专题05函数的概念及其性质
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函数的概念及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、值域是高考考查重点，函数性质的综合考查在历年考试中久考不衰，应重点研究。
1、映射与函数：以考查概念与运算为主，部分涉及新定义运算；
2、定义域、值域、解析式是考查的重点，而且比较稳定，有时结合其它知识点（一本部分内容为背景），分段函数较多、花样翻新；
3、函数的单调性在历年考试中久考不衰，且比例有上升趋势，和导函数联系较多；
4、函数的周期性在试题中往往不是直接给出的，考生要善于通过其他函数性质进行推理，将问题转化为较为明显的周期函数，再根据函数的周期性分析解决问题。
5、函数的奇偶性主要和单调性、不等式、最值、三角函数等综合，与周期性、对称性、抽象函数等问题联系较多。 【考纲知识梳理】 一、函数与映射的概念
注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。 二、函数的其他有关概念 （1）函数的定义域、值域
在函数()y f x =，x A ∈中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的
y
值叫做函数值，函数值{()|}f x x A ∈的集合叫做函数的值域
（2）一个函数的构成要素 定义域、值域和对应关系 （3）相等函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。 注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数y=x 和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx 与y=cosx ，其定义域为R ，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系） （4）函数的表示方法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。 （5）分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。 一、函数的单调性 （1）单调函数的定义
（2）单调区间的定义
若函数f(x)
在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间。 注：单调区间是定义域的子区间 二、函数的最值
注：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值
域必定存在，但其最值不一定存在。
注：1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个x 都有一个关于原点对称的-x 在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称；
2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。
三、奇偶函数的性质
1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填 “相同”、“ 相反”）。
2、在公共定义域内，
（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； （2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；
（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。 3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0. 4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；
6、可逆性： )()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数；
)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数；
7、等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f
)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f
8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；
9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 四、函数的周期性
函数的周期性在试题中往往不是直接给出的，考生要善于通过其他函数性质进行推理，将问题转化为较为明显的周期函数，再根据函数的周期性分析解决问题。 【难点精析】
一、函数单调性的判定
1、用定义证明函数单调性的一般步骤
（1）取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1< x2.
（2）作差：即f(x2) –f(x1)(或f(x1)-f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。
（3）定号：根据给定的区间和x2- x1符号，确定差f(x2) –f(x1)(或f(x1)-f(x2))的符号。当符号不确定时，可以进行分类讨论。 （4）判断：根据定义得出结论。 2．求函数的单调性或单调区间的方法 （1）利用已知函数的单调性；
（2）定义法：先求定义域，再利用单调性定义；
（3）图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间。
（4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间。
注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。例如函数y=1/x 在
(,0)(0,)-∞+∞和内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即
()(),00,-∞+∞ 内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(,0)(0,)-∞+∞和，不能用“∪” 二、函数奇偶性的判定 1、相关链接
<1>判断函数奇偶性的一般步骤
（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。
（2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系 ①若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），则为奇函数； ②若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则f(x)为偶函数；
③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数;
④若f(-x) ≠f(x)且f(-x)≠- f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。 <2>一些重要类型的奇偶函数 函数f(x)=ax+a-x 为偶函数;
函数f(x)=ax-a-x 为奇函数；
函数f(x)=( ax-a-x)/( ax+a-x)=( ax-1)/( ax+1)其中（a>0且a ≠1）为奇函数；
函数f(x)=loga(11x
x -+)为奇函数（a>0且a ≠1）; 函数f(x)= loga(2
1x x ++为奇函数（a>0且a ≠1）
例题【解析】
例1：已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程
f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根123,,,x x x x
,则
1234_________.
x x x x +++=
【答案】 -8
【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.
例2：若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x
f x
g x e -=，则有（ D ）
A ．(2)(3)(0)f f g <<
B ．(0)(3)(2)g f f <<
C ．(2)(0)(3)f g f <<
D ．(0)(2)(3)g f f <<
【解析】用x -代换x 得：
()(),x
f x
g x e ----=即()()x
f x
g x e
-+=-，解得：
2
)(,2
)(x
x x
x e e x g e
e x
f +-
=-=
-，而)(x f 单调递增且大于等于0，1)0(-=g ，选D 。
点评：本题主要综合考查函数的性质.
【难点突破训练】
1、若一系列函数的解析式相同,值域相同但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为y=2x2+1,值域为{3,19}的“孪生函数”共有
A.15个
B.12个
C.9个
D.8个
【答案】C 将x=3代入2x2+1=3,得x=±1;将x=19代入2x2+1=19,x=±3.要使值域为{3,19},定义域可以是{1,3},{-1,3},{1,-3},{-1,-3},{1,-1,3},{1,-1,-3},{1,3,-3},{-1,3,-3},{1,-1,3,-3}共9种,
∴“孪生函数”共有9种.
2、函数的定义域为（）
【答案】B 要使函数有意义，则需，解得x,所以，函数的定义域为{x|x1},故选B。
3、已知函数f(x+1)是偶函数，当x2＞x1＞1时，[f (x2)－f (x1)]( x2－x1)＞0恒成立，设a=f
(－),b=f (2),c=f (3),则a,b,c的大小关系为
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c
【答案】A由题意可知，当z＞1时，函数f(x)单调递增，f(x)的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为偶函数，所以函数f(x)的大致图象如图所示，所以f()=f(),f(2)＜f()＜f(3),所以b＜a＜c,选A.
4、已知函数f(x)=2ax2－ax+1(a＜0),若x1＜x2,x1+x2=0,则f(x1)与f(x2)的大小关系是( )
A.f(x1)=f(x2)
B.f(x1)＞f(x2)
C.f(x1)＜f(x2)
D.与a的值有关
【答案】C
【解析】函数据的图象开口向下，对称轴为，又依题意得x1＜0，x2＞0，且x1与x2
关于y轴对称，则x1到的距离大于x2到的距离，即，故f(x1)
＜f(x2)，选C．
5、我们用记号eiθ来表示复数cosθ+isinθ,即eiθ=cosθ+isinθ.(其中e=2.718…是自然对数的底
数,θ的单位是弧度),则①2=2i;②=sinθ;③+1=1.其中正确的式子序号是( )
A.①②
B.①③
C.①④
D.②③
【答案】B
【解析】∵，
∴①，正确；
②，错；
③，正确，
综上所述，其中正确式子的序号为①③，故选B．
6、已知函数f(x)=,则f′[f()]的值是( )
A.9
B.
C.－9
D.
【答案】B
【解析】本题考查分段函数概念.由条件易知.
7、下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）
A．B．C．D．
【答案】A y=x+x在其其定义域内既是增函数又是奇函数，y=—log x其定义域内是减函数,y=3在其定义域内是非奇非偶函数，y=—在其定义域内无单调性.
8、已知函数，，若的图象与的图象关于点(2，0)对称，则等于( )
A.5
B.－5
C.1
D.－1
【答案】B
【解析】求解本题的关键是利用对称关系和函数f(x)的解析式进行求解．因为a＋b＋c＝
g(1)，(1，g(1))在函数g(x)上，其关于点(2，0)的对称点(3，－g(1))在函数
f(x)上，则将其代人函数f(x)的解析式得g(1)＝－5，故选择B．求解问题要注意发现“破题点”，如本题a＋b＋c＝g(1)，是求解的突破口．关于图象的对称问题实质上都是关于点的对称，故在具体求解对称问题时要能够借助于点的对称关系求解有关问题．
9、已知f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,如果对任意正数x,xf′(x)≤f(x)都成立,那么对于任意正数a、b,若a＜b,则必有
A.af(b)≥bf(a)
B.af(b)≤bf(a)
C.af(a)≤bf(b)
D.af(a)≥bf(b)
【答案】B
【解析】由题知xf′(x)-f(x)≤0,则()′=≤0.
故在(0,+∞)上是减函数.
∵0＜a＜b,∴≥,得af(b)≤bf(a).
10、定义在R上的函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,则“f(x)在(0,+∞)上是减函数”是“f(x)为奇函数”的
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由“f(x)在（0,+∞)上是减函数”“f(x)为奇函数”,而“f(x)为奇函数”“f(x)在(0,+∞)上是减函数”,
∴“f(x)在(0,+∞)上是减函数”是“f(x)为奇函数”的必要不充分条件.
11、定义运算:a*b=如1*2=1,则函数f(x)=2x*2-x的值域为
A.R
B.(0,+∞)
C.(0,1］
D.［1,+∞)
【答案】C
【解析】∵a*b=∴f(x)=2x*2-x=
∵当x≥0时,f(x)=2-x,
∴当x≥0时,0＜f(x)≤1.
又当x＜0时,f(x)=2x,
∴当x＜0时,0＜f(x)＜1.
∴f(x)=2x*2-x的值域为(0,1］.
12、已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)= g(x),且x＞0时f′(x)＞0,g′(x)＞0,则x＜0时
A.f′(x)＞0,g′(x)＞0
B.f′(x)＞0,g′(x)＜0
C.f′(x)＜0,g′(x)＞0
D.f′(x)＜0,g′(x)＜0
【答案】B
【解析】由题意知,f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
且在(0,+∞)上f(x)与g(x)均为增函数,
∴在(-∞,0)上f(x)为增函数,g(x)为减函数.
∴有f′(x)＞0,g′(x)＜0.
13、下列函数中既是偶函数,又是区间［-1,0］上的减函数的是
A.y=cosx
B.y=-|x-1|
C.y=ln
D.y=ex+e-x
【答案】D
【解析】y=cosx在［-1,0］上为增函数,A项不正确;
y=-|x-1|不是偶函数,B项不正确;y=ln为(-2,2)上的奇函数,C项不正确;故选D.
14、已知f(x)是定义在实数集R上的函数,它的反函数为f-1(x),若y=f-1(x+1)与y=f(x+1)互为反函数,且f(1)=1,则f(2)的值为
A.2
B.1
C.0
D.-1
【答案】C
【解析】由y=f-1(x+1),得x+1=f(y),得x=f(y)-1,
∴y=f-1(x+1)的反函数为y=f(x)-1.
∴f(x+1)=f(x)-1.令x=1,得f(2)=f(1)-1=0.
15、已知函数f(x)在R上同时满足条件：①对于任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)；②当x ＞0时，f(x)＜0，则函数f(x)在R上
A.是奇函数且是减函数
B.是奇函数且是增函数
C.是奇函数且不具有单调性
D.是偶函数且不具有单调性
【答案】A
【解析】∵x、y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x,
∴f(x-x)=f(x)+f(y).∴f(x)+f(y)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0),
∴f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).
取x1＜x2,则f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)＜0,
∴f(x2)＜f(x1).
∴f(x)在R上是奇函数且是减函数.故选A.
16、定义在(-∞,+∞)上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且在［-1,0］上是增函数,下面关于f(x)的判断:①f(x)是周期函数;②f(x)的图象关于直线x=1对称;③f(x)在［0,1］上是增函数;④f(x)在［1,2］上是减函数.
其中所有正确的判断是
A.①④
B.①②
C.③④
D.②③
【答案】B
【解析】∵f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期T=2.又f(x)为偶函数,
且f(x)在［-1,0］上是增函数,∴f(x)在［0,1］上是减函数,f(x)在［1,2］上是增函数.故判断①正确,判断③④错误.故选B.
17、对于定义在R上的函数y=f(x),有下述四个命题:
①若y=f(x)是奇函数,则y=f(x-1)的图象关于点A(1,0)对称;
②若对于任意x∈R,有f(x+1)=f(x-1),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;
③若函数y=f(x-1)的图象关于直线x=i对称,则y=f(x)为偶函数;
④函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图象关于x=1对称.
其中正确命题的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B
【解析】①中f(x)的图象关于原点对称,则f(x-1)的图象关于(1,0)点对称;
②中f(x+1)=f(x-1)时,满足f(3)=f(1),又函数f(x)不恒为常函数,∴图象不一定关于x=1对称;
③∵f(x-1)关于x=1对称,则f(x)的图象关于y轴对称,
∴f(x)为偶函数;
④当x=1时,两函数的函数值分别为y1=f(2),y2=f(0),且y1≠y2.综上知①③正确.
18、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且在［-1,0］上是增函数,下面关于f(x)的判断:(1)f(x)是周期函数;(2)f(x)的图象关于直线x=1对称;(3)f(x)在［0,1］上是增函数;(4)f(x)在［1,2］上是减函数.其中所有正确的判断是
A.(1)(4)
B.(1)(2)
C.(3)(4)
D.(2)(3)
【答案】答案:B
【解析】∵f(x+2)=f(x),∴f(x)是以2为周期的周期函数,故(1)正确.
f(x)为偶函数,f(x+1)=f(x-1)=f(1-x),∴f(x)关于直线x=1对称,(2)正确.
f(x)在［0,1］上是减函数,在［1,2］上是增函数.
19、函数f(x)=的定义域为
A.(-2,4］
B.［-4,2)
C.(-4,2)
D.［-4,2］
【答案】答案:B
【解析】若使函数有意义,则≥0-4≤x＜2.故定义域为［-4,2).
20、函数f(x)=+(0＜x＜1)的最小值为
A.2
B.4
C.
D.1
【答案】答案:B
【解析】f(x)==,∵0＜x＜1,∴f(x)min=f()=4.
21、函数y=1-()x的定义域是_____________.
【答案】［0,+∞) 由1-()x≥0,得()x≤1,解得x≥0.∴函数的定义域为［0,+∞).
22、设函数f(x)=x,给出下列四个命题:①函数f(|x|)为偶函数;②若|f(a)|=|f(b)|,其中a＞0,b
＞0,a≠b,则ab=1;③函数f(-x2+2x)在(1,2)上为单调增函数;④若0＜a＜1,则|f(1+a)|＜|f(1-a)|.则正确命题的序号是_____________.(把正确命题的序号都写上)
【答案】①②③④∵f(x)=x,∴f(|x|)=|x|为偶函数,①正确;
若|f(a)|=|f(b)|,不妨设0＜a≤1,b≥1,
则|f(a)|=|f(b)|f(a)=-f(b)f(a)+f(b)=0log2ab=0ab=1,∴②正确.
∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,而n=-x2+2x在(1,2)上单调递减,且u＞0,∴f(-x2+2x)在(1,2)上单调递增，③正确.当0＜a＜1时,1＜1+a＜2,0＜1-a＜1,0＜1-a2＜1,
则|f(1+a)|-|f(1-a)|=|(1+a)|-|(1-a)|=-(1+a)-(1-a)=-(1-a2)＜0,∴④正确.综上，得①②③④均为正确命题.
23、若函数f(x)=2x+3的图象与g(x)的图象关于____________对称，则函数g(x)= ____________.
（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）
【答案】x轴,g(x)=-2x-3;y轴,g(x)=2-x+3;直线y=x,g(x)=log2(x-3);(0,0),g(x)=-2-x-3(答案不唯
一)。
24、下列命题：
①函数y=sinx在第一象限是增函数；
②函数y=｜cosx+｜的最小正周期是π；
③函数y=tan的图象的对称中心是(kπ,0),k∈Z；
④函数y=lg(1+2cos2x)的递减区间是［kπ,kπ+),k∈Z；
⑤函数y=3sin(2x+)的图象可由函数y=3sin2x的图象按向量a=(,0)平移得到.
其中正确的命题序号是_____________.
【答案】③④
25、将函数f(x)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,然后再将得到的图象向下平移1个单位,又得到了函数f(x)的图象.试写出满足题意的一个函数为___________.
【答案】f(x)=log2x y=f(x)y=f(2x)y=f(2x)-1,∴f(2x)-1=f(x).∴
y=log2x.
26、给出下列四个结论：
①若A、B、C、D是平面内四点，则必有+=+；
②“a＞b＞0”是“ab＜”的充要条件；
③如果函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)=-f(2+x)，则
函数f(x)是周期函数；
④已知Sn是等差数列{an}(n∈N+)的前n项和，且S6＞S7＞S5，则S12＞0.
其中正确结论的序号是____________.（填上所有正确结论的序号）
【答案】①③④①设O是平面内任意点,则+=+++,
+=+++,∴+=+,①正确;
②由a＞b＞0成立,可推得ab＜;但ab＜成立,
不一定有a＞b＞0成立,只需a≠b即可,所以应是充分不必要条件,②不正确;
③由f(x)=-f(2+x),∴f(2+x)=-f(4+x).
∴f(x)=f(4+x).∴周期为4,③正确;
④∵S6＞S7,∴S7-S6＜0.∴a7＜0,S13=13a7＜0.
又S7＞S5,∴S7-S5＞0.
∴a6+a7＞0,S12=(a1+a12)×12=6(a6+a7)＞0,④正确.
故①③④正确.
27、若f(x)是R上的增函数，且f(-1)=-4,f(2)=2，设P={x|f(x+t)＜2},Q={x|f(x)＜-4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是____________.
【答案】(3,+∞) P中:f(x+t)＜2,∴x+t＜2.∴x＜2-t;
Q中:f(x)＜-4,∴x＜-1.∵“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,∴2-t＜-1.∴t＞3.
f′(x)为f(x)的导函数，函数y=f′(x)的图象如图所示.若两正数a,b满足f(2a+b)＜1，则
的取值范围是____________.
【答案】(,) 由y=f′(x)图象,知f(x)在［-2,0］上为减函数,在［0,4］上为增函数.由
f(-2)=1,f(0)=-1,f(4)=1,又f(2a+b)＜1,
∴-2＜2a+b＜4,且a＞0,b＞0.可行域如右图阴影部分,而可看作(a,b)与(-3,-3)两点连线
的斜率,记P(-3,-3),kPA=,kPB=,∴的范围为(,).
29、已知f(x)=则f()=_______________,f［］=_______________.
【答案】0 f()=f(2×)=f(1)=0,∵＜＜1,
∴f［］=f［2·］=f().又∵＜1,∴f()=f(2·)=f().
∵＞1,∴f［］=f()=log2=.
30、已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)，对于任意x≥2，当Δx＞0时，恒有f(x+Δx)＞f(x)，则实数a的取值范围是_____________.
【答案】(-4,4］由题意知,f(x)=log2(x2-ax+3a)在［2,+∞)上为增函数,令g(x)=x2-ax+3a,
则即∴-4＜a≤4.故实数a的取值范围为(-4,4］.
31、设函数f(x)=|x-2|+|x+1|,若f(x)≤5,则x的取值范围是___________.
【答案】［-2,3］f(x)=|x-2|+|x+1|=当x≥2时,由2x-1≤5得2≤x≤3;
当-1＜x＜2时,由3≤5得-1＜x＜2;当x≤-1时,由1-2x≤5得-2≤x≤-1.
综上,x的取值范围是［-2,3］.
32、已知f(x)=+2(k∈R),若f(lg2)=0,则f(lg)=___________.
【答案】4 由+2=0得k=-2lg2,即f(x)=+2.
∴f(lg)=+2=+2=4.
33、设函数f(x)=x,给出下列四个命题:①函数f(|x|)为偶函数;②若|f(a)|=|f(b)|,其中a＞0, b ＞0,a≠b,则ab=1;③函数f(-x2+2x)在(1,2)上为单调增函数;④若0＜a＜1,则|f(1+a)|＜|f(1-a)|.则正确命题的序号是______________(把正确命题的序号都写上).
【答案】①②③④∵f(x)=x,∴f(|x|)=|x|,为偶函数,①正确.
若|f(a)|=|f(b)|,不妨设0＜a≤1,b≥1,
则|f(a)|=|f(b)|f(a)=-f(b)f(a)+f(b)=0log2ab=0ab=1.
∴②正确.
∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,而u=-x2+2x在(1,2)内单调递减且u＞0,∴f(-x2+2x)在(1,2)上单调递增,③正确.
当0＜a＜1时,1＜1+a＜2,0＜1-a＜1,0＜1-a2＜1,
则|f(1+a)|-|f(1-a)|=|(1+a)|-|(1-a)|=-(1+a)-(1-a)
=-(1-a2)＜0,∴④正确.
综上得,①②③④均为正确命题.
34、若f(x)是R上的增函数，且f(-1)=-4,f(2)=2，设P={x|f(x+t)＜2},Q＝{x|f(x)＜-4}，若“x ∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是___________.
【答案】(3,+∞) P中:f(x+t)＜2,∴x+t＜2.∴x＜2-t.
Q中:f(x)＜-4,∴x＜-1.∵“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,∴2-t＜-1.∴t＞3.
35、已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有＜0成立，则a的取值范围是___________.
【答案】(0,］∵函数f(x)对任意x1≠x2都有＜0成立,∴函数f(x)在R上
为减函数,故∴0＜a≤.
36、【合肥市2010年高三第一次教学质量检测(理)】已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)试说明是否存在实数，使若的图像与直线无公共点(其中自然对数的底数为无理数且).
【答案】【解析】（1）函数
①若上恒成立，
②若
（2）时，由（I）可知，上的最小值为
即存在
故存在无交点。
37、【14分】设函数
（1）当时，求的最大值；
（2）令，（0≤3），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；
（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值。
【答案】【解析】（1）依题意，知的定义域为（0，+∞）
当时，，
令=0，解得或x=-2(舍去).
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减。
所以的极大值为，此即为最大值。
（2），，
则有≤，在上恒成立，
所以≥，
当时，取得最大值，所以≥
（3）当a=0，b= -1时，，因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，
设，
则.
令，得.
因为，，所以（舍去），，当时，，在（0，）上单调递减，
当时，，在（，+∞）单调递增
当时，=0，取最小值.
则既
所以，
因为，所以（*）
令，h’(x)= +1,
因为当时，是增函数，所以至多有一解。
因为，所以方程（*）的解为，
即，
解得.
38、【12分】已知函数
（1）求x为何值时，上取得最大值；
（2）设是单调递增函数，求a的取值范围.
【答案】【解析】（1）易得
由题意可知函数f(x)的定义域为x>2.
（2）∵F(x)是单调递增函数，恒成立
又
显然在恒成立.
恒成立.
下面分情况讨论的解的情况.
当时，显然不可能有上恒成立.
当上恒成立.
当时，有两种情况：①；
②
由①得，无解；由②得
综上所述各种情况，当上恒成立.
∴所求的a的取值范围为
39、【16分】已知k∈R,函数.
(Ⅰ) 如果实数m,n满足,函数是否具有奇偶性？如果有,求出相应的k值,
如果没有，说明为什么?
(Ⅱ) 如果，判断函数的单调性；
(Ⅲ) 如果，，且，求函数的对称轴或对称中心.
(Ⅱ)∵m＞1＞n＞0，，
∴当k ≤0时，显然f(x)＝mx + k·nx．在R上为增函数；
当k＞0时，，
由nx ＞0，得，得，得．
∴当x∈(－∞，] 时，f’(x)＜0，f(x)为减函数；
当x∈[，+ ∞)时，f’(x)＞0，f(x)为增函数；
(Ⅲ)当m＝2，时，f(x)＝2x + k·2－x，
如果k＜0，f(x)＝2x + k·2－x＝2x－(－k)·2-x
，
则f(㏒2(－k)－x)＝－f(x)，
∴函数y＝f(x)有对称中心(，0)．
如果k＞0．f(x)＝2x + k·2－x
，
则f(㏒2k－x)＝f(x)，
∴函数y＝f(x)有对称轴．
40、【14分】设m、n为正整数，且
轴的两个交点间的距离为轴的两个交点间的距离为、n的值。
【答案】解：设二次函数y＝x2 +(3－m t)x－3m t的图象与x轴的两个交点分别为(x1，0)，(x2，0)
二次函数y＝－x2 +(2t－n)x + 2 n t的图象与x轴的两个交点分别为(x3，0)，(x4，0)
则
；
∵d1 ≥d2对一切实数t恒成立，
∴(mt－3)2 + 12m t ≥(n－2t)2 + 8nt对一切实数t恒成立，
即：(m2－4)t2 + (6m－4n)t + 9－n2 ≥0对一切实数t恒成立；
∴；
整理得
又∵m，n为正整数，∴m＝3，n＝2或m＝6，n＝1．
41、【12分】设函数f(x)=｜1｜(x＞0).
（1）求f(x)的单调区间；
（2）是否存在正实数a,b(a＜b)，使函数f(x)的定义域为［a,b］时值域为［,］？若存在，求a,b的值;若不存在，请说明理由.
三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-
三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：
函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：
第二章函数概念与基本初等函数I 一. 课标要求： 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成 的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数 1 312 ,,, y x y x y x y x - ====的 图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.
三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2
正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan =
高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα
三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ）
第二章函数概念与基本初等函数 I 一. 课标要求：函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重 要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f（x）的含义；了解函数构成的 三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2.了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景. 理解指数函数的概念和意义，掌握f（x）=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f（x）=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a>0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1（x）的意义. 1 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数y = x,y= x3,y=x-1,y = x2的图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3.函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法. 4.教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维
高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
函数及基本性质 一、函数的概念 （1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到 B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． （2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则． 注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3) 5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+= x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =； ⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。 A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()6 35 -= x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ， 13 1 >
第一章 函数 1.1 函数的概念及其基本性质（4课时） 教学要求：理解集合、区间、邻域及映射的概念，理解函数的概念，掌握函数的表示方法，了解函数的基本性质，理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图形，会建立简单应用问题中的函数关系式。 教学重点难点：重点是理解集合、映射及函数的概念；难点是理解反函数及隐函数的概念。 教学过程： 一、集合及其运算 1、集合概念 (1) 什么是集合? 所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素. (2) 集合的表示法 a 列举法：就是把集合的元素一一列举出来表示.由元素n a a a ,,21组成的集合A,可表示成 A={n a a a ,,21} b 描述法：若集合M 是由具有某种性质P 的元素x 的全体所组成,就可表示成 }|{P x x M 具有性质= (3) 集合元素的三大特性：确定性、互异性、无序性. (4) 元素与集合,集合与集合之间的关系：属于、包含、子集、真子集、空集. ２、集合的运算 (1) 并集 {| }A B x x A x B ?=∈∈或；(2) 交集 {| } A B x x A x B ?=∈∈且 (3) 差集 \{| }A B x x A x B =∈?但 (4) 全集与补集(或余集) 全集用I 表示，称A I \为A 的补集记作C A . 即 \{| }C A I A x x I x A ==∈?但 集合的并、交、补满足下列法则： (1) 交换律：A B B A ?=?，A B B A ?=? (2) 结合律：)()(C B A C B A ??=??，)()(C B A C B A ??=?? (3) 分配律：)()()(C B C A C B A ???=??， )()()(C B C A C B A ???=?? (4) 对偶律：C C C B A B A ?=?)(，C C C B A B A ?=?)( （5）幂等律：A A A ?=A A A ?=；（6）吸收律：A A ?Φ=A A ?Φ= 两个集合的直积或笛卡儿乘积 {(,)| }A B x y x A y B ?=∈∈ 且 二、区间与邻域 1、映射与领域 区间：开区间 ),(b a 、闭区间 ],[b a 、半开半闭区间],(b a ，),[b a 、有限,无限区间. 邻域：)(a U 或}|{),(δδδ+<<-=a x a x a U a ：邻域的中心,δ：邻域的半径 去心邻域： }||0|{),(δδ<-<=a x x a U 左δ邻域),(a a δ-、右δ邻域),(δ-a a . 2、映射概念 定义 设,A B 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对A 中的每一个元素x .按法则f ,在B 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从A 到B 的映射，记作 f B →：A 或,f y x A →∈：x| 其中，并y 称为元素x 的像，记作)(x f ，即 )(x f y =,而x 称为元素y 的一个原像。 映射f 的定义域：f D A =，映射f 的值域：(){()|}f R f A f x x A ==∈
1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（ ） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A C 3 ，则sin cos αα=（ ） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （ ） （A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（ ）
A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x =
于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π； 增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．．
第五讲 函数的基本概念与性质 函数是中学数学中的一条主线，也是数学中的一个重要概念．它使我们从研究常量发展到研究变量之间的关系，这是对事物认识的一大飞跃，而且对于函数及其图像的研究，使我们把数与形结合起来了．学习函数，不仅要掌握基本的概念，而且要把解析式、图像和性质有机地结合起来，在解题中自觉地运用数形结合的思想方法，从图像和性质对函数进行深入的研究． 1．求函数值和函数表达式 对于函数y=f(x)，若任取x=a(a为一常数)，则可求出所对应的y值f(a)，此时y的值就称为当x=a时的函数值．我们经常会遇到求函数值与确定函数表达式的问题． 例1 已知f(x-1)=19x2＋55x-44，求f(x)． 解法1 令y=x-1，则x=y+1，代入原式有 f(y)=19(y＋1)2＋55(y＋1)-44 ＝19y2＋93y＋30， 所以 f(x)=19x2+93x＋30． 解法2 f(x-1)=19(x-1)2＋93(x-1)+30，所以f(x)=19x2＋93x＋30． 可． 例3 已知函数f(x)=ax5-bx3＋x＋5，其中a，b为常数．若f(5)=7，求f(-5)． 解 由题设 f(-x)=-ax5＋bx3-x＋5 =-(ax5-bx3＋x＋5)+10
=-f(x)+10， 所以 f(-5)=-f(5)＋10=3． 例4 函数f(x)的定义域是全体实数，并且对任意实数x ，y ，有f(x+y)=f(xy)．若f(19)=99，求f(1999)． 解 设f(0)=k ，令y=0代入已知条件得 f(x)=f(x+0)=f(x ·0)=f(0)=k ， 即对任意实数x ，恒有f(x)=k ．所以 f(x)=f(19)=99， 所以f(1999)=99． 2．建立函数关系式 例5 直线l1过点A(0，2)，B(2，0)，直线l 2：y=mx ＋b 过点C(1，0)，且把△AOB 分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，如图3－1．设此三角形的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并画出图像． 解 因为l 2过点C(1，0)，所以m ＋b=0，即b=-m ． 设l 2与y 轴交于点D ，则点D 的坐标为(0，-m)，且0＜-m ≤2(这是因为点D 在线段OA 上，且不能与O 点重合)，即-2≤m ＜0． 故S 的函数解析式为 例6 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边
三角函数大题综合训练 1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小， （2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合； （Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab． （1）求角C的值； （2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=． （Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC=2，求AB的长． 6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin （A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．
五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数 函数称为幂函数。如，， ，都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如 ,。但在内 总是有定义的，且都经过（1,1）点。当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数： 的图形，如图1-1-2、图1-1-3。 图1-1-2
图1-1-3 2.指数函数 函数称为指数函数，定义域 ，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。高等数学中常用的指数函数是时，即。以与 为例绘出图形，如图1-1-4。 图1-1-4 3.对数函数
函数称为对数函数，其定义域 ，值域。当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。与互为反函数。当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。 以为例绘出图形，如图1-1-5。 图1-1-5 4.三角函数有 ，它们都是周期函数。对三角函数作简要的叙述： （１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。
图1-1-6正弦函数图形 图1-1-7余弦函数图形 （２）正切函数，定义域，值 域为。周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8 图1-1-8 （３）余切函数，定义域，值域为 ，周期。在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。
图1-1-9 （４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。 图1-1-10 （５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。
2014高三数学知识点总结：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是为大家整理的三角函数公式大全：锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°) /2]}
三角函数与解三角形 一．选择题 1．（2014?广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（） A．B．C．﹣D．﹣ 2．（2014?广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D． 3．（2014?河南）若tanα＞0，则（） A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0 4．（2014?河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最 小正周期为π的所有函数为（） A．①②③B．①③④C．②④ D．①③ 5．（2014?四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度 C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度 6．（2014?陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（） A．B．πC．2πD．4π 7．（2014?辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增 C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增 8．（2014?江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（） A．﹣B．C．1 D． 9．（2014?福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法 正确的是（） A．y=f（x）是奇函数 B．y=f（x）的周期为π C．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称 10．（2014?安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（） A．B．C．D． 二．填空题 11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为_________ ．
函数的概念及基本性质练习题 1. 下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( ) 2．若f (1x )＝1 1＋x ，则f (x )等于( ) A.1 1＋x (x ≠－1) B.1＋x x (x ≠0) C.x 1＋x (x ≠0且x ≠－1) D ．1＋x (x ≠－1) 3．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3 4．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 5.已知函数f (x )＝??? 2x ＋1，x ＜1 x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( ) A.12 B.4 5 C ．2 D ．9 6．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}， B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数 D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值 7．下列各组函数表示相等函数的是( ) A ．y ＝x 2－3 x －3与y ＝x ＋3(x ≠3) B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x (x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 8．求下列函数的定义域： (1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋8 3x －2
高中三角函数公式大全 2009年07月12日 星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -
sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-