承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
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我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学院（请填写完整的全名）：计算机科学与技术学院
参赛队员(打印并签名) ：1. 程志鹏
2. 李睿琪
3. 胡鑫
日期：年月日
评阅编号(教师评阅时填写)：
基于灰色统计理论的课程（教师）教学效果评价
摘要
现行课程教学效果评价主要是由专家领导的评价为重点，而最有话语权的学生评价却只是个形式而已。本文旨在通过数学建模的方法对主观性强的学生评价信息进行加工处理，使之成为可靠有效的评价依据。
针对问题一，用EXCEL对原始庞杂的学生评课数据进行分类分析，发现诸如部分选课人数、部分课程评价率过低的异常情况，对此分别采用了合并小班或取消该课程、要求学生重新评价的方法来解决。同时，基于分类表格或图表对数据的分析发现选课人数较少评价普遍偏高，课程难度对其他指标评价影响大以及不同教学班的评价差异大，对
的简单模型来修正。
于这类不公平现象，建立k等级相关调和比率ρi
V ij k
针对问题二，在以往经验验证和对课程评价相关维度的综合考虑下，我们建立了科学合理的三级指标体系，将课程评价满意度作为一级指标，二级指标为四个较为宽泛的评价维度，而三级指标则是将各个二级指标细化得到的。并使用AHP法和Likert Scale 法构建合理的教学效果评价指标的多层权重关系。
针对问题三，建立了基于灰色统计理论的课程教学效果评价模型，将问题二中得到的三级指标体系转化为二级指标体系并运用在该模型中。有意将一个教学班作为一个评价者，根据5个评价等级（A,B,C,D,E）设置5个灰类及其相应的白化权函数f e(d ij s）。使用EXCEL对数据进行计算可以得出相应的灰色评价权向量及权矩阵，再使用MATLAB 软件对权矩阵分别与两级权重进行两层综合评价得出评价结果向量P(s)，再与各评价灰类等级值化向量H的转置矩阵相乘即可得出课程评价值W(s)。最后我们只需根据W(s)就可以对课程教学效果进行优劣排序。
针对问题四，由于是对教师进行教学效果评价，所以建立指标体系时，诸如教材选用的指标则不再适合，因此仿照问题二的做法重新建立了针对教师的评价体系。此评价体系涉及学生，专家，领导，同行，自己5类评价，代替问题三中的教学班作为“评价者”，再利用基于灰色统计理论的课程教学效果评价模型来进行教师教学效果评价。
本文创新之处在于使用了灰色统计模型，将模糊信息处理成一个描述不同灰类程度的权向量，考虑了不可避免的人为因素的影响，吸收各类基层信息作出高层次系统综合，提高了信息利用率，与目前较为广泛应用的加权平均分和模糊综合评判法相比准确度更高，评价更合理。而这种评价模型可以推广到其他主观评价问题中去。
关键字：教学效果评价等级调和比率层次分析法Likert Scale 灰色统计模型
目录
一、问题重述 (3)
二、问题一的求解 (3)
三．问题二的求解 (8)
四．问题三的建模 (13)
五．问题四的建模 (24)
附录一：文、理、工科信息详细图表 (26)
附录二：不同专业同一课程相关图表 (33)
附录三：不同选课人数段相关图表 (48)
附录四：选课人数不足30％的表 (51)
附录五：评价比率低于60百分之的科目表 (56)
附录六：各级指标权重 (59)
附录七：问题三模型求解的计算样本表 (61)
附录八：灰色评价系数表 (72)
附录九：综合评价过程数据 (75)
附录十：Matlab矩阵代码 (77)
一、问题重述
课程教学效果评价通常有学生评课、同行评课、专家评课和任课教师对所任课程的自我评价等方式，其中最直接、最生动、最具有说服力的和最能体现课程教学效果（或教学质量）的手段是学生评课。某校“学生评课”工作的开展时间是每学期的第12周至14周，范围是全校学生对该学期的个人所选课程，方式是由学生在教务系统的网上评课专区进行评价。学生根据评价课程指标体系（见表1，表2）给所学课程（含任课教师）进行打分。然后系统计算平均分或截边平均分作为评价该课程（或教师）教学效果的一个主要部分进行排序。这种方法在一定程度上促进了课程的建设与（或教师）教学效果的提高，同时也给我们提出一些问题：这种方法对所有的参评课程（含教师）公平吗？是否会因为学生类别（文、理、工等）、学生班级、学生选课人数、课程类别、课程学时、课程的性质与教师的任课门数而给出“不公平”的结果，最终影响课程教学效果的评价及排名？
为此，请你根据提供的学评课数据，评价指标体系，建立数学模型研究以下问题：1.分析评价数据，提出可能发生“不公平”的可疑之处（或异常情况），并给出修正方法；
2. 参评人数、学生类别（文科、理、工等）、学生班级、课程资源、课程教师教学效果、课程内容、课程考核方式等这些考核维度都可能影响课程效果评价结果，根据不同考核维度对课程效果的评价影响程度，建立一个你认为合理的学生评课评价指标体系？
3. 根据所给的数据与评价指标体系，设计一种公平、有效的方法，对课程教学效果进行评价并排序；
4. 针对同一门课程有多位教师任课的情况，请对不同教师在该门课程教学中的教学效果进行评价，并讨论你所提出方法的合理性、有效性与公平性。
二、问题一的求解
问题1：部分课程的选课人数少于30人，甚至不足10人；
可能是教学班本身的特点就是小班教学，但是这其中大多数课程都是因为无人问津，难以吸引学生导致的选课人数少。
修正方法：对于这类课程，有两种处理方法：
关闭该课程；
将选择该课程的同类教学班合并；
如表1.1中的健美操/舞蹈理论与实践和中西人文景点著作选读这类“边缘课程”可以选择将其关闭，取而代之以其他同类学生更有兴趣的课程；如表1.2中的多个教学班同时教学的“边缘课程”可以选择关闭，亦可选择合并其中几个教学班为一个教学班使其人数“合适”的方法；而对于表1.3中的这类大学生必不可少的课程则只能采取合并教学班的方法。
1.1 可以选择关闭的课程
表1.2可以选择合并的边缘课程
表1.3可以选择合并的重要课程
问题2：部分课程的评价人数比率不到60%；
评价人数比率较低的话，则不能反映大多数学生对该课程的评价情况，致使学生对该课程的评价不能反映课程的教学效果。导致这种情况发生的原因可能是该班的课程评价工作没有布置到位，或者是学生对该门课的评价积极性不高。
修正方法：要求所选该课程学生重新进行课程教学效果评价，若第二轮评课评价比
表1.4评价率不足60%的部分课程
问题3：选课人数较少的课程的学生评价总体偏高；
因为选课人数较少，学生对这种轻松的课堂感觉良好，评价自然会高些，而人数多的话，学生上课会觉得浮躁，对该课程的感觉则会较差，评价自然低些。而这种课堂的差异并不是由于课程本身决定的，所以对于评价课程教学效果是不公平的。
修正方法：将各课程按选课人数为依据进行分组，6个分组段分别为1~29,30~59,60~89,90~119,120~149和150人以上，以60~89人人数段的总体评价情况为标准，计算出相应人数段相应等级的的调和比率ρ1，在计算特定课程教学效果前将每个数据乘上此课程此评价等级对应的人数段调和比率。设某指标V ij 的60~89人数段总体被评k 等级的比率为ωk V ij ，第i 个人数段总体被评k 等级的比率为ωi k V
ij ，则指标V ij 的k 等级人数调和比率
ρ1V
ij k
=
ωk V ij ωi
k
V ij
设某课程指标V ij 的k 等级评价为φk V
ij ，则实际进行评价时调和数据为
φk V ij ′=ρ1V ij
k *φk V ij
这样即可消除因人数差别而带来的不公平因素。
表1.5不同人数段的总体课程评价差异
问题4：大多数课程因难度过高导致其他指标评价偏低。
课程较难的话，学生对该课程产生畏惧，不安情绪，对该课程印象会降低，所以很大程度上会影响该课程其他评价指标的评价情况，比如说一个教师在课后对学生的帮助已经尽到最大了，教学工作已经尽职尽责了，但是由于课程较难，学生还是不会买账，导致诸如课堂教学表现，课后对学生的帮助等指标评价低，这显然不公平！如表1.6中
的A8类课程，相对于其他专业类别的课程来说，其课程难度评价B等级获评率很高，学生感觉该类课程难度大，导致，其他指标则也相应B等级获评率很高，A等级获评率较低。而A4类课程教师对学生的帮助指标的B等级获评率高，但是并没有影响到其他指标的评价结果。所以由难度造成的连带影响是不公平的。
修正方法：参照问题2中解决因人数多少而导致评价不公平的问题的调和模型，来对难度进行以专业为总体的调和处理。
表1.6 课程难度指标在A类课程评价中的影响
问题5：部分课程，不同教学班级（专业）的评价间差异很大；
由于专业，学生类别不同，学生的价值观，学习态度，学习方式都会有所不同，对待相同的课程教学所表现的态度则会不同。如表1.7中的大学语文，A01，A04，A08，A16四个学院专业的学生的评价差异很明显，A01，A02，A06，A11四个学院专业的学生对电子电路基础这门课程的评价出入也很大。
修正方法：可以效仿修正因选课人数较少而导致的结果差异的方法来修正这个问题，设置专业调和比率来进行调和处理。
表1.7 相同课程在不同教学班的评价差异
问题6：部分实验课没有实验仪器和设备，但是表中该指标仍然有评价数据；
如表1.8中的这几类课程，该课程并没有向学生提供任何实验仪器和设备，如动画写生，学生只需自行准备笔和纸即可，而在评价结果上，该类课程的学生仍然进行了相应评价，显然是作假的，所以是异常情况。
表1.8 部分实验课程没有实验仪器和设备
问题7：被评价为C,D,E等级的普遍非常少，尤其是D,E两个等级，几乎普遍为0；
如表1.9中的两张统计图，学生的评价大多集中在A等级，其次是B等级，而C,D,E 等级的获评比率太低。由于学生评价过于集中A，B两个等级，而A,B两个等级通常都
是代表优良，这样会导致不同教学效果的课程之间的总体评价得分相差不大，不易区分好坏，且对较差教学效果的课程不能加以批评鞭策，最终评价结果的意义并不大，该现象出现的原因主要是因为学生对待课程教学效果评价的态度不重视。
修正方法：重新划分等级，使得A,B 等级更为细化，且督促学生端正对待课程教学效果评价活动的态度。
表1.9 课程评价获评等级对比
三．问题二的求解
3.1问题分析
一个好的课程教学效果评价体系应该包括以下四个方面：
而对于这几个大的指标，我们还可进行细化处理，每个指标都包涵若干个细化指标。具体指标细化情况如图所示。
由于有去年数据的支撑，在这里我们使用层次分析法和李克特量表来确定各项评价指标在整个评价体系中的权重。
为了便于在去顶权重中更精确地作出计算，此处采用三级指标的计算方法，满意度指标体系分为三级，一级指标即总体满意度；二级指标是对三级指标的归
纳，相对而言数量较少，三级指标的数量通常都较多，是直接交予学生评价的部分。因此如果对所有指标都采用直接赋权法并不现实。我们将满意度指标体系的权重确定分为两个部分，二级指标采用直接赋权法计算权重，三级指标采用推导重要性计算权重，三级指标在整个满意度指标体系的权重可以通过二级指标的权重的加权处理获得。
3.2模型假设
在进行权重确定的时候对各指标进行比较，并确定一个相对比较倍数，比较倍数越高，代表其在该指标下的权重越大。 3.3符号说明
3.4模型建立与求解 权重计算公式：
一级指标： 二级指标： i i ∑ i n i 1 三级指标： i i
i i ∑ i i
建立判断矩阵
将同一级中各因素相对于上一级而言两两进行比较, 对每一级中各因素相对重要性给出一定的判断, 采用1～ 9 的比率进行两两因素之间的相对比较。例如, 认为 i 比 j 同样重要, 则 ij , ji , 认为 i 比 j 稍微重要, 则 ij , ji , …, 构造出某一层次因素相对于上一层次的某一因素的判断矩阵。
ij [
T 11T 12 T 1(j?1)T 1j
T 21
T 22 T 2(j?1)T 2j
T
(i?1)1T (i?1)2 T (i?1)(j?1)T (i?1)j T i1
T i2
T i(j?1)
T ij ]
为了进行综合排序，我们发现，判断矩阵的每一行的和是与指标的比较倍数成正比的,所以得出以下公式;
T [TA 1TA
2TA 3
TA 4] [ ∑T ij
j ∑T ij j ∑T ij j ∑T ij j ]
并且为了使用方便，可以需选择适当的比例因子，使用归一化过程使得各因素重要值和为1，这样，各因素重要值就是所求的指标的权重。 示例计算表2所示权重：由比较倍数可得判断矩阵，为：
T ij = [
]
对各行求和得：
T=[
]
归一化后可得矩阵： T [
]
所得判断矩阵即为所求指标的各项权重。
另外，我们也可得出推论：
T ij T [
T 11
T 12 T 1(j?1)T 1j T 21
T 22 T 2(j?1)
T 2j
T
(i?1)1T (i?1)2 T (i?1)(j?1)T (i?1)j T i1
T i2
T i(j?1)
T ij ] [ ∑T ij
j ∑T ij j ∑T ij j ∑T ij j ]
[ ∑ ij j ∑ ij j ∑ i j j ∑ ij j ]
这说明T 还是成对比较矩阵T ij 的特征向量，对应的特征值为n ，理论上已严格地证明了n 是T ij 的唯一最大特征值。按类比法，我们也可以用求解特征方程的办法来得到重要性向量。示例计算如下：
T ij T [ ] [ [ ∑T ij j ∑T ij j ∑T ij j ∑T ij j ] ] [ [ ∑T ij j ∑T ij j ∑T ij j ∑T ij j ] ] 由计算得出T ij 的最大特征值n = 3.9993
得到其对应的特征矩阵 T []
由此我们可以算出各体系中的权重分布，其中二级指标权重分布为：
其余
三级
指标
的权
重比
例分
布见
附录。
一致
性检验：
同一个问题，相似的方法，为什么(5)与(8)两个结果不一致（尽管不影响排序）？现在我们来分析一下其中的原因。对于由重量比值构成的成对比较矩阵(2)，不难证明它具有性质
1) 唯一性a
i,i
= 1；
2) 互反性 a
i,j = 1/ a
j,i
；
3) 一致性 a
i,j a
j,k
= a
i,k
。
然而，重要性是由人来判断的，由于人对复杂事物采用两两比较的方法获得的重要性比值不可能做到完全一致，往往存在估计误差，因此所得的成对比较矩阵只具有性质1)和2)，一般不具有性质3)。比如说对于示例计算中的判断矩阵，就有
212331212331
这里的判断矩阵是满足三种性质的，所以满足一致性，其误差对综合排序没有影响，故可以忽略不计。但有些判断矩阵不满足性质3），所以其误差的大小是否会影响综合排序就需要进行一致性检验。
既然存在误差，我们就需要知道误差的程度到底有多大？会不会影响综合排序的结果？理论上已经证明：对于具有一致性的成对比较矩阵，最大特征值为n；反之如果一个成对比较矩阵的最大特征值为n，则一定具有一致性。估计误差的存在破坏了一致性，必然导致特征向量及特征值也有偏差。我们用n’表示带有偏差的最大特征值，则n’与n之差的大小反映了不一致的程度。考虑到因素个数的影响，Saaty将
CI
n n n
=
-
-
'
1
定义为一致性指标。当CI = 0时，判断矩阵A矩阵完全一致，否则就存在不一致；CI 越大，不一致程度越大。为了确定不一致程度的允许范围，Saaty又定义了一个一致性比率CR，当
CR CI RI
=<
/.01
时，认为其不一致性可以被接受，不会影响排序的定性结果。式中R I值如下表所示
应用上面的结果，我们可以算出示例计算中的判断矩阵有
CI = 0，CR = 0
没有误差，因此其不一致性可以被接受。
四．问题三的建模
4.1问题分析
学生根据不同定性指标来对课程教学效果进行评价是一个主观评价问题，这个评价是建立在学生的个人上课情况与个人偏爱基础之上的，所以难免存在因个人因素导致的偏差，这就使得学生评价出来的评价信息是不完全的，模糊的，即具有灰色性，因此我们使用控制系统中的灰色统计理论对评价信息进行处理是合理的。
由于一个教师同一门课程的授课教学班可能不唯一，所以必然要考虑该教师所授的特定课程的所有教学班的所有评价信息。某们课程的参评人数一般数量庞大，所以我们以教学班为单位，先对一个教学班的所有评价信息进行平均分析，然后将每个教学班作为一个评价个体。
此评价系统中每个评价指标共设有5个档次，而这些档次正是我们所说的灰数，只知道大概的范围而不知道确切的数。我们设定A表示优秀（100分以上），B表示良好（80分左右），C表示中（60分左右），D表示合格（40分左右），E表示差（20分以下）。于是我们可以定义5个白化函数f i(x) (i , , , , )。
对课程教学效果进行评价，首先要根据所建立的指标体系确定指标权重，得出各指标的分值，然后依据多层次灰色统计评价模型进行综合评价值的确定。
4.2模型假设
1.学生进行网络评课时，态度端正，实事求是，即网络评价结果能反映学生的真实想法；2．在课程教学效果评价指标中的评价等级按A,B,C,D,E逐渐降低，且等级越低，表示评价越低；
3.
4.3符号说明
4.4模型建立
4.4.1.确定评价体系
我们假定课程评价体系为三层评级系统，包括评价目标W，一级指标U i(i , , , ),二级指标V ij(i , , , ,j , , ),,关系如下：
4.4.2确定评价指标白化值并求出评价样本矩阵
每个评价指标V ij 为定性指标，可通过制定等级标准的方法将其定量化。以教学班为单位，相应等级（如等级A ）获评人数m ?p 除以该教学班参评人数m cp 再乘上相应等级（如等级A ）的白化值h,设共有k 个等级,然后将各个等级所求结果相加即为该教学班对该课程该项指标的评分d ij :
d ij ∑
m ?p
ij
m cp ij d i k
i 1
以这样的方法可以算出每个教学班对该课程该项指标的评分d ijl (s)
。从而得到某课程
的评价样本矩阵D (s)=[ d 111
(1)
d 112(1)
d 113(1)
d 11l (1)
d 121(1)d 122(1)
d 123(1)
d 12l (1)
d 11(1)d 1n1
(1)d 1n2(1)d 1n3(1) d 1nl (1)
d 211(1)d 212(1)d 213(1) d 21l (1)d 221(1)d 222(1)d 223(1) d 22l (1) d 2n1(1)d 2n2(1)d 2n3(1) d 2nl (1)
]
（不同行的n 值可以不同）。 4.4.3确定各级指标权重
由层次分析法求出各级指标权重，一级指标权重A (a 1a 2
a m )，二级指标
i (a i1a i2 a in ),其中
∑a i m
i 1
， ∑a ij m
j 1
a i ≥ ，a ij ≥ 。
4.4.4确定合理的评价灰类
设共有k 个评价等级，即e , , , ,k ，有k 个评价灰类，根据实际情况，确定每
个灰类的白化权函数f e (d ij s
）。常用的白化权函数有三种：
1） 第一灰类“高”（e=1），灰数○X 1
∈[d 1,∞)，白化权函数为f 1,白化权函数表达式为 f 1(d ijl (s)
)
{ d ijl (s)
d 1
, d ijl (s)∈( ,d 1)
, d ijl (s)
∈[d 1,∞) , d ijl (s)
∈ ? [ ,∞)
图4.1 第一类白化权函数
d d s
1
f 1
2) 第二灰类”中“（e=2），灰数○X 2
∈[ , d 2)，白化权函数为f 2，白化权函数表达式为： f 2(d ijl (s)) { d ijl (s)
2
, d ijl (s)∈( ,d 2)
d ijl (s)
? d 22 , d ijl (s)
∈[d 2, d 2)
, d ijl (s)
∈
? [ , d 2) 图4.2第二类白化权函数
3) 第三灰类”低“（e=3），灰数○X 3
∈[ , d 3)，白化权函数为f 3，白化权函数表达式为： f 1(d ijl (s)
)
{
d ijl (s)
? d 33, d ijl (s)∈(d 3, d 3)
, d ijl (s)
∈[ ,d 3)
， d ijl (s)
∈
? [ , d 3)
图4.3第三类白化权函数
4.4.5求灰色评价系数
对于评价指标V ij ，设x ije (s)
为第s 个受评课程属于第e 个评价灰类的灰色评价系数，则
x ije (s) ∑f e (L
l 1
d ijl (s)
)
对于评价指标V ij ，设x ij (s)
为第s
个受评课程属于各个评价灰类的总灰色评价系数，
d d s 1
f 2 d
d d s 1
f 3 d 3
则
x ij (s )
∑x ije (s )
k
e 1
4.4.6求灰色评价权向量和权矩阵
对于评价指标V ij ，设r ije (s)
为所有的教学班对第s 个受评课程主张第e 个灰类的灰色评价权，则
r ije (s)
x ije
(s)
x ij
()
设第s 个受评课程的评价指标V ij 对于各灰类的灰色评价权向量r ij (s)
，则
r ij (s)
（r ij1(s )
，r ij2(s )
，r ij3(s )
， ，r ijk (s
)
） 将第s 个受评课程的V i 所属的所有指标V ij 对于各评价灰类的灰色评价权向量r ij (s)
综合后，即可得到第s 个受评课程的V i 所属指标V ij 对于各评价灰类的灰色评价权矩阵R i (s)
R i
(s) [ r i1(s)
r i2(s) r in (s)
] [ r i11(s
)
r i12(s ) r i1k
(s
)
r i21
(s )r i22(s ) r i2k
(s ) r in1
(s )r in2
(s ) r ink (s )]
4.4.7一级综合评价
求出第s 个受评课程的V i 所属指标V ij 对于各评价灰类的灰色评价权矩阵R i (s)
后，利用该矩阵对第s 个受评课程的指标V i 进行综合评价，设一级综合评价结果为P i (s)，则有
P i
(s)
i R i
(s)
(p i1
(s)
p i2
(s)
p i3
(s)
p ik (s)
)
4.4.8二级综合评价
在2.3.2.7中所求出的V i 的综合评价实际上即为指标U i 的综合评价，将U 所属的各个指标U i 的综合评价再进行综合，即可得第s 个受评课程的U 所属指标U i 对于各评价灰类的灰色评价矩阵R (s),
R(s)
[P1(s)
P2(s)
P m(s)][
p11(s)p12(s)p1k(s)
p21(s)p22(s)p2k(s)
p m1(s)p m2(s)p mk(s)]
对第s个受评课程的U作综合评价，设二级综合评价结果为P(s),则有
P(s)R(s)
[1
R1(s)
2
R2(s)
m
R m(s)]
(p
1
(s)p
2
(s)p
m
(s))
4.4.9求课程综合评价结果
由于二级综合评价结果P(s)是一个向量，不同的受评对象并不能依次相互比较大小，所以我们有必要将P(s)单值化以便比较，且更充分地利用信息。设评价灰类等级值向量H(d1d2d k)，第s个受评课程的综合评价值W(s)，则有
W(s)P(s)H T
当我们求出综合评价值时，即可根据此数据的大小来确定课程教学效果的好坏，并且依次进行排序。
4.5模型求解
4.5.1在问题二的求解中，我们已经给出了课程教学效果的评价体系及相应指标的权重，只需将此处的一级指标对应于问题二中的二级指标，此处的二级指标对应于问题二中的三级指标，详见问题二中的数据。
由题目提供的数据进行计算，我们选取了高等数学，大学英语3(读写译)，思想道德修养与法律基础，C语言程序设计这四门课程作为求解实例。
以高等数学作为代表叙述模型求解过程：
：