习题十 :等价关系与等价类
‘‘
1．设R和R是集合A上的等价关系，用例子证明R R 不一定是等价关系。
2．试问由 4 个元素组成的有限集上所有的等价关系的个数为多少
3．给定集合S =｛1，2，3，4，5｝，找出 S 上的等价关系R ，此关系 R 能够产生划分｛｛1，2｝，｛ 3｝，｛4， 5｝｝并画出关系图。
4．设R是一个二元关系，设S｛a,b |对于某一c，有a, c R 且 c,b R ｝，证
明若 R 是一个等价关系，则S 也是一个等价关系。
5．设正整数的序偶集合 A ，在 A 上定义的二元关系R 如下：x, y , u, v R, 当且仅当xv yu ，证明 R 是一个等价关系。
6．设R是集合A上的对称和传递关系，证明如果对于 A 中的每一个元素a，在A中同时也存在一个b，使a, b 在R之中，则R是一个等价关系。
7．设R1和R2是非空集合A 上的等价关系，确定下述各式，哪些是 A 上的等价关系，对不是的提供反例证明。
a)(A A) R1
b)R1 R2
c)R12
d) r (R1R2) ( 即R1 R2的自反闭包)。
8．设C* 是实数部分非零的全体复数组成的集合，C* 上关系 R定义为：（ a b i ) R(c d i ) ac 0 ，证明R是等价关系，并给出关系R 的等价类的几何说明。
9．设和‘
A
‘
和诱导的等价关系，那是非空集合上的划分，并设 R 和 R 是分别由
么，细分的充要条件是R R 。
10．设R j表示I上的模j 等价关系， R k表示I上的模k等价关系，证明I/ R k细分I/ R j 当且仅当 k 是 j 的整数倍。
11． A， B 是全集 E 的子集，各命题及由这些命题构成的集合X 如下所示。
X p, q, r, s, t,u, v, w, y, z ，其中
p: ABE; q: A B B ; r:A B ; s: A c B c ; t:
A c
B ;
u: B c A c ;v: A B ; w: ABB; y: AB c ; z:
B A .
又 R 是 X 上的命题间的等价关系，求商集X/R（A c表示 A 的绝对补集）。
12． R 为集合 X 上的二元关系，X 1,2,3,4,5,6,7 ，
R1,1 , 1,2 , 2,4 , 6,3 , 6,6 , 7,1，求
（1） R 的等价闭包R（即包含 R的最小的等价关系）；
（2）求X/R。
13．设 R是集合 A 上的等价关系，S 是 A 上的对称关系，试问
~~
R S S R是否是A
上的等价关系若是，请给出证明；若不是，请具体分析它具有哪些性质，并对不成立
的性质举出反例。
14．设 R 是 A 上的二元关系，定义S a, b c A, a, c R, c, b R ，证明：若R是
A 上的等价关系，则 S 也是等价关系，且 S=R。
15．设 R和 S 是集合 A 上的关系，证明或否定下面结论：
（ 1）若 R，S 是传递的，则R S 传递的充分必要条件是R S S R ；
（ 2）若 R，S 是等价关系，则R S是等价关系的充分必要条件是R S S R 。16．知 R，S 是集合 A 上等价关系，且商集为：A/R a,b, c , d, e, g , f ，
A / S a, c , b, d, g , f , g ，显然，R S也是等价关系，先画出R S 有向图，再写出商集 A/ R S 。
17．证明定义在实数集合R 上的关系S x, y x, y R,
x y 是整数是一个等价关
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系。
18. 设R1是 A 上的等价关系，R2是 B 上的等价关系，A 且 B 。关系 R 满足：
x 1 , y1 , x
2,
y
2 R 当且仅当x 1 , x 2 R 1且y1 , y 2 R 2。
试证明： R是A B 上的等价关系。
19.设 N 是自然数集合，定义 N上的二元关系 R：
R x, y x N , y N , x y是偶数
（1）证明 R 是一个等价关系；
（2）求关系 R 的等价类；
（3）试设计一个从N 到 N的函数f , 使得由f诱导的等价关系就是关系R。
20. 设 R 是集合 A 上的一个具有传递和自反性质的关系，T 是 A 上的关系，使得
a, b Ta,b R且 b, a R , 证明T是一个等价关系。
21. 设 R 是集合 X 上的关系，对所有的x, y, z X 来说，如果有 xRy 和 yRz 就有zRx，则
称关系 R 是循环关系，试证明：当且仅当R 是一个等价关系， R 才是自反和循环的。
22. 设 R 是 A 上的二元关系，R1是 R的逆关系。证明： R 是传递的当且仅当R 1是传递的。
23.给定 X 1,2,3,4,5,6 ，R是X上关系，其生成矩阵如下。
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
问： ts(R) 是否为X上等价关系如是，写出商集X / ts(R) ，如不是，说明原因。（ ts(R) 是R
的对称、传递闭包）
24.已知集合 X 上的二元关系 R的关系矩阵为：
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0
M R 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
求（ 1）M t R ；（ 2）M rst R。
25.集合 A 1,2,3,4,5,6,7,8 ，R为A上二元关系，
R1,1 , 1,5 , 2,2 , 2,4 , 2,6 , 3,3 , 3,8 , 4,2 , 4,4 , 4,6 , 5,1 , 5,5 , 6,2 , 6,4 , 6,6 , 7,7 , 8,3 , 8,8。
求AR。