第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证
1 、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
,,A l B l
l A B ααα
∈∈????
∈∈? 公理1的作用：判断直线是否在平面内
2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
若A ，B ，C 不共线，则A ，
B ，
C 确定平面α
推论1：过直线的直线外一点有且只有一个平面
若A l ?，则点A 和l 确定平面α
推论2：过两条相交直线有且只有一个平面 若m n A =，则,m n 确定平面α
推论3：过两条平行直线有且只有一个平面
若，则,m n 确定平面αm n 公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
,P P l P l αβαβ∈∈?=∈且
公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。
4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.,a b c b a c ?
5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
,1212a a b b ''∠∠?∠∠且与方向相同＝ ,1212180a a b b ''∠∠?∠+∠?且与方向相反＝ 作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。
6、线线位置关系：平行、相交、异面。,,,a b a b A a b =异面
m n
α
P
·
α
L
β
a
b b
a '
a '方向相反则∠1+∠2＝180°方向相同则∠1＝∠2
2121a
'
b '
（1）在同一个平面内，没有任何公共点的两条直线平行 （2）有一个公共点的两条直线相交
（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线
7、线面位置关系：
a α? α//a a A =
8、面面位置关系：平行、相交。
9、线面平行：（即直线与平面无任何公共点）
⑴判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 （只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）
////a b a a b ααα??
?
?????
【证明两直线平行的主要方法】
①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于第三边的一半；
②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；（矩形、菱形、正方形、梯形） ③线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；
a a a
b b α
βαβ??=?????
④平行线的传递性：,a b c b a c ?
⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；
a a
b b αβ
αγβγ=?=?
????
⑥垂直于同一平面的两直线平行； a a b b αα⊥???⊥?
⑦比例线段及相似多边形
⑵直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平
αa
(2)αa (3)αa A
面相交，那么这条直线和它们的交线平行；（上面的③） 10、面面平行：（即两平面无任何公共点）
（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
,,a b a b A a b αααβββ???
?
=????
（2）两平面平行的性质：
性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行；
a a
b b αβ
αγβγ=?=??
???
性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行；
αγαββγ??
??
性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等；
,,A C AC BD B D AB CD αβ
αβ∈?=∈???
????
性质Ⅳ：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；
a a a a αβαββααβ??????????
或
11、线面垂直：
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
,l m
l n l m n A m n αα⊥??⊥?
?⊥?=????
⑶性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。
a a
b b αα⊥?
??
⊥?
性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行
l l ααββ⊥?
??⊥?
12、面面垂直：
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 l l βαβα⊥?⊥??
??
（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）
⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
【证明两直线垂直的主要方法】
①利用勾股定理证明两相交直线垂直；
②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直； ③利用矩形（有四个直角）、菱形（对角线垂直）、正方形； ④利用直径所对的圆周角是直角
⑤利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）； ⑥利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”）
⑦面面垂直的性质定理
⑧如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ⑨如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
【空间角及空间距离的计算】
1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线，
如图：直线a 与b 异面，b b '//，直线a 与直线b
'的夹角为两
a 斜
影线αP O A ,PO OA PA a PA a a OA ααα⊥??⊥?⊥??
??图线线线如：是在平面上的射影 又直且即：影垂直斜垂直，反之也成立。
异面直线a 与b 所成的角，异面直线所成角的取值范围是]90,0(
2. 斜线与平面所成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA 是平面α的一条斜线，A 为斜足，O 为垂足，OA 叫斜线PA 在平面α上射影，PAO ∠为线面角。斜线和平面所成角
取值范围是]90,0(
解题步骤：作图——证明——计算
求角的关键在于找出平面的垂线及斜线的射影。一般地通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线来找角。角的计算一般是把已知条件归结到同一个或归结到几个有关的三角形中，从而把空间的计算转变为平面图形内的解直角三角形或斜三角形的问题。
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB 为二面角α－l －β的平面角．
(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB 为二面角α－l －β的平面角． (3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A 点向另一个平面作垂线，垂足为B ，由点B 向二面角的棱作垂线，垂足为O ，连接AO ，则∠AOB 为二面角的平面角或其补角，如图③，∠AOB 为二面角α－l －β的平面角．
4.点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 如图：O 为P 在平面α上的射影，
线段OP 的长度为点P 到平面α的距离求法通常
有：定义法和等体
积法
等体积法：就是将点到平面的距离看成是三棱
锥的一个高。
如图在三棱锥ABC S -中有：S ABC A SBC B SAC C SAB V V V V ----===
1.空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
2.垂直关系之间的相互转化
m l l l m
αβαββα⊥=?⊥?⊥???????
3．平行关系与垂直关系之间的相互转化
1．如图，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC 于D ，交SC 于E ，又SA=AB ，SB=BC ，求二面角E - BD -C 的度数。
在RtΔSAC 中，SA=1，SC=2，∴∠ECA=30?，在RtΔDEC 中，∠DEC=90?， ∴∠EDC=60? ∴ 所求的二面角为60?。
2、在棱长都为1的正三棱锥S －ABC 中，侧棱SA 与底面ABC 所成的角是________． 4、已知空间内一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC 两两夹角为60°，试求OA 与平面BOC 所成的角的大小．
5、已知点是正三角形所在平面外的一点，且，为上的高，、、分别是、、的中点，试判断与平面内的位置关系，并给予证明
5、分析1：如图，观察图形，即可判定平面，要证明结论成立，只需证明与平面内的一条直线平行．观察图形可以看出：连结与相交于，连结，
就是适合题意的直线．怎样证明？只需证明是的中点．
证法1：连结交于点，∵是的中位线，∴．
在中，是的中点，且，∴为的中点．∵是的中位线，∴．又平面，平面，∴平面．
S ABC SC SB SA ==SG SAB ?D E F AC BC SC SG DEF //SG DEF SG DEF CG DE H FH FH FH SG //H CG CG DE H DE ABC ?AB DE //ACG ?D AC AG DH //H CG FH SCG ?SG FH //SG ?DEF FH ?DEF //SG
DEF
1111ABCD A B C D -111//B AD BC D
平面平面分析2：要证明平面，只需证明平面平面，要证明平面平面，只需证明，而，可由题设直接推出． 证法2：∵为的中位线，∴．∵平面，平面，∴平面．同理：平面，，
∴平面平面，又∵平面，∴平面． 6、 已知正方体 ，求证 6、证明：∵为正方体 ∴，
又 平面，故 平面．同理 平面．
又
，∴ 平面平面．
7、已知直线PA 垂直正方形ABCD 所在的平面，A 为垂足。求证：平面PAC ⊥平面PBD 。 7、证明：
8、已知直线PA 垂直于圆O 所在的平面，A 为垂足，AB 为圆O 的直径，C 是圆周上异于A 、B 的一点。求证：平面PAC ⊥平面PBC 。 8、证明：
//SG DEF SAB //DEF DEF //SAB DF SA //EF SB //DF SA //EF SB //EF SBC ?SB EF //?EF SAB ?SB SAB //EF SAB //DF SAB F DF EF = SAB //DEF ?SG SAB //SG DEF 1111-D C B A ABCD B C A D 11//?B C 1BD C 1//1A D BD C 1//11B D BD C 11111D B D A D = //11D AB BD C 1AB 是圆O 的直径
C 是圆周上异于A 、B 的一点
?
?⊥??BC AC ⊥PA 平面ABC ?BC 平面ABC ?
?⊥??
BC PA
??AC 平面PAC ，PA 平面PAC
=AC PA A
?
??
?????⊥BC 平面PAC ?BC 平面PBC ?
??
?⊥平面PAC 平面PBC 。