超静定结构解决思路 Prepared on 22 November 2020
超静定结构
超静定结构
静定结构是没有多余约束的结构，结构体系中任何一个约束去掉后，结构都失去稳定性，成为机构，因而也就不能够继续承担荷载。因此，静定结构是相对危险的，任意约束失效后都会导致整体结构的失效。为了保证结构的安全性，需要对于静定结构增加约束，成为有多余约束的结构——超静定结构。
超静定结构有多余约束，当其中某个约束失效后，所承担的作用由其他约束承担，整体结构仍处于稳定状态，可以继续承担荷载，但是，超静定结构在失去部分或全部多余约束后，内力会出现重新分布的现象，是否破坏要重新计算。
超静定结构的思路
对于超静定结构，静定结构的解题思路是难以解决的：静定结构中无论是外力还是内力，均依靠力系平衡方程或方程组实现，但超静定结构的多余约束导致有效方程数少于未知数的数量。
因此，超静定问题宜从以下方面思考：
首先，如果结构整体是平衡的，结构内部任意组成部分、点、段落也一定是平衡的；
其次，对于任意多余约束是可以去掉的，并以相应的约束力来替代的，替代之后的结构各个部分依然平衡切除替代点外没有任何变化；
第三，结构中任意相临的、距离为 0 的两点间的相对位移与转角均为0；
第四，弹性结构体系中，各个构件受力后产生的变形是协调的。
基于上面的基本思路，对于超静定结构常用的
方法是力法与位移法。
力法
力法是计算超静定结构的基本方法，是利用结
构的变形协调来实现的。
力法的基本思路是：
弹性结构体系中，各个构件受力后产生的变形
是协调的；
除去多余约束后，以约束力替代原约束，并与结构等效；
除去约束后的结构在其上的外力系[P]的作用下，会产生各种变形，其中在除去约束后的原约束点的位移是：[Δp]
结构原有的约束力也会导致结构在约束点的相关
变形：[x][δ]，[x]：除去的多余的约束，[δ]：当多余
约束为 1 时的各个约束点变形。
但是在原结构中，被除去的多余约束点由于约束
的作用，其相应的位移为0，因此有：
[x][δ] +[Δp] =0
如果设多余约束为n个，则力法线性方程组为：
x1δ11 + x2δ12 + x3δ13+…… + x nδ1n +Δ1p = 0
x
δ21
2
+ x2
δ22
+ x3
δ23
+…
… +
x nδ
+Δ2p = 0
2n
x3δ31 + x2δ32 + x3δ33+…… + x nδ3n +Δ3p = 0
…… …… …… …… …… …… …… …… ……
x nδn1 + x2δn2 + x3δn3+…… + x nδnn +Δnp = 0
其中：x i：第i个多余约束所形成约束反力，是未知数；
δij：如果第j
所形成的位于第i个约束反力位置上的变形量；
x iδij：第j个多余约束所形成约束力，导致的位
于第i个约束反力位置上的变形量；
Δip：除去多余约束后，结构外荷载系产生的，位
于第i 个约束反力位置上的变形量；
根据，可以求得δij，且根据，δij = δji ；同样，根据虚功原理也可以求得Δip，因此方程组是可解的；
求解出x1，x2，x3…… x n后，可将其视为与外
荷载系共同作用于除去多余约束的静定结构的荷
载，随即可以求解并绘制相应的静定结构的内力
图，进而求出最大内力截面与最大应力的位置与量
值，进行相关校核。
例题
位移法
位移法也是计算超静定结构的基本方法，是利用结构的受力协调来实现的。
结构、荷载与边界约束如图，对于该超静定结构，分析如下：
结构在荷载作用下会发生相应的变形，对于A节点来讲，可以认为外作用与变形是两次分别发生的，然后叠加至一个结构上：
首先A点是固定的，在外部作用下，发生杆件变形，并在A点形成了不协调的内力，依靠附加的外部作用时A点维持原有的形态；其次A点在发生转角变形，直到消除由于外部作用所形成的内力的不协调，外部作用消失。
对于A点来讲，两次过程都会产生相应的内力，叠加至一个结构上后，与结构最初受力并产生变形的状态相一致，产生的内力在该点是平衡的。
假设A点的转角为Z，则有：Z r+R p=0，
其中： R p—在A点被固定的第一个过程中，荷载于A点产生的周边反力。
Z —在第二个过程中，能够消除A点不协调作用的变形；
r —A点产生单位转角时所形成的反力；
当结构中存在多个外荷载作用与多处变形时，方程以方程组来表示：
设附加约束为n个，
Z1r11 + Z2r12 + Z3r13+…… + Z n r1n +R1p = 0
Z2r21 + Z2r22 + Z3r23+…… + Z n r2n +R2p = 0
…… …… …… …… …… …… …… …… ……
Z n r n1 + Z2r n2 + Z3r n3+…… + Z n r nn +R np = 0
Z i：第 i 个附加约束的位移，是未知数；
r ij：第j个附加约束，产生单位位移，所形成的位于第i 个附加约束位置上的内力，是可以求得的；
Z i r ij：第j个附加约束，产生实际位移，所形成的位于第i 个附加约束位置上的内力；
R ip：结构外荷载系产生的，位于第i 个附加约束位置上内力。
根据，可以求得rij，且根据， r ij = r ji；
根据基本常数也可以求得R ip，因此方程组是可解的；
求解出Z1，Z2，Z3…… Z n后，对于结构中的不同杆件进行变形与荷载产生的内力叠加，求解并绘制相应的内力图，进而求出最大内力截面与最大应力的位置与量值，进行相关校核。
例题