抽象函数单调性和奇偶性
1. 抽象函数的图像判断单调性
例1.如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5,那么在区间上是( )
A. 增函数且最小值为
B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为
D. 减函数且最大值为 分析:画出满足题意的示意图,易知选B 。 2、抽象函数的图像求不等式的解集
例2、已知定义在R 上的偶函数f (x)满足f (2)0=,并且f (x)
在(,0)-∞上为增函数。若(1)(a)0a f ->,则实数a 的取值范围 .
二、抽象函数的单调性和奇偶性 1.证明单调性 例3.已知函数f(x)=
1
)(1
)(+-x g x g ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. (m)(n)(m n)(m,n )g g g R =+∈ . 求证: f(x)是R 上的增函数.
解:设x 1>x 2因为,g(x)是R 上的增函数, 且g(x)>0。 故g(x 1) > g(x 2) >0。 g(x 1)+1 > g(x 2)+1 >0,
?
1)(22+x g >1)(2
1+x g >0
?
1)(22+x g -1
)(2
1+x g >0。
f(x 1)- f(x 2)=1)(1)(11+-x g x g - 1)(1)(22+-x g x g =1-1)(21+x g -(1-1)(2
2
+x g ) =
1)(22+x g -1
)(2
1+x g >0。可以推出:f(x 1) >f(x 2),所以f(x)是R 上的
增函数。
例4.已知f x ()对一切x y ,,满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=?,,且当x <0时,f x ()>1,求证:(1)x >0时,01< 证明:Θ对一切x y R ,∈有f x y f x f y ()()()+=?。且f ()00≠,令x y ==0, 得f ()01=, 现设x >0,则- >f x f x ()() 1 1 ∴<<01f x (),设x x R 12,∈且x x 12<, 则0121<- 例5.已知的定义域为R ,且对任意实数x ,y 满足,求证:是偶函数。 分析:在中,令,得 令,得 于是,故是偶函数。 三、求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性,去掉“f ”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别注意函数定义域的作用。 例6.已知f x ()是定义在(-11,)上的偶函数,且在(0,1)上为增 函数,满足f a f a ()()---<2402,试确定a 的取值范围。 解:Θf x ()是偶函数,且在(0,1)上是增函数, ∴f x ()在()-10,上是减函数, 由-<-<-<-??121 141 2 a a 得35< 2 342041021)4() 4()2(2222<?? ??->-<-<-<-<-?-=-<-a a a a a a f a f a f 解之得,