向性因子为 ()()θ πθθθ22 22sin sin 21cos cos 10,k a ka f -? ?? ??+= 由于口径场为同相场，因此z 轴为主射方向，即 0m a x =θ。考虑到函数cos θ 在θ = 0的主射方向附近变化较小，因此主叶的形状主要决定于第二个因子，即 ()θ πθθ2 222sin sin 21cos 0,k a ka f -? ?? ??≈ 根据主叶半功率宽度定义，即主瓣上两个半功率电平点之间的夹角，求得主叶半功率角为 a λ θ2 .125.0≈ 根据主叶零功率宽度定义，求得主叶零功率角为 a λ θ3 20= 第一副叶相对于主叶的电平即是第一副瓣最大值与主瓣最大值之比的对数。已知第一副瓣的最大值为 0084.0max 1=f ，主瓣峰值2 m a x 2 π = f ，因此，第一副瓣的相 对电平为 dB 6.24log 20max max 11-==f f ξ 10-24 设均匀平面波垂直投射到无限大的金属平板上的圆孔，试求其绕射场。 （提示： )(J 2d 02 0 cos j x e x πφπ φ=? ） 解 设金属平板位于0=z 平面，均匀平面波的极化方向为e y 方向，则孔径场为 kz y y s E j 0e -=e E 对于圆孔径场采用极坐标，孔径上任一点场源为()φ'',r Q ，则Q 点在直角坐标系中的位置为,cos φ''='r x ,sin φ''='r y 孔径面元φ'''='d d d r r s 。设圆形孔径的直径为D ，根据上题结果，同时考虑到场强分布以z 轴为旋转对称，求得远区电场强度为 ? ?'''+=''-π θφφλθ 20 sin cos j 20j 0d d e e 2cos 1j r r E r r k D kr y y e E ()r r k r E r D kr y '''+=?-d sin J 2e 2cos 1j 200j 0θπλθ y e θ λ πθλππλθsin sin J 2e 2cos 1j 12 j 0D D D E r kr y y ??? ?????? ??+=-e 此结果即是圆孔径的绕射场。 10-25 已知抛物面天线的直径为30m ，工作频率为6GHz ，若口径利用系数为0.6，试求其增益。 解 工作波长为 m 05.01061039 8 =??==f c λ 口径面积为 22m 2254 ππ == d A 因此，抛物面天线增益为 62 2 1013.205 .022546.04?=?? ==π πλπA v G dB 3.63log 10dB ==G G 魏 泳 涛 魏 泳 涛 10.1 计算下列情形中系统对定轴的动量矩： (a)均质圆盘质量为m ，半径为r ，以角速度ω转动 (b)均质偏心圆盘半径为r ，偏心距为e ，质量为m ，以角速度ω转动； (c)十字杆由两个均质细杆固连而成，OA 长为l 2、质量为m 2，BC 长为l ，质量为m 。以角速度ω绕Oy 轴转动。 (a)(b)(c) 魏 泳 涛 魏 泳 涛 10.2 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平地面上作平面运动。轮子轴心为A ，质心为C ，e AC =，轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为A J ；C 、A 、B 三点在同一铅直线上。 (1)当轮子只滚不滑时，若A v 已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。 (2)当轮子又滚又滑时，若A v 、ω已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。 魏 泳 涛 魏 泳 涛 10.3 撞击摆由质量为1m 的摆杆OA 和质量为2m 的摆锤B 组成。若将杆和锤视为均质细长杆和等厚圆盘，并已知杆长为l ，盘的半径为R ，求摆对轴O 的转动惯量。 魏 泳 涛 魏 泳 涛 魏 泳 涛 10.4 为求物体对于通过其质心C 之轴AB 的转动惯量C J 。用两杆AD 、BE 和这物体固结，并借这两杆将物体挂在水平轴DE 上，轴AB 平行于DE ，使其绕DE 轴作微小摆动，测出摆动周期T 。如物体的质量为M ，轴AB 和DE 之间的距离为h ，杆AD 、BE 的质量忽略不计，求转动惯量C J 。 解： 从左向右看，如图 θθ αsin mgh J J D D -== 而 )(2mh J J C D += 所以 θθsin )(2mgh mh J C -=+ 当微小摆动时，θθ≈sin 所以 0)(2=++θθmgh mh J C 根据单自由度系统振动特性，有 2 π211mh J mgh T C += 即： )π4(22g h T mgh J C -= 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+? ,B E t ???=-? ,0B ?= ,D ρ?= 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? S D d s ρ=? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为：4线性且各向同性媒质的本构关系方程是：5电流连续性方程的微分形式为：。 6电位满足的泊松方程为 ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。7应用镜像法和其它间接方法解静 态场边值问题的理论依据是。8.电场强度E 的单位是， 电位移D 的单位是 。9．静电场的两个基本方程的微分 形式为 0E ??= ρ?= D ；10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 3.0 0n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H 4.D E ε= ,B H μ= ,J E σ= 5. J t ρ ??=- ? 6.2ρ?ε?=- 12??= 12 12n n εεεε??=?? 7.唯一性定理 8.V/m C/m2 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A ，并令 B A =?? 的依据是（c.0B ?= ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ ) l n (0 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性） 分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω= 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-? 其振幅值为：304510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510 .dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。 试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S S d q =?得2 4q D r π= 24D e e r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε= = 五、两块无限大接地导体板分别置于x=0和x=a 处，其间在x=x0处有一面密度为σ2C/m 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体板间的电场和电位。（20分） 解：()2 102d 00;d x x x ?=<<()22 02d 0 d x x a x ?=<< 得： ()()11100;x C x D x x ?=+<< ()()2220x C x D x x a ?=+< < A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。 4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程 6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。 . 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?u v u u v u v ,B E t ???=-?u v u v ,0B ?=u v g ,D ρ?=u v g 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? u v u u v g ? S D ds ρ =?u v u u v g ? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H r r r r r r r r r 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=u v u v ,B H μ=u v u u v ,J E σ=u v u v 5电流连续性方程的微分形式为： 5. J t ρ??=- ?r g 6电位满足的泊松方程为 2ρ?ε?=- ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。 12??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理 论依据是: 唯一性定理。 8.电场强度E ?的单位是V/m ，电位移D ? 的单位是C/m2 。 9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ??= ρ?=g D ； 10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A u v ，并令 B A =??u v u v 的依据是（ 0B ?=u v g ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ? ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln( 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω=r r 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-?r r r 其振幅值为：3 04510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S u u v u u v g ?S d q =?得2 4q D r π= 24D e e u u v v v r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e u u v u u v v r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r u u v u u v v u u v g g g r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε== 电磁场与电磁波理论基础自学指导书 课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。 第一章矢量分析场论初步 1主要内容 本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求 深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点 重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。 难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容 本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量— 电磁场与电磁波例题详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第1章 矢量分析 例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。 解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为 0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为 ： 0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z += 例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x ++=的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为 ： z y dz y x dy xy dx 222== 从而有 ???????==z y dz xy dx y x dy xy dx 2222 解之即得矢量方程???=-=2 2 21c y x x c z ，c 1和c 2是积分常数。 例1.3 求函数xyz z xy -+=22?在点（1，1，2）处沿方向角 3 ,4 ,3 π γπ βπ α= = = 的方向导数。 解：由于 1) 2,1,1(2) 2,1,1(-=-=??==M M yz y x ?, 02) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xz xy y ?, 32) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xy z z ?, 2 1cos ,22cos ,21cos === γβα 所以 1cos cos cos =??+??+??= ??γ?β?α??z y x l M 例1.4 求函数xyz =?在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。 解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为 1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l ++=-+-+-= 其单位矢量 3147 31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5, 10, 2) 2,1,5()2,1,5()2,1,5() 2,1,5() 2,1,5() 2,1,5(==??==??==??xy z xz y yz x ? ?? 所求方向导数 314 123 cos cos cos = ??=??+??+??=?? l z y x l M ?γ?β?α?? 例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=?，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。 解：由于)66()24()32(-+-++++=?z a x y a y x a z y x ? 所以 623) 0,0,0(z y x a a a ---=?? ，36) 1,1,1(y x a a +=?? 例1.6 运用散度定理计算下列积分： ??++-+=S z y x S d z y xy a z y x a xz a I )]2()([2322 S 是0=z 和2 2 22y x a z --=所围成的半球区域的外表面。 解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+= 则由散度定理???=??τ τs S d A d A 可得 第十章 波动光学 选择题 10—1 两个LC 无阻尼自由振荡电路,它们的自感之比12:1:2L L =.电容之比 12:2:3C C =,则它们的振荡频率之比12:νν为 （ C ） (A) 1 33. 10—2 平面电磁波的电场强度E 和磁场强度H （ C ） (A) 相互平行,相位差为0; (B)相互平行,相位差为π2 ; (C) 相互垂直,相位差为0; (D)相互垂直,相位差为 π2. 10—3 在杨氏双缝干涉实验中,若双缝间的距离稍微增大一点,其他条件不变,则干涉条纹将 （ A ） (A) 变密; (B) 变稀; (C) 不变; (D) 消失. 10—4 在杨氏双缝干涉实验中,为了使屏上的干涉条纹间距变大,可以采取的办法是 （ B ） (A) 使屏靠近双缝; (B) 使双缝的间距变小; (C) 使双缝的间距变大; (D) 改用波长较小的单色光入射. 10—5 如图所示,在杨氏双缝干涉实验中,屏幕E 上的P 处是明纹.若将缝2S 盖住,并在1S 、2S 连线的垂直平分面上放一平面反射镜M ,其它条件不变,则此时 （ B ） (A) P 处仍为明纹; (B) P 处为暗纹; (C) P 处光强介于明、暗纹之间; (D) 屏幕E 上无干涉条纹. 10—6 真空中波长为λ的单色光,在折射率为n 的透明介质中,从点A 沿某路径传播到点B ,其相位的变化为3π,则路径AB 的光程为 （ A ） (A) 1.5λ; (B) 1.5n λ; (C) 3λ; (D) 1.5n λ. 10—7 在透镜上镀一层折射率为n （比透镜的折射率大）的透明介质薄膜,要使波长为λ的单色光增加透射,薄膜的最小厚度应为 （ B ） 《电磁场与电磁波》试卷1 一. 填空题（每空2分,共40分） 1．矢量场的环流量有两种特性：一是环流量为0，表明这个矢量场 无漩涡流动 。另一个是环流量不为0，表明矢量场的 流体沿着闭合回做漩涡流动 。 2．带电导体内静电场值为 0 ，从电位的角度来说，导体是一个 等电位体 ，电荷分布在导体的 表面 。 3．分离变量法是一种重要的求解微分方程的方法，这种方法要求待求的偏微分方程的解可以表示为 3个 函数的乘积，而且每个函数仅是 一个 坐标的函数，这样可以把偏微分方程化为 常微分方程 来求解。 4．求解边值问题时的边界条件分为3类，第一类为 整个边界上的电位函数为已知 ，这种条件成为狄利克莱条件。第二类为已知 整个边界上的电位法向导数 ，成为诺伊曼条件。第三类条件为 部分边界上的电位为已知，另一部分边界上电位法向导数已知 ，称为混合边界条件。在每种边界条件下，方程的解是 唯一的 。 5．无界的介质空间中场的基本变量B 和H 是 连续可导的 ，当遇到不同介质的分 界面时，B 和H 经过分解面时要发生 突变 ，用公式表示就是 12()0n B B ?-=，12()s n H H J ?-=。 6．亥姆霍兹定理可以对Maxwell 方程做一个简单的解释：矢量场的 旋度 ，和 散度 都表示矢量场的源，Maxwell 方程表明了 电磁场 和它们的 源 之间的关系。 二．简述和计算题（60分） 1．简述均匀导波系统上传播的电磁波的模式。（10分） 答：（1）在电磁波传播方向上没有电场和磁场分量，即电场和磁场完全在横平面内，这种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM 波。 （2）在电磁波传播方向上有电场和但没有磁场分量，即磁场在横平面内，这种模式的电磁波称为横磁波，简称TM 波。因为它只有纵向电场分量，又成为电波或E 波。 （3）在电磁波传播方向上有磁场但没有电场分量，即电场在横平面内，这种模式的电磁波称为横电波，简称TE 波。因为它只有纵向磁场分量，又成为磁波或M 波。 从Maxwell 方程和边界条件求解得到的场型分布都可以用一个或几个上述模式的适当幅相组合来表征。 2．写出时变电磁场的几种场参量的边界条件。（12分） 解：H 的边界条件 12()s n H H J ?-= E 的边界条件 一、选择题 1、以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是（ ） A 、电场是无旋场 B 、电场和磁场相互激发 C 、电场与磁场无关 2、区域V 全部用非导电媒质填充，当此区域中的电磁场能量减少时，一定是（ ） A 、能量流出了区域 B 、能量在区域中被消耗 C 、电磁场做了功 D 、同时选择A 、C 3、两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的的是（ ） A 、线圈的尺寸 B 、两个线圈的相对位置 C 、线圈上的电流 D 、空间介质 4、导电介质中的恒定电场E 满足（ ） A 、0??=E B 、0??=E C 、??=E J 5、用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ） A 、镜像电荷是否对称 B 、电位方程和边界条件不改变 C 、同时选择A 和B 6、在静电场中，电场强度表达式为3(32)()y x z cy ε=+--+x y z E e e e ，试确定常数 ε的值是（ ） A 、ε=2 B 、ε=3 C 、ε=4 7、若矢量A 为磁感应强度B 的磁矢位，则下列表达式正确的是（ ） A 、=?B A B 、=??B A C 、=??B A D 、2=?B A 8、空气（介电常数10εε=）与电介质（介电常数204εε=）的分界面是0z =平面， 若已知空气中的电场强度124= +x z E e e 。则电介质中的电场强度应为（ ） A 、1216=+x z E e e B 、184=+x z E e e C 、12=+x z E e e 9、理想介质中的均匀平面波解是（ ） A 、TM 波 B 、TEM 波 C 、TE 波 10、以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是（ ） A 、不再是平面波 B 、电场和磁场不同相 C 、振幅不变 D 、以T E 波的形式传播 二、填空 1、一个半径为α的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率为 σ，略去地面的影响，则电极的接地电阻R = 2、 内外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀的分布着轴向电流I ，设空间离轴距离为()r r a <的某点处，B= 3、 自由空间中，某移动天线发射的电磁波的磁场强度 10.1 PLD器件有哪几种分类方法？按不同的方法划分PLD器件分别有哪几种类型？ PLD器件通常有两种分类方法：按集成度分类和按编程方法分类。按集成度分类，PLD 器件可分为低密度可编程逻辑器件（LDPLD）和高密度可编程逻辑器件（HDPLD）两种。具体分类如下： PLD LDPLD HDPLD PROM PLA PAL GAL CPLD FPGA 按编程方法分类，PLD器件可分为一次性编程的可编程逻辑器件、紫外线可擦除的可编程逻辑器件、电可擦除的可编程逻辑器件和采用SRAM结构的可编程逻辑器件四种。 10.2 PLA、PAL、GAL和FPGA等主要PLD器件的基本结构是什么？ PLA的与阵列、或阵列都可编程；PAL的与阵列可编程、或阵列固定、输出结构固定；GAL的与阵列可编程、或阵列固定、输出结构可由用户编程定义；FPGA由CLB、IR、IOB 和SRAM构成。逻辑功能块（CLB）排列成阵列结构，通过可编程的内部互连资源（IR）连接这些逻辑功能块，从而实现一定的逻辑功能，分布在芯片四周的可编程I/O模块（IOB）提供内部逻辑电路与芯片外部引出脚之间的编程接口，呈阵列分布的静态存储器（SRAM）存放所有编程数据。 10.3 PAL器件的输出与反馈结构有哪几种？各有什么特点？ PAL器件的输出与反馈结构有以下几种： （1）专用输出结构：输出端为一个或门或者或非门或者互补输出结构。 （2）可编程输入/输出结构：输出端具有输出三态缓冲器和输出反馈的特点。 （3）寄存器输出结构：输出端具有输出三态缓冲器和D触发器，且D触发器的Q端 又反馈至与阵列。 （4）异或输出结构：与寄存器输出结构类似，只是在或阵列的输出端又增加了异或门。 10.4 试分析图P10.4给出的用PAL16R4构成的时序逻辑电路的逻辑功能。要求写出电路的激励方程、状态方程、输出方程，并画出电路的状态转移图。工作时，11脚接低电平。图中画“×”的与门表示编程时没有利用，由于未编程时这些与门的所有输入端均有熔丝与列线相连，所以它们的输出恒为0。为简化作图，所有输入端交叉点上的“×”不再画，而改用与门符号里面的“×”代替。（提示：R为同步清0控制端，C为进位信号输出端）该时序逻辑电路由4个D触发器和若干门电路构成，设17、16、15、14引脚对应的D 《电磁场与电磁波》知识点及参考答案 第1章 矢量分析 1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所 产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无旋场，由散度源所 产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。 3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是： 散度（高斯）定理：S V FdV F dS ??=?? ?和 斯托克斯定理： s C F dS F dl ???=??? 。 4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ） 9、习题, 。 第2章 电磁场的基本规律 （电场部分） 1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D dS dV Q ρ?==? ?和 0l E dl ?=?。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ??=和0E ??=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为 的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522 x y z ?= +-,则电场强度E =5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体 B.固体 C.液体 D.电介质 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε0εr C. εr D. 1/εr 11、导体电容的大小( C )。 A.与导体的电势有关 B.与导体所带电荷有关 C.与导体的电势无关 D.与导体间电位差有关 12、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。 第10章 直流电源 自测题 10.1填空题 1．单相半波整流与桥式整流电路相比，输出波形脉动比较大的是 。 2．电容滤波电路的滤波电容越大，整流二极管的导通角越 ，流过二极 管的冲击电流越 ，输出纹波电压越 ，输出直流电压值越 。 3．电容滤波电路中的电容器与负载 联，电感滤波电路中的电感器与负载 联。电容滤波和电感滤波电路相比，带负载能力强的是 ，输出直流电压高的 是 。 4．并联型稳压电路主要是利用 工作在 状态时，电流在较大范 围内变化，管子两端的 基本保持不变来达到稳压的目的。 5．串联型稳压电路正常时，调整管工作在 状态，比较放大管工作在 状态，提供基准电压的稳压二极管工作在 状态。 6．在图10.4.4所示的串联型稳压电路中，要改变输出直流电压应调节 电路的 电阻，输出电压最大时应将 电阻调至 。 7．如题10.1.7图所示的电路，已知1240ΩR =，2480ΩR =。 （1）1R 上的电压为 V ，2R 上的电压为 V 。 （2）输出电压为 V ，输入电压最小应为 V 。 （3）电容1C 的作用是 ，电容2C 的作用是 。 8．串联型稳压电路的控制对象是调整管的 ，而开关型稳压电路是控制 调整管的 。 9．串联型稳压电路与开关型稳压电路相比效率高的是 ，主要原因 是 。 W7805 题10.1.7图 答案：1．单相半波整流电路。2．小，大，平滑，高。3．并，串，电感滤波电路，电容滤波电路。4．稳压二极管，反向击穿，电压。5．放大，放大，反向击穿。 6．取样，可变，最下端。7．5，10；15，18；减小纹波和防止自激振荡，抑制高频干扰（消除高频噪声）。8．管压降，导通、截止时间的比例。9．开关型稳压电路、开关型稳压电路的调整管工作在开关状态，功率损耗小。 10.2选择题 1．理想二极管在单相半波整流、电阻性负载中，其导通角为 。 A ．小于o 180； B ．等于o 180； C ．大于o 180； D ．等于o 360。 2．电感滤波电路常用在 的场合。 A ．平均电压低，负载电流大； B ．平均电压高，负载电流大； C ．平均电压低，负载电流小； D ．平均电压高，负载电流小，负载变动小。 3．在单相桥式整流电容滤波电路中，设2U （有效值）10V =，则输出电压O(AV)U = ；若电容C 脱焊，则O(AV)U = 。 A ．4.5V ； B ．9V ； C ．12V ； D ．14V 。 4．在单相桥式整流电容滤波电路中，若其中一个二极管接反，则 ；若其中一个二极管脱焊，则 。 A ．变压器有半周被短路，会引起元器件损坏； B ．变为半波整流； C ．电容C 将过压击穿； D ．稳压管因过流而损坏。 5．有两只稳压管串联后接在稳压电路中，已知这两只稳压管的参数相同，稳压值都是8V ，用万用表电压档测得它们的端电压分别为0.7V 和8V ，这种情况表明这两只稳压管 。 A ．工作正常； B ．有一只已经损坏； C ．只需要用一只； D ．两只都已损坏。 6．在图10.4.1所示电路中，若电阻R 被短接，则 。 A ．O U 降为0； B ．变为半波整流； C ．电容C 因过压而击穿； D ．稳压二极管过流而烧坏。 7．在串联型线性稳压电路中，若要求输出电压为18V ，调整管压降为6V ，采用桥式整流电容滤波，则电源变压器副边电压的有效值应选为 。 A ．6V ； B ．18V ； C ．20V ； D ．24V 。 8．下列三端集成稳压电源中，输出正电压的是 ；输出负电压的是 。 A ．W78??和W317； B ．W78??和W337； C ．W79??和W317； D ．W79??和W337。 电磁场与电磁波复习题 一、填空题 1、矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线总数，散度的物理意义矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。散度与通量的关系是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 2、 散度 在直角坐标系的表达式 z A y A x A z y x A A ?? ????++=??= div ； 散度在圆柱坐 标系下的表达 ； 3、矢量函数的环量定义矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分， 旋度的定义 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S 点P 时,存在极限环量密度。 二者的关系 n dS dC e A ?=rot ； 旋度的物理意义点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值；点P 的旋度的方向是该点最 大环量密度的方向。 4.矢量的旋度在直角坐标系下的表达式 。 5、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。 梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向等值面、方向导数与梯度的关系是梯度的大小为该点标量函数?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.； 6、用方向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直角坐标系中单位矢量l e 的表达 式 ； 7、直角坐标系下方向导数 u l ??的数学表达式是cos cos cos l αβγ????????ｕｕｕｕ＝＋＋ｘｙｚ ，梯度的表达式x y z G e e e grad x y z φφφφφ???=++=?=???； 8、亥姆霍兹定理的表述在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定，说明的问题是矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。 第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。 解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求 其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试 求0S J 。 解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的 点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不 是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。 解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电 场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+ 1、对待排序的元素序列进行划分，将其分为左、右两个子序列，再对两个子序列施加同样的排序操作，直到子序列为空或只剩一个元素为止。这样的排序方法是 ( )。 A. 直接选择排序 B. 直接插入排序 C. 快速排序 D. 起泡排序 2、对5个不同的数据元素进行直接插入排序，最多需要进行 ( ) 次比较。 A. 8 B. 10 C. 15 D. 25 3、用快速排序法对n 个数据进行排序，在最好情况下的时间复杂度是 O(nlogn)，在最坏情况下的时间复杂度是 O(n 2) ，在平均情况下的时间复杂度是 O(nlogn) 。 4、用归并排序法对n 个数据进行排序，在最好情况下的时间复杂度是 O(nlogn) ，在最坏情况下的时间复杂度是 O(nlogn) ，在平均情况下的时间复杂度是 O(nlogn) 。 5、在对n 个元素进行直接插入排序的过程中，共需要进行2n 趟。（ 错 ） 快速排序在最坏情况下的时间复杂度为)(2n 。（ 对 ） 6、若一组记录的关键字为（46，79，56，38，40，84），则利用快速排序的方法，以第一个记录为基准得到一次划分结构为( )。 A.40，38，46，84，56，79 B.40，38，46，56，79，84 C.40，38，46，79，56，84 D.38，40，46，56，79，84 7、下列四个序列中，哪一个是堆（ ）。 A. 75,65,30,15,25,45,20,10 B. 75,65,45,10,30,25,20,15 C. 75,45,65,30,15,25,20,10 D. 75,45,65,10,25,30,20,15 8、由无序序列{ 15，9，7，8，20，7}建立的初始小顶堆为 7,8,7,9,20,15_ 。 9、已知5个数据元素为（54，28，16，34，73），对该数列按从小到大排序，经过一趟冒泡排序后的序列为 28,16,34,54,73_ 。 10、若不考虑基数排序，则在排序过程中，主要进行的两种基本操作是关键字的__ 比较_____和记录的___移动__。 11、直接插入排序在最好情况下的时间复杂度为( )。 . 电磁场与电磁波练习题 1、直角坐标系中，两个矢量A 与B ，其中x y z A e e e =-+， x y z B e e e =++，则：A e = ； A B ?= ； A B ?= 。 2、在有限的区域V 内，任一矢量场由它的 、 和 唯一地确定。 3、标量场u 的梯度、矢量场F 的散度、旋度可用哈密顿算符?表示为 、 、 。 4、已知磁感应强度为 (3)(32)()x y z x y z y mz =+--+B e e e ，则m 的值为____。 : 5、 写出电流连续性方程的微分形式 。 6、从宏观效应看，物质对电磁场的响应可分为 、 和 三种现象。 7、一个点电荷q 放在两相交0 60的导体平面内，则存在 个镜像电荷。 8、写出电磁能量守恒关系的坡印廷定理的表达式 。 9、均匀平面波在良导体中传播时，磁场的相位滞后电场 度。 10、反射系数的定义式为 。 11对于矢量A ，若 =++x x y y z z A e A e A e A ，则：z x e e ?= ；x x e e ?= ；z y e e ?= 。 12、直角、圆柱、球坐标系下体积元分别为 、 、 。 （ 13、矢量(cos sin )y x y A e x x -=-e e ，则A ?= 。 14、对于线性和各向同性的媒质，这些方程是 、 、 ，称为媒质的本构关系。 15、理想介质的电导率σ= ，而理想导体的电导率σ= 。 16、电场强度E 电位函数?的关系为 。 17、在电磁场工程中，通常规定矢量位A 的散度为 ，此式称为洛伦兹条 件。 18、电磁波的波长不仅与 有关，还与媒质的参数 、 有关。 19、电场强度矢量 ()()m x xm z z jE cos k z E =e ，写出其瞬时值矢量(,)z t E = 。 20、对于导电媒质的垂直入射，反射系数Γ与透射系数τ之间的关系为 。 《 21、旋涡源与通量源不同在于前者不发出矢量线也不汇聚矢量线。（正确、错误） 22、位移电流密度是磁场的旋涡源，表明时变磁场产生时变电场。（正确、错误） 23、理想导体内部不存在电场，其所带电荷只分布于导体表面。（正确、错误） 24、当感应电动势 0in ξ<时，表明感应电动势的实际方向与规定方向相同。（正确、错 误） 25、电容的大小与电荷量、电位差无关。（正确、错误） 26、当12()jkz jkz x E z Ae A e -=+时，第一项代表波沿+z 方向传播，第二项代表沿-z 方向传播。（正确、错误） 27、矢量函数E 满足真空中的无源波动方程一定满足麦克斯韦方程。（正确、错误） 28、电磁波的趋肤深度随着波频率、媒质的磁导率和电导率的增加而增加。（正确、错误） | 29、反射系数与投射系数之间的关系为1τ+Γ=。（正确、错误） 30、驻波的电场强度与磁场强度不仅在空间位置上错开 1/4λ，在时间上也有/2π的相移。 （正确、错误） 31、方向导数的定义是与坐标无关，但其具体计算公式与坐标系有关。（正确、错误） 32、亥姆赫兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件惟一地确定。（正确、错误） 33、在静电场中的电感与导体系统的几何参数和周围媒质无关，与电流、磁通量有关。（正确、错误） 34、不管是静态还是时变情况下，电场和磁场都可以相互激发。（正确、错误） 35、接地导体球上的感应电荷的分布是不均匀的，靠近点电荷的一侧密度小。（正确、错误） 36、任一线极化波，都可将其分解为两个振幅相等、旋向相反的圆极化波。 第1章习题解答 1.4 计算下列标量场u 的梯度u ? ： （1）234u x y z =； （2）u xy yz zx =++； （3）222323u x y z =-+。 解：（1） 34224233234x y z x y z u u u u e e e e xy z e x y z e x y z x y z ????=++=++??? （2）()()()x y z x y z u u u u e e e e y z e x z e y x x y z ????=++=+++++??? （3）646x y z x y z u u u u e e e e x e y e z x y z ????=++=-+??? 1.6 设()22,,1f x y z x y y z =++。试求在点()2,1,3A 处f 的方向导数最大的方向的单位矢量及其方向导 数。方向导数最小值是多少？它在什么方向？ 解： ()2222x y z x y z f f f f e e e e xy e x yz e y x y z ????=++=+++??? 因为410x y z x y z A f f f f e e e e e e x y z ????=++=++??? 所以 ( max 410l x y z f e e e e l ?==++? ( min 410l x y z f e e e e l ?==-++? 1.10 求下列矢量场在给定点的散度值： （1）()x y z A xyz e x e y e z =++ 在()1,3,2M 处； （2）242x y z A e x e xy e z =++ 在()1,1,3M 处； （3）())1222x y z A e x e y e z x y z =++++ 在()1,1,1M 处。 解：（1） 222636y x z M A A A A xyz xyz xyz xyz A x y z ?????=++=++=??=??? （2）42212y x z M A A A A x z A x y z ?????= ++=++??=??? （3）y x z A A A A x y z ?????=++ ??? ( )( )( ) 2222 2222 2222 3 3 3 x y z x x y z y x y z z ++-++-++ -= + + = M A ??=第10章习题答案
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