一、简答题 1、弹性力学和材料力学在研究对象上的区别？ 答：材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学除了研究杆状构件外，还研究板、壳、块，甚至是三维物体等。因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。 2、理想弹性体的五点假设？ 答：连续性假定、完全弹性假定、均匀性假定、各向同性假定、小位移和小变形的假定。 3、什么叫轴对称问题，采用什么坐标系分析？为什么？ 答：如果弹性体的几何形状、约束状态以及外载荷都对称于某一根轴，那么弹性体所有的位移、应变和应力也都对称于这根轴，这类问题称为轴对称问题。对于轴对称问题，采用圆柱坐标比采用直角坐标方便得多。当以弹性体的对称轴为Z 轴时，则所有的应力分量，应变分量和位移分量都只与坐标r、z有关，而与θ无关。 4、梁单元和杆单元的区别？ 答：梁单元和杆单元在形状上没有多大区别，其截面可以是任何形状，有一方向的长度远远大于另外两个方向。主要区别是受力不同，梁单元主要承受弯矩，杆单元主要承受轴向力。杆单元通常用于网架、桁架的分析；而梁单元则基本上可以适用于各种情况。 5、薄板弯曲问题与平面应力问题的区别？ 答：平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷，变形发生在板面内；后者受力特点是当承受垂直于板面的载荷时，板在弯曲应力和扭转应力作用下将变成曲面板。 6、有限单元法结构刚度矩阵的特点？ 答：主对称元素总是正的；对称性；稀疏性；奇异性；非零元素呈带状分布。7、有限单元法的收敛性准则？ 答：完备性要求，协调性要求。 完备性要求。如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。或者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为常数的项。单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。 协调性要求。如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在单元交界面上必须具有Cm-1连续性，即在相邻单元的交界面上应有函数直至m-1阶的连续导数。 当单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是协调的。 8、简述圣维南原理在工程实际中的应用？ 答：在工程实际中物体所受的外载荷往往比较复杂，一般很难完全满足边界条件。当所关心的并不是载荷作用区域内的局部应力分布时，可以利用圣维南原理加以简化。圣维南原理在钢管混凝土拱桥分析中的应用，能够得到合理的结果，优化了结构性能。圣维南原理在材料力学中也有应用，在工程实际中经常要计算连接件，如铆钉，螺栓，键等，由于构件本身尺寸较小，变形比较复杂，采用计算其名义应力，然后根据直接的试验结果，确定其相应的许用应力，来进行强度计算。 二、论述题 1、任何一个有限元分析问题都是空间问题，什么情况下可以简化为平面问题？轴对称问题？空间梁问题？为什么 答：当物体具有特殊形状，受特殊的外力，特殊的位移约束时，空间问题就可以简化近似的典型问题进行求解，所得到的结果能满足工程上的精度要求，而分析计算工作量大大减少。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题，当研究对象一个方向的尺寸远小于另两个方向，外力和约束仅平行于板面作用而沿Z向不变，且仅有的三个应力分量是x、y的函数时，这样的空间问题就可以转换成平面应力问题；当研究对象一个方向的尺寸远大于另外两个方向的尺寸且沿长度方向几何形状和尺寸不变，外力平行于横截面作用而沿长度z方向不变，任意一横截面均可视为对称面，这样的空间问题就可以转换成平面应变问题，如挡土墙、重力坝。如果弹性体的几何形状、约束状态以及外载荷都对称于某一根轴（过该轴的任意平面都是对称平面），那么弹性体的所有应力、应变和位移也就对称与这根轴，这样的问题就可以转换为轴对称问题。当构件的长度远大于其横截面尺寸，如传动轴、梁杆等，这样的问题就可以转换为空间梁问题。 2、阐述有限元的基本思想。试从有限元程序开发和采用成熟软件两方面进行有限元分析 答：有限元的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个结点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。由于单元的数目是有限的，接点的数目也是有限的，所以称为有限单元法。 有限元程序开发：力学模型的确定；结构的离散化；计算载荷的等效节点力；计算各单元的刚度矩阵；组集整体刚度矩阵；施加便捷约束条件；求解降阶的有限元基本方程；求解单元应力；计算结果的输出。 成熟软件①前处理器：定义单元类型；定义材料属性；建模；约束，载荷施加等②求解器。单元刚度矩阵生成；约束处理；线性方程组，单元位移及应力等求解③后处理器：结果查询与显示；验算等。 3、有了本门课程的有限元分析技术基础，如果以后涉足机械方面的有限元分析，你觉得应从哪些方面深化学习和开展工作，具体采用哪些方式？ 答：一、学习数学基础知识 (1)矩阵论，由于涉及到多维广义坐标下的运算，有限元多以矩阵的形式表达，力求简化形式，突出重点。(2)泛函和变分。泛函是寻找场函数在积分域上的最优值问题，变分是泛函研究的重要手段。(3)数值方法，有限元本身就是数值方法，在实现有限元分析的过程中，要用到大量的数值方法和算法。(4)数学分析，其中的多元函数积分，向量函数的积分应用较多。 二、学习程序实现和使用 (1)程序实现，有限元最终是通过程序实现的，有限元的理论研究与编程密不可分，应学习C或C++等语言。(2)程序使用，熟练掌握大型有限元程序，如ANSYS、SAP等，使用程序使用有限元，要注意观察程序的计算结果，有意识的根据单元的特性分析结果特点。 三、要有一定的力学基础 熟练理论力学，材料力学、结构力学，特别是弹性力学，很多工程中的有限元问题未能很好的解答，并非由于软件的功能所致，而是我们的知识不够。
矩阵分析在-------机械振动中的应用 摘要：随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。本文采用了矩阵论中所学的矩阵相似变换、矩阵正交化及特征方程等相关知识，对多自由度系统的自振动的运动微分方程进行了研究分析，引入正则坐标并采用坐标变化法求得了振动系统的自由响应。 关键词：多自由度系统，正则坐标，自由响应 一、引言 20世纪60年代，随着计算机技术的进步，航空航天技术和综合自动化的发展需要，对于复杂的机械结构特性分析也越来越重要。而对于像航天器等复杂的机械结构需要用更多的自由度来描述，多自由度系统的振动方程式二阶常微分方程组。建立系统方程是振动分析的前提，但随着自由度的增多，所建立的系统运动微分方程也越来越复杂，对于离散系统运用牛顿第二定律的方式来对方程进行求解也越来越困难，为此发展了柔度系数法和刚度系数法，而拉尔朗日方程是建立系统控制方程的最通用方法，他使用功、能和广义力等物理量，得到了完全刻画系统的最少方程。本文只考虑阻尼矩阵能够被无阻尼振形矩阵对角化的情形，分析其基本理论方程，并用实例进行论证求解。 二、多自由度系统的自由振动理论 本文主要对多自由度系统的自由振动进行求解，在介绍多自由度系统的振动之前，先介绍单自由度无阻尼的自由振动以便了解机械振动理论的基本原理。 1.单自由度无阻尼系统的自由振动
矩阵论在方程解耦及最小二乘法中的应用摘要：模态（也称为固有振动模态，或主模态）是多自由度线性系统的一种固有属性，可由系统的特征值（也称为固有值）与系统的特征矢量（也称为固有矢量，或者主振型）二者共同来表示的；它们分别从时空两个方面来刻画系统的振动特性。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型，其可以使得耦合方程组解耦。作用于一个n维自由度系统，可以转换到模态坐标下来解耦，确定在模态坐标下响应，然后通过线性变换得到物理坐标下的响应。惯常使用中，将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数[1]。 在科学实验和工程计算中，我们希望从给定的数据出发,构造一个近似函数，使数据点均在离曲线的上方或下方不远处，所求的曲线称为拟合曲线，它既能反映数据的总体分布，又不至于出现局部较大的波动，更能反映被逼近函数的特性，使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小，这就是最小二乘法。最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，使这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小[2]，则需要范数的知识。 关键字：模态，方程解耦，最小二乘 一、引言 数学中解耦是指使含有多个变量的数学方程变成能够用单个变量表示的方程组，即变量不再同时共同直接影响一个方程的结果，从而简化分析计算。通过适当的控制量的选取，坐标变换等手段将一个多变量系统化为多个独立的单变量系统的数学模型，即解除各个变量之间的耦合。 对离散型函数(即数表形式的函数)考虑数据较多的情况.若将每个点都当作插值节点，则插值函数是一个次数很高的多项式，比较复杂，而且由于龙格振荡现象，这个高次的插值多项式可能并不接近原函数。最小二乘法在实际工程数据处理中应用广泛，在工程问题中，使用最小二乘法根据两个变量的几组实验数据可 1
一、 报告摘要 在已知曲线大致模型的情况下，运用曲线拟合最小二乘法，使得观测数据与曲线模型数据之间的误差平方和最小。进而求得曲线的模型参数，并由所求的曲线模型进行分析预测。 二、 题目内容 一颗导弹从敌国发射，通过雷达我们观测到了它的飞行轨迹，具体有如下数据： 我国军情处分析得出该导弹沿抛物线轨道飞行。 问题：预测该导弹在什么水平距离着地。 三、 基本术语 1. 内积 设V 是实数域R 上的线性空间，如果V 中任意两个向量,αβ都按某一个确定的法则对应于惟一确定的实数，记作(,)αβ，并且(,)αβ满足 i. 对任意的,V αβ∈，有(,)(,)αββα= ii. 对任意的,,V αβγ∈，有(,)(,)(,)a αβγγβγ+=+ iii. 对任意的,,k R V αβ=∈有(,)(,)k k αβαβ= iv. 对任意的V α∈，有(,)0αα≥。当且仅当0α=时，(,)0αα= 则称(,)αβ为向量,αβ的内积。如无特殊说明的，我们认为对任意向量
1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ== ，其内积(,)αβ为 1122(,)n n a b a b a b αβ=+++ 2. 范数 如果V 是数域K 上的线性空间，且对于V 的任以向量χ，对应于一个实数函数χ，它满足如下三个条件。 i. 非负性 当0χ≠时0χ>；当0χ=时，0χ=； ii. 齐次性 ,a a V χχχ=∈； iii. 三角不等式 ,,V χζχζχζ+≤+∈； 则称χ为V 上χ的范数。 可以证明对于向量12(,,,)n χξξξ= 的长度 χ= 是一种范数，我们称为2-范数，记为2χ。 3. 线性方程组 设有n 个未知数m 个方程的线性方程组 11112211 21122222 1122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=?? ????+++=? 可以写成以向量x 为未知元的向量方程 Ax b = 则A 为该方程的系数矩阵，(,)B A b =为增广矩阵。该线性方程有解的条件如下 i. 当A 的秩()R A 和B 的秩()R B 满足()()R A R B <时，该方程无解 ii. 当()()R A R B n ==时，该方程有唯一解。
南京航空航天大学2012级硕士研究生
二、(20分)设三阶矩阵，，. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形； A (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页
三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解； A (2) 求广义逆矩阵； +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页
研究生“矩阵论”课程课外作业 姓名：学号： 学院：专业： 类别：组数： 成绩：
人口迁移问题和航班问题 (重庆大学 机械工程学院，机械传动国家重点实验室) 摘要：随着人类文明的进程，一些关于数学类的问题越来越贴近我们的生活，越发觉得数学与我们息息相关。本文将利用矩阵理论的知识对人口迁移问题和航班问题进行分析。 人口迁移问题 假设有两个地区——如南方和北方，之间发生人口迁移。每一年北方50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示： 问题：如果这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部都到南方？如果会请说明理由；如果不会，那么北方的最终人口分布会怎样？ 解 设n 年后北方和南方的人口分别为n x 和n y ， 我们假设最初北方有0x 人，南方有0y 人。则我们可得，1=n 时，一年后北方和南方的人口为 ???+=+=0 010 0175.05.025.05.0y x y y x x (1-1) 将上述方程组(1-1)写成矩阵的形式 ??? ? ??=???? ??0011y x A y x 其中 ?? ? ???=75.05.025.05.0A 2=n 时，两年后北方和南方的人口为 ???? ??=???? ??=???? ??0021122y x A y x A y x 依次类推下去，n 年后北方和南方的人口为 ??? ? ??=???? ??00y x A y x n n n (1-2) N S 0.5 0.25 0.5 0.75
现在只需求出n A 就可得出若干年后北方和南方的人口数。 下面将使用待定系数法[1]求n A )1)(25.0(25 .025.125 .05.0)75.0)(5.0(75 .05.025 .05 .02--=+-=?---=----= -λλλλλλλλλA E 所以 1,25.021==λλ 矩阵A 的最小多项式为 )1)(25.0()(--=λλλm 设A a E a A n 10+= 由此可得方程组 ???=+=+125.025.01010a a a a n 解方程组得 ???????-=+-=75.025.0175.025.025.010n n a a 所以 ?? ????+?--?+=-++-=+=++11 1025.05.025.05.05.025.025.025.05.025.075.0175 .025.0175.025.025.0n n n n n n n A E A a E a A 所以由式(1-2),我们得到n 年后北方和南方的人口 北方:01 075.025.025.075.025.05.025.0y x x n n n +-+?+= 南方:01 075 .025.05.075.025.05.05.0y x y n n n +++?-= 当∞→n 时，得 )(3 1 )75.025.025.075.025.05.025.0(lim lim 0001 0y x y x x n n n n n +=-+?+=+∞→∞→
重庆大学学术型硕士研究生培养方案 力学（专业代码：080100） 一、培养目标 本学科专业培养能够从事力学方面的教学、科研或相关工程设计工作的高层次人才。学位获得者应具备坚实的力学和数学基础理论和较宽广的专业知识；较为熟练地掌握一门外国语；了解本学科理论研究和工程应用的前沿动态；具有一定的理论分析、试验研究及数值分析能力，能结合与本学科相关的实际问题从事科学研究或工程技术工作，并取得较系统的研究成果。 二、学科、专业及研究方向简介 重庆大学工程力学专业创建于1978年。1981年获得固体力学硕士学位授权点，是全校最早的硕士授权点之一；1986年获得固体力学博士学位授权点，是原重庆大学八个最早获得博士学位授权点的学科之一；2003年获得力学博士学位授权一级学科；2007年力学一级学科被确立为重庆市重点学科。 重庆大学力学博士学位授权一级学科包括固体力学、工程力学、流体力学和一般力学与基础力学四个二级学科博士学位授权点；固体力学、工程力学、流体力学和一般力学与基础力学四个硕士学位授权点。本学科拥有先进的MTS材料实验机和并行计算机系统等一批重要设备，为力学理论、试验和数值研究提供必要的条件。近年来，本学科承担了数十项国家和省部级项目以及大量重点横向合作项目，获得了丰富的科研成果。 1. 本学科主要研究领域： （1）多场耦合理论与智能材料及结构力学 （2）生物材料力学与高性能复合材料制备 （3）材料与结构的强度与破坏
（4）超常环境下材料及其微结构特性的理论与测试 （5）纳米材料特性及其微结构机理、多尺度及跨尺度分析 （6）结构动态特性及失效 （7）结构运动与变形耦合动力学及控制 （8）微重力下晶体生长过程的流体动力学、热张力流和浮力流理论、方法及其应用 （9）输配电装备及系统安全的关键力学问题 （10）多孔介质力学及其应用 （11）生物力学 （12）振动测试理论与技术 （13）智能与虚拟仪器的研制与开发 （14）可压缩流体动力学 （15）超音速流和冲击波 （16）线性波和非线性波 2. 主要研究方向： （1）材料的强度理论与破坏机理 （2）智能材料及结构力学 （3）材料特性的多尺度及跨尺度分析 （4）结构分析与优化 （5）结构振动及控制 （6）复合材料力学 （7）非线性动力学 （8）力学测试技术及仪器 （9）计算流体力学 （10）气体动力学 （11）线性波与非线性波 （12）浅水动力学 （13）多相流体力学 （14）环境流体力学
重庆大学全日制专业学位研究生培养方案 土木工程学院建筑与土木工程领域（085213） 一、专业（领域）简介 建筑与土木工程领域（土木工程学科）是研究建造各类工程设施所进行的勘测、设计、施工、管理、监测、维护等的工程领域，其涉及的领域方向有结构工程，岩土工程，桥梁与隧道工程，防灾减灾工程及防护工程，土木工程建造等。本领域覆盖的技术主要有设计技术、施工技术、维护与加固技术、管理技术、实验技术、计算机分析与仿真技术等。 建筑与土木工程领域（土木工程学科）覆盖建筑业、交通运输业、水利、环境和公共设施管理业、采矿业以及电、燃气和水的生产和供应业等与国家的经济社会发展有着密切联系的行业。 二、培养目标 1.人才培养目标及定位： 培养掌握土木工程专业领域坚实的基础理论和系统深入的专业知识，具有较强的解决工程实际问题的能力，并具有创新能力的应用型、复合型高层次工程技术和工程管理人才。 2.知识要求： 基本知识包括基础知识和专业知识，涵盖本领域任职资格涉及的主要知识点。 （1）基础知识
掌握扎实的基础知识，包括按特定领域方向可选的矩阵论、概率论、数值分析、应用统计、随机过程、应用泛函分析、优化理论与方法等应用数学知识及相关物理、化学知识；外语、信息检索等工具性知识；自然辩证法、工程伦理、经济、管理以及法律法规等人文社科知识。 （2）专业知识 掌握本领域某一方向较为系统的专业基础知识及较为全面的专业技术知识，主要包括：弹塑性力学及有限元的理论与应用、结构动力学及其工程应用、土力学及其工程应用、现代土木工程材料、混凝土结构理论与应用、钢结构理论与应用、岩土工程理论与应用、地下结构理论与应用、桥梁结构理论与应用、现代施工技术、现代土木工程项目管理、结构防灾减灾技术、结构全寿命维护技术等。 随着领域外延的进一步扩大，不同学科与不同领域间的交叉进一步加深，本领域工程硕士专业学位获得者还可以根据自身的特点和需求，掌握相关专业的基础理论和专业知识。 3.能力要求： 建筑与土木工程领域（土木工程学科）的研究生教育应具备以下四个方面的能力： （1）获取知识能力 能够通过检索、阅读等一切可能的途径快速获取能够符合专业需求及关联问题信息的能力，并具备自主学习和终身学习的能力。 （2）应用知识能力
中国矿业大学 级硕士研究生课程考试试卷 考试科目矩阵论 考试时间年月 研究生姓名 所在院系 学号 任课教师
一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示） ； （2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ； （3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。
二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求At e ； （3）求该方程组的解。
三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ； （3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。
四（10分）设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。 五（10分） 设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-； （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。
六（10分）设m n r A R ?∈， （1）证明rank()n I A A n r + -=-； （2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。 七（10分）证明矩阵 21212123 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。
“矩阵论”课程研究报告科目：矩阵理论及其应用教师：舒永录 姓名：朱月学号：20140702057t 专业：机械工程类别：学术 上课时间：2014 年9月至2014年12 月 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师(签名)
相关变量的独立变换 摘要：用矩阵的理论及方法来处理实际生活中或现代工程中的各种问题已 越来越普遍。在工程中引进矩阵理论不仅是理论的表达极为简洁，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是毋庸置疑的。本文将矩阵论的知识用于解决实用机械可靠性设计问题。 正文 一、问题描述 在建立机械系统可靠性模型时，一般总假设个元素间关于强度相互独立。但是实际中，各元素间关于应力和强度又往往是相关的，并且这种相关性有时会对系统的可靠度产生显著影响。对于一些随机变量之间不是完全相关，但也不是完全独立的情况，就要进行相关变量的独立变换。 二、方法简述 设系统的基本变量为),,(21n x x x X ，??，各变量之间相关，则随机变量x 的 n 维正态概率密度函数为[1] )1()()(21exp ||2()(1 2 12 ? ??--???-=---X X T X X n X C X C X f μμπ） 式中 ?? ? ???????????=2321232212131212 ),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(21n X n n n n X n X X x x x x x x x x x x x x x x x x x x C σσσ 称为随机变量X 的协方差矩阵。矩阵中的任意元素),cov(j i x x 是变量i x 与变 量j x 的协方差，|C X |是协方差矩阵的行列式，1 -X C 是协方差矩阵的逆矩阵，X ，X μ及 )X X μ-（是n 维列向量 ?? ? ?? ?????--=-????? ?????=?? ??? ?????=n n X n X n x x X x x μμμμμμ 1111, , X
“矩阵论”课程研究报告 科目：矩阵理论及其应用教师：曾理 姓名：学号： 专业：机械工程类别：学术型硕士上课时间：2016 年9 月至2016 年12 月 考生成绩： 阅卷评语： 重庆大学研究生院
桥式微位移放大机构静态输出位移及放大比分析 （重庆大学机械工程学院，重庆, 400044） 摘要：根据桥式微位移放大机构的结构全对称性，建立了桥式微位移放大机构四分之一数学模型。采用矩阵法建立了桥式放大机构的柔度矩阵，推导出了桥式放大机构的X、Y向输出位移及位移放大比公式，理论求解与ANSYS仿真结果进行对比误差均在10%以内。分析了桥式微位移放大机构关键参数对其静态输出位移及放大比的影响。为桥式微位移放大机构的理论分析、研究、设计奠定了基础。 关键词：桥式放大机构；矩阵法；柔度矩阵；位移放大比 Analysis of Static Output Displacement and Amplification Ratio of Bridge-type Micro-displacement Amplifier Shen Zhonglei (College of Mechanical Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China) Abstarct：Based on the full symmetry of bridge micro-displacement amplifying mechanism, a quarter of mathematical model of bridge micro-displacement amplifying mechanism is established. The flexibility matrix of bridge amplifying mechanism is established by using matrix method. The output displacement and displacement magnification ratio formula of bridge amplifying mechanism is deduced. The comparison error between theoretical solution and ANSYS simulation result is less than 10%. The influence of the key parameters of bridge micro-displacement amplifier on its static output displacement and amplification ratio is analyzed. Which lays the foundation for the theoretical analysis, research and design of bridge micro-displacement amplifying mechanism. Keywords：Bridge-type amplifying mechanism；Matrix method；Flexibility matrix；Amplification Ratio
矩阵论试题 、（10 分）设函数矩阵 sin t cost At cost sin t 求： A t dt 和( 0 t 0 A t dt )'。 解： A t dt = 0 tt sin t dt 00 t costdt cost dt t sin tdt = 1 cost sint sint 1 cost t2 ( A t dt )' 2 = A t 2 2t sint2 2t cost 2 cost cost2 sint2 、（15分）在R3中线性变换将基 1 0 1 1 1 ， 2 2 ，30 1 1 1 1 0 0 变为基 1 1 ， 2 1 ，33 0 1 2 (1 )求在基 1, 2, 3 下的矩阵表示A； (2 ) 求向量1,2,3 T及在基1, 2, 3下的坐标； (3 ) 求向量1,2,3 T及在基1, 2, 3下的坐标。解：（1）不难求得： 1 1 1 2
因此 在 1, 2, 3 下矩阵表示为 1 1 1 A 1 1 2 011 k 1 (2) 设 1 , 2 , 3 k 2 ，即 k 3 0 1 k 1 解之得： k 1 10, k 2 4, k 3 9 解：容易算得 在 1, 2 , 3下坐标可得 y 1 1 1 1 10 23 y 2 1 1 2 4 32 y 3 0 1 1 9 13 (3) 在基 1, 2 , 3下坐标为 10 10 1 10 1 A 1 4 11 14 15 9 11 09 6 在基 1, 2 , 3 下坐标为 23 10 1 23 10 A 1 32 11 1 32 4 13 11 0 13 9 0 02 三、（20 分）设 A 0 1 0 ，求 e At 。 1 03 2 , 3下坐标为 10, 4, 9 T 。 所以 在 1,
“矩阵论”课程研究报告 科目：矩阵论教师： 姓名：学号： 专业：类别： 上课时间： 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师(签名)
矩阵分析在问卷扫描识别中的应用 摘要： 图像处理主要研究图像变换、图像增强、图像缩放以及图像的分割分解等内容。通过像素矩阵把图像处理归结到了矩阵分析的方法中来，通过分析矩阵的方式来对图像进行相应的处理，实现了图像处理与矩阵分析的融合，为各种图像处理提供了一种良好的数学实现途径。图像像素矩阵的产生，为图像处理提供了一种新的途径，许多对图像的处理，都可以转化为对矩阵的分析。因此，在问卷扫描识别中图像像素的矩阵分析起到了至关重要的作用。 正文 一、问题描述 目前，考试客观题部分的评阅长期以来一直采用基于光学标记识别技术（OMR）的选项图像信息识别系统，而现实生活中利用标准的答题卡对问卷数据进行采集存在工作量大、误差大等问题。因此，如何将大量普通调查问卷的信息进行电子化处理成为关键。本文通过将普通调查问卷进行图像扫描，通过位图图像实现对像素矩阵的提取，以此对图像的分析都可以转化为对矩阵的分析，完成了由二维图像数字矩阵的变换，从而使问题变得准确、简便、易行。 二、实验基本原理 1、图像边缘检测 图像理解是图像处理的一个重要分支，研究为完成某一任务需要从图像中提取哪些有用的信息，以及如何利用这些信息解释图像。边缘检测技术对于处理数字图像非常重要，因为边缘是所要提取目标和背景的分界线，提取出边缘才能将目标和背景区分开来。在图像中，边界表明一个特征区域的终结和另一个特征区域的开始，边界所分开区域的内部特征或属性是一致的，而不同的区域内部的特征或属性是不同的，边缘检测正是利用物体和背景在某种图像特性上的差异来实现的，这些差异包括灰度，颜色或者纹理特征。边缘检测实际上就是检测图像特征发生变化的位置。图像边缘检测必须满足两个条件：一、能有效地抑制噪声； 二、必须尽量精确确定边缘的位置。
参考答案 ‘1 0 0、 一(15 分〉、设 A= 0 3 1 , - b (1)求可逆矩阵P使得P'AP=J ,其中丿为A的Jordan标准形； (2)计算0； (3)求微分方程组斗卩=Ax(t), x(0) = 的解。 解：(1) |27-4| = (2-1)(2-2)2 ‘1 0(P 21 — A= 0 —1 -1 , rank(2/ — A) = 2, dim N(2/ — A) = 3 — 2 = 1 w 1 1 > 故A的Jordan标准形为 <1 、 J= 2 1 <1 、 记P = [a^a2,a3],由P~l AP = J = 2 1 得 1 2 丿 Aa x = a x T r 0、了 Aa2 = 2a2=> ?)=0 ,0 = J 1 ,巾= 0 Aa, =G2+ 2a30 、一 1丿 1 ‘1 0 0、 p =0 1 0 (不唯一)9P-}AP = J = 2 1 1 ° -1 b < J （2）根据
te 严=p e J,p-1 0 (T 2 、0 0、'e!0 0 0 1 0 e" te210 1 0 = 0 e"(l+f) te21 -1 1 / X e21 z 1 b 0 -te2'戶(1-?(3) x(t) = e At x(0) = e2t 二（15分人设 5 1 0、0 A = 1 2 1 ,b = 1 <0 1 1> kb （1）求A的满秩分解A = FG, （2）求A的广义逆矩阵?r： （3）求Ax=b的最小2—范数最小二乘解X”。 (2) fl 2 (3) x Ls. = A'b = — 2 9b r (1 o -n 1 2 '0 1 0 , <0 1> \ / FG（不唯一） 解：(1) A = 5
“矩阵理论及其应用”课程研究报告 科目：矩阵理论及其应用教师：蒋卫生 姓名：学号: 专业：机械电子工程类别：学术 上课时间：2013 年10 月至2013 年12 月 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师(签名)
最小二乘法问题 摘要：无论在哪个专业领域，都不可避免的要面对测量所得到的一批数据。这些数据看似杂乱无章，但对于特定的时间却是符合特定的规律。而要发现这些规律必须借助一定的手段。矩阵理论作为一门具有强大功能的学科再此发挥了它重要的作用。用矩阵论的理论来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍了。在工程技术中引进矩阵理论不仅使理论的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是不容质疑的，更由于计算机和计算方法的普及发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了崭新的研究途径。矩阵理论与方法已成为研究现代工程技术的数学基础。因此，对于数据的处理采用最小二乘法是最恰当不过的了。 关键词：数据处理，矩阵理论，最小二乘法 正文 一、引言 最小二乘法已有近200年的发展历史，它首先由Gauss K F提出并被应用于天文计算中，现已被广泛地用来解决各种技术问题。在过去的30多年里，它已被成功地应用到过程控制系统的参数估计领域，数字计算机技术又使最小二乘原理更有实践价值。参数估计现在模型结构已知时，用实验法所取得的数据来确定表征系统动力学模型中的参数。最小二乘法原理提供了一个数学程序，通过它可以获得一个在最小方差意义下与实践数据拟合最好的模型，它在稳态系统数学模型的回归分析方面应用已很成熟，在动态系统的参数辨识方面也取得了许多重要成果，其参数估计的收敛性质也得到了深入的研究，可以说在参数估计领域中最小二乘方法已达到了完善的程度。 本文讨论的问题如下： 一颗导弹从敌国发射，通过雷达我们观测到了它的飞行轨迹，具体有如下数据：
矩阵论试题 一、(10分)设函数矩阵 ()??? ? ??-=t t t t t A sin cos cos sin 求：()?t dt t A 0和(()?2 0t dt t A )'。 解：()?t dt t A 0=()???? ? ??-????t t t t tdt tdt dt t dt t 0 sin cos cos sin =??? ? ??---t t t t cos 1sin sin cos 1 (()?2 t dt t A )'=()??? ? ? ?-=?22 22 2sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基 ????? ??-=1111α，????? ??-=1202α，??? ?? ??-=1013α 变为基 ????? ??-=0111β，????? ??-=1102β，??? ? ? ??-=2303β (1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ； (2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标； (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。 解：(1)不难求得： ()2111ααβασ-== ()32122αααβασ++-== ()321332αααβασ++-==
因此σ在321,,ααα下矩阵表示为 ??? ? ? ??---=110211111A (2)设()??? ?? ??=321321,,k k k αααξ，即 ??? ? ? ??????? ??---=????? ??321111021101 321k k k 解之得：9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。 ()ξσ在321,,ααα下坐标可得 ???? ? ??--=????? ??--????? ??---=????? ??1332239410110211111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为 ??? ? ? ??-=????? ??--????? ??--=????? ??---61519410011111101 94101A ()ξσ在基321,,βββ下坐标为 ????? ??--=????? ??--????? ??--=????? ??---94101332230111111011332231A 三、(20分)设??? ? ? ??-=301010200A ，求At e 。 解：容易算得 ()()()()212--=-=λλλλ?A I
重庆大学研究生《矩阵论》课程试卷 2012 ~2013 学年 第 一 学期（秋） 开课学院： 数学与统计 课程编号： 考试日期： 考试方式： 考试时间： 120 分钟 一、判断题。(每题3分，共30分) (1)位于第一象限，以原点为起点的向量构成的集合，按通常向量加法和数乘法，在实数域上构成线性空间。 （×） (2)任意线性空间的元素都是无穷多个。 （×） (3)若12x u x ??= ???,12y v y ??= ??? ,则11122122(,)3u v x y x y x y x y =--+是2 R 中的内积。(√ ) (4)上三角的正交阵必为对角阵。 (√ ) (5)在线性空间V 中定义 1αα=+，则 是线性变换。 （×） (6)矩阵A 的特征多项式必定是A 的零化多项式。 (√ ) (7) 矩阵A 谱半径12()max{,,,}n A ρλλλ= ，其中12,,,n λλλ 为A 的全体特征 值。 （×） (8) 矩阵A 谱半径()A ρ小于等于矩阵A 的任意一种范数。 (√ ) (9)对任意矩阵A 都有()()r A r A -≥。 (√ ) (10)任意的方阵都可以写成一个对称阵和一个反对称阵的和。 (√ ) 二、（10分）在22R ?中，（1）求基(I) 123421012113,,,0122 1212A A A A -???????? ==== ? ? ? ????????? 到基(II) 123412111211,,,10111101B B B B ----????????==== ? ? ? ?-???????? 的过渡矩阵；（2）求1234234A B B B B =+++在基(I)下的坐标。 三、（10分）写出，并用其证明：对任意的实数12,,,n a a a 有 1 n i i a =≤∑四、(10分)已知122212221A ?? ?= ? ???，求11,,,,,()m F m A A A A A A ρ∞∞。 五、（10分）已知1101B ?? = ??? ，在线性空间{}221122()0,ij ij V A a a a a R ?==+=∈中定义变换 ()T T A B A A B =-，其中A V ∈。 （1） 证明变换 是线性变换。 （2） 求V 的一组基，使线性变换 在该基下的矩阵为对角阵。 命 题（组题）人 ： 审 题人： 命 题时间： 研 究生院制 学院 专业（领域） 类别 （ ） 学号 姓名 封 线 密
重庆大学课程论文 2014-2015学年第二学期《西方文化史》选修课课程论文 题目：拜读《哈姆雷特》 中文姓名： 英文名： 专业： 学号： 所在学院： 授课教师： 成绩： 重庆大学城市科技学院 2015年 6 月
拜读《哈姆雷特》 [摘要]：《哈姆雷特》这个悲剧是莎士比亚的中心作品，最丰富的作品；哈姆雷特这个人物已经在西方成为家喻户晓的形象。《哈姆雷特》可以说莎士比亚的戏剧中被人们讨论最多的一部悲剧了。并且还由此而产生了一句谚语“一千个读者就有一千个哈姆雷特。”可见它的影响是多么的深远。本文主要讲在读过这本书后，对这本书中人物分析和故事想要披露的人性。 [关键词]：哈姆雷特；四大悲剧；人性；伦理；人生 一、引言 众所周知，莎士比亚有四大悲剧，而《哈姆雷特》则是四大悲剧中的第一悲剧。在《哈姆雷特》这一悲剧中，不管是王子的复仇悲剧，还是他与他的爱人奥菲莉娅之间的爱情悲剧，都是由他们性格中的弱点所造成的。正因为如此，我们才看出了莎士比亚的悲剧与古希腊的悲剧的不同之处，一是命运悲剧，一是性格悲剧。 然而《哈姆雷特》之所以成为莎士比亚四大悲剧之首，不仅仅在于作品最后的悲惨结局，同时还在于作品带给人们沉重的反思，对哈姆雷特命运的反思，对当时文艺复兴时期社会背景的反思。而主人公哈姆雷特最后的结局，则是整个时代发展的必然趋势，其个人牺牲也是作品发展的最终结局。在某种程度上，悲剧不是不幸，而是某种意义上的美。在这种悲剧中，索菲亚、哈姆雷特既是不幸的，却又是庆幸的。他们对邪恶命运的抗争精神是值得我们尊敬的。作品中，哈姆雷特勇于挑战自我的精神是感动使者的最大亮点。 二、故事梗概 丹麦王子哈姆雷特在德国威登堡大学就读时突然接到父亲的死讯，回国奔丧时接连遇到了叔父克劳迪斯即位和叔父与母亲乔特鲁德在父亲葬礼后一个月匆忙结婚的一连串事变，这使哈姆雷特充满了疑惑和不满。紧接着，在霍拉旭和勃那多站岗时出现了父亲老哈姆雷特的鬼魂，说明自己是被克劳迪斯毒死并要求哈姆雷特为自己复仇。随后，哈姆雷特利用装疯掩护自己并通过"戏中戏"证实了自己的叔父的确是杀父仇人。由于错误地杀死了心爱的奥菲莉亚的父亲波罗涅斯，克劳迪斯试图借英王手除掉哈姆雷特，但哈姆雷特趁机逃回丹麦，却得知奥菲莉亚自杀并不得不接受了与其兄雷欧提斯的决斗。决斗中哈姆雷特的母亲乔特鲁德因误喝克劳迪斯为哈姆雷特准备的毒酒而中毒死去，哈姆雷特和雷欧提斯也双双中了毒剑，得知中毒原委的哈姆雷特在临死前杀死了克劳迪斯并嘱托朋友霍拉旭将自己的故事告诉后来人。 三、主要人物分析