专题一：函数值域、解析式求法
一、值域求法
1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1 求函数y = x 1
的值域
解： x ≠0 ，∴ x 1
≠0 显然函数的值域是：（ -∞，0 ）∪（0 ，+∞）。
例2 求函数y = 3 -x 的值域。
解： x ≥0 ∴- x ≤0 3- x ≤3 故函数的值域是：[ -∞，3 ]
2 、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
解：将函数配方得：y=（x-1）2+4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知：
当x = 1时，y min = 4 当x = - 1，时max y = 8 故函数的值域是：[ 4 ，8 ]
练习：求函数13432-+-=x x y 的值域。 解：()()[]7134213421
13426421
+-+-=-+-=x x x x y =()3113421
2++-x ，所以27
≥y ，故所求函数值域为[72 ，+∞]。
3 、判别式法2
例1 求函数y = 22
11x x x +++的值域。
解：原函数化为关x 的一元二次方程（y-1 )2x +（y - 1 ）x= 0
（1）当y ≠1时， x ∈R ,△ = (-1)2-4(y-1)(y-1) ≥0
解得：21
≤y ≤23
（2）当y=1，时 ，x = 0,而1∈[ 21, 23
] 故函数的值域为[21，23
]
练习： 求函数y=x+)2(x x -的值域。
解：两边平方整理得：22x -2（y+1）x+y 2=0 （1）
x ∈R ，∴△=4（y+1）2-8y ≥0
解得：1-2≤y ≤1+2
但此时的函数的定义域由x （2-x ）≥0，得：0≤x ≤2。
由△≥0，仅保证关于x 的方程：22x -2（y+1）x+y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[21，2
3]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 0≤x ≤2，∴y=x+)2(x x - ≥0，
∴y min =0，y=1+2代入方程（1），解得：1x =222224-+∈[0，2]，即当1x =2
22224-+时，原函数的值域为：[0，1+2]。
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例1 求函数y=6
543++x x 值域。 解：由原函数式可得：x =
3564--y y 则其反函数为：y =4653x x -- 其定义域为：x ≠53 故所求函数的值域为：（- ∞，5
3）
5、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元
法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例1、求函数x x y 21--=的值域。
解：由021≥-x ，得2
1≤x 。令()021≥=-t t x 得2
12t x -=，于是()11212122++-=--=t t t y ，因为0≥t ，所以21≤y 。故所求函数值域为[-∞，12
]。 例2 求函数y = x + 1-x 的值域。
解：令x-1=t ，（t ≥0）则x=2
t +1
∵y=2t +t+1=2)21
(+t +4
3，又t ≥0，由二次函数的性质可知 当t=0时，y min = 1， 当t →0时，y →+∞。
故函数的值域为[ 1 ，+∞）。
二、解析式的求法
1、换元法
题1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.
练习1．若x
x x f -=1)1(,求)(x f . 2 已知2()43f x x x =-+，求(1)f x +；
3 已知f （x ）=1，则f （x+1）
2．配凑法
题2．已知221)1(x
x x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 练习2．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f .
3．待定系数法
题3．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ?=,且212)()1(x x g x g x ?=-++,
求)(x f 与)(x g .
练习：
（1）已知一次函数()f x 满足(0)5f =，图象过点(2,1)-，求()f x ；
（2）已知反比例函数()f x 通过（2，3）求()f x
（3）已知幂函数()f x 通过（2，4
1），求()f x 4．方程组法
只含有一种函数出现x 和-x 或1/x
1设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式
x x
f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式. 练习 ： 已知f （x ）+2f （-x ）=+2x 4x+3 求f （x ）
2任何一个函数可以写成一个奇函数和偶函数之和
已知f(x)+g(x)= +2x 2x+1 ，其中f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数，求f(x)和g （x ）
5．赋值法
题5．若)()()(y f x f y x f ?=+,且2)1(=f ， 求值)2004()
2005()3()4()2()
3()1()
2(f f f f f f f f ++++ .
6．利用给定的特性求解析式.
例：设)(x f 是偶函数,当x ＞0时, x e x e x f +?=2)(,求当x ＜0时，
)(x f 的表达式.